安徽省合肥一六八中学2024届高三“九省联考”考后适应性测试数学试卷（三）(含答案)

这是一份安徽省合肥一六八中学2024届高三“九省联考”考后适应性测试数学试卷（三）(含答案)，共20页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．某学生对自己在10次数学模考中满分是20分的填空题成绩进行统计,得分分别为15,17,14,10,15,17,17,16,14,12,设得分平均数为a,中位数为b,众数为c,则( )
A.B.C.D.
2．已知椭圆的左焦点为,且椭圆C上的点与长轴两端点构成的三角形的面积的最大值为,则椭圆C的方程为( )
A.B.C.D.
3．记为等比数列的前n项和,若,,则( )
A.21B.18C.15D.12
4．已知两条不同直线l,m,两个不同平面,则下列命题正确的是( )
A.若,,,则B.若,,,则
C.若,,,则D.若,,,则
5．中国救援力量在国际自然灾害中为拯救生命作出了重要贡献,很好地展示了国际形象,增进了国际友谊,多次为祖国赢得了荣誉.现有5支救援队前往A,B,C等3个受灾点执行救援任务,若每支救援队只能去其中的一个受灾点,且每个受灾点至少安排1支救援队,其中甲救援队只能去B,C两个数点中的一个,则不同的安排方法数是( )
A.72B.84C.100D.120
6．古希腊的数学家海伦在他的著作《测地术》中最早记录了“海伦公式”：,其中,a,b,c分别为的三个内角A,B,C所对的边,该公式具有轮换对称的特点.已知在中,,且的面积为,则BC边上的中线长度为( )
A.B.4C.D.
7．已知双曲线的离心率为2,左､右顶点分别为,右焦点为F,B,C是E上位于第一象限的两点,,若,则( )
A.B.C.D.
8．若,,,则( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．若,则( )
A.B. C.D.
10．如图所示,已知角的始边为x轴的非负半轴,终边与单位圆的交点分别为A,B,M为线段AB的中点,射线OM与单位圆交于点C,则( )
A.
B.
C.点C的坐标为
D.点M的坐标为
11．已知圆,直线,点P在直线l上运动,直线PA,PB分别与圆M切于点A,B.则下列说法正确的是( )
A.最短为
B.最短时,弦AB所在直线方程为
C.存在点P,使得
D.直线AB过定点为
三、填空题
12．集合,则________________.
13．若对于,,使得不等式恒成立,则实数x的范围为______________.
四、双空题
14．陀螺指的是绕一个支点高速转动的几何体,是中国民间最早的娱乐工具之一,其模型可抽象为圆柱和圆锥的组合体,如图所示.已知EF,BC分别为圆O,的直径,,D为弧EF的中点.
若制作该模型所需原料密度为,求制作该模型所需的原料质量为__________g;点O到平面ADE的距离为____________.
五、解答题
15．已知函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)若恒成立,求a的取值范围.
16．设有甲、乙、丙三个不透明的箱子,每个箱中装有除颜色外都相同的4个球,其中甲箱有2个蓝球和2个黑球,乙箱有3个红球和1个白球,丙箱有2个红球和2个白球.摸球规则如下：先从甲箱中一次摸出2个球,若从甲箱中摸出的2个球颜色相同,则从乙箱中摸出1个球放入丙箱,再从丙箱中一次摸出2个球;若从甲箱中摸出的2个球颜色不同,则从丙箱中摸出1个球放入乙箱,再从乙箱中一次摸出2个球.
(1)若最后摸出的2个球颜色不同,求这2个球是从丙箱中摸出的概率;
(2)若摸出每个红球记2分,每个白球记1分,用随机变量表示最后摸出的2个球的分数之和,求X的分布列及数学期望.
17．如图所示,圆台的上､下底面圆半径分别为和,,为圆台的两条不同的母线.,O分别为圆台的上､下底面圆的圆心,且为等边三角形.
(1)求证：;
(2)截面与下底面所成的夹角大小为,求异面直线与所成角的余弦值.
18．已知F为抛物线的焦点,O为坐标原点.过点且斜率为1的直线l与抛物线交于A,B两点,与x轴交于点M.
(1)若点P在抛物线上,求;
(2)若的面积为,求实数p的值;
(3)是否存在以M为圆心、2为半径的圆,使得过曲线上任意一点Q作圆M的两条切线,与曲线交于另外两点C,D时,总有直线CD也与圆M相切？若存在,求出此时p的值;若不存在,请说明理由.
19．对于一个有穷单调递增正整数数列P,设其各项为,,···,,若数列P中存在不同的四项,,,满足,则称P为等和数列,集合称为P的一个等和子集,否则称P为不等和数列.
(1)判断下列数列是否是等和数列,若是等和数列,直接写出它的所有等和子集;,3,5,7,9;B：2,4,6,7,10;
(2)已知数列P：,,,,是等和数列,并且对于任意的i,,总存在P的一个等和子集M满足集合,求证：数列P是等差数列;
(3)若数列P：,,···,是不等和数列,求证：.
参考答案
1．答案：D
解析：从小到大排列数据为：10,12,14,14,15,15,16,17,17,17平均数为.
数据17出现了3次,所以众数,第5位、第6位都是15,所以中位数,所以,
故选：D.
2．答案：A
解析：因为椭圆C的左焦点为,所以.
又因为椭圆C上的点与长轴两端点构成的三角形的面积的最大值为,
所以,
结合,可得,
故椭圆C的方程为.
故选：A.
3．答案：A
解析：因为为等比数列的前n项和且,
所以,,成等比数列,即3,6,成等比数列,
所以,所以.
故选：A.
4．答案：B
解析：
A选项中l,m可以异面,故A错误.
,,,所以,在内可找到m的平行线,,可得到.故B正确.
对于C选项,很明显.故C错误.
对于D选项,l,m的位置关系无法确定,相交、平行、异面均有可能.故D错误.
故选：B.
5．答案：C
解析：若甲去B点,则剩余4人,可只去A、C两个点,也可分为3组去A,B,C3个点.
当剩余4人只去A、C两个点时,人员分配为1,3或2,2,
此时的分配方法有;
当剩余4人分为3组去A,B,C3个点时,
先从4人中选出2人,即可分为3组,然后分配到3个小组即可,此时的分配方法有,
综上可得,甲去B点,不同的安排方法数是.
同理,甲去C点,不同的安排方法数也是50,
所以,不同的安排方法数是.
故选：C.
6．答案：D
解析：设D是BC的中点,连接AD.
依题意,在中,,
设,,,
由余弦定理得,
所以A为钝角,所以,
所以,,
,两边平方得
,
所以.
故选：D.
7．答案：D
解析：设双曲线的焦距为,左焦点为,离心率,
则,,
由余弦定理得,所以,
又,所以,
设,则,,
所以,所以,
,
故选：D.
8．答案：B
解析：记,,则,
所以在单调递增,
故,
记,则,令,解得,故在上单调递减,
故,即,即,故,
记,则,
故当时,,故在上是增函数,
故,即,故,
故.
故选：B.
9．答案：BC
解析：利用复数的几何意义知在复平面内,z对应的点在,对应线段的中垂线即y轴上,
所以z不一定是实数,所以A错误;
因为z与关于实轴对称,且在y轴上,所以B,C正确;
取,则,,所以D错误.
故选：BC.
10．答案：ABC
解析：对于A：因为,,,所以,正确;
对于B：依题意M为线段AB的中点,则,则,
又,所以,正确;
对于C：M为线段AB的中点,射线OM与单位圆交于点C,则C为的中点,
所以,
又,所以点C的坐标为,正确;
对于D：
,
,
所以点M的坐标为,错误.
故选：ABC.
11．答案：ABD
解析：由题意知,圆的半径为,且,,
故,
即当最小时,最短,当时,最小,
最小值为,故的最小值为,A正确;
当最短时,,故MP的斜率为-1,
又,故AB的斜率为1,设其方程为,
由于此时,,故,
所以M到AB的距离为.
则有,解得或,
由于,结合图形可知二者之间的距离应小于,
当时,和l间的距离为,
时,AB的方程为和间的距离为,
故最短时,弦AB所在直线方程为,B正确;
假设存在点P,使得,则,
此时为等腰直角三角形,则,结合,
则为等腰直角三角形,而,故,
由于M到直线l的最短距离为,故不存在点P,使得,C错误;
设,,,由于直线PA,PB分别与圆M相切,
故直线PA,PB的方程分别为,
将代入,即,
可得AB的方程为,
由于,即,故
即,由于,故令,
即直线AB过定点为,D正确,
故选：ABD.
12．答案：
解析：因为,
,
所以.
故答案为：.
13．答案：.
解析：恒成立,
等价于.
令,,则,
注意到时,,,时,.
则在上单调递减,在上单调递增,则.
则,则
.
令,.
当,,故满足条件;
当,则在上单调递减,
故.
令,.
则,得在上单调递增,
时,,因此时无最值,且,.
则不合题意;
当,在上单调递增,
故.
令.
则.
令,.
则,故在上单调递减,
则,则在上单调递增,
则,则符合题意.
综上,.
故答案为：.
14．答案：;
解析：因为,所以,
圆锥的体积,圆柱的体积,
则该模型的体积,
又制作该模型所需原料密度为,
故制作该模型所需的原料质量为.
由D为弧EF的中点可知,则,,
在中,由余弦定理得,则,
所以.
由等体积法可得,设点O到平面ADE的距离为h,
则有,
即,解得
故答案为：,.
15．答案：(1)函数单调递减区间为,单调递增区间为;
(2).
解析：（1）,
,
令,解得：,
所以,,函数在上单调递减,,函数在上单调递增,
即函数单调递减区间为,单调递增区间为;
（2）由题可知,
由（1）可知,当时,函数有最小值,
,即,
故a的取值范围为.
16．答案：(1)
(2)分布列见解析,
解析：（1）记事件A为最后摸出的2个球颜色不同,事件B为这2个球是从丙箱中摸出的,
又,
有;
（2）由条件知,3,4,
且,
,
,
X的分布列为：
故.
17．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：（1）证明圆台可以看做是由平行于圆锥底面的平面去截圆锥而得到,
所以圆台的母线也就是生成这个圆台的圆锥相应母线的一部分.
母线与母线的延长线必交于一点,
A,,B,四点共面.
圆面圆面O,
且平面圆面,平面圆面.
.
（2）为等边三角形,
,如图建立空间直角坐标系,
设.
,,
,
设平面的一个法向量.
则有：
令,则,,
底面的一个法向量,
因为截面与下底面所成的夹角大小为,
所以,
,
,
又,坐标为.
,
.
异面直线与所成角的余弦是.
18．答案：(1)5
(2)
(3)存在,
解析：（1）抛物线的焦点,
由点在抛物线上,则,解得
所以
（2）设直线l的方程为,原点O到直线l的距离为
联立,设,,
整理得,其中,解得
由韦达定理得,
所以
所以,解得
（3）设直线l的方程为,则,设
则圆M的方程为.
设,,,
直线QC的斜率
所以直线QC的方程为,
整理得
则直线QC与圆M相切得,
即,
同理可得,
易知,否则直线与抛物线只有一个交点,
所以,是方程的两个根,
由韦达定理得
直线CD的方程与圆M相切得,
两边平方得,
即,
化简得
上式对任意的恒成立,所以,解得或3
当时,,舍去;
当时, ,符合,此时
综上,存在定圆,过曲线上任意一点Q作圆M的两条切线,与曲线交于另外两点C,D时,总有直线CD也与圆M相切.
19．答案：(1)A是等和数列,所有的等和子集为,,;B不是等和数列
(2)证明见解析
(3)证明见解析
解析：（1）A是等和数列,所有的等和子集为,,;
B是不等和数列.
（2）数列P最多有如下五个等和子集：,,,,,
考虑,,只可能是如下三种情况的一种：
,,,
若,则,不是P的等和子集,
否则,或,并且不是P的等和子集,否则,,
所以,P的所有等和子集有,,
此时,不满足,该情况不成立,即;
由对称性可知,,
因此,,此时,,不是P的等和子集,
考虑,,
故,是P的等和子集,
故,,
由以上三式可知,即数列P是等差数列.
（3）假设,且不是整数,
则对于任意,总有,
因为数列P是不等和数列,所以,至少有个不同的取值,
若存在,则,,
当时,若,则,则存在等和数列,与题设矛盾,
故时,有,
所以,,只有个不同的取值,
因此,,,
又因为存在,所以,,此时,,矛盾.
若不存在,则,恰个不同的取值,
所以,,,并且,,
此时,,矛盾.
综上,.
X
2
3
4
P