北京市海淀区宏志中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷（原卷版+解析版）

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1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 命题“，”的否定是（ ）
A ，B. ，
C. ，D. ，
3. 若，则“”是“a，b至少有一个大于2”（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 函数在区间上递减，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
5 已知幂函数y＝f(x)经过点(3，)，则f(x)（ ）
A. 是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
B. 是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数
C. 是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数
D. 是非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
6. 若，，则下面不等式中成立一个是（ ）．
A. B. C. D.
7. 已知函数是上的减函数，则a的范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 若时，不等式恒成立，则实数的最小值为（ ）
A. 2B. 3C. 6D. 不存在最小值
9. 已知函数可表示为
则下列结论正确的是（ ）
A. B. 的值域是
C. 的值域是D. 在区间上单调递增
10. 汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况，下列叙述中正确的是（ ）
A 消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米
B. 某城市机动车最高限速80千米/时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油
C. 甲车以80千米/时的速度行驶1小时，消耗10升汽油
D. 以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多
二、填空题（每小题4分，共20分）
11. 已知为R上的奇函数，时，，则_____．
12. 函数的最小值是___________.
13. 函数的定义域是___________.
14. 已知函数，设，，则与的大小关系是 _____．
15. 已知函数,
则（ⅰ）= ；
（ⅱ）给出下列三个命题：
①函数是偶函数；
②存在，使得以点为顶点的三角形是等腰直角三角形；
③存在，使得以点为顶点的四边形为菱形.
其中，所有真命题的序号是 .
三、解答题（共40分）
16. 已知集合，．
（1）若，求和；
（2）若，求的取值范围．
17. 已知函数.
（1）当时，求函数的最大值和最小值；
（2）若函数在区间上是单调函数，求的取值范围.
18. 已知函数．
(1)判断的奇偶性并证明．
(2)当时，判断的单调性并证明．
(3)在(2)的条件下，若实数满足，求的取值范围．
19. 2020年11月5日至10日，第三届中国国际进口博览会在上海举行，经过三年发展，进博会让展品变商品，让展商变投资商，交流创意和理念，联通中国和世界，国际采购、投资促进、人文交流，开放合作四大平台作用不断凸显，成为全球共享的国际公共产品.在消费品展区，某企业带来了一款新型节能环保产品参展，并决定大量投放市场.已知该产品年固定研发成本为150万元，每生产1万台需另投入380万元.设该企业一年内生产该产品万台且全部售完，每万台的销售收入为万元，且.
（1）写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式；（利润 = 销售收入—成本）
（2）当年产量为多少万台时，该企业获得的年利润最大？并求出最大年利润.
20. 定义：给定整数i，如果非空集合满足如下3个条件：
①；②；③，若，则.
则称集合A为“减i集”
（1）是否为“减0集”？是否为“减1集”？
（2）证明：不存在“减2集”；
（3）是否存在“减1集”？如果存在，求出所有“减1集”；如果不存在，说明理由.
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