2023-2024学年云南师范大学附中高二(下)开学数学试卷(含解析)
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这是一份2023-2024学年云南师范大学附中高二(下)开学数学试卷(含解析),共18页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
1.已知复数z1=12−3i,z2=−9+i,则z1+z2的实部与虚部分别为( )
A. 3,−2B. 3,−2iC. 2,−3D. 2,−3i
2.直线2x+(m+1)y+4=0与直线mx+3y−5=0平行,则m=( )
A. 2B. 2或−3C. −3D. −2或−3
3.已知向量a,b满足|a+b|=|a|,且|b|=2,则a⋅b的值为( )
A. 2B. −2C. 1D. −1
4.已知圆C1:x2+y2+4x−2y−4=0,圆C2:(x+32)2+(y−32)2=112,则这两圆的公共弦长为( )
A. 4B. 2 2C. 2D. 1
5.若等比数列{an}中的a5,a2019是方程x2−4x+3=0的两个根,则lg3a1+lg3a2+lg3a3+…+lg3a2023等于( )
A. 20243B. 1011C. 20232D. 1012
6.已知数列{an}的通项公式an=(n+1)⋅(1011)n,则数列{an}的最大项为( )
A. a8或a9B. a9或a10C. a10或a11D. a11或a12
7.球O半径为R=13,球面上有三点A、B、C,AB=12 3,AC=BC=12,则四面体OABC的体积是( )
A. 60 3B. 50 3C. 60 6D. 50 6
8.若两曲线y=lnx−1与y=ax2存在公切线,则正实数a的取值范围是( )
A. (0,2e]B. [12e−3,+∞)C. (0,12e−3]D. [2e,+∞)
二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
9.下列不等式成立的是( )
A. 2ln320,b>0)的左右焦点分别为F1(−c,0)和F2(c,0),点A、B分别在双曲线C的左、右两支上,O为坐标原点,且∠AOB=90°,则下列说法正确的有( )
A. 双曲线C的离心率e> 2
B. 若|OA|=|OB|且S△AOB=23c2,则C的渐近线方程为y=±2x
C. 若|AF1|+|BF2|=|AB|,则∠F1AO=∠BAO
D. 若∠F1AO=∠BAO,则∠ABO=∠OBF2
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
12.已知椭圆y2a2+x2b2=1(a>b>0)的右顶点为A(1,0),过其焦点且垂直于长轴的弦长为1,则该椭圆的离心率为______.
13.记Sn为等差数列an的前n项和.若a1=−2,a2+a6=2,则S10=__________.
14.已知函数f(x)=x2+2ax−3,对任意x1,x2∈[1,+∞)且x10)的右焦点F2与抛物线Γ:y2=2px(p>0)的焦点重合,椭圆G的离心率为23,E是G与Γ的一个公共点,且|EF2|=135.
(1)求椭圆G与抛物线Γ的方程;
(2)直线y=kx(k>0)与椭圆G交于A,B两点(A在第一象限),直线AF2交椭圆G于另一点C,直线AF2交抛物线Γ于M,N两点,且使得M,A,C,N依次排序,求S△MBA+S△NBC的最小值.
19.(本小题17分)
给出定义:设f′(x)是函数y=f(x)的导函数,f′′(x)是函数f′(x)的导函数,若方程f′′(x)=0有实数解x=x0,则称(x0,f(x0).)为函数y=f(x)的“拐点”.
(1)经研究发现所有的三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)都有“拐点”,且该“拐点”也是函数y=f(x)的图象的对称中心.已知函数f(x)=x3+bx2−9x+a的图象的对称中心为(−1,10),讨论函数f(x)的单调性并求极值.
(2)已知函数g(x)=2mx3+[6ln(mx)−15]x2+18mx−5m2+1,其中m>0.
(i)求g(x)的拐点;
(ii)若g(x1)+g(x2)=2(00,
∴a1012=312,
∴lg3a1+lg3a2+lg3a3+…+lg3a2023=lg3a1a2…a2023=lg3(a2012)2023=20232.
故选:C.
根据已知条件,结合等比数列的性质,以及对数的公式,即可求解.
本题主要考查等比数列的性质,以及对数的公式,属于基础题.
6.【答案】B
【解析】解:根据题意,数列{an}的通项公式an=(n+1)⋅(1011)n,
则anan−1=(n+1)⋅(1011)nn⋅(1011)n−1=10n+1011n,
当n1,数列{an}递减,
故数列{an}的最大项为a9或a10,
故选:B.
根据题意,由数列的通项公式可得anan−1=(n+1)⋅(1011)nn⋅(1011)n−1=10n+1011n,讨论n的取值范围,分析anan−1与1的大小关系,即可得答案.
本题考查数列的函数特性,注意分析数列{an}的单调性,属于基础题.
7.【答案】A
【解析】解:∵AB=12 3,AC=BC=12,
∴cs∠ACB=144+144−144×32×12×12=−12,
∴∠ACB=120°,
∴△ABC的外接圆的半径为12×12 3 32=12,
∴O到平面ABC的距离为5,
∵S△ABC=12×12×12× 32=36 3,
∴四面体OABC的体积是13×36 3×5=60 3.
故选:A.
求出△ABC的外接圆的半径,可得O到平面ABC的距离,计算△ABC的面积,即可求出四面体OABC的体积.
本题考查四面体OABC的体积,考查学生的计算能力,正确求出△ABC的外接圆的半径是关键.
8.【答案】B
【解析】解:设公切线与两曲线y=lnx−1与y=ax2的切点分别为(x1,lnx1−1),(x2,ax22),
由y′|x=x1=1x1,y′|x=x2=2ax2,
得1x1=2ax2=ax22−lnx1+1x2−x1,整理可得−14a=x12(lnx1−2),
令h(x)=x2(lnx−2),则h′(x)=x(2lnx−3),由h′(x)=0,得x= e3,
∴当x∈( e3,+∞)时,h′(x)>0,当x∈(0, e3)时,h′(x)0),
则f′(x)=1−lnxx2,
所以当0e时,f′(x)0),则h′(x)=1+1x>0在(0,+∞)上恒成立,
∴h(x)=x+lnx−1在(0,+∞)上单调递增,又h(1)=0,
由零点存在性定理知,h(x)=x+lnx−1有唯一的零点x=1,
∴mx=1⇒x=1m,
当x=1m时,g(1m)=2m2−15m2+18m2−5m2+1=1,
∴g(x)的拐点为(1m,1).
证明:(ii)由(i)可知,g″(x)=12mx+12ln(mx)−12在(0,+∞)上单调递增,g″(1m)=0,
∴当x∈(0,1m)时,g″(x)0,
g′(x)在x∈(0,1m)上单调递减,在x∈(1m,+∞)上单调递增,
又g′(1m)=12m+18m−30m=0,
∴g′(x)≥0在(0,+∞)上恒成立,g(x)在(0,+∞)上单调递增,
又g(1m)=1,g(x1)+g(x2)=2(0
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