05-专项素养综合全练(五)乘法公式的几何背景——2024年沪科版数学七年级下册精品同步练习

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第8章　整式乘法与因式分解专项素养综合全练(五)乘法公式的几何背景类型一　完全平方公式的几何背景1.(2023浙江杭州拱墅期末)在一次研究性学习中,同学们对乘法公式进行了研究.(M7208004)(1)如图,大正方形的边长为a+b.①写出中间小正方形的边长;②用含a,b的等式表示:大正方形面积与小正方形面积的差等于图中一个长方形面积的4倍.(2)当x+y=6,x-y=-4时,求xy的值.(3)当x-2y=P,xy=Q时,(x+2y)2的值唯一确定,用含P,Q的代数式表示.2.(2023浙江宁波海曙期末)数学活动课上,老师准备了若干张如图1所示的三种纸片,A种纸片是边长为a的正方形,B种纸片是边长为b的正方形,C种纸片是长为b,宽为a的长方形.并用一张A种纸片,一张B种纸片,两张C种纸片拼成如图2所示的大正方形.(M7208004)(1)请用两种不同的方法表示图2的面积:方法一:　　　　　;方法二:　　　　　; (2)观察图2,请你写出代数式(a+b)2,a2+b2,ab之间的等量关系:　　　　　　　　　; (3)根据(2)中的等量关系,解决如下问题:已知:a+b=5,(a-b)2=13,求ab的值.图1　　图2类型二　平方差公式的几何背景3.如图1,在一个边长为a的正方形木板上锯掉一个边长为b的正方形,并把余下的部分沿虚线锯开拼成如图2所示的图形.(1)请用两种方法表示阴影部分的面积:由图1得　　　　;由图2得　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　; (2)由图1与图2阴影部分的面积关系,可以得到一个等式:　　　　　　　　　　　; (3)利用(2)中的等式,已知a2-b2=16,且a+b=8,求a-b的值.图1 图24.(2023福建漳州北斗中学期中)乘法公式的探究及应用.(M7208004)(1)如图1,阴影部分的面积是　　　(写成两数平方差的形式); (2)若将图1中的阴影部分裁剪下来,重新拼成一个长方形,如图2,则长方形的宽是　　　,长是　　　,面积是　　　　　　(写成多项式乘法的形式); (3)比较图1,图2阴影部分的面积,可以得到乘法公式:　　　　　　　　; (4)灵活利用公式计算:972-9.第8章　整式乘法与因式分解专项素养综合全练(五)乘法公式的几何背景全练版P511.　解析　(1)①由题图可知,中间小正方形的边长为a-b.②由题意知大正方形的面积为(a+b)2,小正方形的面积为(a-b)2,因为每个小长方形的长为a,宽为b,所以面积为ab,所以(a+b)2-(a-b)2=4ab,即大正方形面积与小正方形面积的差等于题图中一个长方形面积的4倍.(2)由(1)②易知(x+y)2-(x-y)2=4xy,因为x+y=6,x-y=-4,所以36-16=4xy,所以xy=5.(3)由(1)②易知(x+2y)2-(x-2y)2=8xy,所以(x+2y)2-P2=8Q,所以(x+2y)2=P2+8Q.2.　解析　(1)方法一:直接利用正方形的面积公式可得题图2的面积为(a+b)2.方法二:大正方形的面积等于4个部分的面积和,所以大正方形的面积为a2+b2+2ab.故答案为(a+b)2;a2+b2+2ab.(2)(a+b)2=a2+b2+2ab.(3)由(2)易知(a+b)2=(a-b)2+4ab,因为a+b=5,(a-b)2=13,所以52=13+4ab,所以ab=3.3.　解析　(1)题图1中阴影部分的面积为a2-b2,题图2中阴影部分的面积为12(2b+2a)(a-b),即(a+b)(a-b).故答案为a2-b2;(a+b)(a-b).(2)由题图1与题图2阴影部分的面积关系,可以得到一个等式:a2-b2=(a+b)(a-b).故答案为a2-b2=(a+b)(a-b).(3)因为a2-b2=16,且a+b=8,所以(a+b)(a-b)=16,即8(a-b)=16,所以a-b=2.4.　解析　(1)利用大正方形的面积减去小正方形的面积即可得到阴影部分的面积为a2-b2.故答案为a2-b2.(2)a-b;a+b;(a+b)(a-b).(3)(a+b)(a-b)=a2-b2.(4)原式=972-32=(97+3)(97-3)=100×94=9 400.