2023-2024学年广西百色市平果县铝城中学高二（下）开学数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广西百色市平果县铝城中学高二（下）开学数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知数列{an}满足an+1=an−3，a1=27，n∈N*，则a5的值为( )
A. 12B. 15C. 39D. 42
2.已知向量a=(x,2,3)，b=(3,−4,−3)，若(a+b)⊥a，则x=( )
A. −4B. 4C. −4或1D. 4或−1
3.已知a1=2,an+1=n+1nan，则a2022=( )
A. 506B. 1011C. 2022D. 4044
4.直线x+y=0被圆(x−2)2+y2=4截得的弦长为( )
A. 22B. 2C. 2 2D. 2
5.已知点P(x,y)的坐标满足 (x−3)2+y2− (x+3)2+y2=4，则动点P的轨迹是( )
A. 双曲线B. 双曲线一支C. 两条射线D. 一条射线
6.已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果AB=(2,−1,−4)，AD=(4,2,0)，AP=(−1,2,−2).给出下列结论，其中正确的是( )
A. BD=(−2,−3,−4)B. AP⊥AD
C. AP⊥ABD. AP是平面ABCD的一个法向量
7.在空间四边形O−ABC中，点M在OA上，点N在BC上，且OM=2MA，BN=2NC，则向量MN等于( )
A. −23OA+13OB+23OCB. 23OA+13OB+23OC
C. −23OA−13OB+23OCD. 23OA−13OB−23OC
8.已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1(a>b>0)与双曲线C2：x2m2−y2n2=1(m,n>0)有相同的焦点F1，F2，点P是两曲线的一个公共点，且∠F1PF2=60°，若椭圆C1的离心率e1= 33，则双曲线C2的离心率e2=( )
A. 2B. 3C. 2D. 6
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，前n项和为Sn，且a1，a4，a6成等比数列，则( )
A. a10=0B. S20=0
C. 当d0时，Sn的最小值是S9或S10
10.已知F1，F2是椭圆E：y24+x23=1的两个焦点，点P在椭圆E上，则( )
A. 点F1，F2在x轴上
B. 椭圆E的长轴长为4
C. 椭圆E的离心率为12
D. 使得△F1PF2为直角三角形的点P恰有6个
11.已知F1、F2是椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，A、B为其左、右顶点，点P是椭圆E上任一点(异于A、B)，则下列结论正确的是( )
A. |PF1|+|PF2|=2aB. 直线PF1和PF2的斜率之积为−a2b2
C. b2b>0)相交于A，B两点，且线段AB的中点在直线l：x−4y=0上，则此椭圆的离心率为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
圆C：(x−1)2+(y−2)2=25，直线l：(2m+1)x+(m+1)y−7m−4=0(m∈R)．
(1)证明：不论m取什么实数，直线l与圆C相交；
(2)求直线l被圆C截得的线段的最短长度，并求此时m的值．
18.(本小题12分)
在①a3=4，②S9=54，③a4+a7=13这三个条件中选择两个，补充在下面问题中，并进行解答.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*，_____，_____．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn=1anan+1，求数列{bn}的前n项和Tn．
注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分．
19.(本小题12分)
已知双曲线x2a2−y2b2=1的渐近线方程为y=±x，且点M(2,1)在该双曲线上．
(1)求双曲线C方程；
(2)若点F1，F2分别是双曲线C的左、右焦点，且双曲线C上一点P满足PF1⊥PF2，求△PF1F2的面积．
20.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB= 3，BC=1，PA=2，E为PD的中点．
(1)求直线AC与PB所成角的余弦值；
(2)在侧面PAB内找一点N，使NE⊥平面PAC．
21.(本小题12分)
已知数列{an}满足a1+3a2+32a3+…+3n−1an=n3，数列{bn}的首项为2，且满足nbn+1=(n+1)bn．
(1)求{an}和{bn}的通项公式；
(2)设cn=anbn，求数列{cn}的前n项和Rn．
22.(本小题12分)
已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F(2,0)，实轴长为2 2．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)过点A(0,1)，且斜率不为0的直线l与双曲线C交于P，Q两点，O为坐标原点，若△OPQ的面积为 3，求直线l的方程．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵an+1−an=−3，∴{an}为等差数列，
∴an=a1+(n−1)d=27+(n−1)(−3)=30−3n，
∴a5=15．
故选：B．
利用等差数列的性质直接求解．
本题考查等差数列的第5项的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】C
【解析】解：(a+b)⊥a，
则(a+b)⋅a=a2+a⋅b=x2+13+3x−17=x2+3x−4=0，解得x=−4或x=1．
故选：C．
根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解．
本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：∵a1=2,an+1=n+1nan，
∴an+1n+1=ann=a11=2，
∴an=2n，
∴a2022=2×2022=4044．
故选：D．
根据递推关系式得到an+1n+1=ann=a11=2，进而求解结论．
本题主要考查数列递推关系式的应用，考查计算能力，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：圆的标准方程为(x−2)2+y2=4，圆心为P(2,0)，半径为r=2．
所以圆心到直线的距离d=2 2= 2．
所以弦长l=2 r2−d2=2 2．
故选：C．
由圆的标准方程，求出圆心与半径，然后利用点到直线的距离求弦长．
本题主要考查了直线与圆的位置关系以及弦长公式，正确利用弦长公式是解决本题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：点P的坐标满足 (x−3)2+y2− (x+3)2+y2=4，
∴动点P(x,y)到A(3,0)和B(−3,0)的距离之差等于4，
A(3,0)和B(−3,0)两点间的距离为|AB|=6，
∴动点P的轨迹方程是双曲线的一支．
故选：B．
利用双曲线的定义，直接判断．
本题考查椭圆的定义，是基础题，解题时要熟练掌握两点间距离公式．
6.【答案】B
【解析】解：由于AB=(2,−1,−4)，AD=(4,2,0)，则BD=AD−AB=(2,3,4)，A错误；
AP⋅AD=−4+4+0=0，故AP⊥AD，B正确；
AP⋅AB=−2−2+8=4≠0，故C、D错误；
故选：B．
根据向量减法可计算BD=AD−AB=(2,3,4)，A错误；对于B、C、D，根据向量数量积是否为0即可判断．
本题考查空间向量的基本运算，以及垂直的等价条件，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】解：MN=MA+AB+BN=13OA+AB+23BC=13OA+(OB−OA)+23(OC−OB)=−23OA+13OB+23OC．
故选：A．
根据空间向量的加减运算法则，以OA,OB,OC为基底，不断向其转化即可得到答案．
本题主要考查空间向量及其运算，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】解：设|PF1|=s，|PF2|=t，设P在第一象限，
由椭圆和双曲线的定义可得s+t=2a，s−t=2m，解得：s=a+m，t=a−m，
在△F1PF2中，由余弦定理可得：
4c2=s2+t2−2stcs60°=(a+m)2+(a−m)2−2(a+m)(a−m)×12，
整理得：a2+3m2=4c2，得a2c2+3m2c2=4，
即1e12+3e22=4，
∵e1= 33，∴e2= 3，
故选：B．
设|PF1|=s，|PF2|=t，由椭圆和双曲线的定义可得s与t的值，然后利用余弦定理列式求解．
本题考查椭圆与双曲线的几何性质，考查圆锥曲线定义的应用，考查运算求解能力，是中档题．
9.【答案】ACD
【解析】解：因a1，a4，a6成等比数列，所以a42=a1⋅a6，
即(a1+3d)2=a1(a1+5d)，解得a1+9d=0，即a10=0，故A正确；
S20=20(a1+a20)2=10(2a1+19d)=10(−18d+19d)=10d≠0，故B错误；
Sn=na1+n(n−1)d2=−9nd+n(n−1)d2=d2(n2−19n)，
所以当d>0时，由二次函数性质知，n=9或10时，Sn的最小值是S9或S10，
当d0，
则〈MF1,MF2〉∈(0,π2)，即∠F1MF2为锐角，
故根据椭圆的对称性得使得△F1PF2为直角三角形的点P恰有4个(以F1或F2为直角)，故D错误．
故选：BC．
根据椭圆的方程可判断椭圆焦点的位置，以及求出长轴的长，计算出离心率，即可判断A，B，C；结合向量的坐标运算判断∠F1MF2为锐角，根据椭圆对称性即可判断D．
本题考查椭圆的性质，考查转化思想，考查运算能力和逻辑推理能力，属于中档题．
11.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查了椭圆的定义，基本不等式等知识，难度偏中等．
P为椭圆上的点，所以满足椭圆定义，求斜率之积先把斜率都写出来再作积进行运算．
【解答】
解：由椭圆定义易知A正确；
设P(x,y)，则KPF1=yx+c，KPF2=yx−c，
所以KPF1⋅KPF2=y2x2−c2=−b2(x2−a2)a2(x2−c2)，故错误；
由余弦定理得F1F22=PF12+PF22−2PF1⋅PF2cs∠F1PF2
=(PF1+PF2)2−2PF1⋅PF2(1+cs∠F1PF2)，
所以PF1⋅PF2=2b21+cs∠F1PF2，
因为−1