2022-2023学年湖北省武汉市九年级上学期数学期末试题及答案

这是一份2022-2023学年湖北省武汉市九年级上学期数学期末试题及答案，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. “守株待兔”这个事件是（ ）
A. 随机事件B. 确定性事件C. 必然事件D. 不可能事件
【答案】A
【解析】
【分析】依据“随机事件：在一定条件下有可能发生也有可能不发生的事件”、“必然事件：在一定条件下一定会发生的事件”、“不可能事件：在一定条件下一定不会发生的事件”进行判断即可、“确定性事件：包括必然事件和不可能事件”进行判断即可．
【详解】解：“守株待兔”是随机事件，
故选：A．
【点睛】本题考查了随机事件、必然事件、不可能事件；熟记相关概念是解题的关键．
2. 下列图形是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据中心对称图形逐项分析即可，中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
【详解】解：A、.不是中心对称图形，不符合题意；
B、是中心对称图形，符合题意；
C、不是中心对称图形，不符合题意；
D、不是中心对称图形，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了中心对称图形识别，掌握中心对称图形的定义是解题的关键．
3. 解一元二次方程，配方后正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先把常数项移项到方程的右边，再在方程两边都加上一次项系数一半的平方即可．
【详解】解：，
∴，
则，
∴．
故选：C
【点睛】本题考查的是利用配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键．
4. 已知一元二次方程的两根分别为m，n，则的值是（ ）
A. 5B. 3C. －3D. －5
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次方程根与系数关系可得，再整体代入即可得到答案．
【详解】解：∵一元二次方程的两根分别为m，n，
∴，
∴．
故选：B
【点睛】此题考查了一元二次方程根与系数关系和代数式的求值，熟练掌握一元二次方程根与系数关系是解题的关键．
5. 如图，已知的半径为5，直线经过上一点P，下列条件不能判定直线与相切的是（ ）
A. B. C. 点O到直线的距离是5D.
【答案】A
【解析】
【分析】依据切线的判定定理“经过半径的外端且垂直于这条半径的直线”或“圆心到直线的距离等于半径”进行判断即可．
【详解】解：A、，不能判定直线与相切，符合题意；
B、由，得到，且点P在上，能判定直线与相切，不符合题意；
C、点O到直线的距离是5，等于半径，能判定直线与相切，不符合题意；
D、且点P在上，能判定直线与相切，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了切线的判定；熟练掌握切线的判定是解题的关键．
6. 某品牌手机原来每部售价为元，经过连续两次降价后，该手机每部售价为元，设平均每次降价的百分率为x，根据题意，所列方程正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】依据两次增长（下降）性模型进行列方程即可．
【详解】解：设平均每次降价的百分率为x，
根据题意得，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用；熟记增长（下降）性模型是解题的关键．
7. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边与坐标轴重合，，．将矩形ABCO绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，则第2023次旋转结束时，点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据矩形的性质可知，作出旋转后的图形，找到点的坐标规律即可．
【详解】解：∵，，
∴
将矩形绕点O逆时针旋转，如图
可知：，，，，…，
则：每旋转4次则回到原位置，
∵，
即：第2023次旋转结束时，完成了505次循环，又旋转了3次，
∴的坐标为，
故选：D．
【点睛】本题主要考查旋转的知识，熟练根据旋转的知识确定旋转后的位置是解题的关键．
8. 在二次函数中，若函数值大于0，则结合函数图像判断x的取值范围是（ ）
A. 或 B. 或
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先把解析式配成顶点式，再求出抛物线与x轴的交点坐标，利用描点法画出函数的图像，最后根据图像的性质解答即可．
【详解】解：，
顶点坐标为，对称轴为直线，
函数图像如下所示：
由图像可知：函数，若函数值大于0，则x的取值范围是，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数一元二次方程，二次函数与不等式，解题的关键是正确画出函数的图像．
9. 如图，在圆内接四边形中，．若四边形的面积是S，的长是x，则S与x之间的数关系式是（ ）
B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】延长到E，使，连接，先证明，得到，再证明，最后得到．
【详解】解：如下图，延长到E，使，连接，
四边形是圆内接四边形，
，
在和中，
，
，
，
即，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了圆的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是作辅助线，构造．
10. 根据频率估计概率原理，可以用随机模拟的方法对圆周率π进行估计．用计算机随机产生m个有序数对，它们对应的点金部在平面直角坐标系中某一个正方形的边界及其内部．若统计出这些点中到原点的距离小于或等于1的点有n个，则可估计π的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据落在扇形内的点的个数与正方形内点的个数之比等于两者的面积之比列出，可得答案．
【详解】解：根据题意，点的分布如图所示：
则有，
∴，
故答案为：D．
【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11. 在平面直角坐标系中，点（﹣3，4）关于原点对称的点的坐标是_______．
【答案】（3，-4）
【解析】
【详解】∵关于原点对称的点的横、纵坐标均为相反数，
∴点A（-3，4）关于原点对称的点的坐标是（3，-4）
故答案为：（3，-4）．
12. 若一个长方形的长比宽多2，且面积为80，则宽是_________．
【答案】8
【解析】
【分析】根据长比宽多2，面积是80，表示出长和宽，列出等式求出即可．
【详解】解：设长方形的宽为，则长为，
∴，
解得：，（不合题意舍去），
故答案为：8．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，列代数式的关键是正确理解文字语言中的关键词，比如该题中的“面积长宽”等，从而明确其中的运算关系，正确地列出代数式．
13. 如图，是的内切圆，，则的大小是____________．
【答案】
【解析】
【分析】是的内切圆，即O是的内心，求得，然后利用三角形内角和定理求解．
【详解】解：∵是的内切圆，即O是的内心，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的内切圆和内心，正确证明是关键．
14. 甲、乙、丙三位同学把自己的数学课本故在一起，每人从中随机抽取一本（不放回），三位同学抽到的课本都是自己课本的概率是_______．
【答案】
【解析】
【分析】画出树状图，根据树状图即可得出答案．
【详解】设甲的数学课本用表示，乙的数学课本用表示，丙的数学课本用表示，画树状图如下：
由树状图可知，共有六种等可能的结果数，其中三位同学抽到的课本都是自己的课本有一种结果，所以三位同学抽到的课本是自己课本的概率是．
【点睛】本题主要考查概率的计算，熟练掌握概率的计算方法是解决本题的关键．
15. 已知抛物线，，是常数，经过点，下列结论：
①：
②关于的一元二次方程有两个不相等的实数根；
③当时，随的增大而减小；
④为任意实数，若，则代数式 的最小值是．
其中正确的是________(填写序号)．
【答案】①②④
【解析】
【分析】将点代入解析式得出，即可判断①，进而计算，即可判断②，根据题意，得出对称轴为，即可判断③，根据题意求得对称轴进而得出函数的最小值，即可判断④
【详解】解：将点代入，得，
∴，
∵，
∴，故①正确，
∵，
∵，
∴，故②正确，
∵，则，
∴对称轴为，即对称轴为直线，故③不正确；
∵，
∴，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵，
∴的最小值为
∴代数式 的最小值是．故④正确，
故正确的有①②④，
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了二次函数图象与性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
16. 如图，D是内一点，，，，，，则的长是_____________．
【答案】
【解析】
【分析】将绕点D顺时针旋转至，连接，交于F，交于M，勾股定理求出，易证得到，，从而证得，在与中解得再求得、，最后在中运用勾股定理求解即可．
【详解】解：将绕点D顺时针旋转至，连接，交于F，交于M，
则，，
，
，
又，，
，
，，
，
，
，
在与中，
，
，
，
，
解得：
，
，
在中，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的证明和性质的应用、勾股定理解直角三角形；解题的关键是旋转构造全等，从而证明．
三、解答题（共8小题，共72分）
17. 关于x的一元二次方程有一个根是，求b的值及方程的另一个根．
【答案】b的值为，方程的另一个根为4
【解析】
【分析】设方程的另一个根为m，根据一元二次方程根与系数的关系，即可求解．
【详解】解：设方程的另一个根为m，
∵方程有一个根是，
∴，
解得：，
即b的值为，方程的另一个根为4．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握若，是一元二次方程的两个实数根，则，是解题的关键．
18. 如图，在中，，将绕点A逆时针旋转，得到，连接．
（1）判断的形状；
（2）求证：平分．
【答案】（1）是等边三角形
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据旋转的性质可得，即可求解；
（2）根据等边三角形的性质可得，从而得到，再利用边边边证明，即可．
【小问1详解】
解：∵将绕点A逆时针旋转，得到，
∴，
∴等边三角形；
【小问2详解】
解：∵是等边三角形，
∴，
∵将绕点A逆时针旋转，得到，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
即平分．
【点睛】本题主要考查了图形的旋转，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握图形的旋转的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键．
19. 一个不透明的布袋中装有1个红球，1个黑球和若干个白球，它们除颜色外其余都相同．从中任意摸出1个球，是白球的概率为．
（1）直接写出布袋中白球个数；
（2）从布袋中先摸出一个球后放回，再摸出一个球，请用列表或画树状图法求两次摸到的球都是白球的概率．
【答案】（1）2个 （2）
【解析】
【分析】（1）设布袋中白球的个数为x个，根据概率公式列出方程，即可求解；
（2）根据题意，画出树状图，可得一共有16种等可能情况，其中两次都摸到白球的有4次，再根据概率公式计算，即可求解．
【小问1详解】
解：设布袋中白球的个数为x个，根据题意得：
，
解得：．
经检验：是原方程的解，且符合题意，
即布袋中白球的个数为2个；
【小问2详解】
解：根据题意，画出树状图，如下：
一共有16种等可能情况，其中两次都摸到白球的有4次，
∴ 两次摸到的球都是白球的概率为．
【点睛】本题考查列表法或树状图法求概率，熟练掌握概率公式是解题关键．
20. 如图，是的两条弦，．
（1）在图（1）中，，直接写出图中阴影部分的面积；
（2）在图（2）中，E是的中点，判断与的数量关系，并证明你的结论．
【答案】（1）

（2）
【解析】
【分析】（1）作，先证明是等边三角形，再证明，求出的长度，再求出和的面积，即可得答案；
（2）延长交圆与点F，连接，先求出，再根据三角形中位线的性质，．
【小问1详解】
解：作，如下图，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：延长交圆与点F，连接，如下图，
，
，
，
是的中位线，
．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，三角函数，扇形的面积，圆，三角形的中位线，解题的关键是掌握圆的性质．
21. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．
（1）在图（1）中，A，B，C三点是格点，画经过这三点的圆的圆心O，并在该圆上画点D，使；
（2）在图（2）中，A，E，F三点是格点，经过点A．先过点F画的平行线交于M，N两点，再画弦的中点G．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）首先根据网格的特点和圆的性质求得点D，然后根据矩形的对角线互相平分和圆的性质求得点O即可；
（2）设与的交点为，根据网格的特点和平行线的求得直线交于M，N两点，然后连接，交于点D，连接并延长交与点G即可求解．
【小问1详解】
如图所示，连接，相交于点O，
由网格可得，，
由网格的特点可得，
∵点A，C，B，在同一个圆上
∴
∴点和即为所要求作的D点；
∵
∴四边形是矩形，
∴，
∴点O即为经过A，B，C三点的圆的圆心，
∴点O即为所求作的点；
‘
【小问2详解】
如图所示，∵，点A，C，N，M在上
∴
∴四边形是等腰梯形，
∴，
∴，且平分，
∴点G即为所求作的点．
【点睛】本题考查了复杂作图，利用了垂径定理的推论，矩形的性质，作轴对称图形，轴对称的性质等知识，灵活运用所学知识，将复杂作图逐步转化为基本作图是解题的关键．
22. 燃放烟花是一种常见的喜庆活动．如图，武汉数学小杰燃放一种手持烟花，这种烟花每隔2 s发射一枚花弹，每枚花弹的飞行路径视为同一条抛物线，飞行相同时间后发生爆炸，小杰发射出的第一枚花弹的飞行高度h（单位：m）随飞行时间（单位：s）变化的规律如下表：
（1）求第一枚花弹的飞行高度h与飞行时间t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）当第一枚花弹到达最高点时，求第二枚花弹到达的高度；
（3）为了安全，要求花弹爆炸时的高度不低于30m．小杰发现在第一枚花弹爆炸的同时，第二枚花弹与它处于同一高度，请分析花弹的爆炸高度是否符合安全要求．
【答案】（1）
（2）26m （3）符合安全要求
【解析】
【分析】（1）根据待定系数法求出函数解析式．
（2）求出自变量范围内函数的最大值即可．
（3）直接将时间代入函数解析式求解即可．
【小问1详解】
设，代入三个点
，解得
第一枚花弹的飞行高度h与飞行时间t的函数解析式为
【小问2详解】
由（1）可知h与飞行时间t的函数解析式为
当时，
烟花每隔2 s发射一枚花弹
第二枚花弹发射了2 s
当时，
答：当第一枚花弹到达最高点时，第二枚花弹到达26m．
【小问3详解】
第一枚花弹爆炸的同时，第二枚花弹与它处于同一高度
当相等时即可，
即
解得，则
答：花弹的爆炸高度符合安全要求．
【点睛】此题考查二次函数的实际应用，解题关键是将最高点的高度转化为二次函数的最大值进行求解．
23. 操作与思考 如图（1），在中，，，D是异于A，B的一点，且．将线段绕点A逆时针旋转α，画出对应线段，连接交于点F，猜想与的数量关系，并证明你的猜想：
迁移与运用 如图（2），在和中，，，，，，的延长线交于点F，且，直接写出的长．

【答案】，证明见解析；的长为3．
【解析】
【分析】操作与思考：作出的对应线段，连接交于点F，先证明，， ，在上取一点G，使得，再证明，即可得到；
迁移与运用：连接，先证明，则，，作，可得和都是等腰直角三角形，再证，得到，由勾股定理得到，即可得到的长．
【详解】操作与思考
，证明如下：
如图，作出的对应线段，连接交于点F，
∵,
∴,
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
，
在上取一点G，使得，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
迁移与运用
如图，连接，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，，
作，垂足分别是点G和点H，则和都是等腰直角三角形，
∵，，
∴,
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
即的长为3．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、旋转的性质、勾股定理等知识，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．
24. 如图，抛物线与x轴分别相交于A，B两点（点A在点B的左侧），C是的中点，平行四边形的顶点D，E均在抛物线上．
（1）直接写出点C的坐标；
（2）如图（1），若点D的横坐标是，点E在第三象限，平行四边形的面积是13，求点F的坐标；
（3）如图（2），若点F抛物线上，连接，求证：直线过一定点．
【答案】（1）
（2）
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）令，求出点，即可求解；
（2）先求出点，再求出直线的解析式，然后过点E作轴交直线于点G，连接，设点，则点，可得，再由平行四边形的面积是13，可得，再根据，列出关于a的方程，求出点E的坐标，即可求解；
（3）设直线的解析式为，联立，可得，从而得到，再由平行四边形的性质，可得，
，再由点E在抛物线上，可得，从而得到直线的解析式为，即可求解．
【小问1详解】
解：当时，，
解得：，
∴点，
∵C是的中点，
∴；
【小问2详解】
解：把代入得：
，
∴点，
设直线的解析式为，
把点，代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为，
如图，过点E作轴交直线于点G，连接，
设点，则点，
∴，
∵平行四边形的面积是13，
∴，
∵，
∴，
解得：或（舍去），
∴点，
∵先向右平移3个单位，再向下平移2个单位到达点，
∴点先向右平移3个单位，再向下平移2个单位到达点；
【小问3详解】
解：设直线的解析式为，
联立得：，
整理得：，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
，
∵点E抛物线上，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
∴直线过定点．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，平行四边形的性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键．飞行时间t/s
0
0.5
1
4.5
……
飞行高度h/m
2
9.5
16
33.5
……