2024永州一中高二下学期开学考试数学试题含解析

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满分：150分 考试时间：120分钟
命题人：陈诗跃 审题人：刘昌胜
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若两条直线和平行，则实数的值为（ ）
A. 1B. C. D.
2. 等差数列的前项和为．若，则（ ）
A. 8092B. 4048C. 4046D. 2023
3. 如图，空间四边形OABC中，，点M在线段OA上，且，点N为BC中点，则（ ）
A B.
C. D.
4. 已知曲线存在过坐标原点的切线，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C D.
5. 已知抛物线，圆：，过圆心作直线与抛物线和圆交于四点，自上而下依次为，，，，若，，成等差数列，则直线的斜率为（ ）
A. B. C. D.
6. 设函数是奇函数（）的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是
A. B.
C. D.
7. 已知数列满足，且，若，数列的前项和为，则（ ）
A. B. C. D.
8. 若对任意的，且，都有成立，则的最大值为（ ）
A. B. 1C. eD.
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．
9. 已知空间四点，则下列四个结论中正确的是（ ）
A. B.
C. 点到直线的距离为D. 点到平面的距离为
10. 已知圆：，则下列说法正确的有（ ）
A. 圆关于直线对称的圆的方程为
B. 直线被圆截得的弦长为
C. 若圆上有四个点到直线的距离等于，则的取值范围是
D. 若点是圆上的动点，则的取值范围是
11. 已知函数，则（ ）
A. 有两个极值点B. 有三个零点
C. 点是曲线的对称中心D. 直线是曲线的切线
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 点分别是双曲线的左、右焦点，点在上，且，则的面积为________．
13. 已知，为正实数，直线与曲线相切，则的最小值是__________.
14. 已知函数恰有两个零点，则______.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知等差数列的前项和为，，；数列的前项和.
（1）求数列与通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
16. 已知在四棱锥中，底面为正方形，侧棱平面，点在线段上，直线平面，．
（1）求证：点为中点；
（2）求平面与平面夹角余弦值．
17. 已知椭圆：（）经过点，.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知点，，为椭圆上异于A的两点，且，证明：直线过定点，并求出该定点的坐标.
18. 已知为坐标原点，双曲线离心率为，且过点．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）圆的切线与双曲线相交于两点．
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）求面积的最小值．
19. 已知（其中为自然对数的底数）.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程，
（2）当时，判断是否存在极值，并说明理由；