广西壮族自治区桂林市叠彩区宝贤中学2021-2022学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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（答题时间：120分钟，满分：120分）
一、选择题
1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据中心对称图形的定义，进行判断即可．
【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意；
B、是中心对称图形，符合题意；
C、不是中心对称图形，不符合题意；
D、不是中心对称图形，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查中心对称图形的识别．熟练掌握中心对称图形的定义：一个图形绕一点旋转180度后，与自身重合，是解题的关键．
2. 下列几组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（ ）
A. 3，4，5B. 6，8，10C. 6，8，11D. 5，12，13
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查勾股定理逆定理“如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形”．先分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
【详解】解：由，得出3，4，5能为直角三角形三边长度，故A不符合题意；
由，得出6，8，10能为直角三角形三边长度，故B不符合题意；
由，得出6，8，11不能为直角三角形三边长度，故C符合题意；
由，得出5，12，13能为直角三角形三边长度，故D不符合题意．
故选C．
3. 坐标是的点位于平面直角坐标系中的第（ ）象限
A. 一B. 二C. 三D. 四
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查平面直角坐标系各象限内的点的坐标的符号特征．掌握平面直角坐标系第一象限内的点的符号特征为，第二象限内的点的符号特征为，第三象限内的点的符号特征为，第四象限内的点的符号特征为是解题关键．根据坐标的符号特征可直接判断该点位于第四象限．
【详解】解：坐标是的点位于平面直角坐标系中的第四象限．
故选：D．
4. 下列性质中矩形一定具备的是（ ）
A. 对角线相等B. 对角线互相垂直C. 对角线平分对角D. 邻边相等
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
【详解】A. 对角线相等，正确，符合题意；
B. 对角线互相垂直，错误，不符合题意；
C. 对角线平分对角，错误，不符合题意；
D. 邻边相等，错误，不符合题意；
故选A．
5. 如图，在中，，，，D为的中点，则等于（ ）
A. 2B. 2.5C. 3D. 3.5
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查勾股定理，直角三角形斜边中线的性质．掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题关键．根据勾股定理可求出，再根据直角三角形斜边中线的性质即可得出．
【详解】解：∵，
∴．
∵D为的中点，
∴．
故选B．
6. 下列可使两个直角三角形全等的条件是（ ）
A. 一条边对应相等B. 斜边和一直角边对应相等
C. 一个锐角对应相等D. 两个锐角对应相等
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知及全等三角形的判定方法进行分析，从而得到答案．
【详解】A、错误，全等的两个直角三角形的判定只有一条边对应相等不行；
B、正确，符合判定HL；
C、错误，全等三角形的判定必须有边的参与；
D、错误，全等三角形的判定必须有边的参与；
故选B．
7. 在平面直角坐标系中，将三角形三个顶点的横坐标都乘以﹣1，纵坐标不变，则所得三角形与原三角形的关系是（ ）
A. 将原图向左平移一个单位B. 关于原点对称
C. 关于x轴对称D. 关于y轴对称
【答案】D
【解析】
【分析】易得对应点坐标的异同，据此可得两图形的对称性．
【详解】解：∵横坐标都乘以﹣1，纵坐标不变，
∴对应点的横坐标互为相反数，纵坐标不变，
∴对应点关于y轴对称，
∴所得图形关于y轴对称，
故选：D．
【点睛】本题考查图形的对称性；图形的对称性和对应点的对称性是一致的；用到的知识点为：横坐标互为相反数，纵坐标相同的两点关于y轴对称．
8. 如图，在围棋棋盘上有三枚棋子，如果黑棋❶的位置用有序数对表示，黑棋❷的位置用有序数对表示，则白棋③的位置可用有序数对表示为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据黑棋❶❷位置的表示方法结合图形即可写出白棋③的位置表示的数对．
【详解】解：因为黑棋❶的位置为，黑棋❷的位置为，则白棋③的位置为．
故选D．
【点睛】本题考查了利用有序数对确定位置，正确理解题意、掌握表示的方法是解题关键．
9. 如图，用一把长方形直尺的一边压住射线，再用另一把完全相同的长方形直尺的一边压住射线，两把直尺的另一边交于点P，则射线就是的平分线的依据是（ ）

A. 等腰三角形中线、角平分线、高线三线合一
B. 三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
C. 在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上
D. 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了角的平分线的判定定理，根据在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上判定即可．
【详解】如图，根据题意，得,且，根据在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，得到射线就是的平分线

故选C．
10. 顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点，所得到的四边形一定是（ ）
A. 正方形B. 矩形C. 菱形D. 以上都不对
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形中位线的性质，可得到这个四边形是平行四边形，再由对角线垂直，能证出有一个角等于90°，则这个四边形为矩形；
【详解】如图，AC⊥BD，E、F、G、H分别为各边的中点，连接点E、F、G、H，
∵点E、F、G、H， 分别为各边中点，
∴EF∥AC，GH∥AC，EH∥BD，FG∥BD，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵AC⊥BD，EF∥AC，EH∥BD，
∴∠EMO=∠ENO=90°，
∴四边形EMON是矩形，
∴∠MEN=90°，
∴四边形EFGH是矩形；
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形中位线的性质、平行四边形的判定以及矩形的判定方法，正确掌握知识点是解题的关键．
11. 如图，在平行四边形中，将沿折叠后，点D恰好落在延长线上的点E处．若则的周长为（ ）
A 12B. 18C. 24D. 30
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，等边三角形的判定和性质，根据平行四边形，得到根据折叠的性质，，是等边三角形，计算即可．
【详解】∵平行四边形，
∴
将沿折叠后，点D恰好落在延长线上的点E处．
∴，
∴
∴是等边三角形，
∴是等边三角形，
故选B．
12. 正方形ABCD中，点E、F分别在CD、BC边上，是等边三角形．以下结论：①；②；③；④EF的垂直平分线是直线AC．正确结论个数有（ ）个．
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可证△ABF≌△ADE，可得BF＝DE，即可得EC＝CF，由勾股定理可得EF＝EC，由平角定义可求∠AED＝75°，由AE＝AF，EC＝FC可证AC垂直平分EF，则可判断各命题是否正确．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝BC＝CD，∠B＝∠C＝∠D＝∠DAB＝90°，
∵△AEF是等边三角形，
∴AE＝AF＝EF，∠EAF＝∠AEF＝60°，
∵AD＝AB，AF＝AE，
∴△ABF≌△ADE，
∴BF＝DE，
∴BC−BF＝CD−DE，
∴CE＝CF，故①正确；
∵CE＝CF，∠C＝90°；
∴EF＝CE，∠CEF＝45°；
∴AF＝CE，
∴CF＝AF，故③错误；
∵∠AED＝180°−∠CEF−∠AEF；
∴∠AED＝75°；故②正确；
∵AE＝AF，CE＝CF；
∴AC垂直平分EF；故④正确．
故选C．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质，线段垂直平分线的判定，熟练运用这些性质和判定是解决本题的关键．
二、填空题（每题3分，共18分）
13. 七边形的外角和为____°．
【答案】
【解析】
【分析】根据多形的外角和为即可解答．
【详解】解：根据任意多边形的外角和都为，可知正七边形的外角和是360°，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了多边形的外角和．此题比较简单，只要识记多边形的外角和等于360°即可．
14. 平面直角坐标系中一个点先向左平移2个单位，再向下平移3个单位后坐标是，那它原来的位置坐标是_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查平面直角坐标系内点坐标的平移规律．掌握在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度（即：横坐标：右移加，左移减；纵坐标：上移加，下移减）是解题关键．根据平移方式和平移后点的坐标即可直接求解．
【详解】解：设原来位置坐标是，
∵该点先向左平移2个单位，再向下平移3个单位后坐标是，
∴，，
解得：，，
∴原来的位置坐标是．
故答案为：．
15. 点在第二象限，则a的取值范围为________ ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查平面直角坐标系各象限内的点的坐标的符号特征．掌握平面直角坐标系第一象限内的点的符号特征为，第二象限内的点的符号特征为，第三象限内的点的符号特征为，第四象限内的点的符号特征为是解题关键．根据第二象限内的点的符号特征求解即可．
【详解】解：∵点在第二象限，
∴，
解得：．
故答案为：．
16. 如图，在菱形ABCD中，点P是对角线AC上的一点，PE⊥AB于点E．若PE=3，则点P到AD的距离为_____．
【答案】3
【解析】
【详解】解：作PF⊥AD于D，如图，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC平分∠BAD，
∵PE⊥AB，PF⊥AD，
∴PF=PE=3，
即点P到AD的距离为3．
故答案为3．
【点睛】考点：1．角平分线的性质；2．菱形的性质．
17. 如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为4和9，则b的面积为_____________．
【答案】13
【解析】
【分析】本题考查正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，同角的余角相等等知识．证明出是解题关键．根据正方形的性质得出，，，，再根据同角的余角相等可得出，即可证，最后结合全等三角形的性质和勾股定理可求解．
【详解】解：如图，
∵a，b，c都为正方形，a，c的面积分别为4和9，
∴，，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：13．
18. 用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，每块大正方形地砖的面积为a，小正方形地砖的面积为b，依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形ABCD．则正方形ABCD的面积为____________（用含a，b的代数式表示）．
【答案】
【解析】
【分析】如图，连接AE、AF，先证明△GAE≌△HAF，由此可证得，进而同理可得，根据正方形ABCD的面积等于四个相同四边形的面积之和及小正方形的面积即可求得答案．
【详解】解：如图，连接AE、AF，
∵点A为大正方形的中心，
∴AE=AF，∠EAF=90°，
∴∠AEF=∠AFE=45°，
∵∠GEF=90°，
∴∠AEG=∠GEF－∠AEF=45°，
∴∠AEG=∠AFE，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠DAB=∠EAF=90°，
∴∠GAE=∠HAF，
在△GAE与△HAF 中，
∴△GAE≌△HAF（ASA），
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∴同理可得：，
即，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质和全等三角形的判定及性质，熟练掌握正方形的性质并能作出正确的辅助线是解决本题的关键．
三、解答题（共66分）
19. 列式计算：求图中x的值．
【答案】100
【解析】
【分析】本题考查了四边形内角和定理，根据题意，列式计算即可．
【详解】根据题意，列式，
解得，
故图中x的值为100．
20. 列式计算：在中，，求中位线的长．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，中位线定理，根据勾股定理，结合中位线定理，得．
【详解】根据题意，
故，
根据中位线定理，得．
21. 如图，已知，
（1）求点C到x轴的距离；
（2）求的面积；
（3）点P在y轴上，当面积为6时，请直接写出点P的坐标．
【答案】（1）3 （2）18
（3）或
【解析】
【分析】（1）点C的纵坐标的绝对值就是点C到x轴的距离解答；
（2）根据三角形的面积公式列式进行计算即可求解；
（3）设点P的坐标为，根据△ABP的面积为6，，整理得，所以或，即可解答．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∴点C到x轴的距离为3；
【小问2详解】
解：∵，
∴，点C到边的距离为：，
∴的面积为：．
【小问3详解】
解：设点P的坐标为，
∵的面积为6，，
∴，
∴，
∴或，
∴P点的坐标为或．
【点睛】本题考查了坐标与图形，点到坐标轴的距离，以及一元一次方程的应用，解决本题的关键是利用数形结合的思想．
22. 如图，在中，，，，分别平分，，点C在线段上．
（1）求证：
（2）求证：
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查三角形全等的判定和性质，角平分线的定义．正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键．
（1）过点C作于点F．结合题意分别证明，，即可证明出结论；
（2）由全等三角形的性质可得出，，即可证明出结论．
【小问1详解】
证明：如图，过点C作于点F．
∵，分别平分，，
∴，．
∵，，，
∴．
在和中，
在和中，
∴，，
∴，，
∴；
【小问2详解】
证明：∵，，
∴，．
∵，
∴．
23. 已知：如图，四边形中，，，，，

（1）判断的形状，并说明理由；
（2）求四边形的面积．
【答案】（1）为直角三角形，理由见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，三角形的面积计算．熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题关键．
（1）根据勾股定理可求出，再结合勾股定理逆定理即可判断为直角三角形；
（2）根据，结合三角形面积公式求解即可．
【小问1详解】
解：为直角三角形，
理由：∵在中，，，
∴．
∵，，
∴,
∴为直角三角形；
【小问2详解】
解：
．
24. 如图，矩形中，，，过对角线的中点O的直线分别交与点E，F．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）求当等于何值时，四边形是菱形？
【答案】（1）见解析 （2）当时，四边形为菱形．
【解析】
【分析】（1）根据矩形的性质易证，即得出，再根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形证明即可；
（2）根据菱形的判定定理可知当时，四边形即为菱形．设，则，结合勾股定理列方程求解即可．
【小问1详解】
证明：∵四边形为矩形，点O为对角线的中点，
∴，，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
【小问2详解】
解：∵四边形是平行四边形，
∴当时，四边形即为菱形．
设，则，
在中，，即，
解得：，
∴当时，四边形为菱形．
【点睛】本题考查矩形的性质，三角形全等的判定和性质，平行四边形的判定，菱形的判定，勾股定理等知识．熟练掌握特殊四边形的判定定理和性质定理是解题关键．
25. 如图，C为线段上一动点，分别过点B，D作，连接．已知．
（1）求当x等于何值时，?
（2）当时，求的长．
（3）利用图形求代数式的最小值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，线段和最小，数形结合思想
（1）根据题意，时，，继而得到，结合，得到，解方程即可．
（2）当时，，利用勾股定理计算即可．
（3）根据得，
构造．当A，C，E三点共线时，最小，计算即可．
【小问1详解】
根据题意，，
当时，，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得．
【小问2详解】
根据题意，，
∴，
∵，
∴当时，，
∴，
故．
【小问3详解】
根据得，
构造．如图所示，
当A，C，E三点共线时，最小，
延长到点F，过点A作于点F，
则四边形是矩形，
故．
故．
26. 如图，在平行四边形中，的平分线交于点E，交的延长线于F，以，为邻边作平行四边形，如图1所示．

（1）证明平行四边形是菱形；
（2）连接，，如图2所示，若，求证：；
（3）若，，，M是中点，如图3，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，再根据平行线的性质结合角平分线的定义可证，根据等角对等边可得，最后由菱形的判定定理即可证明；
（2）先判断出，再判断出，进而得出，即可判断出；
（3）首先证明四边形为正方形，再证明可得，，再根据可得到是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【小问1详解】
证明：∵平分，
∴．
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴．
又∵四边形是平行四边形，
∴四边形为菱形；
【小问2详解】
证明：∵四边形是平行四边形，
∴．
∵，
∴．
由（1）知，四边形是菱形，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵是的平分线，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：如图，连接．
∵，四边形是平行四边形，
∴四边形是矩形．
又由（1）可知四边形为菱形，，
∴四边形为正方形．
∴，
∴．
∵M为中点，
∴，
∴．
在和中，，
∴，
∴.
∴，
∴是等腰直角三角形.
∵，
∴，
∴．
【点睛】此题考查特殊四边形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质等知识．熟练掌握特殊四边形的判定和性质是解题关键．