北师大版七年级数学下册重难点专题提优训练专题05平方差公式和完全平方公式(原卷版+解析)

这是一份北师大版七年级数学下册重难点专题提优训练专题05平方差公式和完全平方公式(原卷版+解析)，共29页。
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc9406" 【典型例题】 PAGEREF _Tc9406 \h 1
\l "_Tc23578" 【考点一 运用平方差公式进行运算】 PAGEREF _Tc23578 \h 1
\l "_Tc14876" 【考点二 平方差公式与几何图形】 PAGEREF _Tc14876 \h 2
\l "_Tc17543" 【考点三 运用完全平方公式进行运算】 PAGEREF _Tc17543 \h 5
\l "_Tc26078" 【考点四 求完全平方式中的字母系数】 PAGEREF _Tc26078 \h 6
\l "_Tc30273" 【考点五 通过对完全平方公式变形求值】 PAGEREF _Tc30273 \h 7
\l "_Tc1360" 【考点六 平方差公式与几何图形】 PAGEREF _Tc1360 \h 9
\l "_Tc32560" 【过关检测】 PAGEREF _Tc32560 \h 11
【典型例题】
【考点一 运用平方差公式进行运算】
例题：（2022·上海市宝山实验学校七年级期中）计算：___________；
【变式训练】
1．（2022·天津市北仓第二中学八年级阶段练习）计算：______；______．
2．（2022·黑龙江大庆·七年级期中）用简便方法计算：
(1)； (2)．
【考点二 平方差公式与几何图形】
例题：（2022·四川省仁寿实验中学七年级期中）如图（1）所示，边长为a的正方形中有一个边长为的小正方形，如图（2）所示是由图（1）中的阴影部分拼成的一个长方形．
(1)设图（1）中阴影部分的面积为，图（2）中阴影部分的面积为，请直接用含a，b的式子表示______；______；写出上述过程所揭示的等式：______（用a，b表示）
(2)直接应用：利用这个等式计算：
①；
②；
(3)拓展应用：试利用这个公式求下面代数式的结果：
．
【变式训练】
1．（2022·河南·扶沟县第一初级中学八年级阶段练习）乘法公式的探究与应用：
(1)如图，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形；请你写出阴影部分面积是___________；
(2)小颖将阴影部分裁下来，重新拼成一个长方形，如图，则长方形的长是___________，宽是___________，面积是___________；（写成多项式乘法的形式）
(3)比较两图阴影部分的面积，可以得到恒等式___________；
(4)应用你从（3）中选出的等式，完成下列各题：
①已知，，则的值为___________；
②计算：…．
【考点三 运用完全平方公式进行运算】
例题：（2022·上海市梅陇中学七年级期中）计算：
【变式训练】
1．（2022·上海民办华曜宝山实验学校七年级期中）计算：
2．（2022·上海市淞谊中学七年级期中）先化简再求值：，其中，．
【考点四 求完全平方式中的字母系数】
例题：（2022·天津市北仓第二中学八年级阶段练习）若是完全平方式，则的值是______．
【变式训练】
1．（2022·上海·测试·编辑教研五七年级期中）如果二次三项式是完全平方式，那么常数___________；
2．（2022·上海市淞谊中学七年级期中）如果是一个完全平方式，那么的值是________．
【考点五 通过对完全平方公式变形求值】
例题：（2022·四川·山市中区教育局八年级期中）已知，，求下列各式的值：
(1)；
(2)．
【变式训练】
1．（2022·上海普陀·七年级期中）已知，．
(1)求的值；
(2)求的值．
2．（2022·湖南·芷江侗族自治县第一中学七年级阶段练习）计算
(1)；
(2)已知：，，求：
①；
②．
【考点六 平方差公式与几何图形】
例题：（2020·江苏·扬州市梅岭中学七年级期中）图是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图的方法拼成一个边长为的正方形．
(1)请用两种不同的方法求图中阴影部分的面积．
方法： ；
方法： ．
(2)观察图写出，，三个代数式之间的等量关系： ．
(3)根据（）中你发现的等量关系，解决如下问题：若，，求的值．
【变式训练】
1．（2022·河南·辉县市城北初级中学八年级阶段练习）如图1所示，是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成相等的四个小长方形，然后按图2的方式拼成一个正方形．
(1)你认为图2中的阴影部分正方形的边长等于___________
(2)观察图2，你能写出这三个代数式之间的等量关系吗？
(3)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：若求
【过关检测】
一、选择题
1．（2022秋·湖北武汉·八年级统考期末）利用平方差公式计算的结果是（ ）．
A．B．C．D．
2．（2022秋·全国·八年级专题练习）若，则的值为（ ）
A．1B．2C．3
3．（2022秋·甘肃定西·八年级校考阶段练习）已知是完全平方式，则常数等于（ ）
A．B．25C．70D．
4．（2022秋·重庆渝北·八年级重庆市两江育才中学校校考期末）已知，，则代数式的值为（ ）
A．8B．18C．19D．25
5．（2022秋·山西朔州·八年级校联考期末）已知是一个完全平方式，则k的值为（ ）
A．B．2C．1或－3D．－1或3
二、填空题
6．（2022秋·陕西渭南·八年级校考阶段练习）计算：=___________．
7．（2022秋·上海·七年级校考期中）若，则=_____．
8．（2022秋·河北唐山·八年级校考期末）已知正实数x、y，满足，，则________．
9．（2022秋·湖北武汉·八年级武汉市第一初级中学校考期末）若（是常数）是完全平方式，则的值等于______．
10．（2022秋·北京丰台·八年级期末）如图1，在边长为的大正方形中，剪去一个边长为3的小正方形，将余下的部分按图中的虚线剪开后，拼成如图2所示的长方形．根据两个图形阴影部分面积相等的关系，可以列出的等式为_________．
三、解答题
11．（2022秋·北京海淀·八年级北京二十中校考阶段练习）（1）运用乘法公式简算：
（2）化简：
12．（2022秋·甘肃定西·八年级校考阶段练习）综合运用乘法公式计算：
(1)； (2)．
13．（2022秋·福建泉州·八年级福建省泉州第一中学校考期中）先化简，再求值，其中．
14．（2021春·山东济南·七年级校考期中）先化简后求值，求的值，其中，．
15．（2022秋·福建泉州·八年级福建省惠安第一中学校联考期中）先化简，再求值：，其中，．
16．（2022秋·四川南充·八年级四川省南充高级中学校考期中）先化简，再求值：，其中．
17．（2022秋·河南周口·八年级统考期中）已知，，求下列各式的值.
(1)
(2).
18．（2023秋·吉林长春·八年级校考期末）将边长为a的正方形的左上角剪掉一个边长为b的正方形（如图1），将剩下部分按照虚线分割成①和②两部分，将①和②两部分拼成一个长方形（如图2），解答下列问题：
(1)设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为，请用含a，b的式子表示：＝______，＝______；（不必化简）
(2)由（1）中的结果可以验证的乘法公式是______；
(3)利用（2）中得到的公式，计算：．
19．（2022秋·江苏宿迁·七年级统考期中）图①、图②分别由两个长方形拼成：
(1)图②中的阴影部分的面积是：，那么图①中的阴影部分的面积为______________．
(2)观察图①和图②，请你写出代数式之间的等量关系式________________．
(3)根据你得到的关系式解答下列问题：若，求的值．
20．（2023秋·河南南阳·七年级南阳市第三中学校考期末）如图①所示是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形．
(1)你认为图②中的阴影部分的正方形的边长等于___________；
(2)请用两种不同的方法列代数式表示图②中阴影部分的面积．方法①___________．方法②___________；
(3)观察图②，你能写出，，mn这三个代数式之间的等量关系吗？
(4)根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若，，则求的值．
专题05 平方差公式和完全平方公式
【考点导航】
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc9406" 【典型例题】 PAGEREF _Tc9406 \h 1
\l "_Tc23578" 【考点一 运用平方差公式进行运算】 PAGEREF _Tc23578 \h 1
\l "_Tc14876" 【考点二 平方差公式与几何图形】 PAGEREF _Tc14876 \h 2
\l "_Tc17543" 【考点三 运用完全平方公式进行运算】 PAGEREF _Tc17543 \h 5
\l "_Tc26078" 【考点四 求完全平方式中的字母系数】 PAGEREF _Tc26078 \h 6
\l "_Tc30273" 【考点五 通过对完全平方公式变形求值】 PAGEREF _Tc30273 \h 7
\l "_Tc1360" 【考点六 平方差公式与几何图形】 PAGEREF _Tc1360 \h 9
\l "_Tc32560" 【过关检测】 PAGEREF _Tc32560 \h 11
【典型例题】
【考点一 运用平方差公式进行运算】
例题：（2022·上海市宝山实验学校七年级期中）计算：___________；
【答案】##
【分析】利用平方差公式计算即可．
【详解】解：，
故答案为：
【点睛】此题考查了乘法公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·天津市北仓第二中学八年级阶段练习）计算：______；______．
【答案】
【分析】根据多项式乘以多项式，乘法公式即可求解．
【详解】解：；
，
故答案为：，．
【点睛】本题主要考查平方差公式，掌握乘法公式是解题的关键．
2．（2022·黑龙江大庆·七年级期中）用简便方法计算：
(1)； (2)．
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）原式利用平方差公式计算即可得到结果；
（2）原式利用平方差公式化简即可得到结果．
【详解】（1）解：；
（2）解：．
【点睛】此题主要考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
【考点二 平方差公式与几何图形】
例题：（2022·四川省仁寿实验中学七年级期中）如图（1）所示，边长为a的正方形中有一个边长为的小正方形，如图（2）所示是由图（1）中的阴影部分拼成的一个长方形．
(1)设图（1）中阴影部分的面积为，图（2）中阴影部分的面积为，请直接用含a，b的式子表示______；______；写出上述过程所揭示的等式：______（用a，b表示）
(2)直接应用：利用这个等式计算：
①；
②；
(3)拓展应用：试利用这个公式求下面代数式的结果：
．
【答案】(1)，，
(2)①；②；
(3)
【分析】（1）分别用代数式表示图1、图2中阴影部分的面积即可；
（2）利用平方差公式进行计算即可；
（3）配上因式后，连续利用平方差公式进行计算，得出答案．
【详解】（1）解：图（1）中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即，
图（2）中阴影部分是长为，宽为的长方形，
因此其面积为，
由于图1、图2阴影部分的面积相等可得，，
故答案为：，，；
（2）解：①；
②；
（3）解：
．
【点睛】本题考查平方差公式、完全平方公式的几何背景，用代数式表示图1、图2中阴影部分的面积是正确解答的前提．
【变式训练】
1．（2022·河南·扶沟县第一初级中学八年级阶段练习）乘法公式的探究与应用：
(1)如图，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形；请你写出阴影部分面积是___________；
(2)小颖将阴影部分裁下来，重新拼成一个长方形，如图，则长方形的长是___________，宽是___________，面积是___________；（写成多项式乘法的形式）
(3)比较两图阴影部分的面积，可以得到恒等式___________；
(4)应用你从（3）中选出的等式，完成下列各题：
①已知，，则的值为___________；
②计算：…．
【答案】(1)
(2)；；
(3)
(4)①；②
【分析】（1）利用大正方形的面积减去小正方形的面积即可得出结论；
（2）分别用、表示出长方形的长和宽，根据长方形的面积公式即可得出结论；
（3）利用（1）（2）的结论即可得出公式；
（4）①将因式分解，然后代入求值即可；②利用平方差公式进行简便运算即可．
【详解】（1）由第一个图可知：阴影部分的面积为，
故答案为：；
（2）由第二个图可知：长方形的长为：；宽为：；面积为：
故答案为：；；；
（3）由（1）（2）可得：或；
故答案为：或（填其中一个即可）；
（4）①∵，
∴，
又∵，
∴
故答案为：；
②
．
【点睛】此题考查的是平方差公式的几何意义，掌握阴影部分面积的两种表示方法和平方差公式是解决此题的关键．
【考点三 运用完全平方公式进行运算】
例题：（2022·上海市梅陇中学七年级期中）计算：
【答案】
【分析】先根据平方差公式计算，再根据完全平方公式计算．
【详解】解：原式
【点睛】本题考查了乘法公式，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·上海民办华曜宝山实验学校七年级期中）计算：
【答案】
【分析】先根据平方差公式和完全平方公式计算，再去括号合并同类项即可求解．
【详解】解：原式==
【点睛】本题考查平方差公式、完全平方公式，平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．完全平方公式： ．
2．（2022·上海市淞谊中学七年级期中）先化简再求值：，其中，．
【答案】，
【分析】先根据完全平方公式、平方差公式、多项式与多项式的乘法法则进行化简计算，然后合并同类项，再把和的值代入求值即可．
【详解】解：原式
，
当，时，
原式
．
【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，涉及到的知识有平方差公式、完全平方公式、多项式乘以多项式、合并同类项等知识，解题关键是熟练掌握相关运算法则及乘法公式．
【考点四 求完全平方式中的字母系数】
例题：（2022·天津市北仓第二中学八年级阶段练习）若是完全平方式，则的值是______．
【答案】
【分析】根据完全平方公式，即可求解．
【详解】解：∵，是完全平方式，
∴．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·上海·测试·编辑教研五七年级期中）如果二次三项式是完全平方式，那么常数___________；
【答案】
【分析】根据完全平方公式的构成即可求得结果；
【详解】∵，
∴，
∴；
故答案是：．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的应用，准确分析判断是解题的关键．
2．（2022·上海市淞谊中学七年级期中）如果是一个完全平方式，那么的值是________．
【答案】3或-5
【分析】根据完全平方公式得，进行计算即可得．
【详解】解：∵是一个完全平方式，
∴
或k=-5，
故答案为：3或-5．
【点睛】本题考查了完全平方公式，解题的关键是掌握完全平方公式．
【考点五 通过对完全平方公式变形求值】
例题：（2022·四川·山市中区教育局八年级期中）已知，，求下列各式的值：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用完全平方公式变形求值即可；
（2）先求出，然后求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴即，
∴，
∴；
（2），
∴．
【点睛】题目主要考查完全平方公式的变形求值及求代数式的值，熟练掌握完全平方公式的变形是解题关键．
【变式训练】
1．（2022·上海普陀·七年级期中）已知，．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)5
(2)
【分析】（1）对展开、移项就可得到的代数式，再将代入即可得到答案；
（2）利用完全平方公式对进行展开，再合并同类项可得，再将、代入即可求得答案．
【详解】（1）解：，
，
，
．
（2）解：
，
，，
原式，
．
【点睛】本题考查了完全平方公式的运用，熟练运用完全平方公式对式子展开是解题的关键．
2．（2022·湖南·芷江侗族自治县第一中学七年级阶段练习）计算
(1)；
(2)已知：，，求：
①；
②．
【答案】(1)；
(2)①23；②37．
【分析】（1）先利用平方差公式，再利用完全平方公式展开即可求解；
（2）①利用完全平方公式变形，再整体代入计算即可求解；②利用完全平方公式展开，再利用①的结论整体代入计算即可求解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：①∵，，
∴；
②∵，，
∴．
【点睛】本题考查了乘法公式的应用，熟练掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征是解题的关键．
【考点六 平方差公式与几何图形】
例题：（2020·江苏·扬州市梅岭中学七年级期中）图是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图的方法拼成一个边长为的正方形．
(1)请用两种不同的方法求图中阴影部分的面积．
方法： ；
方法： ．
(2)观察图写出，，三个代数式之间的等量关系： ．
(3)根据（）中你发现的等量关系，解决如下问题：若，，求的值．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）一种方法是先用m、n表示出阴影部分边长，再用正方形面积公式表示；另一种方法是先表示出大正方形面积和四个长方形的面积，用大正方形面积减去四个长方形的面积表示出阴影部分面积；
（2），，三个代数式别表示大正方形，小正方形和长方形面积，由图知大正方形面积-四个长方形面积=小正方形面积，可得它们之间的关系；
（3）由（2）得出的关系式变形，再代入求值即可得结果．
【详解】（1）根据图形可得：
方法：；
方法：．
故答案为：，．
（2）由阴影部分的两个面积代数式相等，
可得： ．
故答案为：．
（3）∵，，
．
【点睛】本题主要考查完全平方差公式和完全平方和公式的联系，会用代数式表示图形面积是解决问题的关键；两数的完全平方和比它们的完全平方差多了两数积的4倍，该结论经常用到．
【变式训练】
1．（2022·河南·辉县市城北初级中学八年级阶段练习）如图1所示，是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成相等的四个小长方形，然后按图2的方式拼成一个正方形．
(1)你认为图2中的阴影部分正方形的边长等于___________
(2)观察图2，你能写出这三个代数式之间的等量关系吗？
(3)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：若求
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）观察图形可得阴影部分的正方形的边长为小长方形的长减去小长方形的宽；
（2）根据阴影部分面积的两种表示方法即可求解．
（3）根据完全平方公式变形求值即可求解．
【详解】（1）图②中的阴影部分的正方形的边长等于；
故答案为：；
（2）根据图②，阴影部分的面积为，也可以看作大正方减去4个小正方形的面积，即
∴这三个代数式之间的等量关系为：
；
（3）∵，
∴
【点睛】本题考查了完全平方公式与几何图形面积的关系，根据完全平方公式变形求值，数形结合，掌握完全平方公式是解题的关键．
【过关检测】
一、选择题
1．（2022秋·湖北武汉·八年级统考期末）利用平方差公式计算的结果是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据平方差公式计算可得．
【详解】解：，
故选：A．
【点睛】此题考查了利用平方差公式计算，正确掌握平方差的计算公式及确定的值是解题的关键．
2．（2022秋·全国·八年级专题练习）若，则的值为（ ）
A．1B．2C．3
【答案】B
【分析】由平方差公式，整体代入即可得解；
【详解】解：∵，又
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查平方差公式以及其变形，熟练掌握平方差公式的结构特征是解决本题的关键．
3．（2022秋·甘肃定西·八年级校考阶段练习）已知是完全平方式，则常数等于（ ）
A．B．25C．70D．
【答案】A
【分析】完全平方公式：，利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出的值．
【详解】解：是关于的完全平方式，
，
，
解得：，
故选：A．
【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
4．（2022秋·重庆渝北·八年级重庆市两江育才中学校校考期末）已知，，则代数式的值为（ ）
A．8B．18C．19D．25
【答案】C
【分析】原式利用完全平方公式变形后，将已知等式代入计算即可求出值．
【详解】解：∵，，
∴，
故选：C．
【点睛】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
5．（2022秋·山西朔州·八年级校联考期末）已知是一个完全平方式，则k的值为（ ）
A．B．2C．1或－3D．－1或3
【答案】D
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求得k的值．
【详解】解：∵是关于x的完全平方式，
∴，解得：k=1或，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了完全平方式的结构特征，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
二、填空题
6．（2022秋·陕西渭南·八年级校考阶段练习）计算：=___________．
【答案】
【分析】根据完全平方公式进行计算即可求解．
【详解】解：．
故答案为：
【点睛】本题考查了根据完全平方公式进行计算，熟知完全平方公式是解题关键．
7．（2022秋·上海·七年级校考期中）若，则=_____．
【答案】
【分析】根据题意得，，整体代入解题．
【详解】解：∵，
∴且，
∴，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了非负数的性质和用平方差公式分解因式，如果几个非负数的和为零，那么这几个非负数都等于零，一个数或式子的偶数次方是非负数；一个数或式子的绝对值是非负数，注意整体代入的思想的运用.
8．（2022秋·河北唐山·八年级校考期末）已知正实数x、y，满足，，则________．
【答案】17
【分析】根据完全平方公式即可得．
【详解】解：，，
，
故答案为：17．
【点睛】本题考查了利用完全平方公式变形求值，熟记完全平方公式是解题关键．
9．（2022秋·湖北武汉·八年级武汉市第一初级中学校考期末）若（是常数）是完全平方式，则的值等于______．
【答案】11或##或11
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出的值．
【详解】解：是完全平方式，
，
解得：或，
故答案为：11或．
【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
10．（2022秋·北京丰台·八年级期末）如图1，在边长为的大正方形中，剪去一个边长为3的小正方形，将余下的部分按图中的虚线剪开后，拼成如图2所示的长方形．根据两个图形阴影部分面积相等的关系，可以列出的等式为_________．
【答案】
【分析】利用代数式分别表示图1，图2阴影部分面积即可解答．
【详解】解：由题可知，图1阴影部分面积为两个正方形的面积差，即，
图2是长为，宽为的长方形，因此面积为，
∵两个图形阴影部分面积相等，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了平方差公式的几何背景，解题关键是正确用代数式表示出两个图形中阴影部分面积．
三、解答题
11．（2022秋·北京海淀·八年级北京二十中校考阶段练习）（1）运用乘法公式简算：
（2）化简：
【答案】（1），（2）
【分析】（1）运用平方差公式计算即可；
（2）运用平方差公式化简即可．
【详解】（1）
；
（2）
．
【点睛】本题主要考查了运用平方差公式进行计算的知识，熟练掌握平方差公式是解答本题的关键．
12．（2022秋·甘肃定西·八年级校考阶段练习）综合运用乘法公式计算：
(1)； (2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据平方差公式进行化简即可；
（2）根据平方差公式将当做整体进行计算，再利用完全平方公式化简．
【详解】（1）解：；
（2）解：．
【点睛】本题考查了平方差公式和完全平方公式，熟练掌握平方差公式是解决本题的关键．
13．（2022秋·福建泉州·八年级福建省泉州第一中学校考期中）先化简，再求值，其中．
【答案】，
【分析】先根据整式乘法法则和乘法公式进行计算，再合并同类项，最后求出答案即可．
【详解】解：原式

当时，
原式
【点睛】本题主要考查了整式的化简求值和乘法公式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
14．（2021春·山东济南·七年级校考期中）先化简后求值，求的值，其中，．
【答案】，
【分析】利用完全平方公式和平方差公式进行去括号，然后进行整式的加减运算，得到化简结果，再代入求值即可．
【详解】解：原式
当，时
原式
【点睛】本题考查了整式的化简求值；掌握平方差公式、完全平方公式并进行正确计算时解题的关键．
15．（2022秋·福建泉州·八年级福建省惠安第一中学校联考期中）先化简，再求值：，其中，．
【答案】；2
【分析】先根据完全平方公式，平方差公式，单项式乘以多项式法则计算，再合并，然后把，代入，即可求解．
【详解】解：
当，时，原式
【点睛】本题主要考查了整式混合运算，熟练掌握完全平方公式，平方差公式，单项式乘以多项式法则是解题的关键．
16．（2022秋·四川南充·八年级四川省南充高级中学校考期中）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】先利用整式的乘法，去括号，合并同类项得出最简结果，算出、的值，代入即可．
【详解】解：原式
，
，
，，
，，
原式．
【点睛】本题考查了整式的化简求值，解题关键：掌握整式中的多项式乘以多项式、平方差公式以及完全平方公式．
17．（2022秋·河南周口·八年级统考期中）已知，，求下列各式的值.
(1)
(2).
【答案】(1)30
(2)
【分析】（1）利用完全平方公式得到＝，然后整体代入即可；
（2）根据多项式乘以多项式运算法则将原式进行计算，代入即可．
【详解】（1）解：
=
=
=．
（2）解：
=
=
=
=．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式、多项式乘以多项式等知识点，熟练掌握完全平方公式以及相关变形是解本题得关键．
18．（2023秋·吉林长春·八年级校考期末）将边长为a的正方形的左上角剪掉一个边长为b的正方形（如图1），将剩下部分按照虚线分割成①和②两部分，将①和②两部分拼成一个长方形（如图2），解答下列问题：
(1)设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为，请用含a，b的式子表示：＝______，＝______；（不必化简）
(2)由（1）中的结果可以验证的乘法公式是______；
(3)利用（2）中得到的公式，计算：．
【答案】(1)；；
(2)
(3)
【分析】（1）根据图形的和差关系表示出，根据长方形的面积公式表示出；
（2）由（1）中的结果可验证的乘法公式是；
（3）由（2）中所得公式，可得原式，从而简便计算出该题结果．
【详解】（1）解：由题意得，，
．
故答案为：；；
（2）解：由（1）中的结果可验证的乘法公式为．
故答案为：；
（3）解：由（2）中所得乘法公式可得，

．
【点睛】本题考查了平方差公式几何背景的应用能力，掌握图形准确列式验证平方差公式，并能利用所验证公式解决相关问题是关键．
19．（2022秋·江苏宿迁·七年级统考期中）图①、图②分别由两个长方形拼成：
(1)图②中的阴影部分的面积是：，那么图①中的阴影部分的面积为______________．
(2)观察图①和图②，请你写出代数式之间的等量关系式________________．
(3)根据你得到的关系式解答下列问题：若，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由图①中的阴影部分的面积为边长为a的大正方形的面积减去边长为b的小正方形的面积，再结合正方形的面积公式即可解答；
（2）由题意可知图①中的阴影部分的面积和图②中的阴影部分的面积相等，从而可得出等式；
（3）由平方差公式求解即可．
【详解】（1）图①中的阴影部分的面积为边长为a的大正方形的面积减去边长为b的小正方形的面积，即为：．
故答案为：；
（2）由题意可知图①中的阴影部分的面积和图②中的阴影部分的面积相等，
∴得出等式：．
故答案为：；
（3）解：∵，
∴．
将代入上式，得：，
解得：．
【点睛】本题考查平方差公式与几何图形，利用平方差公式计算．利用数形结合的思想是解题关键．
20．（2023秋·河南南阳·七年级南阳市第三中学校考期末）如图①所示是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形．
(1)你认为图②中的阴影部分的正方形的边长等于___________；
(2)请用两种不同的方法列代数式表示图②中阴影部分的面积．方法①___________．方法②___________；
(3)观察图②，你能写出，，mn这三个代数式之间的等量关系吗？
(4)根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若，，则求的值．
【答案】(1)
(2)；
(3)
(4)20
【分析】（1）根据图①可知，剪开后的小长方形长为m，宽为n，可以看出图②中的阴影部分的正方形的边长等于；
（2）图②中阴影部分的面积：方法①利用阴影小正方形的边长直接计算面积；方法②利用大正方形的面积减去四个小长方形的面积计算；
（3）根据图②里图形的面积关系，可以得出这三个代数式之间的等量关系；
（4）根据（3）中的等量关系式，代入数值求解即可．
【详解】（1）剪开后的小长方形长为m，宽为n，所以图②中的阴影部分的正方形的边长等于m-n，
故答案为：；
（2）方法①阴影的面积为边长的平方，即；
方法②阴影的面积为大正方形的面积减去四个小长方形的面积，则，
故答案为：；；
（3）根据图②里图形的面积关系，可得；
（4）由（3）中的等量关系可知，
．
【点睛】本题考查了图形的面积的代数式表示以及代数式之间的等量关系，掌握图形面积的代数式表示是解题的关键．