沪科版七年级下册第8章 整式乘法和因式分解8.4 因式分解课后测评

这是一份沪科版七年级下册第8章 整式乘法和因式分解8.4 因式分解课后测评，共11页。试卷主要包含了4　因式分解，分解因式，因式分解等内容，欢迎下载使用。
基础过关全练
知识点1 因式分解的定义
1.(2023山东济宁中考)下列各式从左到右的变形,因式分解正确的是(M7208006)( )
A.(a+3)2=a2+6a+9
B.a2-4a+4=a(a-4)+4
C.5ax2-5ay2=5a(x+y)(x-y)
D.a2-2a-8=(a-2)(a+4)
2.(2023辽宁沈阳新民期末)当k= 时,二次三项式x2-kx+12分解因式的结果是(x-4)(x-3).
(M7208006)
知识点2 公因式及提公因式法分解因式
3.(2023甘肃兰州期末)多项式-4a2b2+12a2b2-8a3b2c的公因式是(M7208006)( )
A.-4a2b2c B.-a2b2
C.-4a2b2 D.-4a3b2c
4.(2023广东清远期中)把2(x-3)+x(3-x)提取公因式(x-3)后,另一个因式是(M7208006)( )
A.x-2 B.x+2
C.2-x D.-2-x
5.(2023湖南邵阳期中)把a3-4a2分解因式,正确的是(M7208006)( )
A.a(a2-4a) B.a2(a-4)
C.a(a+2)(a-2) D.a2(a+4)
6.(2023浙江绍兴期中)如图,长为a,宽为b的长方形的周长为10,面积为6,则a3b+ab3的值为(M7208006)( )
A.15 B.30 C.60 D.78
7.【新独家原创】已知3mn+3m=n+2,则(3m-1)(n+1)的值为(M7208006)( )
A.1 B.-1 C.2 D.-2
8.(2023湖南永州中考)2a2与4ab的公因式为 .(M7208006)
9.(2023浙江温州中考)分解因式:2a2-2a= .(M7208006)
10.因式分解:(M7208006)
(1)9x3y3-21x3y2+12x2y2;
(2)y(2a-b)+x(b-2a);
(3)(3a+b)(2a-3b)+4a(b+3a);
(4)(2x+1)(3x-2)-(2x+1)2.
知识点3 公式法分解因式
11.(2023浙江杭州中考)分解因式:4a2-1=(M7208006)( )
A.(2a-1)(2a+1) B.(a-2)(a+2)
C.(a-4)(a+1) D.(4a-1)(a+1)
12.(2023北京顺义期末)下列多项式不能运用完全平方公式分解因式的是(M7208006)( )
A.x2-2x+14 B.14x2-x+1 C.16x2+8x+1 D.x2-6x+9
13.(2023福建宁德蕉城期中)已知9x2+mxy+16y2能运用完全平方公式因式分解,则m的值为(M7208006)( )
A.12 B.±12 C.24 D.±24
14.【新独家原创】已知x,y,z满足yz=12(x2-y2-z2),且x≥0,y≥0,z≥0,则下列结论一定正确的是(M7208006)( )
A.x=y+z B.y=x+z C.z=y+x D.xy=x2+z2
15.因式分解:(M7208006)
(1)(2023安徽合肥蜀山一模)4m2-4= .
(2)(2023安徽合肥二模)mx2-4mx+4m= .
(3)(2023山东菏泽中考)m3-4m= .
(4)(2023湖南常德中考)a3+2a2b+ab2= .
16.因式分解:(M7208006)
(1)m2-10m+25; (2)m(m-4)+4;
(3)(a+1)(a-5)+9;
(4)【换元法】(a+b)4-2(a+b)2+1;
(5)8x2-18y2; (6)4a2-(a+1)2;
(7)36(3x+2y)2-25(2x-y)2;
(8)(x2-4x)2+8(x2-4x)+16;
(9)(x2+4y2)2-16x2y2.
17.(2023北京石景山期末)已知:m-n=-2,mn=3,求代数式-m3n+2m2n2-mn3的值.(M7208006)
知识点4 分组分解法分解因式
18.(2023安徽六安期末)因式分解:x2+y2-z2-2xy= .(M7208006)
19.(2023黑龙江绥化中考)因式分解:x2+xy-xz-yz= .(M7208006)
20.把下列各式分解因式:(M7208006)
(1)4a2-b2+4a-2b;
(2)x2-2xy+y2-1;
(3)9x2+6x+2y-y2;
(4)x2-y2+a2-b2+2ax+2by.
能力提升全练
21.(2023安徽安庆模拟,6,★☆☆)下列因式分解正确的是(M7208006)( )
A.2ax2-4ax=2a(x2-2x)
B.-ax2+4ax-4a=-a(x-2)2
C.x2+2xy+4y2=(x+2y)2
D.-m2+n2=(-m+n)(-m-n)
22.(2023安徽合肥包河期末,8,★★☆)若多项式(2x)n-81能分解成(4x2+9)(2x+3)(2x-3),则n=(M7208006)( )
A.2 B.4 C.6 D.8
23.【新考法】(2023湖南永州期中,8,★★☆)一位密码编译爱好者,在他的密码手册中有这样一条信息:a-b,x-1,3,x2-1,a,x+1分别对应下列六个字:我,数,爱,国,祖,学,现将代数式3a(x2-1)-3b(x2-1)因式分解,结果呈现的密码信息可能是(M7208006)( )
A.爱数学 B.我爱数学
C.我爱国 D.我爱祖国
24.(2023湖北十堰中考,12,★☆☆)若x+y=3,xy=2,则x2y+xy2的值是 .(M7208006)
25.(2023山东东营中考,12,★★☆)因式分解:3ma2-6mab+3mb2= .(M7208006)
26.(2023安徽合肥包河三模,11,★★☆)分解因式:2m3n-8mn3= .(M7208006)
27.【一题多解】(2021四川内江中考,22,★★★)若实数x满足x2-x-1=0,则x3-2x2+2 021= .
28.(2023安徽宿州期末,17,★★☆)把下列各式因式分解:(M7208006)
(1)a2(x-y)+9b2(y-x);
(2)(a2+9)2-36a2.
29.(2022甘肃张掖甘州中学期中,22,★★☆)利用分解因式法计算.(M7208006)
(1)43×3.14+72×3.14-15×3.14;
(2)9992-1.
30.(2023安徽合肥庐江期末,18,★★☆)常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法.有些多项式分解因式时,需要先分组,然后再提取公因式或运用公式.如分解因式:x2-4y2-2x+4y=(x2-4y2)+(-2x+4y)=(x+2y)(x-2y)-2(x-2y)=(x-2y)(x+2y-2),这种分解因式的方法叫分组分解法.利用这种方法解决以下问题:三角形ABC的三边长a,b,c满足a2-ab-ac+bc=0,判断三角形ABC的形状.(M7208006)
31.(2023河南郑州外国语学校二模,20,★★☆)若一个整数能表示成a2+b2(a,b是整数)的形式,则称这个数为“完美数”.例如:5是“完美数”,因为5=12+22,再如M=x2+2xy+2y2=(x+y)2+y2(x,y是整数),所以M也是“完美数”.
(1)请你再写一个小于10的“完美数”,并判断41是不是“完美数”;
(2)已知S=x2+9y2+4x-12y+k(x,y是整数,k为常数),要使S为“完美数”,试求出符合条件的k的值,并说明理由;
(3)如果数m,n都是“完美数”,试说明mn也是“完美数”.
素养探究全练
32.【几何直观】(2023云南昆明期末)【知识再现】在研究平方差公式时,我们在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形(如图1),把余下的阴影部分再剪拼成一个长方形(如图2),根据图1、图2阴影部分的面积关系,可以得到一个关于a,b的等式: .
【知识迁移】在棱长为a的正方体上挖去一个棱长为b的小正方体后,余下的部分(如图3)再切割拼成一个几何体(如图4).根据它们的体积关系得到关于a,b的等式为a3-b3= (结果写成整式的积的形式).
【知识运用】已知a-b=4,ab=3,求a3-b3的值.
图1 图2
图3 图4
第8章 整式乘法与因式分解
8.4 因式分解
答案全解全析
基础过关全练
1.C 因式分解是将多项式化为几个整式乘积的形式,故等号的右边是几个整式的乘积,故排除A、B选项;因为a2-2a-8≠(a-2)(a+4),故排除D选项,故选C.
2. 答案 7
解析 因为(x-4)(x-3)=x2-7x+12,所以k=7.
3.C 各项系数的最大公约数是-4,各项都含有a和b,且指数都是2,故该多项式的公因式是-4a2b2.
4.C 原式=2(x-3)-x(x-3)=(x-3)(2-x),故另一个因式是2-x.
5.B 提取公因式a2,得a3-4a2=a2(a-4).
6.D 根据题意,得a+b=5,ab=6,则a3b+ab3=ab(a2+b2)=ab[(a+b)2-2ab]=6×(52-2×6)=6×13=78.
7.A 由3mn+3m=n+2,得3m(n+1)-(n+1)=1,即(3m-1)(n+1)=1.
8. 答案 2a
解析 2和4的最大公约数是2,两项都含有字母a,指数为1,故公因式是2a.
9. 答案 2a(a-1)
解析 提取公因式2a,得2a2-2a=2a(a-1).
10. 解析 (1)原式=3x2y2(3xy-7x+4).
(2)原式=y(2a-b)-x(2a-b)=(2a-b)(y-x).
(3)原式=(3a+b)(2a-3b+4a)
=(3a+b)(6a-3b)=3(3a+b)(2a-b).
(4)原式=(2x+1)(3x-2-2x-1)=(2x+1)(x-3).
11.A 4a2-1=(2a)2-12=(2a-1)(2a+1).
12.A 14x2-x+1=12x-12,16x2+8x+1=(4x+1)2,x2-6x+9=(x-3)2,x2-2x+14不是完全平方式.故选A.
13.D 由题意可知9x2+mxy+16y2=(3x±4y)2=9x2±24xy+16y2,则m=±24.
14.A 因为yz=12(x2-y2-z2),
所以y2+2yz+z2=x2,即(y+z)2=x2,
因为x,y,z是非负数,所以y+z=x.
15. 答案 (1)4(m+1)(m-1) (2)m(x-2)2
(3)m(m+2)(m-2) (4)a(a+b)2
解析 (1)原式=4(m2-1)=4(m+1)(m-1).
(2)原式=m(x2-4x+4)=m(x-2)2.
(3)原式=m(m2-4)=m(m+2)(m-2).
(4)原式=a(a2+2ab+b2)=a(a+b)2.
16. 解析 (1)原式=m2-2×5×m+52=(m-5)2.
(2)原式=m2-4m+4=(m-2)2.
(3)原式=a2-4a-5+9=a2-4a+4=(a-2)2.
(4)设(a+b)2=t,则原式可化为t2-2t+1=(t-1)2,
所以原式=[(a+b)2-1]2
=[(a+b+1)(a+b-1)]2
=(a+b+1)2(a+b-1)2.
(5)原式=2(4x2-9y2)=2(2x+3y)(2x-3y).
(6)原式=(2a)2-(a+1)2
=(2a+a+1)(2a-a-1)
=(3a+1)(a-1).
(7)原式=[6(3x+2y)-5(2x-y)][6(3x+2y)+5(2x-y)]=(18x+12y-10x+5y)(18x+12y+10x-5y)
=(8x+17y)(28x+7y)
=7(8x+17y)(4x+y).
(8)原式=(x2-4x+4)2=(x-2)4.
(9)原式=(x2+4y2+4xy)(x2+4y2-4xy)
=(x+2y)2(x-2y)2.
17. 解析 因为m-n=-2,mn=3,
所以-m3n+2m2n2-mn3
=-mn(m2-2mn+n2)
=-mn(m-n)2
=-3×(-2)2
=-12.
18. 答案 (x-y-z)(x-y+z)
解析 x2+y2-z2-2xy=(x2-2xy+y2)-z2=(x-y)2-z2=(x-y-z)(x-y+z).
19. 答案 (x+y)(x-z)
解析 原式=(x2+xy)-z(x+y)
=x(x+y)-z(x+y)
=(x+y)(x-z).
20. 解析 (1)原式=(2a+b)(2a-b)+2(2a-b)
=(2a-b)(2a+b+2).
(2)原式=(x-y)2-1=(x-y+1)(x-y-1).
(3)原式=(9x2-y2)+(6x+2y)
=(3x+y)(3x-y)+2(3x+y)
=(3x+y)(3x-y+2).
(4)原式=(x2+a2+2ax)-(y2+b2-2by)
=(x+a)2-(y-b)2
=(x+a+y-b)(x+a-y+b).
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21.B 因为2ax2-4ax=2ax(x-2),故选项A错误;因为-ax2+4ax-4a=-a(x-2)2,故选项B正确;x2+2xy+4y2不是完全平方式,不能利用完全平方公式因式分解,故选项C错误;-m2+n2=n2-m2=(n+m)(n-m),故选项D错误.
22.B 因为(4x2+9)(2x+3)(2x-3)=(4x2+9)(4x2-9)=16x4-81=(2x)4-81,所以n=4.
23.B 本题将因式分解与生活中的密码巧妙结合起来,题目设计新颖独特.因为3a(x2-1)-3b(x2-1)=(3a-3b)(x2-1)=(a-b)·3·(x-1)(x+1),分别对应汉字:我,爱,数,学,所以呈现的密码信息可能是我爱数学.
24. 答案 6
解析 因为x+y=3,xy=2,所以x2y+xy2=xy(x+y)=2×3=6.
25. 答案 3m(a-b)2
解析 3ma2-6mab+3mb2=3m(a2-2ab+b2)
=3m(a-b)2.
26. 答案 2mn(m-2n)(m+2n)
解析 原式=2mn(m2-4n2)
=2mn(m-2n)(m+2n).
27. 答案 2 020
解析 方法一:因为x2-x-1=0,
所以x2=x+1,x2-x=1,
所以x3-2x2+2 021=x·x2-2x2+2 021=x(x+1)-2x2+2 021=x2+x-2x2+2 021=-x2+x+2 021=-1+
2 021=2 020.
方法二:因为x2-x-1=0,
所以x2=x+1,x2-x=1,
所以原式=x2(x-2)+2 021=(x+1)(x-2)+2 021=x2-x-2+2 021=1-2+2 021=2 020.
28. 解析 (1)原式=a2(x-y)-9b2(x-y)
=(x-y)(a2-9b2)=(x-y)(a+3b)(a-3b).
(2)原式=(a2+9+6a)(a2+9-6a)=(a+3)2(a-3)2.
29. 解析 (1)原式=3.14×(43+72-15)
=3.14×100=314.
(2)原式=(999+1)(999-1)=1 000×998
=998 000.
30. 解析 由a2-ab-ac+bc=0,
得(a2-ab)+(-ac+bc)=0,
所以a(a-b)-c(a-b)=0,
所以(a-b)(a-c)=0,
所以a-b=0或a-c=0,即a=b或a=c,
所以三角形ABC是等腰三角形.
31. 解析 (1)因为8=22+22,所以8是完美数.(答案不唯一)
因为41=42+52,所以41是完美数.
(2)因为S=x2+9y2+4x-12y+k=(x+2)2+(3y-2)2+k-8,所以k=8时,S是完美数.
(3)设m=a2+b2,n=c2+d2(a,b,c,d为整数),
所以mn=(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2+2abcd-2abcd=(ac+bd)2+(ad-bc)2,
所以mn是完美数.
素养探究全练
32. 解析 【知识再现】a2-b2=(a+b)(a-b).
【知识迁移】题图3的体积为a3-b3,
题图4的体积为a2(a-b)+a·b(a-b)+b2(a-b)=(a-b)(a2+ab+b2),
所以a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2).
故答案为(a-b)(a2+ab+b2).
【知识运用】因为a-b=4,ab=3,
所以a2+b2=(a-b)2+2ab=16+6=22,
所以a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)=4×(22+3)=100.