2022-2023学年湖北省武汉市蔡甸区九年级上学期数学期末试题及答案

这是一份2022-2023学年湖北省武汉市蔡甸区九年级上学期数学期末试题及答案，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用一元二次方程必须满足的两个条件：（1）未知数的最高次数是2，（2）二次项系数不为0，逐一分析四个选项中的方程，即可得到答案．
【详解】解：A. 是二元二次方程，故本选项不符合题意；
B. 是一元二次方程，故本选项符合题意；
C. 是二元二次方程，故本选项不符合题意；
D. 是分式方程，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，牢记一元二次方程的定义：只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是，是解题的关键．
2. 下列汽车标志中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【详解】解：A．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
D．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项符不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形是沿着某条直线对折，图形两部分能够完全重合的图形，中心对称图形是绕某点，旋转180度后与自身重合的图形．
3. 已知抛物线与轴的一个交点为，则代数式的值为（ ）
A. 2021B. 2020C. 2022D. 2023
【答案】D
【解析】
【分析】将代入抛物线可得，进而可以求出代数式的值．
【详解】解：抛物线与轴的一个交点为，
，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点，解题的关键是掌握二次函数与方程的关系．
4. 平面直角坐标系中点关于原点的对称点坐标是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据关于原点的对称点的横纵坐标都互为相反数即可得到答案．
【详解】解：∵关于原点的对称点的横纵坐标都互为相反数，
∴点关于原点的对称点坐标是，
故选：B
【点睛】此题考查了关于原点的对称点的坐标特征，熟练掌握关于原点的对称点的横纵坐标都互为相反数是解题的关键．
5. 在甲、乙两个不透明口袋中随机摸球，已知两个袋中分别有红、白、黑球各一个，这些球除颜色外无其他差别，小明从两个口袋中各随机取出一个球，取出的球是一个红球和一个白球的结果共有（ ）种．
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】画出树状图，找到符合要求的结果即可．
【详解】解：画树状图如下：
∴取出的球是一个红球和一个白球的结果共有2种．
故选：B
【点睛】此题考查了列举法求结果数，熟练掌握树状图或列表法是解题的关键．
6. 某种商品每天的销售利润元与单价元（）之间的函数关系式为．则这种商品每天的最大利润为（ ）
A. 元B. 元C. 元D. 元
【答案】C
【解析】
【分析】利用函数解析式可知函数由最大值，进而得到最大利润为
【详解】解：∵销售利润元与单价元（）之间的函数关系式为
∴
∴销售利润有最大值，最大值为
∴这种商品每天的最大利润为
故选：
【点睛】本题考查了二次函数的性质，利用解析式判断函数的最大值是解题的关键．
7. 若抛物线的顶点在轴上，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先表示出抛物线的顶点坐标为，再根据抛物线的顶点在轴上得到，求出的值即可得到答案．
【详解】解：根据题意可得：
抛物线的顶点坐标为：，
抛物线的顶点在轴上，
，
解得：，
故选：D．
【点睛】本题考查了抛物线的顶点位置求参数的问题，解题的关键是掌握二次函数的顶点坐标公式．
8. 如图，在中半径与弦垂直于点D，且，，则的长是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】根据垂径定理以及勾股定理即可求答案．
【详解】解：连接，
设，
∵，
∴，
∵，
∴由垂径定理可知：，
由勾股定理可知：
∴，
∴，
故选C.
【点睛】本题考查垂径定理，解题的关键是熟练运用垂径定理以及勾股定理，本题属于基础题型．
9. 如图，已知△ABD是等边三角形，，E是AD上的点，，与BD交于点F．则下列结论正确的有（ ）
①连接AC，则AC垂直平分线段BD；②△DEF是等边三角形；③若，则；④若AB＝8，DE＝2，则CF＝4．
A. ①②B. ①②④C. ②③④D. ①③④
【答案】B
【解析】
【分析】如图，连接AC，由△ABD是等边三角形得AB=AD，从而得点A、CD都在线段BD的垂直平分线上，即可判断①正确，由平行线的性质可得∠ABD=∠EFD=60°，∠DEF=∠DAB=60°，即可判断②正确，三角形的外角性质得∠DCE=∠DFE-∠CDB=60°-40°=20°，从而判断③错误，先找到CE=AE，又由△ABD和△DEF都是等边三角形，AB＝8，DE＝2，得AD=AB=8，EF=DE=2，从而有CF=CE-EF=4，即可判断④正确．
【详解】解：如图，连接AC，
∵△ABD是等边三角形，
∴AB=AD，∠ABD=∠DAB=∠EDF=60°，
∵，
∴点A、C都在线段BD的垂直平分线上，
∴连接AC，则AC垂直平分线段BD，故①正确，
∵，
∴∠ABD=∠EFD=60°，∠DEF=∠DAB=60°，
∴△DEF是等边三角形，故②正确，
∵BC=BD，，
∴∠CDB=∠CBD=40°，
∵∠DFE=60°，
∴∠DCE=∠DFE-∠CDB=60°-40°=20°，故③错误，
∵AC垂直平分BD，AB=AD，∠BAD=60°，
∴∠CAB=∠CAD=30°，
∵AB//CE，
∴∠ACE=∠CAB=∠CAD，
∴CE=AE，
∵△ABD和△DEF都是等边三角形，AB＝8，DE＝2，
∴AD=AB=8，EF=DE=2，
∴CF=CE-EF=AE-EF=AD-DE-EF=8-2-2=4，故④正确，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的判定及性质，等边三角形的判定及性质，平行线的性质，熟练掌握等边三角形的判定及性质是解题的关键．
10. 如图，边长为2的等边的顶点在正半轴上移动，顶点在直线第一象限的分支上移动，求长度的最大值为（ ）
B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】连接，当垂直平分时，最大，在两个直角三角形和中进行计算，求出的长即可．
【详解】解：如图，过点作，连接，
，
只有在同一直线上时，最大，
如图，连接，当垂直平分时，最大，
此时，，
在直角中，
，，
在直角中，，，
在上截取，连接，则是等腰直角三角形，
，
，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了解直角三角形，在直角中，用余弦求出长，在直角中，根据两个锐角的关系，在较长直角边上截取较短的直角边长，根据等腰直角三角形以及等边对等角求出的长，然后得到的值．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11. 方程的解是____________．
【答案】
【解析】
【分析】把方程两边开方得到即可求解．
【详解】解：，
开方得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平方根：形如或的方程可采用开平方的方法求解．
12. 二次函数的图象顶点是______．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用二次函数顶点式的图象与性质求解即可．
【详解】解：的顶点坐标为：
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数顶点式的图象与性质是解题的关键．
13. 如果一个正多边形的中心角为45°，那么这个正多边形的边数是______．
【答案】8
【解析】
【详解】试题解析：这个多边形的边数是
故答案为8.
14. 用一根长为32cm的铁丝围成一个矩形，则围成矩形面积的最大值是_______cm2．
【答案】64．
【解析】
【详解】试题解析：设矩形的一边长是xcm，则邻边的长是（16-x）cm．
则矩形的面积S=x（16-x），即S=-x2+16x，
当x=-时，S有最大值是：64．
考点：二次函数的最值．
15. 如图，圆锥的侧面展开图是一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r＝2cm，圆锥的母线长为6cm，则侧面展开图的圆心角的度数为____________°
【答案】120
【解析】
【分析】根据圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长，首先求得展开图的弧长，然后根据弧长公式即可求解．
【详解】解：圆锥侧面展开图的弧长是：（cm）
设圆心角的度数是n度，则
解得
故答案为：120．
【点睛】此题主要考查了圆锥的有关计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
16. 二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③m为任意实数，则；④；⑤若且，则．其中正确的有 ___________
【答案】
【解析】
【分析】根据抛物线图象开口方向得，由抛物线对称轴为直线，得到，由抛物线与y轴的交点位置得到，据此即可判定①②；根据二次函数的性质知：当时，函数有最大值，据此即可判定③；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在的右侧，据此即可判定④；把先移项，再分解因式得到，而，则，即，然后把代入计算，即可判定⑤．
详解】解：∵抛物线图象开口向下，
，
∵抛物线对称轴为直线，
，即，所以②正确；
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
，
，所以①错误；
∵抛物线对称轴为直线，
∴函数的最大值为，
，即，所以③错误；
∵抛物线与x轴的一个交点在的左侧，而对称轴为直线，
∴抛物线与x轴的另一个交点在的右侧，
∴当时，，
，所以④错误；
，
，
，
，
，
，即，
，
，所以⑤正确，
综上所述，正确的有．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
三、解答题（共8小题，共72分）
17. 解方程：
（1）；
（2） ．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）采用公式法解一元二次方程即可得到答案；
（2）采用因式分解法解一元二次方程即可得到答案．
小问1详解】
解：，
，
，
，；
【小问2详解】
解：，
，
，
或，
．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，解一元二次方程的方法有：直接开平方法、公式法、因式分解法、配方法等，选择合适简便的方法是解题的关键．
18. 在一个不透明的袋子里装有除数字外完全相同的四个小球，上面分别标有数字2，3，4，5，小何先从袋中随机摸出一个小球，再从袋中剩下的三个小球中随机摸出一个小球，求小何摸出的两个小球上的数字积为奇数的概率是多少？请用树状图或者列表的方法说明．
【答案】，见解析
【解析】
【分析】画出树状图，共有12种等可能的结果，小何摸出的两个小球上的数字积为奇数的结果有2个，再由概率公式求解即可．
详解】解：画图如下：
共有12个等可能的结果，小何摸出的两个小球上的数字积为奇数的结果有2个，
小何摸出的两个小球上的数字积为奇数的概率为．
【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率，解题的关键是熟练掌握：概率＝所求情况数与总情况数之比．
19. 如图，在中，，，以直角顶点C为旋转中心，将旋转到的位置，其中，分别是A，B的对应点，且点B在斜边上，直角边交AB于D，求的度数．
【答案】
【解析】
【分析】由内角和定理求出，由旋转的性质得到，，得到，再由三角形内角和定理求出，由三角形外角的性质求出的度数即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵以直角顶点C为旋转中心，将旋转到的位置，
∴，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了旋转的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
20. 请用无刻度尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）．
（1）如图1，点E是矩形ABCD边AD的中点过E画矩形的一条对称轴交BC于F；
（2）如图2，正方形ABCD中，点E是AB的中点，在BC上找一点G，使得AG⊥DE；
（3）如图3，在正六边形ABCDEF中．点G是AF上一点，在CD上找一点H，使得EH=BG；
（4）如图4，在⊙O中，点D是劣弧AC的中点，点B是优弧AC上一点，在⊙O上找一点I，使得BI//AC．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）见解析；
【解析】
【分析】（1）连接AC和BD，通过矩形的对角线找到矩形的中心，连接E和中心做线段即可；
（2）连接BD和EC交点于O，根据轴对称的性质可得到，因此，可证出和，因此AG⊥DE，G即为所求；
（3）连接AD和FC交于点O，连接GO并延长交CD于H，连接EH，由轴对称的性质可得到，故，H即为所求；
（4）连接CB，再连接DO并延长交BC于点P，连接AP并延长交圆于点I，由垂径定理即可征得，，可得到，I即为所求；
【详解】如图所示：
【点睛】本题主要考查了直尺作图的方法以及一些常用平面几何结论，其中涉及到了轴对称的性质，全等三角形的性质和判定，垂径定理，平行线的判定等知识点，灵活运用各性质找到关键点是解题的关键．
21. 如图，中，，点D为斜边中点，以为直径作，分别与边交于点E、F，过点E作，垂足为G．
（1）求证：是的切线；
（2）已知的半径为6，若，求BE的长．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【解析】
【分析】（1）连接，通过直角三角形的性质以及等腰三角形的性质得到，即可求证；
（2）连接，由圆的性质以及矩形的判定可得，四边形为矩形，利用矩形的性质以及勾股定理，即可求解．
【小问1详解】
证明：如图，连接，
∵中，D为边中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴EG是的切线．
【小问2详解】
解：如图，连接，
∵是的直径，
∴，
又∵，
∴四边形为矩形，
∴，
又∵，
∴．
【点睛】此题考查了圆的有关性质，涉及了切线的判定与性质，矩形的判定与性质以及勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关基础性质．
22. 商场销售一款商品，进价为100元/支，销售中发现该商品每天的销售量（件）与售价（元/件）之间满足一次函数关系
（1）商场每天销售这种商品的利润能否达到7200元？如果能，求出此时的销售价格；如果不能，说明理由．
（2）若商场规定每天的利润不得低于6300元，求销售价格的取值范围．
【答案】（1）能，140或160元
（2）
【解析】
【分析】（1）根据（售价－进价）×销售量＝利润，列出方程，解方程即可得到答案；
（2）根据（售价－进价）×销售量＝利润列出二次函数，再根据函数图象的性质即可得到答案．
【小问1详解】
解：根据题意得：
，
解得：，
商场每天销售这种商品的销售价格为140或160元；
【小问2详解】
解：设商场每天利润为元，
由题意得：，
当时，，
解得：，
，抛物线开口向下，
当时，，
若商场规定每天的利润不得低于6300元，销售价格的取值范围为元．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用以及二次函数的实际应用，解题的关键是找准等量关系式，列出一元二次方程和二次函数是解题的关键．
23. 如图（1）和为两个全等的等边三角形，边和的中点重合与点，直线交直线于点．
（1）求证：；
（2）若，是判断、、的数量关系；
（3）若，请直接写出的最小值．
【答案】（1）见解析 （2），见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）连接和，由，，得到，再由得到，从而得到即可得到答案；
（2）连接，作交延长线于点，由（1）可知，再通过证明，得到，从而得到为等腰直角三角形，即可得到答案；
（3）当点在内部，且平分时，的值最小，延长交于，此时，由等边三角形三线合一得出，，由勾股定理得出，通过证明可得到，，连接和，通过证明，再通过角度的转化，从而得到，进而得到，最后得出了的最小值．
【小问1详解】
证明：连接和，
，，
，
，
，
，
，即．
【小问2详解】
解：连接，作交延长线于点，
由（1）可知，
，
，
，
即，
，
，
（ASA），
，
为等腰直角三角形，
．
【小问3详解】
解：如图所示，当点在内部，且平分时，的值最小，延长交于，此时，
平分，为等边三角形，
，，
，
边和的中点重合与点，
，
，
在和中，
，
（SAS），
，，
，
连接和，
，
，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
最小值等于．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质三角形全等的判定与性质，勾股定理，解题的关键是作出适当的辅助线，熟练掌握等边三角形的性质以及三角形全等的判定与性质．
24. 如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，二次函数的图象与一次函数的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点，且D点坐标为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在x轴上找一点P，使最大，求出点P的坐标；
（3）在x轴上是否存在点P，使得是以点P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）存在，点P的坐标为或
【解析】
【分析】（1）根据直线的解析式，可求得点B的坐标，由于B、D都在抛物线上，那么它们都满足该抛物线的解析式，通过联立方程组即可求得待定系数的值．
（2）当P在x轴上的任何位置（点A除外）时，，当点P在点A 处时，即可得答案；
（3）假设存在符合条件的P点，连接、，过C作轴于F，若，则，可设出点P的坐标，分别表示出、的长，根据相似三角形所得比例线段即可求得点P的坐标．
【小问1详解】
将，的坐标代入，
得：，
解得，
∴解析式为：
【小问2详解】
当P在x轴上的任何位置（点A除外）时，根据三角形两边之差小于第三边得，当点P在点A 处时，，这时，最大，即P在A点时，最大．
∵直线交x轴与A点，令，
，即，
∴．
【小问3详解】
设符合条件的点P存在，令：
当P为直角顶点时，如图：过C作轴于F；
∵，，
∴，
∴，
∴，
即，
整理得，
解得或；
∴所求的点P的坐标为或．
【点睛】此题考查了二次函数解析式的确定、直角三角形的判定以及相似三角形的性质等，掌握三角形相似性质是解题关键．