2023年湖南省湘西州吉首市中考数学三模试卷

这是一份2023年湖南省湘西州吉首市中考数学三模试卷，共18页。
1．（4分）下列四个数中，2021的相反数是（ ）
A．﹣2021B．C．﹣D．2021
2．（4分）据悉，截至2023年，我国累计建成并开通的5G基站总数超过290万个．数据“290万”用科学记数法表示为（ ）
A．2.9×106B．29×105C．0.29×107D．2.9×105
3．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．|﹣2|＝﹣2B．（a2b3）2＝a4b6
C．（a﹣1）2＝a2﹣1D．
4．（4分）如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2＝40°时，∠1的度数为（ ）
A．40°B．45°C．50°D．55°
5．（4分）在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的16名运动员的成绩如表所示：则这些运动员成绩的中位数、众数分别为（ ）
A．1.65、1.70B．1.65、1.75C．1.70、1.70D．1.70、1.75
6．（4分）如图所示，该几何体的左视图是（ ）
A．B．
C．D．
7．（4分）不等式组解集为﹣1≤x＜2，下列在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．（4分）一个正多边形的每个内角都等于135°，则该正多边形的边数是（ ）
A．6B．8C．10D．12
9．（4分）如图，A、B是双曲线y＝上的两点，过A点作AC⊥x轴，交OB于点D，垂足为点C，若△ADO的面积为1，D为OB的中点，则k的值为（ ）
A．B．C．3D．4
10．（4分）如图，PA、PB切半径为r的⊙O于AB两点，CD切⊙O于E交PA、PB于C、D，若△PCD的周长为3r，则tan∠APB的值为（ ）
A．B．C．D．
二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）
11．（4分）比较大小： （填“＞，＜或＝”）．
12．（4分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．
13．（4分）分解因式：3m2n﹣12n＝ ．
14．（4分）小明从《艾青诗选》、《水浒传》、《简爱》、《儒林外史》四本书中随机挑选一本，其中拿到《水浒传》这本书的概率为 ．
15．（4分）在平面直角坐标系中，点A与点A1关于x轴对称，点A与点A2关于y轴对称，已知点A1的坐标为（1，2），则点A2的坐标为 ．
16．（4分）如果关于x的一元二次方程x2﹣x+m＝0的一根为﹣2，则另一根为 ．
17．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10，点M为BC的中点，E是BM上的一点，连接AE，作点B关于直线AE的对称点B′，连接DB′并延长交BC于点F．当BF最大时，点B′到BC的距离是 ．
18．（4分）如图，△ABC中，BC＝6，∠BAC＝60°，则2AB+AC的最大值是 ．
三．解答题（共8小题，满分78分）
19．（8分）计算：．
20．（8分）先化简，再求值：（1﹣）÷（x+），其中x＝2．
21．（8分）某校为进一步落实“素质教育”，决定在七、八两个年级开展面塑、刺绣、雕刻、川剧等四项特色选修课，每个学生必选且只能选一项．学校为了解选择各种特色选修课的学生人数，随机抽取了部分学生进行调查，并绘制出以下两幅不完整的统计图，请根据统计图回答下列问题：
（1）这次活动一共调查了多少名学生？
（2）补全条形统计图；
（3）若该校七、八两个年级的总人数是800人，请估计选择雕刻项目的学生人数．
22．（10分）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线EF与BA、DC的延长线分别交于点E、F．
（1）求证：AE＝CF；
（2）请再添加一个条件，使四边形BFDE是菱形，并说明理由．
23．（10分）工厂某车间需加工一批零件，甲组工人加工中因故停产检修机器一次，然后以原来的工作效率继续加工，由于时间紧任务重，乙组工人也加入共同加工零件．设甲组加工时间t（时），甲组加工零件的数量为y甲（个），乙组加工零件的数量为y乙（个），其函数图象如图所示．
（1）求y乙与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；
（2）求a的值，并说明a的实际意义；
（3）甲组加工多长时间时，甲、乙两组加工零件的总数为480个．
24．（10分）为传承读书日的理念，鼓励学生们多读书好读书读好书某校计划在今年读书日来临之际购买A、B两类图书共100本其中A类图书每本20元，B类图书每本30元，设购买A类图书的数量为x（本），购买A、B两类图书的总费用为y（元）．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若购买A类图书的本数不超过B类图书的本数且购买A类图书不少于25本，请设计出一种购买两类图书总费用最少的方案，并求出该方案所需的费用．
25．（12分）如图，点D，E在以AC为直径的⊙O上，∠ADC的平分线交⊙O于点B，连接BA，EC，EA，过点E作EH⊥AC，垂足为H，交AD于点F．
（1）求证：AE2＝AF•AD；
（2）若sin∠ABD＝，AB＝5，求AD的长．
26．（12分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求b，c的值：
（2）如图1，点P是第一象限抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线1，交BC于点H．当△PHC为等腰三角形时，求点P的坐标；
（3）如图2，抛物线顶点为E．已知直线y＝kx﹣k+3与二次函数图象相交于M、N两点，求证：无论k为何值，△EMN恒为直角三角形．
2023年湖南省湘西州吉首市中考数学三模试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1． 解：2021的相反数是﹣2021．
故选：A．
2． 解：∵290万＝2900000，
∴2900000＝2.9×106．
故选：A．
3． 解：A．|﹣2|＝2，
则A不符合题意；
B．（a2b3）2
＝（a2）2•（b3）2
＝a4b6，
则B符合题意；
C．（a﹣1）2＝a2﹣2a+1，
则C不符合题意；
D．3和不是同类二次根式，无法合并，
则D不符合题意；
故选：B．
4． 解：∵AB∥CD，
∴∠3＝∠2，
∵∠2＝40°，
∴40°+90°+∠1＝180°，
∴∠1＝50°，
故选：C．
5． 解：运动员跳高成绩出现最多是61.70米，因此，众数是1.70米；
将跳高成绩从小到大排列后，处在第8、9位的两个数都是1.70米，因此这两个数的平均数也是1.70米，故中位数是1.70米，
故选：C．
6． 解：该几何体的左视图为：
故选：C．
7． 解：在数轴上表示﹣1≤x＜2如下：
故选：B．
8． 解：设该正多边形的边数是n，则根据内角和可列方程：
135n＝180（n﹣2），解得n＝8，
故选：B．
9． 解：如图，过点B作BE⊥x轴，垂足为E，
∵A、B是双曲线y＝上的两点，过A点作AC⊥x轴，
∴S△AOC＝S△BOE，
∵AC∥BE，
∴△OCD∽△OEB，
∴＝（）2，
又∵D是OB的中点，
∴＝，
∴＝，
∴＝，
∴＝，
又∵S△AOD＝1，
∴S△AOC＝＝|k|，
∵k＞0，
∴k＝，
解法二：过点B作BG⊥x轴于点G，则CD是△OBG的中位线．
设A（a，），B（2a，），
∴CD＝，AD＝﹣＝，
∵•AD•OC＝1，
∴×a×＝1，
∴k＝．
故选：B．
10． 解：∵PA、PB切半径为r的⊙O于AB两点，CD切⊙O于E交PA、PB于C、D，
∴PA＝PB，CA＝CE，DE＝DB，
∵△PCD的周长为3r，
∴PA+PB＝PC+CA+PD+DB＝PC+CE+DE+PD＝PC+CD+PD＝3r，
∴PA＝PB＝r，
连接AO并延长交PB的延长线于点G，连接OB，
根据切线的性质得出∠OBG＝∠PAG＝90°，
又∵∠BGO＝┐AGP，
∴△APG∽△BOG，
∴，
∵PA＝PB＝，OB＝r，
∴BG＝r，
∴tan∠APB＝tan∠BOG＝＝，
故选：B．
二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）
11． 解：∵﹣＝＜＝0，
∴﹣＜0，
∴＜．
故答案为：＜．
12． 解：由题意可得：3x+1≥0，
解得x≥﹣，
∴实数x的取值范围为：x≥﹣．
故答案为：x≥﹣．
13． 解：原式＝3n（m+2）（m﹣2）．
故答案为：3n（m+2）（m﹣2）．
14． 解：∵小明从《艾青诗选》、《水浒传》、《简爱》、《儒林外史》四本书中随机挑选一本，
∴拿到《水浒传》这本书的概率为，
故答案为：．
15． 解：∵点A与点A1关于x轴对称，已知点A1（1，2），
∴点A的坐标为（1，﹣2），
∵点A与点A2关于y轴对称，
∴点A2的坐标为（﹣1，﹣2），
故答案为：（﹣1，﹣2）．
16． 解：设方程的另一个根为x2，
则﹣2+x2＝1，
解得：x2＝3，
故答案为：3．
17． 解：如图，过点B'作BH⊥BC于H，
∵点B关于直线AE的对称点B′，
∴AB＝AB'，BE＝B'E，∠AEB＝∠AEB'，∠ABE＝∠AB'E，
当DF⊥AB'时，BF有最大值，
∴∠AB'F＝∠AB'E＝90°，
∴点E与点F重合，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB＝∠AEB'，
∴AD＝DE＝10，
∴CE＝＝＝6，
∴BE＝4＝B'E，
∵B'H⊥BC，DC⊥BC，
∴B'H∥CD，
∴△EB'H∽△EDC，
∴，
∴，
∴HB'＝，
∴点B′到BC的距离是，
故答案为：．
18． 解：如图，
作CD⊥AB于D，延长DA至E，使AE＝AD，连接CE，
设AC＝2x，
∴CD＝AC•sin∠BAC＝2x•sin60°＝，AD＝AC•cs60°＝x，
∴DE＝AD+DE＝2x，
∴tanE＝，
∴点E在上运动，sinE＝，
∴当BE是的直径时，BE最大，最大值为：＝＝2，
∵2AB+AC＝2（AB+AC）＝2（AB+AE）＝2BE，
∴2AB+AC的最大值为：4，
故答案为：4．
三．解答题（共8小题，满分78分）
19． 解：
＝1+1+丨﹣×丨﹣3
＝1+1+丨﹣1丨﹣3
＝1+1+1﹣3
＝0．
20． 解：原式＝（﹣）÷[+]，
＝÷，
＝•，
＝，
当x＝2时，原式＝＝．
21． 解：（1）14÷35%＝40（名），
答：这次活动一共调查了40名学生；
（2）选择“雕刻”的有40﹣14﹣2﹣8＝16（人），
补全的条形统计图如图所示：
（3）（人），
即该选择雕刻项目的学生约有320人．
22． 证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，BE∥DF，
∴∠E＝∠F，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴AE＝CF；
（2）当EF⊥BD时，四边形BFDE是菱形，理由如下：
如图：连结BF，DE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，
∵△AOE≌△COF，
∴OE＝OF，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴四边形BFDE是菱形．
23． 解：（1）设y乙与t之间的函数关系式是y乙＝kt+b，
，
解得，
即y乙与t之间的函数关系式是y乙＝120t﹣600（5≤t≤8）；
（2）由图象可得，
甲的工作效率为120÷3＝40（个/时），
a＝120+40×（8﹣4）＝280，
即a的值是280，实际意义是当甲加工8小时时，一共加工了280个零件；
（3）设甲组加工c小时时，甲、乙两组加工零件的总数为480个，
120+40（c﹣4）+（120c﹣600）＝480，
解得c＝7，
即甲组加工7小时时，甲、乙两组加工零件的总数为480个．
24． 解：（1）根据题意可得y＝20x+30（100﹣x）＝﹣10x+3000（0≤x≤100），
∴y与x之间的函数关系式为：y＝﹣10x+3000（0≤x≤100）；
（2）∵购买A类图书的本数不超过B类图书的本数，
∴x≤100﹣x，解得x≤50，
∵购买A类图书少于25本，
∴25≤x≤50，
∵y＝﹣10x+3000（0≤x≤100），
∴y随x的增大而减小，
∴当x＝50时，购买两类图书总费y最少，y最小＝﹣10×50+3000＝2500（元），
∴购买B类图书的数量为：100﹣x＝100﹣50＝50（本）．
答：（1）y与x之间的函数关系式为：y＝﹣10x+3000（0≤x≤100）；
（2）当购买A类图书50本，B类图书50本时，购买两类图书的总费用最少，最少总费用为2500元．
25． （1）证明：∵EH⊥AC于点H，AC是⊙O的直径，
∴∠AHE＝∠AEC＝90°，
∵∠HAE＝∠EAC，
∴△HAE∽△EAC，
∴＝，
∴AE2＝AH•AC，
∵∠HAF＝∠DAC，∠AHF＝∠ADC＝90°，
∴△AHF∽△ADC，
∴＝，
∴AH•AC＝AF•AD，
∴AE2＝AF•AD．
（2）解：连接BC，
∵∠ADC的平分线交⊙O于点B，
∴∠ADB＝∠CDB，
∴＝，
∴AB＝BC＝5，
∵∠ABC＝90°，
∴AC＝＝＝5，
∵∠ACD＝∠ABD，
∴＝sin∠ACD＝sin∠ABD＝，
∴AD＝AC＝×5＝2，
∴AD的长是2．
26． 解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），
∴，
解得：，
∴b＝2，c＝3；
（2）∵抛物线的函数表达式为：y＝﹣x2+2x+3，
∴C（0，3），
设直线BC的解析式为y＝kx+3，
将点B（3，0）代入y＝kx+3，
解得：k＝﹣1，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
设点P（x，﹣x2+2x+3），则点H（x，﹣x+3），
①如图1，过点C作CM⊥PH于点M，
则CM＝x，PH＝﹣x2+3x，
当CP＝CH时，PM＝MH，∠MCH＝∠MCP，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝45°，
∵CM∥OB，
∴∠MCH＝∠OBC＝45°，
∴∠PCH＝90°，
∴MC＝PH＝（﹣x2+3x），
即x＝（﹣x2+3x），
解得：x1＝0（舍去），x2＝1，
∴P（1，4）；
②如图2，当PC＝PH时，
∵PH∥OC，
∴∠PHC＝∠OCB＝45°，
∴∠CPH＝90°，
∴点P的纵坐标为3，
∴﹣x2+2x+3＝3，
解得：x＝2或x＝0（舍去），
∴P（2，3）；
③当CH＝PH时，如图3，
∵B（3，0），C（0，3），
∴BC＝＝3．
∵HF∥OC，
∴，
∴，
解得：x＝3﹣，
∴P（3﹣，4﹣2）．
综合以上可得，点P的坐标为（1，4）或（2，3）或（3﹣，4﹣2）．
（3）∵函数表达式为：y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴点E（1，4）；
设点M、N的坐标为（x1，y1），（x2，y2），
∴MN2＝（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2，ME2＝（x1﹣1）2+（y1﹣4）2，NE2＝（x2﹣1）2+（y2﹣4）2，
∵ME2+NE2＝（x1﹣1）2+（y1﹣4）2+（x2﹣1）2+（y2﹣4）2＝x12+x22﹣2（x1+x2）+2+y12+y22﹣8（y1+y2）+32
＝x12+x22﹣2x1x2+2﹣4+y12+y22﹣2y1•y2+18﹣48+32
＝（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2，
∴MN2＝ME2+NE2，
∴∠MEN＝90°，
故EM⊥EN，
即：△EMN恒为直角三角形．
成绩/m
1.50
1.60
1.65
1.70
1.75
1.80
人数
2
3
1
5
4
1