2022-2023学年湖北武汉市东湖高新区九年级上学期数学期末试题及答案

这是一份2022-2023学年湖北武汉市东湖高新区九年级上学期数学期末试题及答案，共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念即可求解．
【详解】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形．故本选项符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形．故本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形．故本选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查轴对称图形与中心对称图形的概念，属于基础题型，难度不大．解题的关键是掌握轴对称图形与中心对称图形的判定方法．注意：中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某一个点旋转，旋转后的图形与原来的图形能够重合；轴对称图形：一个图形沿一条直线对折后，两部分能完全重合．
2. 彩民李大叔购买1张彩票，中奖．这个事件是（ ）
A. 必然事件B. 确定性事件C. 不可能事件D. 随机事件
【答案】D
【解析】
【分析】直接根据随机事件的概念即可得出结论．
【详解】购买一张彩票，结果可能为中奖，也可能为不中奖，中奖与否是随机的，即这个事件为随机事件．
故选：D．
【点睛】本题考查了随机事件的概念，解题的关键是熟练掌握随机事件发生的条件，能够灵活作出判断．
3. 小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】平均增长率为x，关系式为：第三天揽件量＝第一天揽件量×（1＋平均增长率）2，把相关数值代入即可．
【详解】解：由题意得：第一天揽件200件，第三天揽件242件，
∴可列方程为：，
故选：A．
【点睛】此题考查一元二次方程应用，得到三天的揽件量关系式是解决本题的突破点，难度一般．
4. 不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与第一次摸到红球，第二次摸到绿球的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：画树状图得：

∵共有4种等可能的结果，第一次摸到红球，第二次摸到绿球有1种情况，
∴第一次摸到红球，第二次摸到绿球的概率为，
故选：A．
【点睛】本题考查了画树状法或列表法求概率，列出所有等可能的结果是解决本题的关键．
5. 关于反比例函数 ，下列说法中不正确是（ ）
A. 点在它的图象上B. 图象关于直线对称
C. 当时，随的增大而增大D. 它的图象位于第一．三象限
【答案】C
【解析】
【分析】根据反比例函数的图象与性质逐一判断即可．
【详解】解：A、当时，则，所以点在它的图象上，故不符合题意；
B、由反比例函数可知图象关于直线对称，故不符合题意；
C、当时，随的增大而减小，故符合题意；
D、它的图象位于第一、三象限，故不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．
6. 如图，PA，PB是的切线，A、B为切点，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据切线的性质以及四边形的内角和即可求解．
【详解】解：∵PA，PB是的切线，
∴，
，
，
则，
故选B．
【点睛】本题考查了切线的性质以及四边形的内角和，掌握切线的性质是解题的关键．
7. 某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于矩形，如图．已知矩形的宽为，高为，则改建后门洞的圆弧长是（ ）
B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用勾股定理先求得圆弧形的门洞的直径BC，再利用矩形的性质证得是等边三角形，得到，进而求得门洞的圆弧所对的圆心角为，利用弧长公式即可求解．
【详解】如图，连接，，交于点，
∵ ，
∴是直径，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴门洞的圆弧所对的圆心角为 ，
∴改建后门洞的圆弧长是(m)，
故选：C
【点睛】本题考查了弧长公式，矩形的性质以及勾股定理的应用，从实际问题转化为数学模型是解题的关键．
8. 如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的面积为（ ）
A. 5B. 6C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】证明△ABE∽△CDE，求得AE：CE，再根据三角形的面积关系求得结果．
【详解】解：∵CD∥AB，
∴△ABE∽△CDE，
∴=2，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，三角形的面积公式，关键在于证明三角形相似．
二、填空题
9. 已知点A（﹣2，b）与点B（a，3）关于原点对称，则a﹣b =______．
【答案】5
【解析】
【分析】根据平面直角坐标系中，关于原点对称的点横、纵坐标都互为相反数，求出a，b的值即可．
【详解】∵点A（﹣2，b）与点B（a，3）关于原点对称，
∴，，
∴
故答案为：5．
【点睛】本题考查平面直角坐标系中，关于原点对称的点的坐标的特点，掌握特殊位置关系的点的坐标变化是解答本题的关键．
10. 若反比例函数y＝图像经过第二、四象限，则m的取值范围是 _____．
【答案】m＜2
【解析】
【分析】由反比例函数图像经过第二、四象限，得出m﹣2＜0，求出m范围即可．
【详解】解：∵反比例函数y＝的图像经过第二、四象限，
∴m﹣2＜0，
得：m＜2．
故答案为：m＜2．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图像的性质，根据反比例函数图像的性质，列出关于m的不等式，是解题的关键．
11. 如图，和是以点为位似中心的位似图形，若，的周长为4，则的周长为______．
【答案】10
【解析】
【分析】根据位似图形的性质，得到，根据得到相似比为：，再结合三角形的周长比等于相似比即可得到答案．
【详解】解：和是以点为位似中心的位似图形，
，
，
，
，
根据与的周长比等于相似比可得：，
，
，
故答案：10．
【点睛】本题考查了相似图形的性质，掌握位似图形与相似图形的关系，熟记相似图形的性质是解决问题的关键．
12. 如图，木工用角尺的短边紧靠⊙于点A，长边与⊙相切于点B，角尺的直角顶点为C，已知，则⊙的半径为_____．
【答案】##
【解析】
【分析】设圆的半径为rcm，连接OB、OA，过点A作AD⊥OB，垂足为D，利用勾股定理，在Rt△AOD中，得到r2＝（r−6）2＋82，求出r即可．
【详解】解：连接OB、OA，过点A作AD⊥OB，垂足为D，如图所示：
∵CB与相切于点B，
∴，
∴，
∴四边形ACBD为矩形，
∴，，
设圆的半径为rcm，在Rt△AOD中，根据勾股定理可得：，
即r2＝（r−6）2＋82，
解得：，
即的半径为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理列出关于半径r的方程，是解题的关键．
13. 如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成．向游戏板随机投掷一枚飞镖（每次飞镖均落在纸板上），击中阴影区域的概率是_______．

【答案】
【解析】
【分析】根据几何概率的求解公式即可求解.
【详解】解：设图中每个小正方形面积为1，则大正方形的面积为9，
根据题意图中阴影部分的面积为3，
则P（击中阴影区域）．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查概率的求解，解题的关键是熟知几何概率的公式.
14. 如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为A−2，4，B1，1，则关于x的方程的解为_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次函数图象与一次函数图象的交点问题得到方程，即，则抛物线与直线交点的横坐标即为方程的解．
【详解】解：∵抛物线与直线的两个交点坐标分别为A−2，4，B1，1，由，可得的解为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数交点问题，理解函数图象交点的横坐标即为方程的解是解题的关键．
三、解答题
15. 已知关于x的方程．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的一个根为，求k的值及方程的另一根．
【答案】（1）见解析 （2），另一个根为．
【解析】
【分析】（1）先得出一元二次方程根的判别式，再证明判别式大于0即可；
（2）把代入方程可求得k的值，再解方程可求得另一根．
【小问1详解】
证明：∵，，，
∴，
∵无论k取何值，，
∴ ，即，
∴方程总有两个不相等的实数根；
【小问2详解】
解：把代入原方程得，，
∴，
∴原方程化为程，即，
解得：，，
∴另一个根为．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，以及解一元二次方程，由方程根的情况得到判别式的符号是解题的关键．
16. 密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积是反比例函数关系，它的图像如图所示．
（1）求密度关于体积的函数解析式；
（2）当时，求该气体的密度．
【答案】（1）
（2）1
【解析】
【分析】（1）用待定系数法即可完成；
（2）把V=10值代入（1）所求得的解析式中，即可求得该气体的密度．
【小问1详解】
设密度关于体积的函数解析式为，
把点A的坐标代入上式中得：，
解得：k=10，
∴．
【小问2详解】
当时，（）．
即此时该气体的密度为1．
【点睛】本题是反比例函数的应用问题，考查了求反比例函数的解析式及求反比例函数的函数值等知识，由图像求得反比例函数解析式是关键．
17. 如图，是以为直径的半圆上的两点，，连结．
（1）求证：．
（2）若，，求阴影部分的面积．
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等得到∠ACD＝∠DBA，根据 ∠CAB＝∠DBA得到∠CAB＝∠ACD，进而得到结论；
（2）连结OC，OD，证明所求的阴影部分面积与扇形的面积相等，继而得到结论．
【小问1详解】
证明：∵=，
∴∠ACD＝∠DBA，
又∠CAB＝∠DBA，
∴∠CAB＝∠ACD，
∴；
【小问2详解】
解：如图，连结OC，OD．
∵∠ACD＝30°，
∴∠ACD＝∠CAB＝30°，
∴∠AOD＝∠COB＝60°,
∴∠COD＝180°-∠AOD-∠COB＝60°．
∵，
∴S△DOC=S△DBC，
∴S阴影=S弓形COD+S△DOC=S弓形COD+S△DBC=S扇形COD，
∵AB＝4，
∴OA＝2，
∴S扇形COD=．
∴S阴影=．
【点睛】本题主要考查扇形的面积，同弧所对的圆周角相等，平行线的判定，掌握定理以及公式是解题的关键．
18. 在5张相同的小纸条上，分别写有语句：①函数表达式为；②函数表达式为；③函数的图像关于原点对称；④函数的图像关于轴对称；⑤函数值随自变量增大而增大．将这5张小纸条做成5支签，①、②放在不透明的盒子中搅匀，③、④、⑤放在不透明的盒子中搅匀．
（1）从盒子中任意抽出1支签，抽到①的概率是______；
（2）先从盒子中任意抽出1支签，再从盒子中任意抽出1支签．求抽到的2张小纸条上的语句对函数的描述相符合的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画出树状图，再由概率计算公式求解即可．
【小问1详解】
解：从盒子中任意抽出1支签，抽到①的概率是；
故答案为：；
【小问2详解】
解：画出树状图：
共有6种结果，抽到的2张小纸条上的语句对函数的描述相符合的有①、③和①、⑤和②、④共3种，
抽到的2张小纸条上的语句对函数的描述相符合的概率为．
【点睛】本题主要考查了列表法或树状图求概率，一次函数与二次函数的性质，解题的关键是会列出表或树状图以及一次函数与二次函数的性质．
19. （1）如图1，在中，分别为上的点，，，交于点，求证：
（2）如图2，在（1）的条件下，连接，若，求的值．
【答案】（1）见解析；
【解析】
【分析】（1）由题意得：，，根据相似三角形的性质得到，进而证明出结论；
（2）根据线段垂直平分线的性质求出，根据相似三角形的性质计算，得到答案．
【详解】（1）证明：，
，，
，，
，
，
；
（2）解：，，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
20. 现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段表示水平的路面，以O为坐标原点，以所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：，该抛物线的顶点P到的距离为．
（1）求满足设计要求的抛物线的函数表达式；
（2）现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯．已知点A、B到的距离均为，求点A、B的坐标．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，设抛物线的函数表达式为，再代入（0，0），求出a的值即可；
（2）根据题意知，A，B两点的纵坐标为6，代入函数解析式可求出两点的横坐标，从而 可解决问题．
【小问1详解】
依题意，顶点，
设抛物线的函数表达式为，
将代入，得．解之，得．
∴抛物线的函数表达式为．
【小问2详解】
令，得．
解之，得．
∴．
【点睛】本题考查了运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，由函数值求自变量的值的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键．