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2.10 二元一次方程组的应用 浙教版数学七年级下册学案
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专题2.10 二元一次方程组的应用（知识讲解）【学习目标】1．以含有多个未知数的实际问题为背景，经历“分析数量关系，设未知数，列方程组，解方程组和检验结果”的过程，体会方程组是刻画现实世界中含有多个未知数问题的数学模型；2. 熟练掌握用方程组解决和差倍分，配套，工程等实际问题.【要点梳理】要点一、常见的一些等量关系（一）1.和差倍分问题：年龄差不变2.产品配套问题： 解这类问题的基本等量关系是：加工总量成比例.3.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率 较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数×倍量.要点二、实际问题与二元一次方程组1.列方程组解应用题的基本思想列方程组解应用题，是把“未知”转换成“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的等量关系．一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量：②同类量的单位要统一；③方程两边的数要相等.2.列二元一次方程组解应用题的一般步骤：设：用两个字母表示问题中的两个未知数；列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）；解：解方程组，求出未知数的值；验：检验求得的值是否正确和符合实际情形；答：写出答案．特别说明：（1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；（2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；（3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.【典型例题】类型一、二元一次方程组的应用➽➼错解复原问题✭✭构造二元一次方程组求解1．甲、乙两人在解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得乙看错了方程②中的b，解得求原方程组的正确解．【答案】【分析】根据甲看错a则求得的解满足b，乙看错了b则求得的解满足a，据此求出a、b的值进而得到原方程组，再利用代入消元法求解即可．解：∵甲、乙两人在解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得∴，解得，∵乙看错了方程②中的b，解得∴，解得，∴原方程组为，由①得③，把③代入②得，解得，将代入③得，∴方程组的解为．【点拨】本题主要考查了二元一次方程组错解复原问题，正确理解题意求出a、b的值是解题的关键．举一反三：【变式】甲、乙两人同时解关于、的二元一次方程组，甲解得，乙解得，甲仅因为看错了方程组中的，乙仅因为看错了方程组中的．试求出方程组正确的解．【答案】【分析】将甲的解代入方程组中的第二个方程，可求出b的值，再将乙的解代入第一个方程可求出a的值，进而确定出方程组，最后解方程组即可．解：将代入方程得：，解得：，将代入得：，解得：．所以原方程组为：用①－②得，再将代入②，解得，则方程组的解为：【点拨】此题主要考查了二元一次方程组的解，解题关键是明确方程组的解是能使方程左右两边相等的未知数的值．2．在等式中，当时，；当时，．求k，b的值．当时，求y的值．【答案】(1) ，； (2) 【分析】（1）分别把x与对应的y值代入中，解二元一次方程组即可求出k与b的值；（2）将x的值代入（1）中所求得的关系式进行计算即可．（1）解：把，；，代入得：，解得，∴，；（2）解： 由（1）得，∴当时，．【点拨】此题考查了代数式求值，解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．举一反三：【变式】已知关于，的方程组若方程组的解满足，求m的值；无论实数m取何值，方程总有一个公共解，请直接写出这个公共解．【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，联立方程组，可求得x，y的值，再将x，y代入m﹣2y+mx+9＝0，即可求得m的值．（2）将m﹣2y+mx+9＝0变形，得（1+x）m﹣2y+9＝0，由题意可得1+x＝0，可求得x的值，将所求x的值代入m﹣2y+mx+9＝0，可求得y的值，即为所求的公共解．(1) 解：根据题意，联立，①﹣②，得y＝5，将y＝5代入①，得x＝﹣5．把代入m﹣2y+mx+9＝0，可得m﹣2×5﹣5m+9＝0，解得m＝．∴m的值为．（2）解：这个公共解为．理由：将m﹣2y+mx+9＝0变形，得（1+x）m﹣2y+9＝0，∵无论实数m取何值，方程m﹣2y+mx+9＝0总有一个公共解，∴1+x＝0，解得x＝﹣1，将x＝﹣1代入m﹣2y+mx+9＝0，可得y＝．∴这个公共解为．【点拨】本题考查二元一次方程组的解、二元一次方程及同解方程，解题的关键是熟练掌握加减消元法．类型二、二元一次方程组的应用➽➼由二元一次方程组的解情况求参数✭✭同解方程组3．已知是关于x、y的方程组的解，求的值．【答案】【分析】先把，代入原方程组，再解关于a、b的二元一次方程组，代入要求的代数式即可得出答案．解：将代入得，①②，得，∴．【点拨】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．举一反三：【变式】已知关于x，y的方程组．请直接写出方程x+2y-6=0的所有正整数解；若方程组的解满足x+y=0，求m的值；无论实数m取何值，关于x，y的方程m-2y+mx+4=0总有一个固定的解，请求出这个解．【答案】(1) 方程x+2y-6=0的所有正整数解为：， (2) m＝﹣ (3) 固定的解为：【分析】（1）将x做已知数求出y，即可确定出方程的正整数解；（2）将x+y=0与原方程组中的第一个方程组成新的方程组，可得x、y的值，再代入第二个方程中可得m的值；（3）当含m项为零时，取x=0，代入可得固定的解．（1）解：方程x+2y-6=0，即x+2y=6，解得：x=6-2y，当y=1时，x=4；当y=2时，x=2，方程x+2y-6=0的所有正整数解为：，；（2）解：由题意得：，解得，把代入x-2y+mx+4=0，得-6-12-6m+4=0，解得m=-；（3）解：∵m-2y+mx+4=0，∴（1+x）m-2y=-4，∴当1+x=0时，即x=-1时，y=2，即固定的解为：．【点拨】此题考查了解二元一次方程的整数解和二元一次方程组的解，熟练掌握运算法则和求方程组的解是本题的关键．4．已知关于x，y的方程组与有相同的解，求 的值．【答案】1【分析】先根据题意得到方程组，解方程组求出，进而得到关于a、b的方程组，求出a、b的值即可得到答案．解：∵关于x，y的方程组与有相同的解，∴得，解得，把代入①得：，解得，∴方程组的解为，∴得，解得，把代入④得，解得，∴．【点拨】本题主要考查了同解方程组，代数式求值，正确求出a、b的值是解题的关键．举一反三：【变式】已知方程组和方程组的解相同，求的值．【答案】100【分析】由题意可得方程组，则有可求出方程组的解，然后再代入进行求解a、b，进而问题可求解．解：由题意得：，解得：，∴，化简得：，解得：，∴．【点拨】本题主要考查同解方程组的问题，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．类型三、二元一次方程组的应用➽➼列方程组➽➼实际问题✭✭几何问题5．将含铁72%和含铁58%的两种矿石，混合后配成含铁64%的矿石70吨，若设需含铁72%的矿石x吨，含铁58%的矿石y吨，列出方程组．【答案】【分析】根据两种矿石总量为70吨，含铁量为，可得出方程组．解：设需含铁的矿石吨，含铁的矿石吨，由题意得，．【点拨】本题考查了由实际问题抽象二元一次方程组的知识，解题的关键是仔细审题，找到等量关系．举一反三：【变式】某中学九年级毕业生在礼堂就座进行毕业典礼，若一条长椅上坐4人，就有22人没座位；若一条长椅上坐5人，最后一条长椅上空出了3个座位，设有x条长椅，毕业生有y人，试列出方程组．【答案】【分析】设有x条长椅，毕业生有y人，根据“一条长椅上坐4人，就有22人没座位”可得；根据“一条长椅上坐5人，最后一条长椅上空出3个座位”列出另一个关于x、y的方程，联立上述方程组成方程组，即可解答此题．解：设有x条长椅，毕业生有y人，根据题意，列方程组得：．【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题干信息找出等量关系并据此列出方程组是解题的关键．6．如图：用8块相同的长方形拼成一个宽为48厘米的大长方形，每块小长方形的长和宽分别是多少？解：设小长方形的长是x厘米，宽是y厘米，题中的两个相等关系：小长方形的长____________大长方形的宽，可列方程为：____________；小长方形的长____________，可列方程为：____________．【答案】(1) 小长方形的一个宽；； (2) 小长方形的宽；．【分析】（1）观察图形可知，小长方形的长小长方形的一个宽大长方形的宽，即可列出方程；（2）观察图形可知，小长方形的长小长方形的宽，即可列出方程．（1）解：小长方形的长小长方形的一个宽大长方形的宽；可列方程为：，故答案为：小长方形的一个宽；；（2）解：小长方形的长小长方形的宽，可列方程为：，故答案为：小长方形的宽；．【点拨】本题考查了二元一次方程的应用，从图形中找出等量关系是解题关键．举一反三：【变式】已知A、B两个边长不等的正方形纸片并排放置(如图所示) (1) 若m＝8，n＝3，则甲、乙两个正方形纸片的面积之和为: ______________ (2) 用m、n表示甲、乙两个正方形纸片的面积之和为:___________________(3) 若A、B两个正方形纸片的面积之和为： ，且右下图中阴影部分的面积为：，则m=___________n=_______________________ 【答案】(1) 36.5； (2) ； (3) ，【分析】（1）设A的边长为x，B的边长为y，列出等式组解得x、y的值，再根据面积公式计算即可.（2）由题意列出m、n的关系式，根据不等式关系进行化简即可.（3）根据题意，列出S阴影面积与A、B面积的关系式，进行化简求值即可.解：(1)设A的边长为x，B的边长为y，则 ①+②得：2x=11x=5.5即A和B的面积之和为36.5.(2) 解得：x=, y=A、B面积之和= = (3)=由题意得：解得：【点拨】本题考查二元一次方程的运用，熟练掌握计算法则是解题关键.类型四、二元一次方程组的应用➽➼列方程组解应用题➽➼方案问题✭✭分配问题7．今年疫情期间某物流公司计划用两种车型运输救灾物资，已知租用2辆型车和1辆型车装满物资一次可运10吨；用1辆型车和2辆型车一次可运11吨．某物流公司现有31吨货物资，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都装满．1辆型车和1辆型车都装满物资一次可分别运多少吨？请你该物流公司设计租车方案；若型货车每辆需租金120元/次，型货车每辆租金140元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．【答案】(1) 3，4 (2) 方案1：租用9辆A型车，1辆B型车；方案2：租用5辆A型车，4辆B型车；方案3：租用1辆A型车，7辆B型车． (3) 租用1辆A型车，7辆B型车，最少租车费为1100元．【分析】（1）设1辆A型车装满物资一次可运x吨，1辆B型车装满物资一次可运y吨，根据“用2辆A型车和1辆B型车装满物资一次可运10吨；用1辆A型车和2辆B型车一次可运11吨”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）根据要一次运送31吨货物，即可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数即可得出各租车方程；（3）根据总租金＝每辆车的租车费用×租车辆数，分别求出三种租车方案所需费用，比较后即可得出结论．解：（1）设1辆A型车装满物资一次可运x吨，1辆B型车装满物资一次可运y吨，依题意：得，解得：，答：1辆A型车装满物资一次可运3吨，1辆B型车装满物资一次可运4吨．（2）依题意，得：，又∵a，b均为正整数，或或，∴该物流公司共有3种租车方案，方案1：租用9辆A型车，1辆B型车；方案2：租用5辆A型车，4辆B型车；方案3：租用1辆A型车，7辆B型车．（3）方案1所需租金为（元）；方案2所需租金为（元）；方案3所需租金为（元）．，∴最省钱的租车方案为租用1辆A型车，7辆B型车，最少租车费为1100元．【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；（3）根据各数量之间的关系，分别求出三种租车方案所需费用．举一反三：【变式】某校要购买一批足球运动装备．市场调查发现：甲、乙两商场以同样的价格出售同种品牌的足球队服和足球，已知每套队服比每个足球多50元，三套队服与四个足球的费用相等．求每套队服和每个足球的价格分别是多少元？该校计划购买100套队服和个足球，下表是甲、乙两个商场的优惠方案：①请用含a的代数式分别表示出到甲商场和乙商场购买装备所花费用；②当时，你认为到甲、乙哪家商场购买比较合算？说明理由．【答案】(1) 每套队服200元、每个足球的价格是150元． (2) ①到甲商场所花费的钱：，到乙商场所花费的钱：；②到甲商场合算．【分析】（1）根据已知每套队服比每个足球多50元，三套队服与四个足球的费用相等，列出二元一次方程组，求解即可．（2）①根据图表分别用含a的代数式分别表示出到甲商场和乙商场购买装备所花费用；②当时，分别代入，比较即可．（1）解：设每套队服x元，每个足球的价格为y元，解得：，，答：每套队服200元、每个足球的价格是150元．（2）①到甲商场所花费的钱：，到乙商场所花费的钱：，②当时到甲商场所花费的钱：（元）到乙商场所花费的钱：（元）到甲商场合算．【点拨】此题考查了二元一次方程组的实际应用，解题的关键是根据题意找出等量关系式列出方程组．8．某蔬菜基地第一次向甲地运输124吨蔬菜，恰好装满5辆大货车和2辆小货车；第二次向甲地运输180吨蔬菜，恰好装满6辆大货车和5辆小货车．装满2辆大货车和3辆小货车能运输多少吨蔬菜？第三次安排大、小货车共12辆向甲地运输208吨蔬菜，若要使得每辆车都装满，则大货车和小货车分别需要多少辆？【答案】(1) 76吨 (2) 大货车8辆和小货车4辆【分析】（1）设1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运货x吨、y吨，根据“5辆大货车与2辆小货车一次可以运货124吨，6辆大货车与5辆小货车一次可以运货180吨”列方程组求解可得；（2）设安排m辆大货车，则小货车需要（12﹣m）辆，根据两种货车运送的蔬菜总质量208吨列方程求解可得．（1）解：设1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运货x吨、y吨，根据题意，得：，解得：，∴答：装满2辆大货车和3辆小货车能运输76吨蔬菜．（2）设安排m辆大货车，则小货车需要辆，根据题意，得：，解得：，所以则大货车8辆和小货车4辆．答：需要大货车8辆和小货车4辆．【点拨】本题考查了二元一次方程组和一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和一元一次方程求解．举一反三：【变式】学校6名教师和234名学生集体外出活动，准备租用45座大客车或30座小客车，若租用1辆大客车、2辆小客车共需租车费1000元；若租用2辆大客车、1辆小客车共需租车费1100元．求每辆大、小客车的租车费各是多少元？怎样租车，正好坐满？写出所有的可能性．（请列方程解答）．【答案】(1) 每辆大车的租车费是400元，每辆小车的租车费是300元 (2) ①租用30座小客车8辆；②租用45座大客车2辆，30座小客车5辆；③租用45座大客车4辆，30座小客车2辆【分析】（1）设大车每辆的租车费是元，小车每辆的租车费是元，根据题意列出二元一次方程组并求解即可；（2）设租用45座大客车辆，30座小客车辆，根据题意列出二元一次方程，并求出非负整数解，即可解决问题．（1）解：设大车每辆的租车费是元，小车每辆的租车费是元，由题意得：，解得：，答：大车每辆的租车费是400元，小车每辆的租车费是300元；（2）设租用45座大客车辆，30座小客车辆，由题意得：，整理得：，∵、为非负整数，∴或或，∴共有三种租车方案：①租用30座小客车8辆；②租用45座大客车2辆，30座小客车5辆；③租用45座大客车4辆，30座小客车2辆．【点拨】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题关键是理解题意，找准等量关系并正确列出二元一次方程（组）．类型五、二元一次方程组的应用➽➼列方程组解应用题➽➼行程问题✭✭工程问题9．A市到B市的航线长1200km，一架飞机从A市顺风飞往B市需2小时30分，从B市逆风飞往A市需3小时20分．求飞机的速度与风速．【答案】飞机的速度为，风速为【分析】设飞机的速度为，风速为，根据路程=速度×时间列出方程组求解即可．解：设飞机的速度为，风速为，由题意得，解得，∴飞机的速度为，风速为，答；飞机的速度为，风速为．【点拨】本题主要考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意找到等量关系列出方程组是解题的关键．举一反三：【变式】桥长 1000米，现有一列匀速行驶的货车从桥上通过，测得货车从上桥到完全过桥共用了 60秒，而整个货车在桥上的时间是 40秒，求货车的长度和速度．【答案】货车的长度为200米，速度为20米/秒【分析】通过理解题意可知本题存在两个等量关系，即整列火车过桥通过的路程=桥长+车长，整列火车在桥上通过的路程=桥长车长，根据这两个等量关系可列出方程组．解：设货车的长度为米和速度米/秒，由题意得：，解得：，答：货车的长度为200米，速度为20米/秒．【点拨】此题考查了二元一次方程的应用，解题关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程组．弄清桥长、车长以及整列火车过桥通过的路程，整列火车在桥上通过的路程之间的关系．10．阅读理解：为打造陶子河沿岸的风景带，有一段长为360米的河道整治任务由A、B两个工程队先后接力完成，A工程队每天整治24米，B工程队每天整治16米，共用20天.根据题意，甲乙两个同学分别列出了尚不完整的方程组如下：甲： 乙：根据甲、乙两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数，表示的意义，并且补全甲、乙两名同学所列的方程组：甲：表示___________________，表示_______________；乙：表示___________________，表示_______________；求出其中一个方程组的解，并回答A、B两工程队分别整治河道多少米？【答案】(1) A队的工作时间，B队的工作时间；A队的工作量，B队的工作量；补全所列方程组见分析 (2) A队整治河道120米，B队整治河道240米【分析】（1）根据甲、乙两名同学所列的方程组可得，甲：x表示A队的工作时间，y表示B队的工作时间；乙：x表示A队的工作量，y表示B队的工作量，补全方程组即可；（2）根据二元一次方程组的解法求解方程组甲．（1）解：甲：，乙：；甲：x表示A队的工作时间，y表示B队的工作时间；乙：x表示A队的工作量，y表示B队的工作量；故答案为：A队的工作时间，B队的工作时间；A队的工作量，B队的工作量．（2）解：得：，解得：，把代入①得：，解得：，∴方程组的解为：，则，，答：A队整治河道120米，B队整治河道240米．【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，正确找出题目中的相等关系，列方程组求解．举一反三：【变式】一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元．甲、乙两组工作一天，商店应各付多少元；已知甲单独完成需12天，乙单独完成需24天，单独请哪个组，商店所需费用少？若装修完后，商店每天可盈利200元，现有如下三种方式装修：①甲单独做；②乙单独做；③甲乙合做，你认为如何安排施工更有利于商店？（可用（1）、（2）问的条件及结论）【答案】(1) 甲组工作一天，商店应付300元，乙组工作一天，商店应付140元 (2) 单独请乙组，商店所需费用少 (3) 安排甲乙合作施工更有利于商店【分析】（1）根据题意建立方程组并求解；（2）将单独请甲乙组的费用计算出来，再进行比较，得出答案；（3）将三种方案损失费用计算出来进行比较，得出答案．解：（1）设甲组工作一天，商店应付x元，乙组工作一天，商店应付y元，依题意得：，解得：．答：甲组工作一天，商店应付300元，乙组工作一天，商店应付140元．（2）300×12＝3600（元），140×24＝3360（元）．∵3600＞3360，∴单独请乙组，商店所需费用少．（3）选择①：（300+200）×12＝6000（元）；选择②：（140+200）×24＝8160（元）；选择③：（300+140+200）×8＝5120（元）．∵5120＜6000＜8160，∴安排甲乙合作施工更有利于商店．【点拨】本题考查了二元一次方程组的实际运用，熟练掌握方程组的实际运用是本题解题关键．类型六、二元一次方程组的应用➽➼列方程组解应用题➽➼数字问题✭✭年龄问题11．已知下表内的各横行中，从第二个数起的数都比它左边相邻的数大m；各竖列中，从第二个数起的数都比它上边相邻的数大n．求 m，n 的值． 【答案】m=15，n=9【分析】右边的数为，的相邻右边是18，正下方的第三个数是30，根据题意列出方程组即可求解．解：根据题意以及表格数据，有：，解得，答：m的值为15，n的值为9．【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，明确题意，列出二元一次方程组是解答本题的关键．举一反三：【变式】小明的爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数（单位：公里）如下：如果设小明9：00时看到的两位数的十位数字为x，个位数字为y，那么：小明9：00时看到的两位数为______；小明9：48时看到的两位数为______，11：00时看到的三位数为______；请你列二元一次方程求小明在9：00时看到里程碑上的两位数．【答案】(1) (2) ； (3) 小明在9：00时看到里程碑上的两位数是15【分析】（1）根据数位的概念用十位数字的10倍加上个位数字即是此两位数；（2）同样用数位的概念进行表达即可，9：48时十位与个位数字与9：00时所看到的正好互换了，则十位数字为y，个位数字为x，11：00时看到的三位数百位数字是x，十位数字是0，个位数字是y；（3）分别根据两位数的两个数字之和为6和行驶过程中速度不变两个等量关系列出方程，解出方程即可．解：（1）∵两位数的十位数字为x，个位数字为y，∴两位数可表示为；故答案为；．（2）∵9：48时看到的两位数十位与个位数字与9：00时所看到的正好互换了∴十位数字为y，个位数字为x，∴两位数可表示为；∵11：00看到的数字是一个三位数，比9：00时看到的两位数的数字中间多了个0，∴此三位数百位数字是x，十位数字是0，个位数字是y，∴11：00时的三位数可表示为：；故答案为；；．（3）根据题意可知行驶速度不变，从9:00到9:48用时48分钟，到11:00用时120分钟，列方程如下：，解得：．∴小明在9：00时看到里程碑上的两位数是15．答：小明在9：00时看到里程碑上的两位数是15．【点拨】本题考查了数位的概念和二元一次方程组的应用，理解数位的概念和表达方法，找到题中的等量关系列出方程是解题的关键．12．今年（2022年）4月20日，是云大附中建校95周年暨云大附中恢复办学40周年校庆日，我校初一年级数学兴趣小组的小明同学发现这样一个有趣的巧合；小明的爸爸和爷爷都是云附的老校友，且爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40．已知小明今年13岁，妹妹今年4岁．求今年小明的爸爸和爷爷的年龄分别是多少岁？（要求用二元一次方程组解答）假如小明的爸爸和爷爷都是15岁初中华业的，请问小明的爸爸和爷爷分别是哪一年毕业的云附学子？【答案】(1) 爸爸36岁，爷爷76岁 (2) 爸爸是2001年华业，爷爷是1961年毕业的云附学子【分析】（1）设今年小明的爸爸x岁，爷爷y岁，根据“爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40”列出二元一次方程组求解即可．（2）用现在年份减去年龄加15即可得到答案．解：（1）设今年小明的爸爸x岁，爷爷y岁．．解得：答：今年小明的爸爸36岁，爷爷76岁；（2）（年）（年）小明的爸爸是2001年华业，爷爷是1961年毕业的云附学子．【点拨】本题主要考查了二元一次方程组的应用，正确找出等量关系是解答本题的关键．举一反三：【变式】一名34岁的男子带着他的两个孩子一同进行晨跑，下面是两个孩子与记者的对话：根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出哥哥和妹妹的年龄．【答案】妹妹的年龄是6岁，哥哥的年龄是10岁．【分析】设妹妹的年龄是x岁，哥哥的年龄是y岁，根据“今年妹妹和哥哥的年龄和是16岁，两年后，妹妹年龄的3倍和哥哥的年龄相加等于爸爸的年龄”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．解：设妹妹的年龄是x岁，哥哥的年龄是y岁，依题意，得： ，解得： ．答：妹妹的年龄是6岁，哥哥的年龄是10岁．【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．类型七、二元一次方程组的应用➽➼列方程组解应用题➽➼销售问题✭✭几何问题13．为喜迎元旦，某超市推出A类礼盒和B类礼盒，每个A类礼盒的成本为120元，每个B类礼盒的成本为160元，每个B类礼盒的售价比每个A类礼盒的售价多80元，售卖2个A类礼盒获得的利润和售卖1个B类礼盒获得的利润相同．求每个A类礼盒的售价；(2) 该超市购进A类礼盒800个和B类礼盒1000个，进行促销活动．超市规定，每人每次最多购买A类礼盒1个或B类礼盒1个，每个A类礼盒直接参与店内“每满100元减a元”的活动，每个B类礼盒在售价的基础上打九折后再参与店内“每满100元减a元”的活动．活动结束时，所有礼盒全部售卖完．若该超市获得的利润为48800元，求a的值．【答案】(1) 每个A类礼盒的售价为160元 (2) 14【分析】（1）设每个A类礼盒的售价为x元，每个B类礼盒的售价为y元，根据“每个B类礼盒的售价比每个A类礼盒的售价多80元，售卖2个A类礼盒获得的利润和售卖1个B类礼盒获得的利润相同”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）由每个B类礼盒售价的九折大于200元，可得出每个B类礼盒的活动价为元，利用总利润等于每个的销售利润乘以销售数量，可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出a的值．（1）解：设每个A类礼盒的售价为x元，每个B类礼盒的售价为y元，根据题意得：，解得：．答：每个A类礼盒的售价为160元．（2）解：∵（元），，∴每个B类礼盒的活动价为元．根据题意得：，解得：．答：a的值为14．【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．举一反三：【变式】某服装店用5700元购进A，B两种新式服装，按标价售出后可获得毛利润3600元（毛利润＝售价－进价），这两种服装的进价，标价如表所示．请利用二元一次方程组求这两种服装各购进的件数；如果A种服装按标价的9折出售，B种服装按标价的8折出售，那么这批服装全部售完后，服装店比按标价出售少收入多少元？【答案】(1)购进A型服装45件，购进B型服装30件(2)服装店比按标价出售少收入1410元【分析】（1）设购进A型服装x件，B型服装y件，根据“某服装店用5700元购进A，B两种新式服装，按标价售出后可获得毛利润3600元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）利用少收入的钱数=每件A型服装少挣的钱数×销售数量+每件B型服装少挣的钱数×销售数量，即可求出结论．解：（1）设购进A种服装x件，购进B种服装y件，根据题意得：，解得：答：购进A型服装45件，购进B型服装30件；（2）=450+960（元）．答：服装店比按标价出售少收入1410元．【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．14．用一元一次方程解决问题：某药业集团生产的某种药品包装盒的侧面展开图如图，如果长方体盒子的长比宽多，求这种药品包装盒的体积．【答案】【分析】要求长方体的体积，需知长方体的长、宽、高，再结合图形寻找等量关系，求出后代入长方体体积公式，即可得出结果．解：设这种药品包装盒的宽为，高为，则长为，根据题意可得，解得，∴长为，宽为，高为，则体积，则这种药品包装盒的体积为．【点拨】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是用宽表示出长．举一反三：【变式】∠α是∠β的3倍，且∠β的补角比∠α的余角大110°，求∠α的度数．【答案】∠α＝30°【分析】根据余角和补角的定义，结合∠α是∠β的3倍，∠β的补角比∠α的余角大110°，列出二元一次方程组，解方程组即可求解．解：由题意得，．解得∠α＝30°，∠β＝10°．∴∠α＝30°．【点拨】本题主要考查余角与补角，解二元一次方程组，熟练掌握余角和补角的定义是解决本题的关键．类型八、二元一次方程组的应用➽➼列方程组解应用题➽➼和差倍分问题✭✭古代问题15．小明和小红各有一些巧克力，如果小红把她巧克力数量的一半分给小明，那么小明就有40颗巧克力；如果小明把他巧克力数量的分给小红，那么小红也有40颗巧克力，求小明、小红原本各有多少颗巧克力．【答案】小明原有巧克力30颗，小红原有巧克力20颗【分析】设小明原有巧克力x颗，小红原有巧克力y颗，由小明原来有的加上小红分给的共40颗，小红原来有的加上小明分给的共40颗，再列方程组即可．解：设小明原有巧克力x颗，小红原有巧克力y颗根据题意，可列方程组， 解得 答：小明原有巧克力30颗，小红原有巧克力20颗．【点拨】本题考查的是二元一次方程组的应用，理解题意，确定相等关系列方程是解本题的关键．举一反三：【变式】甲、乙两仓库共存粮95吨，现从甲仓库运出存粮的，从乙仓库运出存粮的，这时甲仓库剩下的粮和乙仓库剩下的粮同样多，甲、乙两仓库原来各存粮多少吨？【答案】甲、乙两仓库原来各存粮吨，吨．【分析】设甲、乙两仓库原来各存粮吨，根据题意，列二元一次方程组，求解即可．解：设甲、乙两仓库原来各存粮吨，由题意可得：，解得答：甲、乙两仓库原来各存粮吨，吨．【点拨】此题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意，找到等量关系，正确列出方程组．16．驴和骡子驮着货物走在路上，驴不停的埋怨自己驮的货物太重了，压得受不了．骡子对驴说：“你发什么牢骚啊！我驮的货比你重，如果你驮的货给我一袋子，那我驮的比你多一倍，而如果我驮的货给你一袋子，咱俩驮的才一样多”请问你知道驴和骡子各驮了多少袋子货物吗？【答案】驴子原来所驮货物为5袋，骡子原来所驮货物为7袋．【分析】根据题意可知，本题中的相等关系是“如果你驮的货给我一袋子，那我驮的比你多一倍”和“如果我驮的货给你一袋子，咱俩驮的才一样多”，列方程组求解即可．解：设驴子原来所驮货物为x袋，骡子原来所驮货物为y袋．由题意得 ，解得，即：驴子原来所驮货物为5袋，骡子原来所驮货物为7袋．【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用．利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出2个等量关系，准确地找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键．举一反三：【变式】我国古代数学著作《孙子算经》卷中记载有“多人共车”问题，原文如下：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？”意思是：今有若干人乘车，每3人乘1车，所乘车都坐满，最终剩余2辆车；若每2人共乘1车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？【答案】39人，15辆车【分析】设共有x人，y辆车，由题意：每3人共乘一车，所乘车都坐满，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘．列出二元一次方程组，解方程组即可．解：设共有人，辆车，根据题意得：，解得：，答：共有39人，15辆车．【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．类型九、二元一次方程组的应用➽➼列方程组解应用题➽➼信息问题✭✭开放问题17．根据图提供的信息，求杯子和茶瓶的价格．【答案】杯子8元，茶瓶35元【分析】设茶瓶每个元，杯子每个元，结合1个茶瓶，2个杯子共51元，2个茶瓶，3个杯子共94元，再列方程组，再解方程组即可．解：设茶瓶每个元，杯子每个元，则 ②①得：③①③得：，把代入③得：，∴方程组的解为；，答：杯子每个8元，茶瓶每个35元．【点拨】本题考查的是二元一次方程组的应用，根据图片信息确定相等关系是解本题的关键．举一反三：【变式】如图，在的方格内，填写了一些代数式和数．在图1中各行、各列及对角线上三个数之和都相等，请你求出，的值；把满足（1）的其它6个数填入图2中的方格内．【答案】(1) (2)见分析【分析】（1）根据等量关系“各行、各列及对角线上三个数之和都相等”，列出方程组求解即可；（2）根据计算出的x、y值，求出其它6个数即可．（1）解：由已知条件可得，解得：．（2）解：如图所示： 【点拨】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据“各行、各列及对角线上三个数之和相等”从而列出关于x、y的二元一次方程组，是解题的关键．18．由大小两种货车，3辆大车与4辆小车一次可以运货22吨，2辆大车与6辆小车一次可以运货23吨．请根据以上信息，提出一个能用二元一次方程组解决的问题，并写出这个问题的解答过程．【答案】问题：1辆大车与1辆小车一次可以运货多少吨?( 本题的答案不唯一)，答案：6.5吨.【分析】1辆大车与1辆小车一次可以运货多少吨？根据题意可知，本题中的等量关系是“3辆大车与4辆小车一次可以运货22吨”和“2辆大车与6辆小车一次可以运货23吨”，列方程组求解即可．解：问题：1辆大车与1辆小车一次可以运货多少吨?( 本题的答案不唯一)设1辆大车一次运货x吨，1辆小车一次运货y吨．根据题意,得，解得.则x+y=4+2.5=6.5(吨).答：1辆大车与1辆小车一次可以运货6.5吨．举一反三：【变式】小红用110根长短相同的小木棍按照如图所示的方式,连续摆正方形或六边形,要求相邻的图形只有一条公共边.小红首先用根小木棍摆出了个小正方形,请你用等式表示之间的关系： ；小红用剩下的小木棍摆出了一些六边形,且没有木棍剩余.已知他摆出的正方形比六边形多4个,请你求出摆放的正方形和六边形各多少个?小红重新用50根小木棍,摆出了排,共个小正方形.其中每排至少含有1个小正方形,每排含有的小正方形的个数可以不同.请你用等式表示之间的关系,并写出所有可能的取值.【答案】（1）；（2）正方形有16个，六边形有12个；（3），，或【分析】(1)摆1个正方形需要4根小木棍，摆2个正方形需要7根小木棍，摆3个正方形需要10根小木棍…每多一个正方形就多3根小木棍，则摆p个正方形需要4+3(p-1)=3p+1根小木棍，由此求得答案即可；(2)设连续摆放了六边形x个， 正方形y个，则连续摆放正方形共用小木棍(3y+1)根，六方形共用小木棍(5x+1)根，由题意列出方程组解决问题即可；(3)由(1)可知每排用的小木棍数比这排小正方形个数的3倍多1根，由此可得s、t间的关系，再根据s、t均为正整数进行讨论即可求得所有可能的取值.解：(1)摆1个正方形需要4根小木棍，4=4+3×(1-1)，摆2个正方形需要7根小木棍，4=4+3×(2-1)，摆3个正方形需要10根小木棍，10=4+3×(3-1)，……，摆p个正方形需要m=4+3×(p-1)=3p+1根木棍，故答案为；(2)设六边形有个，正方形有y个，则，解得，所以正方形有16个，六边形有12个；(3)据题意，，据题意，，且均为整数，因此可能的取值为：， ， 或.【点拨】本题考查二元一次方程组的实际运用，找出连续摆放正方形共用小木棍的根数，六方形共用小木棍的根数是解决问题的关键．类型十、二元一次方程组的应用➽➼列方程组解应用题➽➼其他问题19．口罩是疫情防控的重要物资，某药店销售A、B两种品牌口罩，购买1盒A品牌和1盒B品牌的口罩共需180元；购买3盒A品牌和1盒B品牌的口罩共需380元，求这两种品牌口罩的单价．【答案】A品牌口罩的单价为100元/盒，B品牌口罩的单价为80元/盒【分析】设A品牌口罩的单价为x元，B品牌口罩的单价为y元，根据所给数量关系列二元一次方程组，解方程组即可．解：设A品牌口罩的单价为x元/盒，B品牌口罩的单价为y元/盒．由题意得：，解得，因此A品牌口罩的单价为100元/盒，B品牌口罩的单价为80元/盒．【点拨】本题考查二元一次方程组的实际应用，根据所给数量关系列出二元一次方程组是解题的关键．举一反三：【变式】某校欲购置规格分别为和的甲、乙两种免洗手消毒液共300瓶，其中甲消毒液15元瓶，乙消毒液20元瓶，如果购买这两种消毒液共花费5550元，求购买甲、乙两种消毒液各多少瓶？【答案】购买甲种消毒液90瓶，乙种消毒液210瓶【分析】设购买甲种消毒液瓶，乙种消毒液瓶，然后根据等量关系“甲、乙两种免洗手消毒液共300瓶”和“购买这两种消毒液共花费5550元”列二元一次方程组解答即可．解：设购买甲种消毒液瓶，乙种消毒液瓶，依题意得：，解得：．答：购买甲种消毒液90瓶，乙种消毒液210瓶．【点拨】本题主要考查了二元一次方程组的应用，审清题意、找到等量关系、正确列出二元一次方程组是解答本题的关键． 商场名称优惠办法甲每购买十套队服，送一个足球乙若购买队服超过90套，则购买足球打七折；否则按原价出售时刻9：009：4811：00里程碑上的数是一个两位数，它的两个数字之和为6也是一个两位数，十位与个位数字与9：00时所看到的正好互换了是一个三位数，比9：00时看到的两位数的数字中间多了个0类型价格A型B型进价（元/件）60100标价（元/件）100160
专题2.10 二元一次方程组的应用（知识讲解）【学习目标】1．以含有多个未知数的实际问题为背景，经历“分析数量关系，设未知数，列方程组，解方程组和检验结果”的过程，体会方程组是刻画现实世界中含有多个未知数问题的数学模型；2. 熟练掌握用方程组解决和差倍分，配套，工程等实际问题.【要点梳理】要点一、常见的一些等量关系（一）1.和差倍分问题：年龄差不变2.产品配套问题： 解这类问题的基本等量关系是：加工总量成比例.3.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率 较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数×倍量.要点二、实际问题与二元一次方程组1.列方程组解应用题的基本思想列方程组解应用题，是把“未知”转换成“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的等量关系．一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量：②同类量的单位要统一；③方程两边的数要相等.2.列二元一次方程组解应用题的一般步骤：设：用两个字母表示问题中的两个未知数；列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）；解：解方程组，求出未知数的值；验：检验求得的值是否正确和符合实际情形；答：写出答案．特别说明：（1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；（2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；（3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.【典型例题】类型一、二元一次方程组的应用➽➼错解复原问题✭✭构造二元一次方程组求解1．甲、乙两人在解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得乙看错了方程②中的b，解得求原方程组的正确解．【答案】【分析】根据甲看错a则求得的解满足b，乙看错了b则求得的解满足a，据此求出a、b的值进而得到原方程组，再利用代入消元法求解即可．解：∵甲、乙两人在解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得∴，解得，∵乙看错了方程②中的b，解得∴，解得，∴原方程组为，由①得③，把③代入②得，解得，将代入③得，∴方程组的解为．【点拨】本题主要考查了二元一次方程组错解复原问题，正确理解题意求出a、b的值是解题的关键．举一反三：【变式】甲、乙两人同时解关于、的二元一次方程组，甲解得，乙解得，甲仅因为看错了方程组中的，乙仅因为看错了方程组中的．试求出方程组正确的解．【答案】【分析】将甲的解代入方程组中的第二个方程，可求出b的值，再将乙的解代入第一个方程可求出a的值，进而确定出方程组，最后解方程组即可．解：将代入方程得：，解得：，将代入得：，解得：．所以原方程组为：用①－②得，再将代入②，解得，则方程组的解为：【点拨】此题主要考查了二元一次方程组的解，解题关键是明确方程组的解是能使方程左右两边相等的未知数的值．2．在等式中，当时，；当时，．求k，b的值．当时，求y的值．【答案】(1) ，； (2) 【分析】（1）分别把x与对应的y值代入中，解二元一次方程组即可求出k与b的值；（2）将x的值代入（1）中所求得的关系式进行计算即可．（1）解：把，；，代入得：，解得，∴，；（2）解： 由（1）得，∴当时，．【点拨】此题考查了代数式求值，解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．举一反三：【变式】已知关于，的方程组若方程组的解满足，求m的值；无论实数m取何值，方程总有一个公共解，请直接写出这个公共解．【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，联立方程组，可求得x，y的值，再将x，y代入m﹣2y+mx+9＝0，即可求得m的值．（2）将m﹣2y+mx+9＝0变形，得（1+x）m﹣2y+9＝0，由题意可得1+x＝0，可求得x的值，将所求x的值代入m﹣2y+mx+9＝0，可求得y的值，即为所求的公共解．(1) 解：根据题意，联立，①﹣②，得y＝5，将y＝5代入①，得x＝﹣5．把代入m﹣2y+mx+9＝0，可得m﹣2×5﹣5m+9＝0，解得m＝．∴m的值为．（2）解：这个公共解为．理由：将m﹣2y+mx+9＝0变形，得（1+x）m﹣2y+9＝0，∵无论实数m取何值，方程m﹣2y+mx+9＝0总有一个公共解，∴1+x＝0，解得x＝﹣1，将x＝﹣1代入m﹣2y+mx+9＝0，可得y＝．∴这个公共解为．【点拨】本题考查二元一次方程组的解、二元一次方程及同解方程，解题的关键是熟练掌握加减消元法．类型二、二元一次方程组的应用➽➼由二元一次方程组的解情况求参数✭✭同解方程组3．已知是关于x、y的方程组的解，求的值．【答案】【分析】先把，代入原方程组，再解关于a、b的二元一次方程组，代入要求的代数式即可得出答案．解：将代入得，①②，得，∴．【点拨】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．举一反三：【变式】已知关于x，y的方程组．请直接写出方程x+2y-6=0的所有正整数解；若方程组的解满足x+y=0，求m的值；无论实数m取何值，关于x，y的方程m-2y+mx+4=0总有一个固定的解，请求出这个解．【答案】(1) 方程x+2y-6=0的所有正整数解为：， (2) m＝﹣ (3) 固定的解为：【分析】（1）将x做已知数求出y，即可确定出方程的正整数解；（2）将x+y=0与原方程组中的第一个方程组成新的方程组，可得x、y的值，再代入第二个方程中可得m的值；（3）当含m项为零时，取x=0，代入可得固定的解．（1）解：方程x+2y-6=0，即x+2y=6，解得：x=6-2y，当y=1时，x=4；当y=2时，x=2，方程x+2y-6=0的所有正整数解为：，；（2）解：由题意得：，解得，把代入x-2y+mx+4=0，得-6-12-6m+4=0，解得m=-；（3）解：∵m-2y+mx+4=0，∴（1+x）m-2y=-4，∴当1+x=0时，即x=-1时，y=2，即固定的解为：．【点拨】此题考查了解二元一次方程的整数解和二元一次方程组的解，熟练掌握运算法则和求方程组的解是本题的关键．4．已知关于x，y的方程组与有相同的解，求 的值．【答案】1【分析】先根据题意得到方程组，解方程组求出，进而得到关于a、b的方程组，求出a、b的值即可得到答案．解：∵关于x，y的方程组与有相同的解，∴得，解得，把代入①得：，解得，∴方程组的解为，∴得，解得，把代入④得，解得，∴．【点拨】本题主要考查了同解方程组，代数式求值，正确求出a、b的值是解题的关键．举一反三：【变式】已知方程组和方程组的解相同，求的值．【答案】100【分析】由题意可得方程组，则有可求出方程组的解，然后再代入进行求解a、b，进而问题可求解．解：由题意得：，解得：，∴，化简得：，解得：，∴．【点拨】本题主要考查同解方程组的问题，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．类型三、二元一次方程组的应用➽➼列方程组➽➼实际问题✭✭几何问题5．将含铁72%和含铁58%的两种矿石，混合后配成含铁64%的矿石70吨，若设需含铁72%的矿石x吨，含铁58%的矿石y吨，列出方程组．【答案】【分析】根据两种矿石总量为70吨，含铁量为，可得出方程组．解：设需含铁的矿石吨，含铁的矿石吨，由题意得，．【点拨】本题考查了由实际问题抽象二元一次方程组的知识，解题的关键是仔细审题，找到等量关系．举一反三：【变式】某中学九年级毕业生在礼堂就座进行毕业典礼，若一条长椅上坐4人，就有22人没座位；若一条长椅上坐5人，最后一条长椅上空出了3个座位，设有x条长椅，毕业生有y人，试列出方程组．【答案】【分析】设有x条长椅，毕业生有y人，根据“一条长椅上坐4人，就有22人没座位”可得；根据“一条长椅上坐5人，最后一条长椅上空出3个座位”列出另一个关于x、y的方程，联立上述方程组成方程组，即可解答此题．解：设有x条长椅，毕业生有y人，根据题意，列方程组得：．【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题干信息找出等量关系并据此列出方程组是解题的关键．6．如图：用8块相同的长方形拼成一个宽为48厘米的大长方形，每块小长方形的长和宽分别是多少？解：设小长方形的长是x厘米，宽是y厘米，题中的两个相等关系：小长方形的长____________大长方形的宽，可列方程为：____________；小长方形的长____________，可列方程为：____________．【答案】(1) 小长方形的一个宽；； (2) 小长方形的宽；．【分析】（1）观察图形可知，小长方形的长小长方形的一个宽大长方形的宽，即可列出方程；（2）观察图形可知，小长方形的长小长方形的宽，即可列出方程．（1）解：小长方形的长小长方形的一个宽大长方形的宽；可列方程为：，故答案为：小长方形的一个宽；；（2）解：小长方形的长小长方形的宽，可列方程为：，故答案为：小长方形的宽；．【点拨】本题考查了二元一次方程的应用，从图形中找出等量关系是解题关键．举一反三：【变式】已知A、B两个边长不等的正方形纸片并排放置(如图所示) (1) 若m＝8，n＝3，则甲、乙两个正方形纸片的面积之和为: ______________ (2) 用m、n表示甲、乙两个正方形纸片的面积之和为:___________________(3) 若A、B两个正方形纸片的面积之和为： ，且右下图中阴影部分的面积为：，则m=___________n=_______________________ 【答案】(1) 36.5； (2) ； (3) ，【分析】（1）设A的边长为x，B的边长为y，列出等式组解得x、y的值，再根据面积公式计算即可.（2）由题意列出m、n的关系式，根据不等式关系进行化简即可.（3）根据题意，列出S阴影面积与A、B面积的关系式，进行化简求值即可.解：(1)设A的边长为x，B的边长为y，则 ①+②得：2x=11x=5.5即A和B的面积之和为36.5.(2) 解得：x=, y=A、B面积之和= = (3)=由题意得：解得：【点拨】本题考查二元一次方程的运用，熟练掌握计算法则是解题关键.类型四、二元一次方程组的应用➽➼列方程组解应用题➽➼方案问题✭✭分配问题7．今年疫情期间某物流公司计划用两种车型运输救灾物资，已知租用2辆型车和1辆型车装满物资一次可运10吨；用1辆型车和2辆型车一次可运11吨．某物流公司现有31吨货物资，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都装满．1辆型车和1辆型车都装满物资一次可分别运多少吨？请你该物流公司设计租车方案；若型货车每辆需租金120元/次，型货车每辆租金140元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．【答案】(1) 3，4 (2) 方案1：租用9辆A型车，1辆B型车；方案2：租用5辆A型车，4辆B型车；方案3：租用1辆A型车，7辆B型车． (3) 租用1辆A型车，7辆B型车，最少租车费为1100元．【分析】（1）设1辆A型车装满物资一次可运x吨，1辆B型车装满物资一次可运y吨，根据“用2辆A型车和1辆B型车装满物资一次可运10吨；用1辆A型车和2辆B型车一次可运11吨”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）根据要一次运送31吨货物，即可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数即可得出各租车方程；（3）根据总租金＝每辆车的租车费用×租车辆数，分别求出三种租车方案所需费用，比较后即可得出结论．解：（1）设1辆A型车装满物资一次可运x吨，1辆B型车装满物资一次可运y吨，依题意：得，解得：，答：1辆A型车装满物资一次可运3吨，1辆B型车装满物资一次可运4吨．（2）依题意，得：，又∵a，b均为正整数，或或，∴该物流公司共有3种租车方案，方案1：租用9辆A型车，1辆B型车；方案2：租用5辆A型车，4辆B型车；方案3：租用1辆A型车，7辆B型车．（3）方案1所需租金为（元）；方案2所需租金为（元）；方案3所需租金为（元）．，∴最省钱的租车方案为租用1辆A型车，7辆B型车，最少租车费为1100元．【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；（3）根据各数量之间的关系，分别求出三种租车方案所需费用．举一反三：【变式】某校要购买一批足球运动装备．市场调查发现：甲、乙两商场以同样的价格出售同种品牌的足球队服和足球，已知每套队服比每个足球多50元，三套队服与四个足球的费用相等．求每套队服和每个足球的价格分别是多少元？该校计划购买100套队服和个足球，下表是甲、乙两个商场的优惠方案：①请用含a的代数式分别表示出到甲商场和乙商场购买装备所花费用；②当时，你认为到甲、乙哪家商场购买比较合算？说明理由．【答案】(1) 每套队服200元、每个足球的价格是150元． (2) ①到甲商场所花费的钱：，到乙商场所花费的钱：；②到甲商场合算．【分析】（1）根据已知每套队服比每个足球多50元，三套队服与四个足球的费用相等，列出二元一次方程组，求解即可．（2）①根据图表分别用含a的代数式分别表示出到甲商场和乙商场购买装备所花费用；②当时，分别代入，比较即可．（1）解：设每套队服x元，每个足球的价格为y元，解得：，，答：每套队服200元、每个足球的价格是150元．（2）①到甲商场所花费的钱：，到乙商场所花费的钱：，②当时到甲商场所花费的钱：（元）到乙商场所花费的钱：（元）到甲商场合算．【点拨】此题考查了二元一次方程组的实际应用，解题的关键是根据题意找出等量关系式列出方程组．8．某蔬菜基地第一次向甲地运输124吨蔬菜，恰好装满5辆大货车和2辆小货车；第二次向甲地运输180吨蔬菜，恰好装满6辆大货车和5辆小货车．装满2辆大货车和3辆小货车能运输多少吨蔬菜？第三次安排大、小货车共12辆向甲地运输208吨蔬菜，若要使得每辆车都装满，则大货车和小货车分别需要多少辆？【答案】(1) 76吨 (2) 大货车8辆和小货车4辆【分析】（1）设1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运货x吨、y吨，根据“5辆大货车与2辆小货车一次可以运货124吨，6辆大货车与5辆小货车一次可以运货180吨”列方程组求解可得；（2）设安排m辆大货车，则小货车需要（12﹣m）辆，根据两种货车运送的蔬菜总质量208吨列方程求解可得．（1）解：设1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运货x吨、y吨，根据题意，得：，解得：，∴答：装满2辆大货车和3辆小货车能运输76吨蔬菜．（2）设安排m辆大货车，则小货车需要辆，根据题意，得：，解得：，所以则大货车8辆和小货车4辆．答：需要大货车8辆和小货车4辆．【点拨】本题考查了二元一次方程组和一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和一元一次方程求解．举一反三：【变式】学校6名教师和234名学生集体外出活动，准备租用45座大客车或30座小客车，若租用1辆大客车、2辆小客车共需租车费1000元；若租用2辆大客车、1辆小客车共需租车费1100元．求每辆大、小客车的租车费各是多少元？怎样租车，正好坐满？写出所有的可能性．（请列方程解答）．【答案】(1) 每辆大车的租车费是400元，每辆小车的租车费是300元 (2) ①租用30座小客车8辆；②租用45座大客车2辆，30座小客车5辆；③租用45座大客车4辆，30座小客车2辆【分析】（1）设大车每辆的租车费是元，小车每辆的租车费是元，根据题意列出二元一次方程组并求解即可；（2）设租用45座大客车辆，30座小客车辆，根据题意列出二元一次方程，并求出非负整数解，即可解决问题．（1）解：设大车每辆的租车费是元，小车每辆的租车费是元，由题意得：，解得：，答：大车每辆的租车费是400元，小车每辆的租车费是300元；（2）设租用45座大客车辆，30座小客车辆，由题意得：，整理得：，∵、为非负整数，∴或或，∴共有三种租车方案：①租用30座小客车8辆；②租用45座大客车2辆，30座小客车5辆；③租用45座大客车4辆，30座小客车2辆．【点拨】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题关键是理解题意，找准等量关系并正确列出二元一次方程（组）．类型五、二元一次方程组的应用➽➼列方程组解应用题➽➼行程问题✭✭工程问题9．A市到B市的航线长1200km，一架飞机从A市顺风飞往B市需2小时30分，从B市逆风飞往A市需3小时20分．求飞机的速度与风速．【答案】飞机的速度为，风速为【分析】设飞机的速度为，风速为，根据路程=速度×时间列出方程组求解即可．解：设飞机的速度为，风速为，由题意得，解得，∴飞机的速度为，风速为，答；飞机的速度为，风速为．【点拨】本题主要考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意找到等量关系列出方程组是解题的关键．举一反三：【变式】桥长 1000米，现有一列匀速行驶的货车从桥上通过，测得货车从上桥到完全过桥共用了 60秒，而整个货车在桥上的时间是 40秒，求货车的长度和速度．【答案】货车的长度为200米，速度为20米/秒【分析】通过理解题意可知本题存在两个等量关系，即整列火车过桥通过的路程=桥长+车长，整列火车在桥上通过的路程=桥长车长，根据这两个等量关系可列出方程组．解：设货车的长度为米和速度米/秒，由题意得：，解得：，答：货车的长度为200米，速度为20米/秒．【点拨】此题考查了二元一次方程的应用，解题关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程组．弄清桥长、车长以及整列火车过桥通过的路程，整列火车在桥上通过的路程之间的关系．10．阅读理解：为打造陶子河沿岸的风景带，有一段长为360米的河道整治任务由A、B两个工程队先后接力完成，A工程队每天整治24米，B工程队每天整治16米，共用20天.根据题意，甲乙两个同学分别列出了尚不完整的方程组如下：甲： 乙：根据甲、乙两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数，表示的意义，并且补全甲、乙两名同学所列的方程组：甲：表示___________________，表示_______________；乙：表示___________________，表示_______________；求出其中一个方程组的解，并回答A、B两工程队分别整治河道多少米？【答案】(1) A队的工作时间，B队的工作时间；A队的工作量，B队的工作量；补全所列方程组见分析 (2) A队整治河道120米，B队整治河道240米【分析】（1）根据甲、乙两名同学所列的方程组可得，甲：x表示A队的工作时间，y表示B队的工作时间；乙：x表示A队的工作量，y表示B队的工作量，补全方程组即可；（2）根据二元一次方程组的解法求解方程组甲．（1）解：甲：，乙：；甲：x表示A队的工作时间，y表示B队的工作时间；乙：x表示A队的工作量，y表示B队的工作量；故答案为：A队的工作时间，B队的工作时间；A队的工作量，B队的工作量．（2）解：得：，解得：，把代入①得：，解得：，∴方程组的解为：，则，，答：A队整治河道120米，B队整治河道240米．【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，正确找出题目中的相等关系，列方程组求解．举一反三：【变式】一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元．甲、乙两组工作一天，商店应各付多少元；已知甲单独完成需12天，乙单独完成需24天，单独请哪个组，商店所需费用少？若装修完后，商店每天可盈利200元，现有如下三种方式装修：①甲单独做；②乙单独做；③甲乙合做，你认为如何安排施工更有利于商店？（可用（1）、（2）问的条件及结论）【答案】(1) 甲组工作一天，商店应付300元，乙组工作一天，商店应付140元 (2) 单独请乙组，商店所需费用少 (3) 安排甲乙合作施工更有利于商店【分析】（1）根据题意建立方程组并求解；（2）将单独请甲乙组的费用计算出来，再进行比较，得出答案；（3）将三种方案损失费用计算出来进行比较，得出答案．解：（1）设甲组工作一天，商店应付x元，乙组工作一天，商店应付y元，依题意得：，解得：．答：甲组工作一天，商店应付300元，乙组工作一天，商店应付140元．（2）300×12＝3600（元），140×24＝3360（元）．∵3600＞3360，∴单独请乙组，商店所需费用少．（3）选择①：（300+200）×12＝6000（元）；选择②：（140+200）×24＝8160（元）；选择③：（300+140+200）×8＝5120（元）．∵5120＜6000＜8160，∴安排甲乙合作施工更有利于商店．【点拨】本题考查了二元一次方程组的实际运用，熟练掌握方程组的实际运用是本题解题关键．类型六、二元一次方程组的应用➽➼列方程组解应用题➽➼数字问题✭✭年龄问题11．已知下表内的各横行中，从第二个数起的数都比它左边相邻的数大m；各竖列中，从第二个数起的数都比它上边相邻的数大n．求 m，n 的值． 【答案】m=15，n=9【分析】右边的数为，的相邻右边是18，正下方的第三个数是30，根据题意列出方程组即可求解．解：根据题意以及表格数据，有：，解得，答：m的值为15，n的值为9．【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，明确题意，列出二元一次方程组是解答本题的关键．举一反三：【变式】小明的爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数（单位：公里）如下：如果设小明9：00时看到的两位数的十位数字为x，个位数字为y，那么：小明9：00时看到的两位数为______；小明9：48时看到的两位数为______，11：00时看到的三位数为______；请你列二元一次方程求小明在9：00时看到里程碑上的两位数．【答案】(1) (2) ； (3) 小明在9：00时看到里程碑上的两位数是15【分析】（1）根据数位的概念用十位数字的10倍加上个位数字即是此两位数；（2）同样用数位的概念进行表达即可，9：48时十位与个位数字与9：00时所看到的正好互换了，则十位数字为y，个位数字为x，11：00时看到的三位数百位数字是x，十位数字是0，个位数字是y；（3）分别根据两位数的两个数字之和为6和行驶过程中速度不变两个等量关系列出方程，解出方程即可．解：（1）∵两位数的十位数字为x，个位数字为y，∴两位数可表示为；故答案为；．（2）∵9：48时看到的两位数十位与个位数字与9：00时所看到的正好互换了∴十位数字为y，个位数字为x，∴两位数可表示为；∵11：00看到的数字是一个三位数，比9：00时看到的两位数的数字中间多了个0，∴此三位数百位数字是x，十位数字是0，个位数字是y，∴11：00时的三位数可表示为：；故答案为；；．（3）根据题意可知行驶速度不变，从9:00到9:48用时48分钟，到11:00用时120分钟，列方程如下：，解得：．∴小明在9：00时看到里程碑上的两位数是15．答：小明在9：00时看到里程碑上的两位数是15．【点拨】本题考查了数位的概念和二元一次方程组的应用，理解数位的概念和表达方法，找到题中的等量关系列出方程是解题的关键．12．今年（2022年）4月20日，是云大附中建校95周年暨云大附中恢复办学40周年校庆日，我校初一年级数学兴趣小组的小明同学发现这样一个有趣的巧合；小明的爸爸和爷爷都是云附的老校友，且爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40．已知小明今年13岁，妹妹今年4岁．求今年小明的爸爸和爷爷的年龄分别是多少岁？（要求用二元一次方程组解答）假如小明的爸爸和爷爷都是15岁初中华业的，请问小明的爸爸和爷爷分别是哪一年毕业的云附学子？【答案】(1) 爸爸36岁，爷爷76岁 (2) 爸爸是2001年华业，爷爷是1961年毕业的云附学子【分析】（1）设今年小明的爸爸x岁，爷爷y岁，根据“爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40”列出二元一次方程组求解即可．（2）用现在年份减去年龄加15即可得到答案．解：（1）设今年小明的爸爸x岁，爷爷y岁．．解得：答：今年小明的爸爸36岁，爷爷76岁；（2）（年）（年）小明的爸爸是2001年华业，爷爷是1961年毕业的云附学子．【点拨】本题主要考查了二元一次方程组的应用，正确找出等量关系是解答本题的关键．举一反三：【变式】一名34岁的男子带着他的两个孩子一同进行晨跑，下面是两个孩子与记者的对话：根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出哥哥和妹妹的年龄．【答案】妹妹的年龄是6岁，哥哥的年龄是10岁．【分析】设妹妹的年龄是x岁，哥哥的年龄是y岁，根据“今年妹妹和哥哥的年龄和是16岁，两年后，妹妹年龄的3倍和哥哥的年龄相加等于爸爸的年龄”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．解：设妹妹的年龄是x岁，哥哥的年龄是y岁，依题意，得： ，解得： ．答：妹妹的年龄是6岁，哥哥的年龄是10岁．【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．类型七、二元一次方程组的应用➽➼列方程组解应用题➽➼销售问题✭✭几何问题13．为喜迎元旦，某超市推出A类礼盒和B类礼盒，每个A类礼盒的成本为120元，每个B类礼盒的成本为160元，每个B类礼盒的售价比每个A类礼盒的售价多80元，售卖2个A类礼盒获得的利润和售卖1个B类礼盒获得的利润相同．求每个A类礼盒的售价；(2) 该超市购进A类礼盒800个和B类礼盒1000个，进行促销活动．超市规定，每人每次最多购买A类礼盒1个或B类礼盒1个，每个A类礼盒直接参与店内“每满100元减a元”的活动，每个B类礼盒在售价的基础上打九折后再参与店内“每满100元减a元”的活动．活动结束时，所有礼盒全部售卖完．若该超市获得的利润为48800元，求a的值．【答案】(1) 每个A类礼盒的售价为160元 (2) 14【分析】（1）设每个A类礼盒的售价为x元，每个B类礼盒的售价为y元，根据“每个B类礼盒的售价比每个A类礼盒的售价多80元，售卖2个A类礼盒获得的利润和售卖1个B类礼盒获得的利润相同”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）由每个B类礼盒售价的九折大于200元，可得出每个B类礼盒的活动价为元，利用总利润等于每个的销售利润乘以销售数量，可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出a的值．（1）解：设每个A类礼盒的售价为x元，每个B类礼盒的售价为y元，根据题意得：，解得：．答：每个A类礼盒的售价为160元．（2）解：∵（元），，∴每个B类礼盒的活动价为元．根据题意得：，解得：．答：a的值为14．【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．举一反三：【变式】某服装店用5700元购进A，B两种新式服装，按标价售出后可获得毛利润3600元（毛利润＝售价－进价），这两种服装的进价，标价如表所示．请利用二元一次方程组求这两种服装各购进的件数；如果A种服装按标价的9折出售，B种服装按标价的8折出售，那么这批服装全部售完后，服装店比按标价出售少收入多少元？【答案】(1)购进A型服装45件，购进B型服装30件(2)服装店比按标价出售少收入1410元【分析】（1）设购进A型服装x件，B型服装y件，根据“某服装店用5700元购进A，B两种新式服装，按标价售出后可获得毛利润3600元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）利用少收入的钱数=每件A型服装少挣的钱数×销售数量+每件B型服装少挣的钱数×销售数量，即可求出结论．解：（1）设购进A种服装x件，购进B种服装y件，根据题意得：，解得：答：购进A型服装45件，购进B型服装30件；（2）=450+960（元）．答：服装店比按标价出售少收入1410元．【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．14．用一元一次方程解决问题：某药业集团生产的某种药品包装盒的侧面展开图如图，如果长方体盒子的长比宽多，求这种药品包装盒的体积．【答案】【分析】要求长方体的体积，需知长方体的长、宽、高，再结合图形寻找等量关系，求出后代入长方体体积公式，即可得出结果．解：设这种药品包装盒的宽为，高为，则长为，根据题意可得，解得，∴长为，宽为，高为，则体积，则这种药品包装盒的体积为．【点拨】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是用宽表示出长．举一反三：【变式】∠α是∠β的3倍，且∠β的补角比∠α的余角大110°，求∠α的度数．【答案】∠α＝30°【分析】根据余角和补角的定义，结合∠α是∠β的3倍，∠β的补角比∠α的余角大110°，列出二元一次方程组，解方程组即可求解．解：由题意得，．解得∠α＝30°，∠β＝10°．∴∠α＝30°．【点拨】本题主要考查余角与补角，解二元一次方程组，熟练掌握余角和补角的定义是解决本题的关键．类型八、二元一次方程组的应用➽➼列方程组解应用题➽➼和差倍分问题✭✭古代问题15．小明和小红各有一些巧克力，如果小红把她巧克力数量的一半分给小明，那么小明就有40颗巧克力；如果小明把他巧克力数量的分给小红，那么小红也有40颗巧克力，求小明、小红原本各有多少颗巧克力．【答案】小明原有巧克力30颗，小红原有巧克力20颗【分析】设小明原有巧克力x颗，小红原有巧克力y颗，由小明原来有的加上小红分给的共40颗，小红原来有的加上小明分给的共40颗，再列方程组即可．解：设小明原有巧克力x颗，小红原有巧克力y颗根据题意，可列方程组， 解得 答：小明原有巧克力30颗，小红原有巧克力20颗．【点拨】本题考查的是二元一次方程组的应用，理解题意，确定相等关系列方程是解本题的关键．举一反三：【变式】甲、乙两仓库共存粮95吨，现从甲仓库运出存粮的，从乙仓库运出存粮的，这时甲仓库剩下的粮和乙仓库剩下的粮同样多，甲、乙两仓库原来各存粮多少吨？【答案】甲、乙两仓库原来各存粮吨，吨．【分析】设甲、乙两仓库原来各存粮吨，根据题意，列二元一次方程组，求解即可．解：设甲、乙两仓库原来各存粮吨，由题意可得：，解得答：甲、乙两仓库原来各存粮吨，吨．【点拨】此题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意，找到等量关系，正确列出方程组．16．驴和骡子驮着货物走在路上，驴不停的埋怨自己驮的货物太重了，压得受不了．骡子对驴说：“你发什么牢骚啊！我驮的货比你重，如果你驮的货给我一袋子，那我驮的比你多一倍，而如果我驮的货给你一袋子，咱俩驮的才一样多”请问你知道驴和骡子各驮了多少袋子货物吗？【答案】驴子原来所驮货物为5袋，骡子原来所驮货物为7袋．【分析】根据题意可知，本题中的相等关系是“如果你驮的货给我一袋子，那我驮的比你多一倍”和“如果我驮的货给你一袋子，咱俩驮的才一样多”，列方程组求解即可．解：设驴子原来所驮货物为x袋，骡子原来所驮货物为y袋．由题意得 ，解得，即：驴子原来所驮货物为5袋，骡子原来所驮货物为7袋．【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用．利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出2个等量关系，准确地找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键．举一反三：【变式】我国古代数学著作《孙子算经》卷中记载有“多人共车”问题，原文如下：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？”意思是：今有若干人乘车，每3人乘1车，所乘车都坐满，最终剩余2辆车；若每2人共乘1车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？【答案】39人，15辆车【分析】设共有x人，y辆车，由题意：每3人共乘一车，所乘车都坐满，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘．列出二元一次方程组，解方程组即可．解：设共有人，辆车，根据题意得：，解得：，答：共有39人，15辆车．【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．类型九、二元一次方程组的应用➽➼列方程组解应用题➽➼信息问题✭✭开放问题17．根据图提供的信息，求杯子和茶瓶的价格．【答案】杯子8元，茶瓶35元【分析】设茶瓶每个元，杯子每个元，结合1个茶瓶，2个杯子共51元，2个茶瓶，3个杯子共94元，再列方程组，再解方程组即可．解：设茶瓶每个元，杯子每个元，则 ②①得：③①③得：，把代入③得：，∴方程组的解为；，答：杯子每个8元，茶瓶每个35元．【点拨】本题考查的是二元一次方程组的应用，根据图片信息确定相等关系是解本题的关键．举一反三：【变式】如图，在的方格内，填写了一些代数式和数．在图1中各行、各列及对角线上三个数之和都相等，请你求出，的值；把满足（1）的其它6个数填入图2中的方格内．【答案】(1) (2)见分析【分析】（1）根据等量关系“各行、各列及对角线上三个数之和都相等”，列出方程组求解即可；（2）根据计算出的x、y值，求出其它6个数即可．（1）解：由已知条件可得，解得：．（2）解：如图所示： 【点拨】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据“各行、各列及对角线上三个数之和相等”从而列出关于x、y的二元一次方程组，是解题的关键．18．由大小两种货车，3辆大车与4辆小车一次可以运货22吨，2辆大车与6辆小车一次可以运货23吨．请根据以上信息，提出一个能用二元一次方程组解决的问题，并写出这个问题的解答过程．【答案】问题：1辆大车与1辆小车一次可以运货多少吨?( 本题的答案不唯一)，答案：6.5吨.【分析】1辆大车与1辆小车一次可以运货多少吨？根据题意可知，本题中的等量关系是“3辆大车与4辆小车一次可以运货22吨”和“2辆大车与6辆小车一次可以运货23吨”，列方程组求解即可．解：问题：1辆大车与1辆小车一次可以运货多少吨?( 本题的答案不唯一)设1辆大车一次运货x吨，1辆小车一次运货y吨．根据题意,得，解得.则x+y=4+2.5=6.5(吨).答：1辆大车与1辆小车一次可以运货6.5吨．举一反三：【变式】小红用110根长短相同的小木棍按照如图所示的方式,连续摆正方形或六边形,要求相邻的图形只有一条公共边.小红首先用根小木棍摆出了个小正方形,请你用等式表示之间的关系： ；小红用剩下的小木棍摆出了一些六边形,且没有木棍剩余.已知他摆出的正方形比六边形多4个,请你求出摆放的正方形和六边形各多少个?小红重新用50根小木棍,摆出了排,共个小正方形.其中每排至少含有1个小正方形,每排含有的小正方形的个数可以不同.请你用等式表示之间的关系,并写出所有可能的取值.【答案】（1）；（2）正方形有16个，六边形有12个；（3），，或【分析】(1)摆1个正方形需要4根小木棍，摆2个正方形需要7根小木棍，摆3个正方形需要10根小木棍…每多一个正方形就多3根小木棍，则摆p个正方形需要4+3(p-1)=3p+1根小木棍，由此求得答案即可；(2)设连续摆放了六边形x个， 正方形y个，则连续摆放正方形共用小木棍(3y+1)根，六方形共用小木棍(5x+1)根，由题意列出方程组解决问题即可；(3)由(1)可知每排用的小木棍数比这排小正方形个数的3倍多1根，由此可得s、t间的关系，再根据s、t均为正整数进行讨论即可求得所有可能的取值.解：(1)摆1个正方形需要4根小木棍，4=4+3×(1-1)，摆2个正方形需要7根小木棍，4=4+3×(2-1)，摆3个正方形需要10根小木棍，10=4+3×(3-1)，……，摆p个正方形需要m=4+3×(p-1)=3p+1根木棍，故答案为；(2)设六边形有个，正方形有y个，则，解得，所以正方形有16个，六边形有12个；(3)据题意，，据题意，，且均为整数，因此可能的取值为：， ， 或.【点拨】本题考查二元一次方程组的实际运用，找出连续摆放正方形共用小木棍的根数，六方形共用小木棍的根数是解决问题的关键．类型十、二元一次方程组的应用➽➼列方程组解应用题➽➼其他问题19．口罩是疫情防控的重要物资，某药店销售A、B两种品牌口罩，购买1盒A品牌和1盒B品牌的口罩共需180元；购买3盒A品牌和1盒B品牌的口罩共需380元，求这两种品牌口罩的单价．【答案】A品牌口罩的单价为100元/盒，B品牌口罩的单价为80元/盒【分析】设A品牌口罩的单价为x元，B品牌口罩的单价为y元，根据所给数量关系列二元一次方程组，解方程组即可．解：设A品牌口罩的单价为x元/盒，B品牌口罩的单价为y元/盒．由题意得：，解得，因此A品牌口罩的单价为100元/盒，B品牌口罩的单价为80元/盒．【点拨】本题考查二元一次方程组的实际应用，根据所给数量关系列出二元一次方程组是解题的关键．举一反三：【变式】某校欲购置规格分别为和的甲、乙两种免洗手消毒液共300瓶，其中甲消毒液15元瓶，乙消毒液20元瓶，如果购买这两种消毒液共花费5550元，求购买甲、乙两种消毒液各多少瓶？【答案】购买甲种消毒液90瓶，乙种消毒液210瓶【分析】设购买甲种消毒液瓶，乙种消毒液瓶，然后根据等量关系“甲、乙两种免洗手消毒液共300瓶”和“购买这两种消毒液共花费5550元”列二元一次方程组解答即可．解：设购买甲种消毒液瓶，乙种消毒液瓶，依题意得：，解得：．答：购买甲种消毒液90瓶，乙种消毒液210瓶．【点拨】本题主要考查了二元一次方程组的应用，审清题意、找到等量关系、正确列出二元一次方程组是解答本题的关键． 商场名称优惠办法甲每购买十套队服，送一个足球乙若购买队服超过90套，则购买足球打七折；否则按原价出售时刻9：009：4811：00里程碑上的数是一个两位数，它的两个数字之和为6也是一个两位数，十位与个位数字与9：00时所看到的正好互换了是一个三位数，比9：00时看到的两位数的数字中间多了个0类型价格A型B型进价（元/件）60100标价（元/件）100160
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