广东省广州市天河区大观学校2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷

这是一份广东省广州市天河区大观学校2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷，共19页。

1．（3分）下列方程中，关于x的一元二次方程的是（ ）
A．2x+y＝2B．x+y2＝0C．2x（2﹣x）＝1D．
2．（3分）下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）矩形ABCD的对角线长为5，边AB的长是方程x2﹣7x+12＝0的一个根，则该矩形的面积为（ ）
A．6B．12C．6或12D．8或12
4．（3分）将二次函数y＝（x+1）2﹣2的图象向上平移4个单位，得到的图象对应的函数表达式是（ ）
A．y＝（x+5）2﹣2B．y＝（x﹣3）2﹣2
C．y＝（x+1）2﹣6D．y＝（x+1）2+2
5．（3分）一元二次方程4x2﹣4x+1＝0根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
6．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点B的对应点E恰好落在边AC上，点A的对应点为D，延长DE交AB于点F，则下列结论一定正确的是（ ）
A．AE＝ECB．AB＝CDC．∠B＝∠DD．∠AEF＝∠B
7．（3分）抛物线y＝x2﹣2图象与y轴交点的坐标是（ ）
A．（0，2）B．（2，0）C．（0，﹣2）D．（﹣2，0）
8．（3分）某地2018年为做好“精准扶贫”，投入资金1480万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2020年在2018年的基础上增加投入资金2000万元．若设从2018年到2020年该地投入异地安置资金的年平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ）
A．1480（1+x）2＝2000
B．1480（1+2x）＝3480
C．1480（1+x）2＝3480
D．1480（1+x）+1480（1+x）2＝3480
9．（3分）如图，在同一坐标系中，二次函数y＝ax2+c与一次函数y＝ax+c的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，0），∠OAB＝120°，AB＝AO，且点B在第一象限内，将△AOB绕点O顺时针旋转，每次旋转60°，则第2024次旋转后，点B的坐标是（ ）
A．B．C．D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围 ．
12．（3分）已知x1，x2为一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个实数根，那么x12+x22＝ ．
13．（3分）已知函数y＝x2﹣x﹣3在平面直角坐标系中与x轴的一个交点为（m，0），则代数式2m2﹣2m+2019的值为 ．
14．（3分）若等腰三角形的一边长是4，另两边的长是关于x的方程x2﹣6x+n＝0的两个根，则n的值为 ．
15．（3分）如图，C为线段AB的中点，D为AB垂直平分线上一点，连接BD，将BD绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，连接AE，若AB＝2，AE＝4，则CD的长为 ．
16．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，下列结论：①abc＜0；②2a﹣b＜0；③b2＞（a+c）2；④点（﹣3，y1），（1，y2）都在抛物线上，则有y1＞y2．其中正确的结论是 ．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（6分）解方程：
（1）3x2﹣7x﹣10＝0；
（2）（x+1）（x+3）＝15．
18．（6分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一个角度α，得到△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上．且点A、B、E在同一条直线上．
（1）求证：DA平分∠BDE；
（2）若AC⊥DE，求旋转角α的度数．
19．（6分）如图，在平面直角坐标系中，A（0，1），B（2，0），C（1，2），D（3，3）．
（1）作出△ABC绕点D旋转180°得到△A1B1C1；
（2）作出点B1绕点A1顺时针旋转90°得到点E；
（3）在y轴上存在点P，使得|PE﹣PB1|最大，直接写出点P的坐标．
20．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣（n﹣1）＝0有两个实数根，求n的取值范围．
21．（8分）乐奇童装店在服装销售中发现：进货价每件60元，销售价每件100元的某童装平均每天可售出20件．为了庆祝国庆节，童装店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．
（1）童装店降价前每天销售该童装可盈利多少元？
（2）如果童装店想每天销售这种童装盈利1200元，同时又要让顾客得到更多的实惠，每件童装应降价多少元？
22．（8分）已知抛物线L：y＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是直线x＝2，交y轴于（0，4a）．
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）直线y＝kx﹣2k+4（k≠0）与抛物线L相交A，B两点（A在B的左侧），抛物线L的顶点记为点C；
①若点A的横坐标为1，△ABC的面积为10，求a的值；
②过点A作AE⊥x轴，垂足为E，延长AE交直线BC于F，求线段EF的长．
23．（8分）阅读下面的材料：
老师出了一道家庭作业题，题目是：已知关于x的方程x2+（8﹣4m）x+4m2＝0的两根为x1，x2，且+＝136，求正数m的值．
小玉的解法如下：
解：∵x1+x2＝4m﹣8，x1x2＝4m2，又∵+＝（x1+x2）2﹣2x1x2，∴（4m﹣8）2﹣2×4m2＝136，解得m1＝﹣1，m2＝9．
问题：
小玉的解法对吗？如果不对，她错在哪里？应如何改正？
24．（10分）如图1，点E是正方形ABCD外的一点，以DE为边构造正方DEFG，点M是△ADE边AE上的动点，点N是△CDG的边CG上的动点．
（1）证明：△ADE≌△CDG；
（2）如图（1）：当DM和DN分别是△ADE和△CDG的中线时，试猜想DM和DN的数量关系和位置关系，并说明理由．
类比猜想：
小亮解决完上述问题后，进行了积极的思考，他认为：在（2）问中，当DM、DN分别是△ADE和△CDG的高（如图2），其他条件不变时，问题（2）的结论依然成立．请你说明小亮的观点是否正确，并说明理由．
感悟发现：
小惠认为：在问题（2）中，当DM⊥AD，DN⊥CD时，问题（2）的结论依然成立．请你思考：
1）小惠的说法是否正确？答： ．（填写“正确”或“不正确”，不需要证明）
2）思考上面的探究过程，当DM和DN还满足什么条件（其他条件不变）时，使得（2）中的结论依然成立？请直接写出DM、DN满足的条件（写出一个即可，不要求证明）．
25．（12分）已知抛物线．
（1）若此抛物线与x轴只有一个公共点且过点．
①求此抛物线的解析式；
②直线y2＝﹣x+k与该抛物线交于点A（﹣2，m）和点B．若y1＜y2，求x的取值范围．
（2）若a＞0，将此抛物线向上平移c个单位（c＞0）得到新抛物线y3，当x＝c时，y3＝0；当0＜x＜c时，y3＞0．试比较ac与1的大小，并说明理由．
广东省广州市天河区大观学校2023-2024学年九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．解：A．方程2x+y＝2是二元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B．方程x+y2＝0是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C．方程2x（2﹣x）＝1是一元二次方程，故本选项符合题意；
D．方程x+＝7不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：C．
2．解：A、图形不是中心对称图形，不符合题意；
B、图形不是中心对称图形，不符合题意；
C、图形是中心对称图形，符合题意；
D、图形不是中心对称图形，不符合题意．
故选：C．
3．解：∵边AB的长是方程x2﹣7x+12＝0的一个根，
x2﹣7x+12＝0，
（x﹣3）（x﹣4）＝0，
解得x1＝3，x2＝4，
当AB＝3时，利用勾股定理可求得相邻的边为＝4，此时矩形ABCD的面积为3×4＝12；
当AB＝4时，利用勾股定理可求得相邻的边为＝3，此时矩形ABCD的面积为3×4＝12；
故选：B．
4．解：将二次函数y＝（x+1）2﹣2的图象向上平移4个单位，得到的图象对应的函数表达式是y＝（x+1）2﹣2+4，即y＝（x+1）2+2．
故选：D．
5．解：Δ＝16﹣4×1×4＝0，
故选：A．
6．解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，
∴△ABC≌△DEC，
∴BC＝CE，AB＝DE，BC＝EC，∠B＝∠CED，∠A＝∠D，
∴∠AEF＝∠CED＝∠B，
故选：D．
7．解：令x＝0，得y＝﹣2，
故与y轴的交点坐标是：（0，﹣2）．
故选：C．
8．解：依题意得：1480（1+x）2＝1480+2000，
即1480（1+x）2＝3480．
故选：C．
9．解：A、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，a＞0，不一致；
B、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，不一致；
都过点（0，c），正确；
C、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，a＜0，不交于y轴同一点，不一致；
D、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＞0，都过点（0，c），一致；
故选：D．
10．解：由题知，
过点B作x轴的垂线，垂足为H，
∵∠OAB＝120°，
∴∠BAH＝60°．
又∵A（2，0），且AB＝AO，
∴AB＝AO＝2．
在Rt△ABH中，
∵∠ABH＝90°﹣60°＝30°，
∴，
∴BH＝，
∴OB＝2BH＝，
∴点B的坐标为（3，）．
将OB绕点O顺时针旋转60°，得线段OM，
∵∠BOA＝，
∴∠MOA＝60°﹣30°＝30°，
又∵OB＝OM，
∴点M和点B关于x轴对称，
∴点M的坐标为（3，﹣）．
依次类推，
再旋转60°时，点N的坐标为（0，）；
再旋转60°时，点P与点B关于坐标原点对称，
∴点P的坐标为（﹣3，﹣）；
再旋转60°，点B对应点的坐标为（﹣3，）；
再旋转60°，点B对应点的坐标为（0，）；
再旋转60°，点B对应点的坐标为（3，）；
再旋转60°，点B对应点的坐标为（3，﹣）；
…，
由此可见，点B的对应点的坐标按（3，﹣），（0，﹣2），（﹣3，﹣），（﹣3，），（0，），（3，）循环出现，
又因为2024÷6＝337余2，
所以第2024次旋转后点B对应点的坐标为（0，）．
故选：B．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．解：由题意得：x﹣1≥0，x﹣3≠0，
解得：x≥1且x≠3，
故答案为：x≥1且x≠3．
12．解：∵x1，x2为一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝﹣＝﹣，x1•x2＝＝﹣．
∵x12+x22＝﹣2x1•x2，
∴x12+x22＝﹣2×（﹣）＝．
故答案为：．
13．解：抛物线y＝x2﹣x﹣3与x轴的一个交点为（m，0），
∴m2﹣m﹣3＝0，
即：m2﹣m＝3．
∴2m2﹣2m+2019
＝2（m2﹣m）+2019
＝6+2019
＝2025．
故答案为：2025．
14．解：当4为腰长时，将x＝4代入x2﹣6x+n＝0，得：42﹣6×4+n＝0，
解得：n＝8，
当n＝8时，原方程为x2﹣6x+8＝0，
解得：x1＝2，x2＝4，
∵2+4＞4，
∴n＝8符合题意；
当4为底边长时，关于x的方程x2﹣6x+n＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝（﹣6）2﹣4×1×n＝0，
解得：n＝9，
当n＝9时，原方程为x2﹣6x+9＝0，
解得：x1＝x2＝3，
∵3+3＝6＞4，
∴n＝9符合题意．
∴n的值为8或9．
故答案为：8或9．
15．解：连接AD，过D作DF⊥AE于F，延长BA交DF的延长线于H，
∵D为AB垂直平分线上一点，AB＝2，
∴BD＝AD，AC＝AB＝，
∴∠ADC＝ADB，
∵将BD绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，
∴DE＝BD，
∴DE＝AD，
∴∠ADF＝ADE，AF＝AE＝2，
∴∠HDC＝∠ADF+∠ADC＝BDE＝30°，
∵∠HCD＝∠AFH＝90°，
∴∠H＝60°，
∴∠CDH＝30°，AH＝，
∴CH＝AH+AC＝，
∴CD＝CH＝7，
故答案为：7．
16．解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵﹣＜0，
∴b＞0，
∵抛物线交y轴于负半轴，
∴c＜0，
∴abc＜0，故①正确，
∵﹣＞﹣1，a＞0，
∴b＜2a，
∴2a﹣b＞0，故②错误，
∵x＝1时，y＞0，
∴a+b+c＞0，
∴a+c＞﹣b，
∵x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，
∴（a+c）2﹣b2＝（a+b+c）（a﹣b+c）＜0，
∴b2＞（a+c）2，故③正确，
∵点（﹣3，y1），（1，y2）都在抛物线上，
观察图象可知y1＞y2，故④正确．
故答案为①③④．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．解：（1）∵3x2﹣7x﹣10＝0，
∴（x+1）（3x﹣10）＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝．
（2）方程整理得，x2+4x﹣12＝0，
∴（x﹣2）（x+6）＝0，
∴x1＝2，x2＝﹣6．
18．（1）证明：如图：
由旋转得：∠1＝∠B，AD＝AB，
∴∠2＝∠B，
∴∠1＝∠2，
∴DA平分∠EDB；
（2）解：如图，设AC与DE交于点O，
由旋转得：AB＝AD，∠3＝∠4＝α，∠C＝∠E，
∵AC⊥DE，
∴∠AOE＝90°，
∴∠C＝∠E＝90°﹣∠4＝90°﹣α，
∵AB＝AD，
∴∠2＝∠B＝＝＝90°﹣α，
∵∠4是△ABC的一个外角，
∴∠4＝∠B+∠C，
∴α＝90°﹣α+90°﹣α，
解得：α＝72°，
∴旋转角α的度数为72°．
19．解：（1）如图，△A1B1C1即为所求作．
（2）如图，点E即为所求作．
（3）如图，点P即为所求作．
∵E（7，7），B1（4，6），
设直线EB1的解析式为y＝kx+b，
则有，
解得，
∴直线EB1的解析式为y＝x+，
∴P（0，）．
20．解：根据题意得Δ＝22﹣4×[﹣（n﹣1）]≥0，
解得n≥0．
21．解：（1）根据题意得：（100﹣60）×20
＝40×20
＝800（元）．
答：童装店降价前每天销售该童装可盈利800元；
（2）设每件童装降价x元，则每件的销售利润为（100﹣x﹣60）元，平均每天可售出（20+2x）件，
根据题意得：（100﹣x﹣60）（20+2x）＝1200，
整理得：x2﹣30x+200＝0，
解得：x1＝10，x2＝20，
又∵要让顾客得到更多的实惠，
∴x＝20．
答：每件童装应降价20元．
22．解：（1）∵抛物线L：y＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是直线x＝2，交y轴于（0，4a），
∴﹣＝2，c＝4a，
∴b＝﹣4a，
∴y＝ax2﹣4ax+4a＝a（x﹣2）2，
∴抛物线的顶点为（2，0）；
（2）①过点D作DM∥y轴，交直线AB于M，
∵D（2，0），
∴M的横坐标为2，
把x＝2代入y＝kx﹣2k+4得，y＝4，
∴DM＝4，
∵△ABC的面积为10，
∴×4•（xB﹣xA）＝10，
∴xB﹣xA＝5，
∵点A的横坐标为1，
∴点B的横坐标为6，
∴A（1，﹣k+4），B（6，4k+4），
把A、B的坐标代入y＝a（x﹣2）2，得，
解得a＝1；
②联立直线AB和抛物线的解析式成方程组，得：，
解得：，，
∴点A的坐标为（，），点B的坐标为（，+4）．
∵点C的坐标为（2，0）．
∴直线BC的解析式为y＝x﹣k﹣．
∵过点A作AE⊥x轴，垂足为E，与直线BD交于点F，
∴点E的坐标为（，0），点F的坐标为（，﹣4），
∴EF＝4．
23．解：小玉的解法不正确．理由如下：
解出的m值中，m＝9时，Δ＝b2﹣4ac＜0，应舍去．
m是正数，因此m＝﹣1也应舍去．
综上，m的值不存在．
24．（1）证明：∵四边形ABCD和四边形DEFG是正方形，
∴AD＝CD，∠ADC＝∠EDG＝90°，DE＝DG，
∴∠ADC+∠CDE＝∠EDG+∠CDE，
即∠ADE＝∠CDG，
∴△ADE≌△CDG（SAS）；
（2）解：DM＝DN，DM⊥DN，理由如下：
由（1）得：△ADE≌△CDG（SAS），
∴∠DAE＝∠DCG，AE＝CG，
∵DM和DN分别是△ADE和△CDG的中线，
∴AM＝AE，CN＝CG，
∴AM＝CN，
又∵AD＝CD，
∴△ADM≌△CDN（SAS），
∴DM＝DN，∠ADM＝∠CDN，
∴∠MDC+∠CDN＝∠MDC+∠ADM＝∠ADC＝90°，
∴DM⊥DN；
类比猜想：
解：小亮的观点正确，理由如下：
由（1）得：△ADE≌△CDG（SAS），
∴∠DAE＝∠DCG，AE＝CG，
∵DM和DN分别是△ADE和△CDG的高，
∴∠AMD＝∠CND＝90°，
又∵AD＝CD，
∴△ADM≌△CDN（AAS），
∴DM＝DN，∠ADM＝∠CDN，
∴∠MDC+∠CDN＝∠MDC+∠ADM＝∠ADC＝90°，
∴DM⊥DN；
感悟发现：
解：1）小惠的说法正确，理由如下：
当DM⊥AD，DN⊥CD时，如图4所示：
则∠ADM＝∠CDN＝90°，
∴DM⊥DN，
由开头（1）得：△ADE≌△CDG（SAS），
∴∠DAM＝∠DCN，
又∵AD＝CD，
∴△ADM≌△CDN（ASA），
∴DM＝DN；
故答案为：正确；
2）当DM、DN分别是△ADE和△CDG的角平分线时，问题（2）中的结论依然成立，如图3，理由如下：
同1）得：△ADM≌△CDN（ASA），
∴DM＝DN，∠ADM＝∠CDN，
∴∠MDC+∠CDN＝∠MDC+∠ADM＝∠ADC＝90°，
∴DM⊥DN．
25．解：（1）①∵抛物线与x轴只有一个公共点，
∴Δ＝b2﹣4ac＝b2＝0，
∴b＝0，
又∵抛物线过点．
∴a＝﹣，
∴抛物线的解析式y1＝﹣x2；
②当x＝﹣2时，y＝﹣×（﹣2）2＝﹣2，
∴A（﹣2，﹣2），
∴﹣2＝2+k，
∴k＝﹣4，
∴y2＝﹣x﹣4，
联立方程组，
解得或，
∴A（﹣2，﹣2），B（4，﹣8），
∴当y1＜y2时，x＜﹣2或x＞4；
（2）ac≤1，理由：
由题知a＞0，将此抛物线y＝ax2+bx向上平移c个单位（c＞0），
其解析式为y＝ax2+bx+c，且过点（c，0），
∴ac2+bc+c＝0，
∴ac+b+1＝0，
∴﹣b＝ac+1，
且当x＝0时，y＝c，
对称轴：x＝﹣，抛物线开口向上，画草图如右所示．
由题知，当0＜x＜c时，y＞0．
∴﹣≥c，
∴﹣b≥2ac，
∴ac+1≥2ac，
∴ac≤1；