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所属成套资源：2023-2024学年七年级数学下册讲练测（华东师大版）
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初中数学华师大版七年级下册2 三角形的外角和与外角和课时训练
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这是一份初中数学华师大版七年级下册2 三角形的外角和与外角和课时训练，文件包含专题92三角形内角和定理的运用举一反三华东师大版原卷版docx、专题92三角形内角和定理的运用举一反三华东师大版解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共44页， 欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \t "正文,1" \h
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc7550" 【题型1 运用三角形内角和定理直接求角的度数】 PAGEREF _Tc7550 \h 1
\l "_Tc2836" 【题型2 三角形内角和定理与角平分线、高线综合】 PAGEREF _Tc2836 \h 3
\l "_Tc26832" 【题型3 三角形内角和定理与平行线的性质综合】 PAGEREF _Tc26832 \h 7
\l "_Tc12177" 【题型4 三角形内角和定理与折叠性质综合】 PAGEREF _Tc12177 \h 10
\l "_Tc286" 【题型5 三角形内角和定理与新定义问题综合】 PAGEREF _Tc286 \h 14
\l "_Tc2555" 【题型6 运用三角形内角和定理探究角的数量关系】 PAGEREF _Tc2555 \h 18
\l "_Tc27146" 【题型7 判断直角三角形】 PAGEREF _Tc27146 \h 24
\l "_Tc16473" 【题型8 运用直角三角形两锐角互余的性质倒角】 PAGEREF _Tc16473 \h 28
【知识点1 三角形的内角及内角和定理】
三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且
小于180°．三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
【题型1 运用三角形内角和定理直接求角的度数】
【例1】（2021秋•涡阳县期末）在△ABC中，已知∠B＝∠A+10°，∠C＝∠B+25°，求∠A的度数．
【分析】将第一个等式代入第二等式用∠A表示出∠C，再根据三角形的内角和等于180°列方程求出∠A，然后求解即可．
【解答】解：∵∠B＝∠A+10°，∠C＝∠B+25°，
∴∠C＝∠A+10°+25°＝∠A+35°，
由三角形内角和定理得，∠A+∠B+∠C＝180°，
所以，∠A+∠A+10°+∠A+35°＝180°，
解得∠A＝45°．
【变式1-1】（2022春•武侯区校级期中）如图，点E、D分别在AB、AC上．若∠B＝30°，∠C＝50°，则∠1+∠2＝ °．
【分析】根据三角形的内角和定理列式整理可得∠1+∠2＝∠B+∠C，从而可求解．
【解答】解：∵∠1+∠2+∠A＝180°，∠B+∠C+∠A＝180°，
∴∠1+∠2＝∠B+∠C，
∵∠B＝30°，∠C＝50°，
∴∠1+∠2＝∠B+∠C＝30°+50°＝80°．
故答案为：80°．
【变式1-2】（2022•哈尔滨）在△ABC中，AD为边BC上的高，∠ABC＝30°，∠CAD＝20°，则∠BAC是 度．
【分析】分两种情况：△ABC为锐角三角形或钝角三角形，然后利用三角形内角和定理即可作答．
【解答】解：当△ABC为锐角三角形时，如图，
∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝180°﹣30°﹣90°＝60°，
∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝60°+20°＝80°；
当△ABC为钝角三角形时，如图，
∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝180°﹣30°﹣90°＝60°，
∠BAC＝∠BAD﹣∠CAD＝60°﹣20°＝40°．
综上所述，∠BAC＝80°或40°．
故答案为：80或40．
【变式1-3】（2022•南京模拟）已知BD、CE是△ABC的高，直线BD、CE相交所成的角中有一个角为45°，则∠BAC等于 ．
【分析】根据三角形的内角和定理．分∠BAC与这个45°的角在一个四边形内，及∠BAC与这个45°的角不在一个四边形内两种情况讨论．
【解答】解：若∠BAC与这个45°的角在一个四边形BCDE内，
因为BD、CE是△ABC的高，设BD的延长线交CE的延长线于O．
∴∠AEC＝∠ADB＝90°，
∵∠O＝45°，
∴∠DAE＝180°﹣45°＝135°
∴∠BAC＝∠DAE＝135°；
若∠BAC与这个45°的角不在一个四边形BCDE内，
因为BD、CE是△ABC的高，
如图：∠BAC＝180°﹣（180°﹣45°）＝45°，
所以∠BAC等于45度．
若∠ACB是钝角，∠A是锐角，
易知∠ABD＝40°，∠A＝45°
综上所述，∠A的值为45°或135°．
故答案为：45°或135°．
【题型2 三角形内角和定理与角平分线、高线综合】
【例2】（2022春•西湖区校级月考）如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，AD平分∠BAC，CE⊥AB于点E，则∠ADB的度数为（ ）
A．100°B．90°C．80°D．50°
【分析】根据三角形内角和定理以及角平分线的定义求出∠B与∠BAD的度数即可求解．
【解答】解：∵CE⊥AB，
∴∠BEC＝90°，
∵∠BCE＝40°，
∴∠B＝50°，
∵∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，
∴∠BAD=12∠BAC＝30°，
∴∠ADB＝180°﹣∠B﹣∠BAD
＝180°﹣50°﹣30°
＝100°．
故选：A．
【变式2-1】（2021秋•靖西市期末）△ABC中，∠C＝50°，∠B＝30°，AE平分∠BAC，点F为AE上一点，FD⊥BC于点D，则∠EFD的度数为（ ）
A．5B．10C．12D．20
【分析】根据三角形的内角和为180°即可得出结论．
【解答】解：∵∠C＝50°，∠B＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣∠C﹣∠A＝180°﹣50°﹣30°＝100°，
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠BAE＝50°，
∴∠FED＝50°+30°＝80°，
又∵DF⊥BC，
∴∠FED+∠EFD＝90°，
∴∠EFD＝90°﹣80°＝10°，
故选：B．
【变式2-2】（2022春•鼓楼区校级期末）如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线．
（1）若∠B＝32°，∠C＝60°，求∠DAE的度数；
（2）若∠C﹣∠B＝18°，求∠DAE的度数．
【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据角平分线的定义求出∠EAC，根据垂直求出∠ADC＝90°，根据直角三角形两锐角互余求出∠DAC，再求出答案即可；
（2）求出∠C＝18°+∠B，根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据角平分线的定义求出∠EAC，根据垂直求出∠ADC＝90°，根据直角三角形两锐角互余求出∠DAC，再求出答案即可．
【解答】解：（1）∵∠B＝32°，∠C＝60°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝88°，
∵AE是角平分线，
∴∠EAC=12∠BAC＝44°，
∵AD是高，
∴∠AC＝90°，
∵∠C＝60°，
∴∠DAC＝90°﹣∠C＝30°，
∴∠DAE＝∠EAC﹣∠DAC＝44°﹣30°＝14°；
（2）∵∠C﹣∠B＝18°，
∴∠C＝18°+∠B，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣∠B﹣（18°+∠B）＝162°﹣2∠B，
∵AE是角平分线，
∴∠EAC=12∠BAC＝81°﹣∠B，
∵AD是高，
∴∠AC＝90°，
∵∠C＝18°+∠B，
∴∠DAC＝90°﹣∠C＝90°﹣（18°+∠B）＝72°﹣∠B，
∴∠DAE＝∠EAC﹣∠DAC＝（81°﹣∠B）﹣（72°﹣∠B）＝9°．
【变式2-3】（2022春•锡山区期中）已知：如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，BE是∠ABC的平分线，若∠DAC＝30°，∠BAC＝80°．
（1）求∠EBC的度数；
（2）求∠AOB的度数．
【分析】（1）由直角三角形的性质可求解∠C＝60°，利用三角形的内角和定理可求解∠ABC＝40°，再根据角平分线的定义可求解；
（2）由∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC可求解∠BAD＝50°，由角平分线的定义可求解∠ABO＝∠EBC＝20°，由三角形的内角和定理可求解．
【解答】解：（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴△ADC是直角三角形，
∵∠DAC＝30°，
∴∠C＝90°﹣∠DAC＝60°，
∵∠BAC＝80°，
∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝40°，
∵BE是△ABC的平分线，
∴∠EBC=12∠ABC＝20°；
（2）∵∠BAC＝80°，∠DAC＝30°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝50°，
由（1）可知∠EBC＝20°，
∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠ABO＝∠EBC＝20°，
在△AOB中，∠AOB＝180°﹣∠BAO﹣∠ABO＝110°．
【题型3 三角形内角和定理与平行线的性质综合】
【例3】（2022•高唐县二模）将一副直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起，其中∠B＝∠F＝90°，∠A＝45°，∠E＝60°，点C在边DF上，AC，BC分别交DE于点G，H．若BC∥EF，则∠AGD的度数为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
【分析】在△ABC中，利用三角形内角和定理可求出∠ACB（即∠HCG）的度数，由BC∥EF，利用“两直线平行，同位角相等”可得出∠GHC的度数，在△HCG中，利用三角形内角和定理可求出∠HGC的度数，再结合对顶角相等可得出∠AGD的度数．
【解答】解：∵∠B＝90°，∠A＝45°，
∴∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠A＝180°﹣90°﹣45°＝45°，即∠HCG＝45°．
∵BC∥EF，
∴∠GHC＝∠E＝60°，
∴∠HGC＝180°﹣∠GHC﹣∠HCG＝180°﹣60°﹣45°＝75°，
∴∠AGD＝∠HGC＝75°．
故选：D．
【变式3-1】（2022春•兴宁区校级期末）如图，在△ABG中，D为AG上一点，AB∥DC，点E是边AB上一点，连接ED，∠EBD＝∠EDB，DF平分∠EDG，若∠GDC＝72°，则∠BDF的度数为（ ）
A．50°B．40°C．45°D．36°
【分析】根据平行线的性质可得∠EBD＝∠BDC，根据角平分线的定义可得∠EDB＝∠BDC，设∠EDB＝∠BDC＝x°，表示出∠GDE，根据角平分线的性质可得∠EDF，再根据∠BDF＝∠EDF﹣∠BDE，求解即可．
【解答】解：∵AB∥DC，
∴∠EBD＝∠BDC，
∵∠EBD＝∠EDB，
∴∠EDB＝∠BDC，
设∠EDB＝∠BDC＝x°，
∵∠GDC＝72°，
∴∠GDE＝2x°+72°，
∵DF平分∠EDG，
∴∠EDF=12∠EDG＝x°+36°，
∴∠BDF＝∠EDF﹣∠BDE＝x°+36°﹣x°＝36°，
故选：D．
【变式3-2】（2022春•泌阳县期末）如图，在△ABC中，AO平分∠BAC，BO⊥AO，O为垂足，OD∥AC，若∠ABO＝40°，试求∠BOD的大小．（提示：延长AO交BC于点E）
【分析】延长AO交BC于点E，根据垂直的定义得到∠AOB＝∠BOE＝90°，根据三角形内角和得出∠BAO＝50°，根据角平分线的定义得到∠EAC＝50°，根据平行线的性质得到∠EOD＝50°，根据角的和差即可得解．
【解答】解：延长AO交BC于点E，
∵BO⊥AO，
∴∠AOB＝∠BOE＝90°，
∵∠ABO＝40°，
∴∠BAO＝180°﹣∠ABO﹣∠AOB＝50°，
∵AO平分∠BAC，
∴∠EAC＝∠BAO＝50°，
∵OD∥AC，
∴∠EOD＝∠EAC＝50°，
∴∠BOD＝∠BOE+∠EOD＝140°．
【变式3-3】（2022春•铜梁区校级期中）如图，AD是△ABE的角平分线，过点B作BC⊥AB交AD的延长线于点C，点F在AB上，连接EF交AD于点G．
（1）若2∠1+∠EAB＝180°，求证：EF∥BC；
（2）若∠C＝72°，∠AEB＝78°，求∠CBE的度数．
【分析】（1）先根据垂直等于得到∠ABC＝90°，则∠C+∠BAC＝90°，再证明2∠C+∠EAB＝180°，加上2∠1+∠EAB＝180°，则∠1＝∠C，然后根据平行线的判定方法得到结论；
（2）先根据三角形内角和定理可计算出计算出∠BAC＝18°，则∠EAD＝18°，根据三角形内角和定理得到∠EAD+∠AED＝∠C+∠CBE，即18°+78°＝72°+∠CBE，从而可求出∠CBE的度数．
【解答】（1）证明：∵BC⊥AB，
∴∠ABC＝90°，
∴∠C+∠BAC＝90°，
∵AD是△ABE的角平分线，
∴∠BAC=12∠EAB，
∴∠C+12∠EAB＝90°，
即2∠C+∠EAB＝180°，
∵2∠1+∠EAB＝180°，
∴∠1＝∠C，
∴EF∥BC；
（2）解：∵∠ABC＝90°，∠C＝72°，
∴∠BAC＝18°，
∴∠EAD＝∠BAC＝18°，
∵∠ADE＝∠BDC，
∴∠EAD+∠AED＝∠C+∠CBE，
即18°+78°＝72°+∠CBE，
∴∠CBE＝24°．
【题型4 三角形内角和定理与折叠性质综合】
【例4】（2022春•锦江区校级期中）如图甲所示三角形纸片ABC中，∠B＝∠C，将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到AB边上的E点处，折痕为BD（如图乙）．再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为EF（如图丙），则∠ABC的大小为 °．
【分析】设∠A＝x，根据翻折不变性可知∠A＝∠EDA＝x，∠C＝∠BED＝∠A+∠EDA＝2x，利用三角形内角和定理构建方程即可解决问题．
【解答】解：设∠A＝x，根据翻折不变性可知∠A＝∠EDA＝x，∠C＝∠DEB＝∠A+∠EDA＝2x，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝2x，
∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴5x＝180°，
∴x＝36°，
∴∠ABC＝72°．
故答案为：72．
【变式4-2】（2021春•丹阳市期中）如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD与BE交于点O，将△ABC沿MN折叠，使点C与点O重合，若∠AOB＝135°，则∠1+∠2 = °．
【分析】根据折叠的性质得到对应角相等，推出∠1+∠2＝2∠MON，根据垂直的定义得到∠ODN＝∠OEM＝90°，利用平角的定义得到∠BOD+∠DON+∠MON+∠EOM＝180°，即可求出结果．
【解答】解：由折叠性质可知，∠OMN＝∠CMN，∠ONM＝∠CNM，∠MON＝∠MCN，
∴∠1＝180°﹣2∠CMN，∠2＝180°﹣2∠CNM，
∴∠1+∠2＝2（180°﹣∠CMN﹣∠CNM）＝2∠MCN＝2∠MON，
∵∠AOB＝135°，
∴∠BOD＝45°，
∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠ODN＝∠OEM＝90°，
∴∠DON＝90°﹣∠2，∠EOM＝90°﹣∠1，
∵∠BOD+∠DON+∠MON+∠EOM＝180°，
即45°+90°﹣∠2+90°﹣∠1+12（∠1+∠2）＝180°，
∴12（∠1+∠2）＝45°，
∴∠1+∠2＝90°，
故答案为：90．
【变式4-3】（2022春•铁西区期末）有一张三角形纸片ABC，已知∠B＝30°，∠C＝50°，点D在边AB上，请在边BC上找一点E，将纸片沿直线DE折叠，点B落在点F处，若EF与三角形纸片ABC的边AC平行，则∠BED的度数为 ．
【分析】分两种情况：①当点F在AB的上方时，②当点F在BC的下方时，根据折叠性质、平行线的性质即可解决问题．
【解答】解：①当点F在AB的上方时，如图：
∵AC∥EF，∠C＝50°，
∴∠BEF＝∠C＝50°，
∴∠BED＝∠FED=12∠BEF=12×50°＝25°；
②当点F在BC的下方时，如图：
∵AC∥EF，∠C＝50°，
∴∠CEF＝∠C＝50°，
∵∠F＝∠B＝30°，
∴∠BGD＝50°+30°＝80°，
∴∠BDG＝180°﹣80°﹣30°＝70°，
∴∠BDE=12∠BDG=12×70°＝35°，∴∠BED=115°；
综上所述，∠BED的度数为25°或115°．
故答案为：25°或115°．
【变式4-4】（2022•巴彦县二模）在△ABC中，∠A＝110°，点D在△ABC内，将射线BA沿直线BD翻折，将射线CA沿直线CD翻折，两射线交于点E，若∠BEC＝150°，则∠BDC的度数为 ．
【分析】当点E在△ABC外时，根据四边形的内角和求出∠ABE+∠ACE，再由折叠性质求得∠ABD+∠ACD，由三角形内角和求得∠ABC+∠ACB，便可求得∠CBD+∠BCD，最后由三角形内角和求得∠BDC；当点E在△ABC内时，根据三角形内角和求出结果便可．
【解答】解：当点E在△ABC外时，如图，
∵∠A＝110°，∠BEC＝150°，
∴∠ABE+∠ACE＝360°﹣110°﹣150°＝100°，
由折叠性质知，∠ABD＝∠EBD=12∠ABE，∠ACD＝∠ECD=12∠ACE，
∴∠ABD+∠ACD=12×100°=50°，
∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝70°，
∴∠CBD+∠BCD＝70°﹣50°＝20°，
∴∠BDC＝180°﹣20°＝160°，
当点E在△ABC内时，如图，
∵∠A＝110°，∠BEC＝150°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣110°＝70°，
∠EBC+∠ECB＝180°﹣150°＝30°，
∴∠ABE+∠ACE＝＝70°﹣30°＝40°，
由折叠性质知，∠DBE=12∠ABE，∠DCE=12∠ACE，
∴∠DBE+∠DCE=12（∠ABE+∠ACE）＝20°，
∴∠DBC+∠DCB＝∠DBE+∠DCE+∠EBC+∠ECB＝50°，
∴∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）130°，
故答案为：160°或130°．
【题型5 三角形内角和定理与新定义问题综合】
【例5】（2021秋•山亭区期末）定义：当三角形中一个内角α是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“倍角三角形”，其中α称为“倍角”，如果一个“倍角三角形”的一个内角为99°，那么倍角α的度数是 ．
【分析】根据三角形内角和定理以及分类讨论的思想解决本题．
【解答】解：设这个“倍角”三角形的三个内角分别为α、β、γ，其中α＝2β，则可能出现以下几种情况：
①当α＝99°时，则β＝49.5°；
②当β＝99°时，则α＝198°，该种情况不存在；
③当γ＝99°时，则α+β+γ＝2β+β+99°＝180°，故β＝27°，α＝54°．
综上：α＝99°或54°．
故答案为：99°或54°．
【变式5-1】（2022春•大丰区校级月考）当三角形中一个内角â是另外一个内角á的12时，我们称此三角形为“友好三角形”，á为友好角．如果一个“友好三角形”中有一个内角为36°，那么这个“友好三角形”的“友好角á”的度数为 ．
【分析】利用“友好三角形”的定义讨论：当三角形的另一个内角为72°时，可确定“友好角á”的度数为72°；当三角形的另一个内角为18°时，可确定“友好角á”的度数为36°；当三角形的另两个内角为x，2x时，利用三角形内角和求出x＝48°，所以2x＝96°，从而得到“友好角á”的度数．
【解答】解：∵一个“友好三角形”中有一个内角为36°，
∴当三角形的另一个内角为72°时，这个“友好三角形”的“友好角á”的度数为72°；
当三角形的另一个内角为18°时，这个“友好三角形”的“友好角á”的度数为36°；
当三角形的另两个内角为x，2x时，则x+2x+36°＝180°，解得x＝48°，2x＝96°，这个“友好三角形”的“友好角á”的度数为96°；
综上所述，这个“友好三角形”的“友好角á”的度数为36°或72°或96°．
故答案为：36°或72°或96°．
【变式5-2】（2022春•安溪县期末）新定义：在△ABC中，若存在最大内角是最小内角度数的n倍（n为大于1的正整数），则称△ABC为“n倍角三角形”．例如，在△ABC中，若∠A＝90°，∠B＝60°，则∠C＝30°，因为∠A最大，∠C最小，且∠A＝3∠C，所以△ABC为“3倍角三角形”．
（1）在△DEF中，若∠E＝40°，∠F＝60°，则△DEF为“ 倍角三角形”．
（2）如图，在△ABC中，∠C＝36°，∠BAC、∠ABC的角平分线相交于点D，若△ABD为“6倍角三角形”，请求出∠ABD的度数．
【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠D，根据n倍角三角形的定义判断；
（2）根据角平分线的定义、三角形内角和定理求出∠ADB，n倍角三角形的定义分情况讨论计算，得到答案．
【解答】解：（1）在△DEF中，∠E＝40°，∠F＝60°，
则∠D＝180°﹣∠E﹣∠F＝80°，
∴∠D＝2∠E，
∴△DEF为“2倍角三角形”，
故答案为：2；
（2）∵∠C＝36°，
∴∠BAC+∠ABC＝180°﹣36°＝144°，
∵∠BAC、∠ABC的角平分线相交于点D，
∴∠DAB=12∠BAC，∠DBA=12∠ABC，
∴∠DAB+∠DBA=12×144°＝72°，
∴∠ADB＝180°﹣72°＝108°，
∵△ABD为“6倍角三角形”，
∴∠ADB＝6∠ABD或∠ADB＝6∠BAD，
当∠ADB＝6∠ABD时，∠ABD＝18°，
当∠ADB＝6∠BAD时，∠BAD＝18°，则∠ABD＝180°﹣108°﹣18°＝54°，
综上所述，∠ABD的度数为18°或54°．
【变式5-3】（2021秋•福田区校级期末）我们定义：
【概念理解】在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角度数的4倍，那么这样的三角形我们称之为“完美三角形”．如：三个内角分别为130°、40°、10°的三角形是“完美三角形”．
【简单应用】如图1，∠MON＝72°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（点C不与C、B重合点）
（1）∠ABO＝ °，△AOB （填“是”或“不是”）“完美三角形”；
（2）若∠ACB＝90°，求证：△AOC是“完美三角形”；
【应用拓展】
如图2，点D在△ABC的边AB上，连接DC，作∠ADC的平分线交AC于点E，在DC上取一点F，使∠EFC+∠BDC＝180°，∠DEF＝∠B，若△BCD是“完美三角形”，求∠B的度数．
【概念理解】在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角度数的4倍，那么这样的三角形我们称之为“完美三角形”．如：三个内角分别为130°、40°、10°的三角形是“完美三角形”．
【简单应用】如图1，∠MON＝72°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（点C不与C、B重合点）
（1）∠ABO＝ 18 °，△AOB 是 （填“是”或“不是”）“完美三角形”；
（2）若∠ACB＝90°，求证：△AOC是“完美三角形”；
【应用拓展】
如图2，点D在△ABC的边AB上，连接DC，作∠ADC的平分线交AC于点E，在DC上取一点F，使∠EFC+∠BDC＝180°，∠DEF＝∠B，若△BCD是“完美三角形”，求∠B的度数．
【分析】（1）根据垂直的定义、三角形内角和定理求出∠ABO的度数，根据“完美三角形”的概念判断；
（2）根据“完美三角形”的概念证明即可；
应用拓展：根据比较的性质得到∠EFC＝∠ADC，根据平行线的性质得到∠DEF＝∠ADE，推出DE∥BC，得到∠CDE＝∠BCD，根据角平分线的定义得到∠ADE＝∠CDE，求得∠B＝∠BCD，根据“完美三角形”的定义求解即可．
【解答】解：（1）∵AB⊥OM，
∴∠OAB＝90°，
∴∠ABO＝90°﹣∠MON＝90°﹣72°＝18°，
∵∠MON＝4∠ABO，
∴△AOB为“完美三角形”，
故答案为：18；是；
（2）证明：∵∠MON＝72°，∠ACB＝90°，
∠ACB＝∠OAC+∠MON，
∴∠OAC＝90°﹣72°＝18°，
∵∠AOB＝72°＝4×18°＝4∠OAC，
∴△AOC是“完美三角形”；
应用拓展：
∵∠EFC+∠BDC＝180°，∠ADC+∠BDC＝180°，
∴∠EFC＝∠ADC，
∴AD∥EF，
∴∠DEF＝∠ADE，
∵∠DEF＝∠B，
∴∠B＝∠ADE，
∴DE∥BC，
∴∠CDE＝∠BCD，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE，
∴∠B＝∠BCD，
∵△BCD是“完美三角形”，
∴∠BDC＝4∠B，或∠B＝4∠BDC，
∵∠BDC+∠BCD+∠B＝180°，
∴∠B＝30°或∠B＝80°．
【题型6 运用三角形内角和定理探究角的数量关系】
【例6】（2021秋•青田县期末）如图，直线l∥线段BC，点A是直线l上一动点．在△ABC中，AD是△ABC的高线，AE是∠BAC的角平分线．
（1）如图1，若∠ABC＝65°，∠BAC＝80°，求∠DAE的度数；
（2）当点A在直线l上运动时，探究∠BAD，∠DAE，∠BAE之间的数量关系，并画出对应图形进行说明．
【分析】（1）根据角平分线的定义得∠BAE=12∠BAC＝40°．而∠BAD＝90°﹣∠ABD＝25°，利用角的和差关系可得答案；
（2）根据高在形内和形外进行分类，再根据AB，AC，AD为位置进行讨论．
【解答】解：（1）∵AE是∠BAC的角平分线，
∴∠BAE=12∠BAC＝40°．
∵AD是△ABC的高线，
∴∠BDA＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝25°，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝40°﹣25°＝15°；
（2）如图1，∠BAD+∠BAE＝∠DAE；
如图2，∠BAD+∠DAE＝∠BAE；
如图3，∠BAE+∠DAE＝∠BAD；
如图4，∠BAE+∠DAE＝∠BAD．
【变式6-1】（2022春•顺德区期中）如图，在△ABC中，BO，CO是△ABC的内角平分线且BO，CO相交于点O．
（1）若∠ACB＝80°，∠ABC＝40°，求∠BOC的度数；
（2）若∠A＝60°，求∠BOC的度数；
（3）请你直接写出∠A与∠BOC满足的数量关系式，不需要说明理由．
【分析】（1）由角平分线的定义可得∠CBO＝40°，∠BCO＝20°，由三角形的内角和定理即可求解；
（2）由三角形的内角和定理可得∠ABC+∠ACB＝120°，再由角平分线的定义得∠CBO=12∠ABC，∠BCO=12∠ACB，从而可求得∠CBO+∠BCO＝60°，即可求∠BOC的度数；
（3）仿照（2）的过程进行求解即可．
【解答】解：（1）∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∠ACB＝80°，∠ABC＝40°，
∴∠CBO=12∠ABC＝20°，∠BCO=12∠ACB＝40°，
∴∠BOC＝180°﹣∠CBO﹣∠BCO＝120°；
（2）∵∠A＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝120°，
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠CBO=12∠ABC，∠BCO=12∠ACB，
∴∠CBO+∠BCO=12（∠ABC+∠ACB）＝60°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠CBO+∠BCO）＝120°；
（3）由题意得：∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠CBO=12∠ABC，∠BCO=12∠ACB，
∴∠CBO+∠BCO=12（∠ABC+∠ACB）＝90°−12∠A，
∴∠BOC＝180°﹣（∠CBO+∠BCO）＝90°+12∠A，
即∠BOC＝90°+12∠A．
【变式6-2】（2022春•海门市期末）已知：△ABC，点D，E分别在边AC，AB上，连接BD，CE，BD与CE交于点O，∠BOC﹣∠BAC＝54°．
（1）如图1，当BD，CE都是△ABC的角平分线时，求∠BOC的度数；
（2）如图2，当BD，CE都是△ABC的高时，求∠BOC的度数；
（3）如图3，当∠ABD＝2∠ACE时，探究∠BEO与∠CDO的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）根据角平分线的定义以及三角形内角和定理进行计算即可；
（2）根据高的定义，三角形内角和定理以及图形中角之间的和差关系进行计算即可；
（3）利用三角形内角和定理，四边形的内角和以及角之间的和差关系进行计算即可．
【解答】解：（1）∵BD，CE都是△ABC的角平分线，
∴∠DBC＝∠ABD=12∠ABC，∠ECB＝∠ACE=12∠ACB，
∴∠DBC+∠ECB=12（∠ABC+∠ACB）
=12（180°﹣∠BAC）
＝90°−12∠BAC，
∴∠BOC＝180°﹣（∠DBC+∠ECB）
＝180°﹣（90°−12∠BAC）
＝90°+12∠BAC，
又∵∠BOC﹣∠BAC＝54°，即90°+12∠BAC﹣∠BAC＝54°，
∴∠BAC＝72°，
∴∠BOC＝90°+12∠BAC
＝90°+36°
＝126°；
（2）∵BD，CE都是△ABC的高，
∴∠ADB＝∠AEC＝90°，
∵∠A+∠ADB+∠DOE+∠AEC＝360°，
∴∠A+90°+∠DOE+90°＝360°，
∴∠A＝180°﹣∠DOE，
∵∠DOE＝∠BOC，
∴∠A＝180°﹣∠BOC，
∵∠BOC﹣∠A＝54°，
∴∠BOC﹣（180°﹣∠BOC）＝54°，
∴∠BOC＝117°．
（3）∠ODC﹣∠BEO＝18°，理由如下：
∵∠BEO＝∠A+∠ACE，
∴∠BOC＝∠BEO+∠ABD＝∠A+∠ACE+∠ABD，
∴∠BOC﹣∠A＝∠ACE+∠ABD．
∵∠BOC﹣∠A＝54°，
∴∠ABD＝2∠ACE，
∴54°＝∠ACE+2∠ACE，
∴∠ACE＝18°，
∴∠ABD＝2×18°＝36°，
∵∠BOC＝∠ODC+∠DCO＝∠BEO+∠ABD，
∴∠BEO+36°＝∠ODC+18°，
∴∠ODC﹣∠BEO＝18°．
【变式6-3】（2022春•辉县市期末）小明在学习中遇到这样一个问题：
如图1，在△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC，AD⊥BC于D．
猜想∠B、∠C、∠EAD的数量关系．
（1）小明阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路，于是尝试代入∠B、∠C的值求∠EAD值，得到下面几组对应值：
上表中a＝ ，于是得到∠B、∠C、∠EAD的数量关系为 ．
（2）小明继续探究，在线段AE上任取一点P，过点P作PD⊥BC于点D，请尝试写出∠B、∠C、∠EPD之间的数量关系，并说明理由．
（3）小明突发奇想，交换B、C两个字母位置，如图2，过EA的延长线是一点F作FD⊥BC交CB的延长线于D，当∠ABC＝80°，∠C＝24°时，∠F度数为 °．
【分析】（1）求出∠BAE和∠BAD的大小即可得到∠EAD的值，再通过找规律的形式得出三者的关系，
（2）分别用∠B和∠C表示出∠BAE和∠BAD，再由∠EAD＝∠BAE和﹣BAD即可得出答案，
（3）分析同（2）．
【解答】解：（1）∵∠B＝30°，∠C＝70°，
∴Rt△ABD中，∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠BDA＝180°﹣30°﹣90°＝60°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=12∠BAC=12（180°﹣∠B﹣∠C）=12（180°﹣30°﹣70°）＝40°，
∴∠EAD＝∠BAD﹣∠BAE＝60°﹣40°＝20°，
∴a＝20，
故答案为：20；2∠EAD＝∠C﹣∠B．
（2）如图，过点A作AF⊥BC于F，
∵PD⊥BC，AF⊥BC，
∴PD∥AF，
∴∠EPD＝∠EAF，
∵△ABC内角和为180°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=12∠BAC＝90°−∠B+∠C2，
同时∠BAF＝90°﹣∠B，
∴可得出∠EAF＝∠BAF﹣∠BAE=∠C−∠B2=∠EPD，
综上所述，∠EPD=∠C−∠B2；
（3）同理（2），依旧可得∠EFD=∠C−∠B2=28°，
故答案为：28．
【知识点2 直角三角形的判定】
直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形．
【题型7 判断直角三角形】
【例7】（2021春•历下区期中）在下列条件：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝5：3：2，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝2∠B＝3∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据直角三角形的判定对各个条件进行分析，即可得到答案．
【解答】解：①∵∠A+∠B＝∠C，
∴2∠C＝180°，
∴∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
②∵∠A：∠B：∠C＝5：3：2，
设∠A＝5x，则∠B＝3x，∠C＝2x，
∴5x+2x+3x＝180°，
解得：x＝18°，
∴∠A＝18°×5＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
③∵∠A＝90°﹣∠B，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠C＝180°﹣90°＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
④∵3∠C＝2∠B＝∠A，
∴∠A+∠B+∠C=12∠A+13∠A+∠A＝180°，
∴∠A＝（108011）°，
∴△ABC为钝角三角形．
∴能确定△ABC是直角三角形的有①②③共3个，
故选：C．
【变式7-1】（2022秋•旌阳区校级月考）在下列条件中（1）∠A+∠B＝∠C；（2）∠A：∠B：∠C＝1：2：3；（3）∠A＝∠B=12∠C；（4）∠A=12∠B=13∠C中，能确定△ABC为直角三角形的条件有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】（1）根据三角形内角和定理列式计算，根据直角三角形的概念判定即可．
【解答】解：（1）∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2∠C＝180°，
解得：∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
（2）设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝3x，
由三角形内角和定理得：x+2x+3x＝180°，
解得：x＝30°，
∴∠C＝30°×3＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
（3）∵∠A＝∠B=12∠C，∠A+∠B+∠C＝180°
∴12∠C+12∠C+∠C＝180°，
解得：∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
（4）∵∠A=12∠B=13∠C，
∴∠C＝3∠A，∠B＝2∠A，
∴∠A+∠B+∠C＝3∠A+2∠A+∠A＝180°，
解得：∠A＝30°，
∴∠C＝3∠A＝90°，
∴△ABC为直角三角形．
所以能确定△ABC是直角三角形的有共4个，
故选：D．
【变式7-2】（2021秋•谢家集区期中）如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝62°，AE平分∠BAC．
（1）求∠BAE；
（2）若AD⊥BC于点D，∠ADF＝74°，证明：△ADF是直角三角形．
【分析】（1）在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝62°，根据三角形内角和定理，可求得∠BAC的度数，由AE平分∠BAC，根据角平分线的定义，可求得∠BAE的度数；
（2）由AD⊥BC，根据直角三角形的性质，可求得∠BAD的度数，继而求得∠DAE的度数，则可求得∠ADF的度数．
【解答】（1）解：∵∠B＝30°，∠C＝62°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣30°﹣62°＝88°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=12∠BAC=12×88°＝44°；
（2）证明：∵AD⊥BC；
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣30°＝60°，
∴∠EAD＝∠BAD﹣∠BAE＝60°﹣44°＝16°，
∵∠ADF＝74°，
∴∠ADF+∠EAD＝74°+16°＝90°，
∴∠AFD＝90°，
∴△ADF是直角三角形．
【变式7-3】（2022春•崇川区期末）定义：如果三角形的两个内角α与β满足α+2β＝100°，那么我们称这样的三角形为“奇妙三角形”．
（1）如图1，△ABC中，∠ACB＝80°，BD平分∠ABC．
求证：△ABD为“奇妙三角形”
（2）若△ABC为“奇妙三角形”，且∠C＝80°．求证：△ABC是直角三角形；
（3）如图2，△ABC中，BD平分∠ABC，若△ABD为“奇妙三角形”，且∠A＝40°，直接写出∠C的度数．
【分析】（1）根据“奇妙三角形”的定义，在△ABD中，∠A+2∠ABD＝100°，即证明△ABD为“奇妙三角形”．
（2）由三角形的内角和知，A+∠B＝100°，由△ABC为“奇妙三角形”得出∠C+2∠B＝100°或∠C+2∠A＝100°两种情况，计算得∠B＝90°或∠A＝90°，从而证明△ABC是直角三角形．
（3）由三角形的内角和知，∠ADB+∠ABD＝140，由△ABC为“奇妙三角形得出∠A+2∠ABD＝100°或2∠A+∠ABD＝100°两种情况，求得∠C＝80°或100°．
【解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠ABD．
在△ABC中，∵∠ACB＝80°，
∴∠A+∠ABC＝180°﹣∠ACB＝180°﹣80°＝100°，
即∠A+2∠ABD＝100°，
∴△ABD为“奇妙三角形”．
（2）证明：在△ABC中，∵∠C＝80°，∴∠A+∠B＝100°，
∵△ABC为“奇妙三角形”，∴∠C+2∠B＝100°或∠C+2∠A＝100°，
∴∠B＝10°或∠A＝10°，
当∠B＝10°时，∠A＝90°，△ABC是直角三角形．
当∠A＝10°时，∠B＝90°，△ABC是直角三角形．
由此证得，△ABC是直角三角形．
（3）解：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠ABD，
∵△ABD为“奇妙三角形”，
∴∠A+2∠ABD＝100°或2∠A+∠ABD＝100°，
①当∠A+2∠ABD＝100°时，∠ABD＝（100°﹣40°）÷2＝30°，
∴∠ABC＝2∠ABD＝60°，
∴∠C＝80°；
②当2∠A+∠ABD＝100°时，∠ABD＝100°﹣2∠A＝20°，
∴∠ABC＝2∠ABD＝40°，
∴∠C＝100°；
综上得出：∠C的度数为80°或100°．
【知识点3 直角三角形的性质】
直角三角形的性质：直角三角形两个内角互余．
【题型8 运用直角三角形两锐角互余的性质倒角】
【例8】（2022秋•宁晋县期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC≠AB，AD是斜边BC上的高，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，则图中与∠C（∠C除外）相等的角的个数是（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【分析】由“直角三角形的两锐角互余”，结合题目条件，得∠C＝∠BDF＝∠BAD＝∠ADE．
【解答】解：如图，∵AD是斜边BC上的高，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴∠C+∠B＝90°，∠BDF+∠B＝90°，∠BAD+∠B＝90°，
∴∠C＝∠BDF＝∠BAD，
∵∠DAC+∠C＝90°，∠DAC+∠ADE＝90°，
∴∠C＝∠ADE，
∴图中与∠C（除之C外）相等的角的个数是3，
故选：A．
【变式8-1】（2022•碑林区校级模拟）如图，已知Rt△ABC和Rt△DEF，∠BAC＝∠EDF＝90°，点F、A、D、C共线，AB、EF相交于点M，且EF⊥BC，则图中与∠E相等的角有（ ）个．
A．5B．4C．3D．2
【分析】利用平行线的性质与判定可得∠E＝∠BME＝∠AMF，根据同角的余角相等可得∠E＝∠C，即可求解．
【解答】解：∵∠BAC＝∠EDF＝90°，
∴∠BAC+∠EDF＝180°，
∴AB∥DE，∠E+∠F＝90°，
∴∠E＝∠BME＝∠AMF，
∵EF⊥BC，
∴∠C+∠F＝90°，
∴∠E＝∠C，
故与∠E相等的角有3个，
故选：C．
【变式8-2】（2022春•邓州市期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC，AD、BE相交于点F．
（1）若∠CAD＝36°，求∠AEF的度数；
（2）试说明：∠AEF＝∠AFE．
【分析】（1）根据同角的余角相等得到∠ABD＝∠CAD＝36°，根据角平分线的性质求出∠ABE，根据直角三角形的性质计算即可；
（2）根据角平分线的性质、直角三角形的性质证明结论．
【解答】（1）解：∵AD⊥BC，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAD＝90°，
∴∠ABD＝∠CAD＝36°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=12∠ABC＝18°，
∴∠AEF＝90°﹣∠ABE＝72°；
（2）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵∠ABE+∠AEF＝90°，∠CBE+∠BFD＝90°，
∴∠AEF＝∠BFD，
∵∠AFE＝∠BFD，
∴∠AEF＝∠AFE．
【变式8-3】（2022春•米东区期末）如图1，∠BAC＝∠ACD＝90°，∠ABC＝∠ADC，CE⊥AD，且BE平分∠ABC．
（1）求证：∠ACE＝∠ABC；
（2）求证：∠ECD+∠EBC＝∠BEC；
（3）求证：∠CEF＝∠CFE．
【分析】（1）根据条件易求∠ACE＝∠D，进而可证明结论；
（2）通过判定AD∥BC可得∠BEC+∠EBC＝90°，根据直角三角形的性质结合角平分线的定义可得2∠EBC+∠ECD＝90°，进而可证明结论；
（3）由对顶角的定义结合角平分线的定义可证明结论．
【解答】证明：（1）∵CE⊥AD，∠ACD＝90°，
∵∠ACE+∠ECD＝∠D+∠ECD＝90°，
∴∠ACE＝∠D．
∵∠D＝∠ABC，
∴∠ACE＝∠ABC；
（2）∵∠BAC＝∠ACD＝90°，∠ABC＝∠ADC，
∴∠ACB＝∠DAC，
∴AD∥BC，
∵CE⊥AD，
∴CE⊥BC，
∴∠BEC+∠EBC＝90°，
∵∠D+∠ECD＝90°，∠D＝∠ABC，
∴∠ABC+∠ECD＝90°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠EBC
∴2∠EBC+∠ECD＝90°，
∴2∠EBC+∠ECD＝∠BEC+∠EBC，
即∠EBC+∠ECD＝∠BEC；
（3）∵∠ABF+∠AFB＝90°，∠AFB＝∠CFE，
∴∠ABF+∠CFE＝90°，
∵∠CBE+∠CEF＝90°，∠ABF＝∠CAE，
∴∠CEF＝CFE．∠B/度
10
30
30
20
20
∠C/度
70
70
60
60
80
∠EAD/度
30
a
15
20
30
TOC \ "1-3" \t "正文,1" \h
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc7550" 【题型1 运用三角形内角和定理直接求角的度数】 PAGEREF _Tc7550 \h 1
\l "_Tc2836" 【题型2 三角形内角和定理与角平分线、高线综合】 PAGEREF _Tc2836 \h 3
\l "_Tc26832" 【题型3 三角形内角和定理与平行线的性质综合】 PAGEREF _Tc26832 \h 7
\l "_Tc12177" 【题型4 三角形内角和定理与折叠性质综合】 PAGEREF _Tc12177 \h 10
\l "_Tc286" 【题型5 三角形内角和定理与新定义问题综合】 PAGEREF _Tc286 \h 14
\l "_Tc2555" 【题型6 运用三角形内角和定理探究角的数量关系】 PAGEREF _Tc2555 \h 18
\l "_Tc27146" 【题型7 判断直角三角形】 PAGEREF _Tc27146 \h 24
\l "_Tc16473" 【题型8 运用直角三角形两锐角互余的性质倒角】 PAGEREF _Tc16473 \h 28
【知识点1 三角形的内角及内角和定理】
三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且
小于180°．三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
【题型1 运用三角形内角和定理直接求角的度数】
【例1】（2021秋•涡阳县期末）在△ABC中，已知∠B＝∠A+10°，∠C＝∠B+25°，求∠A的度数．
【分析】将第一个等式代入第二等式用∠A表示出∠C，再根据三角形的内角和等于180°列方程求出∠A，然后求解即可．
【解答】解：∵∠B＝∠A+10°，∠C＝∠B+25°，
∴∠C＝∠A+10°+25°＝∠A+35°，
由三角形内角和定理得，∠A+∠B+∠C＝180°，
所以，∠A+∠A+10°+∠A+35°＝180°，
解得∠A＝45°．
【变式1-1】（2022春•武侯区校级期中）如图，点E、D分别在AB、AC上．若∠B＝30°，∠C＝50°，则∠1+∠2＝ °．
【分析】根据三角形的内角和定理列式整理可得∠1+∠2＝∠B+∠C，从而可求解．
【解答】解：∵∠1+∠2+∠A＝180°，∠B+∠C+∠A＝180°，
∴∠1+∠2＝∠B+∠C，
∵∠B＝30°，∠C＝50°，
∴∠1+∠2＝∠B+∠C＝30°+50°＝80°．
故答案为：80°．
【变式1-2】（2022•哈尔滨）在△ABC中，AD为边BC上的高，∠ABC＝30°，∠CAD＝20°，则∠BAC是 度．
【分析】分两种情况：△ABC为锐角三角形或钝角三角形，然后利用三角形内角和定理即可作答．
【解答】解：当△ABC为锐角三角形时，如图，
∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝180°﹣30°﹣90°＝60°，
∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝60°+20°＝80°；
当△ABC为钝角三角形时，如图，
∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝180°﹣30°﹣90°＝60°，
∠BAC＝∠BAD﹣∠CAD＝60°﹣20°＝40°．
综上所述，∠BAC＝80°或40°．
故答案为：80或40．
【变式1-3】（2022•南京模拟）已知BD、CE是△ABC的高，直线BD、CE相交所成的角中有一个角为45°，则∠BAC等于 ．
【分析】根据三角形的内角和定理．分∠BAC与这个45°的角在一个四边形内，及∠BAC与这个45°的角不在一个四边形内两种情况讨论．
【解答】解：若∠BAC与这个45°的角在一个四边形BCDE内，
因为BD、CE是△ABC的高，设BD的延长线交CE的延长线于O．
∴∠AEC＝∠ADB＝90°，
∵∠O＝45°，
∴∠DAE＝180°﹣45°＝135°
∴∠BAC＝∠DAE＝135°；
若∠BAC与这个45°的角不在一个四边形BCDE内，
因为BD、CE是△ABC的高，
如图：∠BAC＝180°﹣（180°﹣45°）＝45°，
所以∠BAC等于45度．
若∠ACB是钝角，∠A是锐角，
易知∠ABD＝40°，∠A＝45°
综上所述，∠A的值为45°或135°．
故答案为：45°或135°．
【题型2 三角形内角和定理与角平分线、高线综合】
【例2】（2022春•西湖区校级月考）如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，AD平分∠BAC，CE⊥AB于点E，则∠ADB的度数为（ ）
A．100°B．90°C．80°D．50°
【分析】根据三角形内角和定理以及角平分线的定义求出∠B与∠BAD的度数即可求解．
【解答】解：∵CE⊥AB，
∴∠BEC＝90°，
∵∠BCE＝40°，
∴∠B＝50°，
∵∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，
∴∠BAD=12∠BAC＝30°，
∴∠ADB＝180°﹣∠B﹣∠BAD
＝180°﹣50°﹣30°
＝100°．
故选：A．
【变式2-1】（2021秋•靖西市期末）△ABC中，∠C＝50°，∠B＝30°，AE平分∠BAC，点F为AE上一点，FD⊥BC于点D，则∠EFD的度数为（ ）
A．5B．10C．12D．20
【分析】根据三角形的内角和为180°即可得出结论．
【解答】解：∵∠C＝50°，∠B＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣∠C﹣∠A＝180°﹣50°﹣30°＝100°，
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠BAE＝50°，
∴∠FED＝50°+30°＝80°，
又∵DF⊥BC，
∴∠FED+∠EFD＝90°，
∴∠EFD＝90°﹣80°＝10°，
故选：B．
【变式2-2】（2022春•鼓楼区校级期末）如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线．
（1）若∠B＝32°，∠C＝60°，求∠DAE的度数；
（2）若∠C﹣∠B＝18°，求∠DAE的度数．
【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据角平分线的定义求出∠EAC，根据垂直求出∠ADC＝90°，根据直角三角形两锐角互余求出∠DAC，再求出答案即可；
（2）求出∠C＝18°+∠B，根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据角平分线的定义求出∠EAC，根据垂直求出∠ADC＝90°，根据直角三角形两锐角互余求出∠DAC，再求出答案即可．
【解答】解：（1）∵∠B＝32°，∠C＝60°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝88°，
∵AE是角平分线，
∴∠EAC=12∠BAC＝44°，
∵AD是高，
∴∠AC＝90°，
∵∠C＝60°，
∴∠DAC＝90°﹣∠C＝30°，
∴∠DAE＝∠EAC﹣∠DAC＝44°﹣30°＝14°；
（2）∵∠C﹣∠B＝18°，
∴∠C＝18°+∠B，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣∠B﹣（18°+∠B）＝162°﹣2∠B，
∵AE是角平分线，
∴∠EAC=12∠BAC＝81°﹣∠B，
∵AD是高，
∴∠AC＝90°，
∵∠C＝18°+∠B，
∴∠DAC＝90°﹣∠C＝90°﹣（18°+∠B）＝72°﹣∠B，
∴∠DAE＝∠EAC﹣∠DAC＝（81°﹣∠B）﹣（72°﹣∠B）＝9°．
【变式2-3】（2022春•锡山区期中）已知：如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，BE是∠ABC的平分线，若∠DAC＝30°，∠BAC＝80°．
（1）求∠EBC的度数；
（2）求∠AOB的度数．
【分析】（1）由直角三角形的性质可求解∠C＝60°，利用三角形的内角和定理可求解∠ABC＝40°，再根据角平分线的定义可求解；
（2）由∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC可求解∠BAD＝50°，由角平分线的定义可求解∠ABO＝∠EBC＝20°，由三角形的内角和定理可求解．
【解答】解：（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴△ADC是直角三角形，
∵∠DAC＝30°，
∴∠C＝90°﹣∠DAC＝60°，
∵∠BAC＝80°，
∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝40°，
∵BE是△ABC的平分线，
∴∠EBC=12∠ABC＝20°；
（2）∵∠BAC＝80°，∠DAC＝30°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝50°，
由（1）可知∠EBC＝20°，
∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠ABO＝∠EBC＝20°，
在△AOB中，∠AOB＝180°﹣∠BAO﹣∠ABO＝110°．
【题型3 三角形内角和定理与平行线的性质综合】
【例3】（2022•高唐县二模）将一副直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起，其中∠B＝∠F＝90°，∠A＝45°，∠E＝60°，点C在边DF上，AC，BC分别交DE于点G，H．若BC∥EF，则∠AGD的度数为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
【分析】在△ABC中，利用三角形内角和定理可求出∠ACB（即∠HCG）的度数，由BC∥EF，利用“两直线平行，同位角相等”可得出∠GHC的度数，在△HCG中，利用三角形内角和定理可求出∠HGC的度数，再结合对顶角相等可得出∠AGD的度数．
【解答】解：∵∠B＝90°，∠A＝45°，
∴∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠A＝180°﹣90°﹣45°＝45°，即∠HCG＝45°．
∵BC∥EF，
∴∠GHC＝∠E＝60°，
∴∠HGC＝180°﹣∠GHC﹣∠HCG＝180°﹣60°﹣45°＝75°，
∴∠AGD＝∠HGC＝75°．
故选：D．
【变式3-1】（2022春•兴宁区校级期末）如图，在△ABG中，D为AG上一点，AB∥DC，点E是边AB上一点，连接ED，∠EBD＝∠EDB，DF平分∠EDG，若∠GDC＝72°，则∠BDF的度数为（ ）
A．50°B．40°C．45°D．36°
【分析】根据平行线的性质可得∠EBD＝∠BDC，根据角平分线的定义可得∠EDB＝∠BDC，设∠EDB＝∠BDC＝x°，表示出∠GDE，根据角平分线的性质可得∠EDF，再根据∠BDF＝∠EDF﹣∠BDE，求解即可．
【解答】解：∵AB∥DC，
∴∠EBD＝∠BDC，
∵∠EBD＝∠EDB，
∴∠EDB＝∠BDC，
设∠EDB＝∠BDC＝x°，
∵∠GDC＝72°，
∴∠GDE＝2x°+72°，
∵DF平分∠EDG，
∴∠EDF=12∠EDG＝x°+36°，
∴∠BDF＝∠EDF﹣∠BDE＝x°+36°﹣x°＝36°，
故选：D．
【变式3-2】（2022春•泌阳县期末）如图，在△ABC中，AO平分∠BAC，BO⊥AO，O为垂足，OD∥AC，若∠ABO＝40°，试求∠BOD的大小．（提示：延长AO交BC于点E）
【分析】延长AO交BC于点E，根据垂直的定义得到∠AOB＝∠BOE＝90°，根据三角形内角和得出∠BAO＝50°，根据角平分线的定义得到∠EAC＝50°，根据平行线的性质得到∠EOD＝50°，根据角的和差即可得解．
【解答】解：延长AO交BC于点E，
∵BO⊥AO，
∴∠AOB＝∠BOE＝90°，
∵∠ABO＝40°，
∴∠BAO＝180°﹣∠ABO﹣∠AOB＝50°，
∵AO平分∠BAC，
∴∠EAC＝∠BAO＝50°，
∵OD∥AC，
∴∠EOD＝∠EAC＝50°，
∴∠BOD＝∠BOE+∠EOD＝140°．
【变式3-3】（2022春•铜梁区校级期中）如图，AD是△ABE的角平分线，过点B作BC⊥AB交AD的延长线于点C，点F在AB上，连接EF交AD于点G．
（1）若2∠1+∠EAB＝180°，求证：EF∥BC；
（2）若∠C＝72°，∠AEB＝78°，求∠CBE的度数．
【分析】（1）先根据垂直等于得到∠ABC＝90°，则∠C+∠BAC＝90°，再证明2∠C+∠EAB＝180°，加上2∠1+∠EAB＝180°，则∠1＝∠C，然后根据平行线的判定方法得到结论；
（2）先根据三角形内角和定理可计算出计算出∠BAC＝18°，则∠EAD＝18°，根据三角形内角和定理得到∠EAD+∠AED＝∠C+∠CBE，即18°+78°＝72°+∠CBE，从而可求出∠CBE的度数．
【解答】（1）证明：∵BC⊥AB，
∴∠ABC＝90°，
∴∠C+∠BAC＝90°，
∵AD是△ABE的角平分线，
∴∠BAC=12∠EAB，
∴∠C+12∠EAB＝90°，
即2∠C+∠EAB＝180°，
∵2∠1+∠EAB＝180°，
∴∠1＝∠C，
∴EF∥BC；
（2）解：∵∠ABC＝90°，∠C＝72°，
∴∠BAC＝18°，
∴∠EAD＝∠BAC＝18°，
∵∠ADE＝∠BDC，
∴∠EAD+∠AED＝∠C+∠CBE，
即18°+78°＝72°+∠CBE，
∴∠CBE＝24°．
【题型4 三角形内角和定理与折叠性质综合】
【例4】（2022春•锦江区校级期中）如图甲所示三角形纸片ABC中，∠B＝∠C，将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到AB边上的E点处，折痕为BD（如图乙）．再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为EF（如图丙），则∠ABC的大小为 °．
【分析】设∠A＝x，根据翻折不变性可知∠A＝∠EDA＝x，∠C＝∠BED＝∠A+∠EDA＝2x，利用三角形内角和定理构建方程即可解决问题．
【解答】解：设∠A＝x，根据翻折不变性可知∠A＝∠EDA＝x，∠C＝∠DEB＝∠A+∠EDA＝2x，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝2x，
∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴5x＝180°，
∴x＝36°，
∴∠ABC＝72°．
故答案为：72．
【变式4-2】（2021春•丹阳市期中）如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD与BE交于点O，将△ABC沿MN折叠，使点C与点O重合，若∠AOB＝135°，则∠1+∠2 = °．
【分析】根据折叠的性质得到对应角相等，推出∠1+∠2＝2∠MON，根据垂直的定义得到∠ODN＝∠OEM＝90°，利用平角的定义得到∠BOD+∠DON+∠MON+∠EOM＝180°，即可求出结果．
【解答】解：由折叠性质可知，∠OMN＝∠CMN，∠ONM＝∠CNM，∠MON＝∠MCN，
∴∠1＝180°﹣2∠CMN，∠2＝180°﹣2∠CNM，
∴∠1+∠2＝2（180°﹣∠CMN﹣∠CNM）＝2∠MCN＝2∠MON，
∵∠AOB＝135°，
∴∠BOD＝45°，
∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠ODN＝∠OEM＝90°，
∴∠DON＝90°﹣∠2，∠EOM＝90°﹣∠1，
∵∠BOD+∠DON+∠MON+∠EOM＝180°，
即45°+90°﹣∠2+90°﹣∠1+12（∠1+∠2）＝180°，
∴12（∠1+∠2）＝45°，
∴∠1+∠2＝90°，
故答案为：90．
【变式4-3】（2022春•铁西区期末）有一张三角形纸片ABC，已知∠B＝30°，∠C＝50°，点D在边AB上，请在边BC上找一点E，将纸片沿直线DE折叠，点B落在点F处，若EF与三角形纸片ABC的边AC平行，则∠BED的度数为 ．
【分析】分两种情况：①当点F在AB的上方时，②当点F在BC的下方时，根据折叠性质、平行线的性质即可解决问题．
【解答】解：①当点F在AB的上方时，如图：
∵AC∥EF，∠C＝50°，
∴∠BEF＝∠C＝50°，
∴∠BED＝∠FED=12∠BEF=12×50°＝25°；
②当点F在BC的下方时，如图：
∵AC∥EF，∠C＝50°，
∴∠CEF＝∠C＝50°，
∵∠F＝∠B＝30°，
∴∠BGD＝50°+30°＝80°，
∴∠BDG＝180°﹣80°﹣30°＝70°，
∴∠BDE=12∠BDG=12×70°＝35°，∴∠BED=115°；
综上所述，∠BED的度数为25°或115°．
故答案为：25°或115°．
【变式4-4】（2022•巴彦县二模）在△ABC中，∠A＝110°，点D在△ABC内，将射线BA沿直线BD翻折，将射线CA沿直线CD翻折，两射线交于点E，若∠BEC＝150°，则∠BDC的度数为 ．
【分析】当点E在△ABC外时，根据四边形的内角和求出∠ABE+∠ACE，再由折叠性质求得∠ABD+∠ACD，由三角形内角和求得∠ABC+∠ACB，便可求得∠CBD+∠BCD，最后由三角形内角和求得∠BDC；当点E在△ABC内时，根据三角形内角和求出结果便可．
【解答】解：当点E在△ABC外时，如图，
∵∠A＝110°，∠BEC＝150°，
∴∠ABE+∠ACE＝360°﹣110°﹣150°＝100°，
由折叠性质知，∠ABD＝∠EBD=12∠ABE，∠ACD＝∠ECD=12∠ACE，
∴∠ABD+∠ACD=12×100°=50°，
∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝70°，
∴∠CBD+∠BCD＝70°﹣50°＝20°，
∴∠BDC＝180°﹣20°＝160°，
当点E在△ABC内时，如图，
∵∠A＝110°，∠BEC＝150°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣110°＝70°，
∠EBC+∠ECB＝180°﹣150°＝30°，
∴∠ABE+∠ACE＝＝70°﹣30°＝40°，
由折叠性质知，∠DBE=12∠ABE，∠DCE=12∠ACE，
∴∠DBE+∠DCE=12（∠ABE+∠ACE）＝20°，
∴∠DBC+∠DCB＝∠DBE+∠DCE+∠EBC+∠ECB＝50°，
∴∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）130°，
故答案为：160°或130°．
【题型5 三角形内角和定理与新定义问题综合】
【例5】（2021秋•山亭区期末）定义：当三角形中一个内角α是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“倍角三角形”，其中α称为“倍角”，如果一个“倍角三角形”的一个内角为99°，那么倍角α的度数是 ．
【分析】根据三角形内角和定理以及分类讨论的思想解决本题．
【解答】解：设这个“倍角”三角形的三个内角分别为α、β、γ，其中α＝2β，则可能出现以下几种情况：
①当α＝99°时，则β＝49.5°；
②当β＝99°时，则α＝198°，该种情况不存在；
③当γ＝99°时，则α+β+γ＝2β+β+99°＝180°，故β＝27°，α＝54°．
综上：α＝99°或54°．
故答案为：99°或54°．
【变式5-1】（2022春•大丰区校级月考）当三角形中一个内角â是另外一个内角á的12时，我们称此三角形为“友好三角形”，á为友好角．如果一个“友好三角形”中有一个内角为36°，那么这个“友好三角形”的“友好角á”的度数为 ．
【分析】利用“友好三角形”的定义讨论：当三角形的另一个内角为72°时，可确定“友好角á”的度数为72°；当三角形的另一个内角为18°时，可确定“友好角á”的度数为36°；当三角形的另两个内角为x，2x时，利用三角形内角和求出x＝48°，所以2x＝96°，从而得到“友好角á”的度数．
【解答】解：∵一个“友好三角形”中有一个内角为36°，
∴当三角形的另一个内角为72°时，这个“友好三角形”的“友好角á”的度数为72°；
当三角形的另一个内角为18°时，这个“友好三角形”的“友好角á”的度数为36°；
当三角形的另两个内角为x，2x时，则x+2x+36°＝180°，解得x＝48°，2x＝96°，这个“友好三角形”的“友好角á”的度数为96°；
综上所述，这个“友好三角形”的“友好角á”的度数为36°或72°或96°．
故答案为：36°或72°或96°．
【变式5-2】（2022春•安溪县期末）新定义：在△ABC中，若存在最大内角是最小内角度数的n倍（n为大于1的正整数），则称△ABC为“n倍角三角形”．例如，在△ABC中，若∠A＝90°，∠B＝60°，则∠C＝30°，因为∠A最大，∠C最小，且∠A＝3∠C，所以△ABC为“3倍角三角形”．
（1）在△DEF中，若∠E＝40°，∠F＝60°，则△DEF为“ 倍角三角形”．
（2）如图，在△ABC中，∠C＝36°，∠BAC、∠ABC的角平分线相交于点D，若△ABD为“6倍角三角形”，请求出∠ABD的度数．
【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠D，根据n倍角三角形的定义判断；
（2）根据角平分线的定义、三角形内角和定理求出∠ADB，n倍角三角形的定义分情况讨论计算，得到答案．
【解答】解：（1）在△DEF中，∠E＝40°，∠F＝60°，
则∠D＝180°﹣∠E﹣∠F＝80°，
∴∠D＝2∠E，
∴△DEF为“2倍角三角形”，
故答案为：2；
（2）∵∠C＝36°，
∴∠BAC+∠ABC＝180°﹣36°＝144°，
∵∠BAC、∠ABC的角平分线相交于点D，
∴∠DAB=12∠BAC，∠DBA=12∠ABC，
∴∠DAB+∠DBA=12×144°＝72°，
∴∠ADB＝180°﹣72°＝108°，
∵△ABD为“6倍角三角形”，
∴∠ADB＝6∠ABD或∠ADB＝6∠BAD，
当∠ADB＝6∠ABD时，∠ABD＝18°，
当∠ADB＝6∠BAD时，∠BAD＝18°，则∠ABD＝180°﹣108°﹣18°＝54°，
综上所述，∠ABD的度数为18°或54°．
【变式5-3】（2021秋•福田区校级期末）我们定义：
【概念理解】在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角度数的4倍，那么这样的三角形我们称之为“完美三角形”．如：三个内角分别为130°、40°、10°的三角形是“完美三角形”．
【简单应用】如图1，∠MON＝72°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（点C不与C、B重合点）
（1）∠ABO＝ °，△AOB （填“是”或“不是”）“完美三角形”；
（2）若∠ACB＝90°，求证：△AOC是“完美三角形”；
【应用拓展】
如图2，点D在△ABC的边AB上，连接DC，作∠ADC的平分线交AC于点E，在DC上取一点F，使∠EFC+∠BDC＝180°，∠DEF＝∠B，若△BCD是“完美三角形”，求∠B的度数．
【概念理解】在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角度数的4倍，那么这样的三角形我们称之为“完美三角形”．如：三个内角分别为130°、40°、10°的三角形是“完美三角形”．
【简单应用】如图1，∠MON＝72°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（点C不与C、B重合点）
（1）∠ABO＝ 18 °，△AOB 是 （填“是”或“不是”）“完美三角形”；
（2）若∠ACB＝90°，求证：△AOC是“完美三角形”；
【应用拓展】
如图2，点D在△ABC的边AB上，连接DC，作∠ADC的平分线交AC于点E，在DC上取一点F，使∠EFC+∠BDC＝180°，∠DEF＝∠B，若△BCD是“完美三角形”，求∠B的度数．
【分析】（1）根据垂直的定义、三角形内角和定理求出∠ABO的度数，根据“完美三角形”的概念判断；
（2）根据“完美三角形”的概念证明即可；
应用拓展：根据比较的性质得到∠EFC＝∠ADC，根据平行线的性质得到∠DEF＝∠ADE，推出DE∥BC，得到∠CDE＝∠BCD，根据角平分线的定义得到∠ADE＝∠CDE，求得∠B＝∠BCD，根据“完美三角形”的定义求解即可．
【解答】解：（1）∵AB⊥OM，
∴∠OAB＝90°，
∴∠ABO＝90°﹣∠MON＝90°﹣72°＝18°，
∵∠MON＝4∠ABO，
∴△AOB为“完美三角形”，
故答案为：18；是；
（2）证明：∵∠MON＝72°，∠ACB＝90°，
∠ACB＝∠OAC+∠MON，
∴∠OAC＝90°﹣72°＝18°，
∵∠AOB＝72°＝4×18°＝4∠OAC，
∴△AOC是“完美三角形”；
应用拓展：
∵∠EFC+∠BDC＝180°，∠ADC+∠BDC＝180°，
∴∠EFC＝∠ADC，
∴AD∥EF，
∴∠DEF＝∠ADE，
∵∠DEF＝∠B，
∴∠B＝∠ADE，
∴DE∥BC，
∴∠CDE＝∠BCD，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE，
∴∠B＝∠BCD，
∵△BCD是“完美三角形”，
∴∠BDC＝4∠B，或∠B＝4∠BDC，
∵∠BDC+∠BCD+∠B＝180°，
∴∠B＝30°或∠B＝80°．
【题型6 运用三角形内角和定理探究角的数量关系】
【例6】（2021秋•青田县期末）如图，直线l∥线段BC，点A是直线l上一动点．在△ABC中，AD是△ABC的高线，AE是∠BAC的角平分线．
（1）如图1，若∠ABC＝65°，∠BAC＝80°，求∠DAE的度数；
（2）当点A在直线l上运动时，探究∠BAD，∠DAE，∠BAE之间的数量关系，并画出对应图形进行说明．
【分析】（1）根据角平分线的定义得∠BAE=12∠BAC＝40°．而∠BAD＝90°﹣∠ABD＝25°，利用角的和差关系可得答案；
（2）根据高在形内和形外进行分类，再根据AB，AC，AD为位置进行讨论．
【解答】解：（1）∵AE是∠BAC的角平分线，
∴∠BAE=12∠BAC＝40°．
∵AD是△ABC的高线，
∴∠BDA＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝25°，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝40°﹣25°＝15°；
（2）如图1，∠BAD+∠BAE＝∠DAE；
如图2，∠BAD+∠DAE＝∠BAE；
如图3，∠BAE+∠DAE＝∠BAD；
如图4，∠BAE+∠DAE＝∠BAD．
【变式6-1】（2022春•顺德区期中）如图，在△ABC中，BO，CO是△ABC的内角平分线且BO，CO相交于点O．
（1）若∠ACB＝80°，∠ABC＝40°，求∠BOC的度数；
（2）若∠A＝60°，求∠BOC的度数；
（3）请你直接写出∠A与∠BOC满足的数量关系式，不需要说明理由．
【分析】（1）由角平分线的定义可得∠CBO＝40°，∠BCO＝20°，由三角形的内角和定理即可求解；
（2）由三角形的内角和定理可得∠ABC+∠ACB＝120°，再由角平分线的定义得∠CBO=12∠ABC，∠BCO=12∠ACB，从而可求得∠CBO+∠BCO＝60°，即可求∠BOC的度数；
（3）仿照（2）的过程进行求解即可．
【解答】解：（1）∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∠ACB＝80°，∠ABC＝40°，
∴∠CBO=12∠ABC＝20°，∠BCO=12∠ACB＝40°，
∴∠BOC＝180°﹣∠CBO﹣∠BCO＝120°；
（2）∵∠A＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝120°，
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠CBO=12∠ABC，∠BCO=12∠ACB，
∴∠CBO+∠BCO=12（∠ABC+∠ACB）＝60°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠CBO+∠BCO）＝120°；
（3）由题意得：∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠CBO=12∠ABC，∠BCO=12∠ACB，
∴∠CBO+∠BCO=12（∠ABC+∠ACB）＝90°−12∠A，
∴∠BOC＝180°﹣（∠CBO+∠BCO）＝90°+12∠A，
即∠BOC＝90°+12∠A．
【变式6-2】（2022春•海门市期末）已知：△ABC，点D，E分别在边AC，AB上，连接BD，CE，BD与CE交于点O，∠BOC﹣∠BAC＝54°．
（1）如图1，当BD，CE都是△ABC的角平分线时，求∠BOC的度数；
（2）如图2，当BD，CE都是△ABC的高时，求∠BOC的度数；
（3）如图3，当∠ABD＝2∠ACE时，探究∠BEO与∠CDO的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）根据角平分线的定义以及三角形内角和定理进行计算即可；
（2）根据高的定义，三角形内角和定理以及图形中角之间的和差关系进行计算即可；
（3）利用三角形内角和定理，四边形的内角和以及角之间的和差关系进行计算即可．
【解答】解：（1）∵BD，CE都是△ABC的角平分线，
∴∠DBC＝∠ABD=12∠ABC，∠ECB＝∠ACE=12∠ACB，
∴∠DBC+∠ECB=12（∠ABC+∠ACB）
=12（180°﹣∠BAC）
＝90°−12∠BAC，
∴∠BOC＝180°﹣（∠DBC+∠ECB）
＝180°﹣（90°−12∠BAC）
＝90°+12∠BAC，
又∵∠BOC﹣∠BAC＝54°，即90°+12∠BAC﹣∠BAC＝54°，
∴∠BAC＝72°，
∴∠BOC＝90°+12∠BAC
＝90°+36°
＝126°；
（2）∵BD，CE都是△ABC的高，
∴∠ADB＝∠AEC＝90°，
∵∠A+∠ADB+∠DOE+∠AEC＝360°，
∴∠A+90°+∠DOE+90°＝360°，
∴∠A＝180°﹣∠DOE，
∵∠DOE＝∠BOC，
∴∠A＝180°﹣∠BOC，
∵∠BOC﹣∠A＝54°，
∴∠BOC﹣（180°﹣∠BOC）＝54°，
∴∠BOC＝117°．
（3）∠ODC﹣∠BEO＝18°，理由如下：
∵∠BEO＝∠A+∠ACE，
∴∠BOC＝∠BEO+∠ABD＝∠A+∠ACE+∠ABD，
∴∠BOC﹣∠A＝∠ACE+∠ABD．
∵∠BOC﹣∠A＝54°，
∴∠ABD＝2∠ACE，
∴54°＝∠ACE+2∠ACE，
∴∠ACE＝18°，
∴∠ABD＝2×18°＝36°，
∵∠BOC＝∠ODC+∠DCO＝∠BEO+∠ABD，
∴∠BEO+36°＝∠ODC+18°，
∴∠ODC﹣∠BEO＝18°．
【变式6-3】（2022春•辉县市期末）小明在学习中遇到这样一个问题：
如图1，在△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC，AD⊥BC于D．
猜想∠B、∠C、∠EAD的数量关系．
（1）小明阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路，于是尝试代入∠B、∠C的值求∠EAD值，得到下面几组对应值：
上表中a＝ ，于是得到∠B、∠C、∠EAD的数量关系为 ．
（2）小明继续探究，在线段AE上任取一点P，过点P作PD⊥BC于点D，请尝试写出∠B、∠C、∠EPD之间的数量关系，并说明理由．
（3）小明突发奇想，交换B、C两个字母位置，如图2，过EA的延长线是一点F作FD⊥BC交CB的延长线于D，当∠ABC＝80°，∠C＝24°时，∠F度数为 °．
【分析】（1）求出∠BAE和∠BAD的大小即可得到∠EAD的值，再通过找规律的形式得出三者的关系，
（2）分别用∠B和∠C表示出∠BAE和∠BAD，再由∠EAD＝∠BAE和﹣BAD即可得出答案，
（3）分析同（2）．
【解答】解：（1）∵∠B＝30°，∠C＝70°，
∴Rt△ABD中，∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠BDA＝180°﹣30°﹣90°＝60°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=12∠BAC=12（180°﹣∠B﹣∠C）=12（180°﹣30°﹣70°）＝40°，
∴∠EAD＝∠BAD﹣∠BAE＝60°﹣40°＝20°，
∴a＝20，
故答案为：20；2∠EAD＝∠C﹣∠B．
（2）如图，过点A作AF⊥BC于F，
∵PD⊥BC，AF⊥BC，
∴PD∥AF，
∴∠EPD＝∠EAF，
∵△ABC内角和为180°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=12∠BAC＝90°−∠B+∠C2，
同时∠BAF＝90°﹣∠B，
∴可得出∠EAF＝∠BAF﹣∠BAE=∠C−∠B2=∠EPD，
综上所述，∠EPD=∠C−∠B2；
（3）同理（2），依旧可得∠EFD=∠C−∠B2=28°，
故答案为：28．
【知识点2 直角三角形的判定】
直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形．
【题型7 判断直角三角形】
【例7】（2021春•历下区期中）在下列条件：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝5：3：2，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝2∠B＝3∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据直角三角形的判定对各个条件进行分析，即可得到答案．
【解答】解：①∵∠A+∠B＝∠C，
∴2∠C＝180°，
∴∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
②∵∠A：∠B：∠C＝5：3：2，
设∠A＝5x，则∠B＝3x，∠C＝2x，
∴5x+2x+3x＝180°，
解得：x＝18°，
∴∠A＝18°×5＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
③∵∠A＝90°﹣∠B，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠C＝180°﹣90°＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
④∵3∠C＝2∠B＝∠A，
∴∠A+∠B+∠C=12∠A+13∠A+∠A＝180°，
∴∠A＝（108011）°，
∴△ABC为钝角三角形．
∴能确定△ABC是直角三角形的有①②③共3个，
故选：C．
【变式7-1】（2022秋•旌阳区校级月考）在下列条件中（1）∠A+∠B＝∠C；（2）∠A：∠B：∠C＝1：2：3；（3）∠A＝∠B=12∠C；（4）∠A=12∠B=13∠C中，能确定△ABC为直角三角形的条件有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】（1）根据三角形内角和定理列式计算，根据直角三角形的概念判定即可．
【解答】解：（1）∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2∠C＝180°，
解得：∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
（2）设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝3x，
由三角形内角和定理得：x+2x+3x＝180°，
解得：x＝30°，
∴∠C＝30°×3＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
（3）∵∠A＝∠B=12∠C，∠A+∠B+∠C＝180°
∴12∠C+12∠C+∠C＝180°，
解得：∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
（4）∵∠A=12∠B=13∠C，
∴∠C＝3∠A，∠B＝2∠A，
∴∠A+∠B+∠C＝3∠A+2∠A+∠A＝180°，
解得：∠A＝30°，
∴∠C＝3∠A＝90°，
∴△ABC为直角三角形．
所以能确定△ABC是直角三角形的有共4个，
故选：D．
【变式7-2】（2021秋•谢家集区期中）如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝62°，AE平分∠BAC．
（1）求∠BAE；
（2）若AD⊥BC于点D，∠ADF＝74°，证明：△ADF是直角三角形．
【分析】（1）在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝62°，根据三角形内角和定理，可求得∠BAC的度数，由AE平分∠BAC，根据角平分线的定义，可求得∠BAE的度数；
（2）由AD⊥BC，根据直角三角形的性质，可求得∠BAD的度数，继而求得∠DAE的度数，则可求得∠ADF的度数．
【解答】（1）解：∵∠B＝30°，∠C＝62°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣30°﹣62°＝88°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=12∠BAC=12×88°＝44°；
（2）证明：∵AD⊥BC；
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣30°＝60°，
∴∠EAD＝∠BAD﹣∠BAE＝60°﹣44°＝16°，
∵∠ADF＝74°，
∴∠ADF+∠EAD＝74°+16°＝90°，
∴∠AFD＝90°，
∴△ADF是直角三角形．
【变式7-3】（2022春•崇川区期末）定义：如果三角形的两个内角α与β满足α+2β＝100°，那么我们称这样的三角形为“奇妙三角形”．
（1）如图1，△ABC中，∠ACB＝80°，BD平分∠ABC．
求证：△ABD为“奇妙三角形”
（2）若△ABC为“奇妙三角形”，且∠C＝80°．求证：△ABC是直角三角形；
（3）如图2，△ABC中，BD平分∠ABC，若△ABD为“奇妙三角形”，且∠A＝40°，直接写出∠C的度数．
【分析】（1）根据“奇妙三角形”的定义，在△ABD中，∠A+2∠ABD＝100°，即证明△ABD为“奇妙三角形”．
（2）由三角形的内角和知，A+∠B＝100°，由△ABC为“奇妙三角形”得出∠C+2∠B＝100°或∠C+2∠A＝100°两种情况，计算得∠B＝90°或∠A＝90°，从而证明△ABC是直角三角形．
（3）由三角形的内角和知，∠ADB+∠ABD＝140，由△ABC为“奇妙三角形得出∠A+2∠ABD＝100°或2∠A+∠ABD＝100°两种情况，求得∠C＝80°或100°．
【解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠ABD．
在△ABC中，∵∠ACB＝80°，
∴∠A+∠ABC＝180°﹣∠ACB＝180°﹣80°＝100°，
即∠A+2∠ABD＝100°，
∴△ABD为“奇妙三角形”．
（2）证明：在△ABC中，∵∠C＝80°，∴∠A+∠B＝100°，
∵△ABC为“奇妙三角形”，∴∠C+2∠B＝100°或∠C+2∠A＝100°，
∴∠B＝10°或∠A＝10°，
当∠B＝10°时，∠A＝90°，△ABC是直角三角形．
当∠A＝10°时，∠B＝90°，△ABC是直角三角形．
由此证得，△ABC是直角三角形．
（3）解：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠ABD，
∵△ABD为“奇妙三角形”，
∴∠A+2∠ABD＝100°或2∠A+∠ABD＝100°，
①当∠A+2∠ABD＝100°时，∠ABD＝（100°﹣40°）÷2＝30°，
∴∠ABC＝2∠ABD＝60°，
∴∠C＝80°；
②当2∠A+∠ABD＝100°时，∠ABD＝100°﹣2∠A＝20°，
∴∠ABC＝2∠ABD＝40°，
∴∠C＝100°；
综上得出：∠C的度数为80°或100°．
【知识点3 直角三角形的性质】
直角三角形的性质：直角三角形两个内角互余．
【题型8 运用直角三角形两锐角互余的性质倒角】
【例8】（2022秋•宁晋县期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC≠AB，AD是斜边BC上的高，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，则图中与∠C（∠C除外）相等的角的个数是（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【分析】由“直角三角形的两锐角互余”，结合题目条件，得∠C＝∠BDF＝∠BAD＝∠ADE．
【解答】解：如图，∵AD是斜边BC上的高，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴∠C+∠B＝90°，∠BDF+∠B＝90°，∠BAD+∠B＝90°，
∴∠C＝∠BDF＝∠BAD，
∵∠DAC+∠C＝90°，∠DAC+∠ADE＝90°，
∴∠C＝∠ADE，
∴图中与∠C（除之C外）相等的角的个数是3，
故选：A．
【变式8-1】（2022•碑林区校级模拟）如图，已知Rt△ABC和Rt△DEF，∠BAC＝∠EDF＝90°，点F、A、D、C共线，AB、EF相交于点M，且EF⊥BC，则图中与∠E相等的角有（ ）个．
A．5B．4C．3D．2
【分析】利用平行线的性质与判定可得∠E＝∠BME＝∠AMF，根据同角的余角相等可得∠E＝∠C，即可求解．
【解答】解：∵∠BAC＝∠EDF＝90°，
∴∠BAC+∠EDF＝180°，
∴AB∥DE，∠E+∠F＝90°，
∴∠E＝∠BME＝∠AMF，
∵EF⊥BC，
∴∠C+∠F＝90°，
∴∠E＝∠C，
故与∠E相等的角有3个，
故选：C．
【变式8-2】（2022春•邓州市期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC，AD、BE相交于点F．
（1）若∠CAD＝36°，求∠AEF的度数；
（2）试说明：∠AEF＝∠AFE．
【分析】（1）根据同角的余角相等得到∠ABD＝∠CAD＝36°，根据角平分线的性质求出∠ABE，根据直角三角形的性质计算即可；
（2）根据角平分线的性质、直角三角形的性质证明结论．
【解答】（1）解：∵AD⊥BC，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAD＝90°，
∴∠ABD＝∠CAD＝36°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=12∠ABC＝18°，
∴∠AEF＝90°﹣∠ABE＝72°；
（2）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵∠ABE+∠AEF＝90°，∠CBE+∠BFD＝90°，
∴∠AEF＝∠BFD，
∵∠AFE＝∠BFD，
∴∠AEF＝∠AFE．
【变式8-3】（2022春•米东区期末）如图1，∠BAC＝∠ACD＝90°，∠ABC＝∠ADC，CE⊥AD，且BE平分∠ABC．
（1）求证：∠ACE＝∠ABC；
（2）求证：∠ECD+∠EBC＝∠BEC；
（3）求证：∠CEF＝∠CFE．
【分析】（1）根据条件易求∠ACE＝∠D，进而可证明结论；
（2）通过判定AD∥BC可得∠BEC+∠EBC＝90°，根据直角三角形的性质结合角平分线的定义可得2∠EBC+∠ECD＝90°，进而可证明结论；
（3）由对顶角的定义结合角平分线的定义可证明结论．
【解答】证明：（1）∵CE⊥AD，∠ACD＝90°，
∵∠ACE+∠ECD＝∠D+∠ECD＝90°，
∴∠ACE＝∠D．
∵∠D＝∠ABC，
∴∠ACE＝∠ABC；
（2）∵∠BAC＝∠ACD＝90°，∠ABC＝∠ADC，
∴∠ACB＝∠DAC，
∴AD∥BC，
∵CE⊥AD，
∴CE⊥BC，
∴∠BEC+∠EBC＝90°，
∵∠D+∠ECD＝90°，∠D＝∠ABC，
∴∠ABC+∠ECD＝90°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠EBC
∴2∠EBC+∠ECD＝90°，
∴2∠EBC+∠ECD＝∠BEC+∠EBC，
即∠EBC+∠ECD＝∠BEC；
（3）∵∠ABF+∠AFB＝90°，∠AFB＝∠CFE，
∴∠ABF+∠CFE＝90°，
∵∠CBE+∠CEF＝90°，∠ABF＝∠CAE，
∴∠CEF＝CFE．∠B/度
10
30
30
20
20
∠C/度
70
70
60
60
80
∠EAD/度
30
a
15
20
30
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