2023-2024学年黑龙江省双鸭山一中高一（下）开学数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年黑龙江省双鸭山一中高一（下）开学数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.sin49°sin19°+cs19°sin41°=( )
A. 12B. −12C. 32D. − 32
2.已知集合A={x|0≤x≤3}，B={x|x≤2,x∈Z}，则A∩B=( )
A. [2,3]B. [0,3]C. {0,1,2}D. {0,1,2,3}
3.“a>0”是“关于x的函数y=ax+b(a≠0)的图像过一、三象限”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4.若函数f(x)=ax−a−x(a>0且a≠1)在R上是增函数，那么g(x)=lga(x+1)的大致图象是( )
A. B.
C. D.
5.若正数x、y满足x+2y=2xy，若不等式x+2y≥m的恒成立，则m的最大值等于( )
A. 4B. 92C. 4 2D. 8
6.若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(−∞,0]上是增函数，且f(1)=0，则f(x)+f(−x)x<0的解集为( )
A. (−1,1)B. (−∞,−1)∪(1,+∞)
C. (−∞,−1)∪(0,1)D. (−1,0)∪(1,+∞)
7.设a=ln12，b=lg3，c=(15)−12，则a，b，c的大小关系是( )
A. a8.已知函数f(x)=−(x−1)2+1x<212f(x−2)x≥2，若函数F(x)=f(x)−mx有4个零点，则实数m的取值范围是( )
A. (52− 6,16)B. (52− 6,3−2 2)
C. (120,3−2 2)D. (120,16)
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数中，既是偶函数又在区间(0,+∞)单调递增的是( )
A. y=csxB. y=x2+1C. y=x3D. y=ln|x|
10.下列结论正确的是( )
A. 若a>b，则a2>b2B. 若ac2C. 若a>b，c>d，则a+c>b+dD. 若a>b，c>d，则ac>bd
11.已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x)+f(x−1)=1，当x∈[0,1]时，f(x)=x2，则下列命题正确的是( )
A. f(x)是周期为2的函数B. 当x∈[1,2]时，f(x)=2x−x2
C. f(x)是偶函数D. f(−2023.5)=14
12.已知直线x=π8是函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)图象的一条对称轴，则下列说法正确的是( )
A. f(x)在[0,π2]上的两个零点
B. f(x)的图象关于点(3π8,0)对称
C. f(x)在[π8,π2]上单调递增
D. 将f(x)的图象向右平移π4个单位长度，可得y=sin(2x−π4)的图象
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知幂函数y=f(x)的图象过点(2, 2)，则f(4)= ．
14.已知函数f(x)=a2x−4+n(a>0且a≠1)的图象恒过定点P(m,2)，则m+n=______．
15.定义：max{a,b}=a,a≥bb,a16.已知f(x)=(5−a)x−3a,x<1lgax,x≥1是(−∞,+∞)上的增函数，则a的取值范围为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
(1)3lg4+5lg25+lg1625+lg25⋅lg52；
(2)(2a23b12)×(−6a12b13)÷(−3a16b56)．
18.(本小题12分)
已知f(x)是二次函数，且满足f(0)=2，f(x+2)−f(x)=2x+4．
(1)求f(x)的解析式；
(2)当x∈[−3,0]，求f(x)的值域．
19.(本小题12分)
已知定义域为R的函数f(x)=−2x+b2x+1+a是奇函数，
(1)求a，b的值；
(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2−2t)+f(2t2−k)<0恒成立，求k的取值范围．
20.(本小题12分)
已知函数f(α)=sin(α−π2)cs(3π2−α)tan(2π−α)tan(α+π)sin(α+π)．
(1)化简f(α)；
(2)若f(α)⋅f(α+π2)=−18，且π≤α≤3π2，求f(α)−f(α+π2)的值．
21.(本小题12分)
已知函数f(x)= 3sinxcsx−cs2x+12,x∈R．
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)将函数f(x)的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到y=g(x)的图象，求g(x)在区间[π3,5π6]上的值域．
22.(本小题12分)
已知点A(x1,f(x1))，B(x2,f(x2))是函数f(x)= 2sin(ωx+φ)(ω>0,−π2<φ<0)图象上的任意两点，f(0)=−1，且当|f(x1)−f(x2)|=2 2时，|x1−x2|的最小值为π．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若方程af(x)+sin2x−a−1=0在[−π4,π2]上有实数解，求实数a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了诱导公式，两角差的余弦函数公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．
由已知利用诱导公式，两角差的余弦函数公式，特殊角的三角函数值即可求解．
【解答】
解：sin49°sin19°+cs19°sin41°
=sin49°sin19°+cs19°cs49°
=cs(49°−19°)=cs30°= 32．
故选：C．
2.【答案】C
【解析】解：因为A={x|0≤x≤3}，B={x|x≤2,x∈Z}，
则A∩B={0,1,2}．
故选：C．
由已知结合集合的交集运算即可求解．
本题主要考查了集合交集运算，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：充分性：因为a>0，所以关于x的函数y=ax+b(a≠0)的图像过一、二、三象限或过一、三、四象限，
所以关于x的函数y=ax+b(a≠0)的图像过一、三象限，故充分性满足，
必要性：因为关于x的函数y=ax+b(a≠0)的图像过一、三象限，所以函数y=ax+b单调递增，
所以a>0，故必要性满足，
所以“a>0”是“关于x的函数y=ax+b(a≠0)的图像过一、三象限”的充要条件．
故选：C．
先根据所过象限判断充分性满足，再根据单调性判断必要性满足，最后给出答案．
本题主要考查了一次函数的图像和性质，考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：∵函数f(x)=ax−a−x(a>0,a≠1)在(−∞,+∞)上是增函数，
∴a>1，可得g(x)=lga(x+1)．
函数图象必过原点，且为增函数．
故选：A．
则由复合函数的性质，我们可得a>1，由此不难判断函数g(x)=lga(x+1)的图象．
本题考查了函数图象的识别和指数函数和对数函数的图象和性质．
5.【答案】A
【解析】解：已知正数x、y满足x+2y=2xy，可得1=x+2y2xy=1x+12y，
所以x+2y=(x+2y)(1x+12y)=2+x2y+2yx≥2+2 x2y⋅2yx=4，
当且仅当x=2y时，即x=2，y=1时，等号成立，
所以x+2y的最小值为4，所以m≤4．
因此，实数m的最大值为4．
故选：A．
由已知得出1x+12y=1，将代数式x+2y与1x+12y相乘，展开后利用基本不等式可求得x+2y的最小值，即可得出实数m的最大值．
本题主要考查基本不等式的应用，属于中档题．
6.【答案】D
【解析】解：构造特殊函数f(x)=−x2+1，
当x>0时，f(x)+f(−x)x<0，得−x2+1<0，即x>1，
当x<0时，得−x2+1>0，−1故解集为：(−1,0)∪(1,+∞)，
故选：D．
构造特殊函数，根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论
本题主要考查不等式的解法，构造特殊函数，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用．
7.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查实数的大小比较，考查指数及对数运算，属于基础题，
找中间值0和1进行比较即可．
【解答】
解：a=ln12<0,b=lg3∈(0,1),c=(15)−12= 5>1，
∴a故选：A．
．
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查函数零点与方程根的关系，考查数形结合思想，属于中档题．
依题意，函数y=f(x)的图象与直线y=mx有4个交点，作出函数图象，通过图象分析找到临界情况，即可得解．
【解答】
解：依题意，函数y=f(x)的图象与直线y=mx有4个交点，
当x∈[2,4)时，x−2∈[0,2)，则f(x−2)=−(x−3)2+1，故此时f(x)=−12(x−3)2+12，取得最大值时对应的点为A(3,12)；
当x∈[4,6)时，x−2∈[2,4)，则f(x−2)=−12(x−5)2+12，故此时f(x)=−14(x−5)2+14，取得最大值时对应的点为B(5,14)；
作函数f(x)图象如下：
由图象可知，直线OA与函数f(x)有4个交点，且kOA=16；直线OB与函数f(x)有6个交点，且kOB=120；
又设过点(0,0)，函数在[2,4)上的切线切于点C，
则y=−12(x−3)2+12y=kOCx,
∴x2+(2kOC−6)x+8=0,∴△=0,∴kOC=3±2 2，
又kOC<1,∴kOC=3−2 2，
同理设过点(0,0)，函数在[4,6)上的切线切于点D，则kOD=52− 6．
由图象可知，满足条件的实数m的取值范围为(52− 6,3−2 2)．
故本题选B．
9.【答案】BD
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，y=csx为偶函数，在区间(0,+∞)上不是单调函数，不符合题意；
对于B，y=x2+1为偶函数，又在区间(0,+∞)单调递增，符合题意；
对于C，y=x3，是奇函数，不符合题意；
对于D，y=ln|x|=lnx,x>0ln(−x),x<0，是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递增，符合题意．
故选：BD．
根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．
本题考查函数的奇偶性与单调性的判定，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题．
10.【答案】BC
【解析】解：A.取特殊值，a=−1，b=−2，显然不满足结论；
B.由ac20，由不等式性质可得aC.由同向不等式的性质知，a>b，c>d可推出a+c>b+d，结论正确；
D.取a=3，b=0，c=−1，d=−2，满足条件，显然ac>bd不成立，结论错误．
故选：BC．
根据不等式的性质，结合特殊值判断．
本题考查不等式的性质，属于基础题．
11.【答案】ABD
【解析】解：f(x)+f(x−1)=1，∴f(x+2)+f(x+1)=1，且有f(x+1)+f(x)=1．
∴f(x+2)=1−f(x+1)=1−[1−f(x)]，∴f(x+2)=f(x)，
故f(x)是周期函数，且周期为2，A项正确；
当x∈[1,2]时，x−1∈[0,1]，f(x−1)=1−f(x)=(x−1)2，∴f(x)=2x−x2，故B正确；
当x=12时，f(12)=14，f(−12)=f(32)=34，由偶函数的定义，可得C项错误；
f(−2003.5)=f(0.5)=14．
故选：ABD．
根据周期函数的定义及已知中f(x)+f(x−1)=1恒成立，可判断各个选项的正误．
本题考查函数的性质，属于中档题．
12.【答案】BD
【解析】解：依题意可得，2×π8+φ=π2+kπ,(k∈Z)，即φ=π4+kπ,(k∈Z)，
因为0<φ<π，所以φ=π4，故f(x)=sin(2x+π4)．
令2x+π4=kπ,k∈Z，所以x=−π8+kπ2,k∈Z，
令k=1,x=3π8；k=0,x=−π8；k=2,x=7π8，
故f(x)在[0,π2]上的一个零点，故A不正确；
因为f(3π8)=sin(2×3π8+π4)=sinπ=0，故选项B正确；
由π2+2kπ≤2x+π4≤3π2+2kπ，k∈Z，得π8+kπ≤x≤5π8+kπ，k∈Z，
所以f(x)在[π8+kπ,5π8+kπ]，k∈Z上单调递减，
因为[π8,π2]⊂[π8,5π8]，所以f(x)在[π8,π2]上单调递减，故选项C不正确；
将f(x)的图象向右平移π4个单位长度，可得y=sin[2(x−π4)+π4]=sin(2x−π4)的图象，故D正确．
故选：BD．
根据x=π8为对称轴，可求得φ值，进而可得f(x)的解析式，逐一检验选项，即可判断A、B、C的正误；由三角函数的平移变换即可判断D的正误，即可得答案．
本题考查的知识要点：函数的解析式的求法，函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
13.【答案】2
【解析】【分析】
用待定系数法求出幂函数f(x)的解析式，再计算f(4)的值．
本题考查了幂函数的定义与应用问题，是基础题．
【解答】
解：设幂函数y=f(x)=xα，α∈R，
其图象过点(2, 2)，
∴2α= 2，
解得α=12，
∴f(x)=x12，
∴f(4)=412=2．
故答案为：2．
14.【答案】3
【解析】解：令2x−4=0解得，x=2，代入f(x)=a2x−4+n得，y=n+1，
∴函数图象过定点(2,n+1)，
又函数f(x)=a2x−4+n(a>0且a≠1)的图象恒过定点P(m,2)，
∴m=2，n+1+2，∴n=1，
则m+n=3
故答案为：3．
令解析式中的指数2x−4=0求出x的值，再代入解析式求出y的值，即得到定点的坐标，结合条件列出关于m，n的方程，解之即得．
本题考查了指数函数的单调性与特殊点、指数函数的图象过定点(0,1)的应用，即令解析式中的指数为0求出对应的x和y的值．
15.【答案】1− 22
【解析】解：因为y= 22(sinx+csx)=sin(x+π4)，
分别作出函数y=sinx，y=csx，y=sin(x+π4)的图象，结合定义可知，f(x)的图象为取三函数图象在上方部分，
结合函数的图象可知，函数的最大值为1，最小值为cs5π4=− 22，
故最大值与最小值的和为1− 22．
故答案为：1− 22．
结合已知新定义，再由正弦及余弦函数的图象及性质即可求解．
本题以新定义为载体，主要考查了正弦函数及余弦函数性质的应用，属于基础题．
16.【答案】[54,5)
【解析】解：根据题意，已知f(x)=(5−a)x−3a,x<1lgax,x≥1是(−∞,+∞)上的增函数，
则5−a>0a>1(5−a)−3a≤0，解可得54≤a<5，
即a的取值范围为：[54,5)．
故答案为：[54,5)．
根据题意，由函数单调性的定义可得5−a>0a>1(5−a)−3a≤0，解可得答案．
本题考查分段函数的单调性，涉及分段函数的性质，属于基础题．
17.【答案】解：(1)3lg4+5lg25+lg1625+lg25⋅lg52
=3lg22+5lg52+lg5−4+lg5lg2⋅lg2lg5
=6lg2+10lg5−4lg5+1=6(lg2+lg5)+1=7；
(2)(2a23b12)×(−6a12b13)÷(−3a16b56)=(−12a23+12⋅b12+13)÷(−3a16b56)
=4a76b56÷a16b56=4a76−16⋅b56−56=4a．
【解析】(1)根据对数运算法则计算即可；
(2)根据指数运算的性质即可得．
本题考查对数运算，指数运算，属于中档题．
18.【答案】解：(1)设所求二次函数为f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，
因为f(0)=2，
所以c=2，
则f(x)=ax2+bx+2，
又因为f(x+2)−f(x)=2x+4，
所以a(x+2)2+b(x+2)+2−(ax2+bx+2)=2x+4，
即4ax+4a+2b=2x+4，
由等式的性质得4a=24a+2b=4，
∴a=12b=1，
∴所求二次函数为f(x)=12x2+x+2，
(2)由f(x)=12x2+x+2
=12(x+1)2+32，
当x=−1，时，f(x)有最小值32，
当x=0时，f(x)=2，
当x=−3时，f(x)=72，
所以f(x)∈[32,72]．
【解析】根据题意由对应系数法求函数的解析式，再由二次函数的性质求函数的值域．
本题考查二次函数的解析式求法，及函数的值域，属于中档题．
19.【答案】解：(1)因为f(x)是奇函数，所以f(0)=0，
即−1+b2+a=0⇒b=1；
∴f(x)=−2x+12x+1+a；
又∵定义域为R，则有f(1)=−f(−1)，
可得：−2+14+a=−−12+11+a⇒a=2；
经检验：f(x)是奇函数，满足题意．
所以a，b的值分别为2，1；
(2)由(1)知f(x)=−2x+12x+1+2=−12+12x+1，
易知f(x)在(−∞,+∞)上为减函数；
又因f(x)是奇函数，
从而不等式：f(t2−2t)+f(2t2−k)<0等价于f(t2−2t)<−f(2t2−k)=f(k−2t2)，
因f(x)为减函数，f(t2−2t)得：t2−2t>k−2t2，
即对一切t∈R有：3t2−2t−k>0，开口向上，
从而判别式Δ=4+12k<0⇒k<−13，
即k的取值范围是(−∞,−13)．
【解析】本题考查了函数的基本性质和奇函数的运用能力，属于拔高题．
(1)根据奇函数的性质，定义域包括0，则有f(0)=0，定义域为R，f(−1)=−f(1)即可求得a，b的值；
(2)将f(t2−2t)+f(2t2−k)<0变形为：f(t2−2t)<−f(2t2−k)，因为f(x)是奇函数，−f(2t2−k)=f(k−2t2)，再利用f(x)为减函数解不等式即可．
20.【答案】解：(1)函数f(α)=sin(α−π2)cs(3π2−α)tan(2π−α)tan(α+π)sin(α+π)=−csα⋅(−sinα)⋅(−tanα)tanα⋅(−sinα)=csα．
(2)∵f(α)⋅f(α+π2)=−18=csα⋅cs(α+π2)=−12sin2α，
∴sin2α=14，∵π≤α≤3π2，
∴f(α)−f(α+π2)=csα−cs(α+π2)=csα+sinα
=− (csα+sinα)2=− 1+2sinαcsα
=− 1+14=− 52．
【解析】(1)由题意利用诱导公式、同角三角函数的基本关系，化简可得结果；
(2)由题意利用诱导公式、同角三角函数的基本关系，化简可得结果．
本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，属于基础题．
21.【答案】解：(1)已知f(x)=f(x)= 3sinxcsx−cs2x+12= 32sin2x−1+cs2x2+12=sin(2x−π6)，x∈R，
根据正弦函数的单调性，令：−π2+2kπ≤2x−π6≤π2+2kπ(k∈Z)；
整理得：−π6+kπ≤x≤π3+kπ(k∈Z)，
所以f(x)的单调递增区间为[−π6+kπ,π3+kπ](k∈Z)．
(2)由(1)知f(x)=sin(2x−π6)，故g(x)=sin(x−π6)；
由x∈[π3,5π6]，得x−π6∈[π6,2π3]，
所以g(x)的值域为[12,1]．
【解析】(1)首先利用三角函数的关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的性质求出结果；
(2)利用函数的图象的平移变换和伸缩变换求出函数g(x)的关系式，进一步利用函数的定义域求出函数的值域．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的平移变换和伸缩变换，三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
22.【答案】解：(1)由题意f(0)= 2sinφ=−1，sinφ=− 22，
因为−π2<φ<0，所以φ=−π4，
又因为当|f(x1)−f(x2)|=2 2时，|x1−x2|的最小值为π，
所以12T=π|ω|=π，即T=2π，ω=1，
所以f(x)= 2sin(x−π4)．
(2)方程af(x)+sin2x−a−1=0在[−π4,π2]上有实数解，
即2sinxcsx+a(sinx−csx)−a−1=0在[−π4,π2]上有实数解，
令sinx−csx=t，所以t=sinx−csx= 2sin(x−π4)，
由−π4≤x≤π2，所以−π2≤x−π4≤π4，
所以− 2≤ 2sin(x−π4)≤1，则− 2≤t≤1，
因为(sinx−csx)2=t2，所以2sinxcsx=1−t2，
所以2sinxcsx+a(sinx−csx)−a−1=0在[−π4,π2]上有实数解，
等价于1−t2+at−a−1=0在[− 2,1]上有解，即a(t−1)=t2在[− 2,1]上有解，
①t=1时，方程无解；
②t∈[− 2,1)时，a=t2t−1有解，即a=t2t−1=t−1+1t−1+2在t∈[− 2,1)有解，
令h(t)=t−1+1t−1+2，t∈[− 2,1)，则t−1∈[−1− 2,0),−(t−1)∈(0,1+ 2]，
则h(t)=−[−(t−1)+1−(t−1)]+2≤−2 −(t−1)⋅1−(t−1)+2=0，
当且仅当−(t−1)=1−(t−1)，即t=0时，等号成立，
所以h(t)=t−1+1t−1+2的值域为(−∞,0]，
所以a=t2t−1=t−1+1t−1+2，在t∈[− 2,1)有解等价于a≤0．
综上：实数a的取值范围为(−∞,0]．
【解析】(1)先代入f(0)=−1，求φ，再由条件求得函数的最小正周期，即可求ω，求得函数的解析式；
(2)先整理方程为2sinxcsx+a(sinx−csx)−a−1=0，再运用换元法，设sinx−csx=t，并求得t的取值范围，参变分离，转化为a=t2t−1在区间[− 2,1]上有解，利用基本不等式求实数a的取值范围．
本题考查了三角恒等变换、三角函数的性质、对勾函数的性质及基本不式的应用，考查运算求解能力，是中档题．