2023-2024学年云南师范大学附中高二（下）开学数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年云南师范大学附中高二（下）开学数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知复数z1=12−3i，z2=−9+i，则z1+z2的实部与虚部分别为( )
A. 3，−2B. 3，−2iC. 2，−3D. 2，−3i
2.直线2x+(m+1)y+4=0与直线mx+3y−5=0平行，则m=( )
A. 2B. 2或−3C. −3D. −2或−3
3.已知向量a,b满足|a+b|=|a|，且|b|=2，则a⋅b的值为( )
A. 2B. −2C. 1D. −1
4.已知圆C1：x2+y2+4x−2y−4=0，圆C2：(x+32)2+(y−32)2=112，则这两圆的公共弦长为( )
A. 4B. 2 2C. 2D. 1
5.若等比数列{an}中的a5，a2019是方程x2−4x+3=0的两个根，则lg3a1+lg3a2+lg3a3+…+lg3a2023等于( )
A. 20243B. 1011C. 20232D. 1012
6.已知数列{an}的通项公式an=(n+1)⋅(1011)n，则数列{an}的最大项为( )
A. a8或a9B. a9或a10C. a10或a11D. a11或a12
7.球O半径为R=13，球面上有三点A、B、C，AB=12 3，AC=BC=12，则四面体OABC的体积是( )
A. 60 3B. 50 3C. 60 6D. 50 6
8.若两曲线y=lnx−1与y=ax2存在公切线，则正实数a的取值范围是( )
A. (0,2e]B. [12e−3,+∞)C. (0,12e−3]D. [2e,+∞)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列不等式成立的是( )
A. 2ln320,b>0)的左右焦点分别为F1(−c,0)和F2(c,0)，点A、B分别在双曲线C的左、右两支上，O为坐标原点，且∠AOB=90°，则下列说法正确的有( )
A. 双曲线C的离心率e> 2
B. 若|OA|=|OB|且S△AOB=23c2，则C的渐近线方程为y=±2x
C. 若|AF1|+|BF2|=|AB|，则∠F1AO=∠BAO
D. 若∠F1AO=∠BAO，则∠ABO=∠OBF2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知椭圆y2a2+x2b2=1(a>b>0)的右顶点为A(1,0)，过其焦点且垂直于长轴的弦长为1，则该椭圆的离心率为______．
13.记Sn为等差数列an的前n项和．若a1=−2,a2+a6=2，则S10=__________．
14.已知函数f(x)=x2+2ax−3，对任意x1，x2∈[1,+∞)且x10)的右焦点F2与抛物线Γ：y2=2px(p>0)的焦点重合，椭圆G的离心率为23，E是G与Γ的一个公共点，且|EF2|=135．
(1)求椭圆G与抛物线Γ的方程；
(2)直线y=kx(k>0)与椭圆G交于A，B两点(A在第一象限)，直线AF2交椭圆G于另一点C，直线AF2交抛物线Γ于M，N两点，且使得M，A，C，N依次排序，求S△MBA+S△NBC的最小值．
19.(本小题17分)
给出定义：设f′(x)是函数y=f(x)的导函数，f′′(x)是函数f′(x)的导函数，若方程f′′(x)=0有实数解x=x0，则称(x0,f(x0).)为函数y=f(x)的“拐点”．
(1)经研究发现所有的三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)都有“拐点”，且该“拐点”也是函数y=f(x)的图象的对称中心.已知函数f(x)=x3+bx2−9x+a的图象的对称中心为(−1,10)，讨论函数f(x)的单调性并求极值．
(2)已知函数g(x)=2mx3+[6ln(mx)−15]x2+18mx−5m2+1，其中m>0．
(i)求g(x)的拐点；
(ii)若g(x1)+g(x2)=2(00，
∴a1012=312，
∴lg3a1+lg3a2+lg3a3+…+lg3a2023=lg3a1a2…a2023=lg3(a2012)2023=20232．
故选：C．
根据已知条件，结合等比数列的性质，以及对数的公式，即可求解．
本题主要考查等比数列的性质，以及对数的公式，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：根据题意，数列{an}的通项公式an=(n+1)⋅(1011)n，
则anan−1=(n+1)⋅(1011)nn⋅(1011)n−1=10n+1011n，
当n1，数列{an}递减，
故数列{an}的最大项为a9或a10，
故选：B．
根据题意，由数列的通项公式可得anan−1=(n+1)⋅(1011)nn⋅(1011)n−1=10n+1011n，讨论n的取值范围，分析anan−1与1的大小关系，即可得答案．
本题考查数列的函数特性，注意分析数列{an}的单调性，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】解：∵AB=12 3，AC=BC=12，
∴cs∠ACB=144+144−144×32×12×12=−12，
∴∠ACB=120°，
∴△ABC的外接圆的半径为12×12 3 32=12，
∴O到平面ABC的距离为5，
∵S△ABC=12×12×12× 32=36 3，
∴四面体OABC的体积是13×36 3×5=60 3．
故选：A．
求出△ABC的外接圆的半径，可得O到平面ABC的距离，计算△ABC的面积，即可求出四面体OABC的体积．
本题考查四面体OABC的体积，考查学生的计算能力，正确求出△ABC的外接圆的半径是关键．
8.【答案】B
【解析】解：设公切线与两曲线y=lnx−1与y=ax2的切点分别为(x1,lnx1−1)，(x2,ax22)，
由y′|x=x1=1x1，y′|x=x2=2ax2，
得1x1=2ax2=ax22−lnx1+1x2−x1，整理可得−14a=x12(lnx1−2)，
令h(x)=x2(lnx−2)，则h′(x)=x(2lnx−3)，由h′(x)=0，得x= e3，
∴当x∈( e3,+∞)时，h′(x)>0，当x∈(0, e3)时，h′(x)0)，
则f′(x)=1−lnxx2，
所以当0e时，f′(x)0)，则h′(x)=1+1x>0在(0,+∞)上恒成立，
∴h(x)=x+lnx−1在(0,+∞)上单调递增，又h(1)=0，
由零点存在性定理知，h(x)=x+lnx−1有唯一的零点x=1，
∴mx=1⇒x=1m，
当x=1m时，g(1m)=2m2−15m2+18m2−5m2+1=1，
∴g(x)的拐点为(1m,1)．
证明：(ii)由(i)可知，g″(x)=12mx+12ln(mx)−12在(0,+∞)上单调递增，g″(1m)=0，
∴当x∈(0,1m)时，g″(x)0，
g′(x)在x∈(0,1m)上单调递减，在x∈(1m,+∞)上单调递增，
又g′(1m)=12m+18m−30m=0，
∴g′(x)≥0在(0,+∞)上恒成立，g(x)在(0,+∞)上单调递增，
又g(1m)=1，g(x1)+g(x2)=2(0