湖南省岳阳市平江县颐华高级中学2023-2024学年高一下学期开学考试数学试题(原卷版+解析版)
展开一、单选题(共有8题,每题5分,共40分,每小题只有一项正确答案.)
1. 已知集合,则( )
A. B. 且
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数定义域和值域求出,从而求出交集.
【详解】由函数定义域可得:,
由值域可得,故.
故选:D
2. 命题“,”的否定为( )
A. “,”B. “,”
C. “,”D. “,”
【答案】D
【解析】
【分析】利用全称命题的否定形式判定即可.
【详解】命题“,”的否定为:“,”.
故选:D.
3. 已知函数,满足对任意,都有成立,则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分段函数单调递减,则每一段分段图象均单调递减,且整体也是单调递减.
【详解】由对任意,都有成立可得,
在上单调递减,
所以 ,解得,
故选:C.
4. “函数在上是严格增函数”是“”的( ).
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次函数的单调性结合充分不必要条件的定义求解.
【详解】函数的对称轴是,
若函数在上是严格增函数,则,
所以“函数在上是严格增函数”是“”的必要不充分条件.
故选:B.
5. 已知函数,若函数有四个不同的零点,则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件,结合零点的意义求出的零点,数形结合求出方程有三个根的a的取值范围作答.
【详解】由得:或,因函数,由解得,
因此函数有四个不同的零点,当且仅当方程有三个不同的根,
函数在上递减,函数值集合为,在上递增,函数值集合为,
函数在上递减,函数值集合为,在上递增,函数值集合为,
在同一坐标系内作出直线与函数的图象,如图,
方程有3个不同的根,当且仅当直线与函数的图象有3个公共点,
观察图象知,当或,即或时,直线与函数的图象有3个公共点,
所以实数的取值范围是.
故选:A
【点睛】思路点睛:涉及给定函数零点个数求参数范围问题,可以通过分离参数,等价转化为直线与函数图象交点个数,数形结合推理作答.
6. 已知是定义在上的奇函数,当时,,则不等式的解集为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】分析:先利用已知条件判断函数在R上的单调性,再解不等式.
详解:由于是定义在上的奇函数,
∴,且在上为增函数,
∴f(x)是R上的增函数,
∵f(1)=3,
所以
∴2x-1<1,
∴x<1.
故选A.
点睛:解抽象的函数不等式,一般先要判断函数的单调性,再把不等式化成的形式,再利用函数的单调性去掉“f”,转化为具体的函数不等式解答.
7. 已知,则的大小关系是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用对数函数和指数函数,幂函数的性质求解.
【详解】,,即,
,
下面比较与的大小,构造函数与,
由指数函数与幂函数的图像与单调性可知,
当时,;当时,
由,故,故,即,
所以,
故选:A
8. 已知点在函数(且,)的图象上,直线是函数的图象的一条对称轴.若在区间内单调,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据对称性与单调性约束的范围,然后进行验证即可得到结果.
【详解】由题意得,,得,得,
又因为在区间内单调,
所以,得,得.所以.
又因为,所以或3.
当时,,得,又,
所以,此时直线的函数的图象的一条对称轴,
且在区间内单调.所以.
当时,,得,又,所以,
此时,
所以直线不是函数的图象的一条对称轴.
所以,.
故选:A
二、多选题(本小题共4小题,每小题5分,共20分.每小题有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对得得2分,有错选的得0分.)
9. 已知函数的部分图象如图所示,则下列结论中正确的是( )
A.
B. 函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到
C. 是函数图象的一条对称轴
D. 若,则的最小值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】首先根据函数图象求出函数解析式,再根据正弦函数的性质及三角函数图象变换一一判断即可.
【详解】解:依题意可得,,所以,又,解得,
所以,又函数过点,即,所以,
所以,又,所以,所以,故A正确;
由的图象向左平移个单位长度得到,故B错误;
因为,所以是函数图象的一条对称轴,故C正确;
对于D:若,则取得最大(小)值且取最小(大)值,
所以,故D正确;
故选:ACD
10. 对任意两个实数a,b,定义,若,,下列关于函数的说法正确的是( )
A. 函数是偶函数
B. 方程有两个实数根
C. 函数在上单调递增,在上单调递增
D. 函数有最大值0,无最小值
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据函数值的大小关系得到函数解析式,画出函数图像,根据图像依次判断每个选项得到答案.
【详解】当,即时,解得;
当,即时,解得;
故,画出函数图像,如图所示:
根据图像知:函数为偶函数,A正确;方程有两个实数根,B正确;
函数上单调递减,在上单调递增,C错误;
函数有最大值0,无最小值,D正确.
故选:ABD.
11. 已知θ,且sinθ+csθ=a,其中a∈(0,1),则关于tanθ的值,在以下四个答案中,可能正确的是( )
A. ﹣3B. C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】先由已知条件判断,,得到,对照四个选项得到正确答案.
【详解】∵sinθ+csθ=a,其中a∈(0,1),
∴两边平方得:1+2,∴,
∵,∴可得,,
∴,
又sinθ+csθ=a,所以csθ>﹣sinθ,所以
所以,
所以tanθ的值可能是,.
故选:CD
【点睛】关键点点睛:求出的取值范围是本题解题关键.
12. 已知函数的定义域为R且具有下列性质:
①是奇函数;
②;
③当,,函数.
下列结论正确的是( )
A. 3是函数周期
B. 函数在上单调递增
C. 函数与函数的图像的交点有8个
D. 函数与函数的图像在区间(0,15)的交点有5个,则实数
【答案】BC
【解析】
【分析】结合①②条件可得函数周期为6,故错误;作出函数、图像即可判断、;考虑和两种情况,数形结合即可判断.
【详解】解:对A:因为,所以令,可得,
即,故,
则,即,
因为为奇函数,所以,则,
所以,即函数的周期为6,故A错误;
对B、C:令,则,则,又因为函数为奇函数,故,
再根据其周期为6,分别作出函数与的图像如下:
数形结合,可得函数在上单调递增,且两函数图像共有8个交点,故B、C正确;
对D:作出函数在的图像如下:
若函数与函数的图像在区间的交点有5个,
由图可得实数或,故D错误.
故选:BC.
三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分.)
13. __________.
【答案】9
【解析】
【分析】由指数与对数的运算法则以及诱导公式即可求解.
【详解】原式
故答案为:9
14. 若,则______.
【答案】
【解析】
【分析】根据两角和的余弦公式、平方关系、二倍角公式求解.
【详解】,
所以,,
所以,
故答案为:.
15. 已知是在定义域上的单调函数,且对任意都满足:,则满足不等式的的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】由换元法求出的解析式,再解原不等式
【详解】由题意得为正常数,令,则,
且,解得,
原不等式为,可得,解得,
故答案为:
16. 下列命题正确的是__________.(写出所有正确的命题的序号)
①若奇函数的周期为4,则函数的图象关于对称;
②如,则;
③函数是奇函数;
④存在唯一的实数使为奇函数.
【答案】①③
【解析】
【详解】逐一考查所给的命题:
函数为奇函数,则,
函数的周期为,则,
据此有:,
则对函数上任意一点,可知点也在函数图像上,
即函数的图象关于对称,说法①正确;
若,则,据此可知,
指数函数是上的单调递减函数,
则,说法②错误;
函数有意义,则:,解得:,
函数的定义域关于坐标原点对称,
且,
即函数是奇函数,说法③正确;
函数为奇函数,需满足:恒成立,
即:恒成立,
则:,
经检验时,函数为奇函数,说法④错误.
综上可得:所给的命题中,正确的是①③.
四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17. 已知偶函数,为奇函数,且.
(1)求,的解析式;
(2)若对任意的,恒成立,求的取值范围.
【答案】(1),
(2)
【解析】
【分析】(1)根据奇偶函数建立方程,解方程即可得答案;
(2)由题知,进而得,再解不等式即可得答案.
【小问1详解】
解:因为为偶函数,为奇函数,且有,
所以,
所以,,解得,.
所以,,.
【小问2详解】
解:因为,当且仅当时等号成立,
所以.
所以,对任意的,恒成立,即,
则,即,解得,
所以,的取值范围.
18. 已知集合.
(1)当时,求;
(2)若命题“”是命题“”的充分不必要条件,求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)当时,分别求出集合后可求得,
(2)分类讨论求出集合,再根据题意得AB转化为不等式求解即可
【小问1详解】
因为,所以,
所以.
当时,或,,
所以.
【小问2详解】
若命题“”是命题“”的充分不必要条件,则AB
由题意得
①当,即a=-时,B=,满足AB;
②当,即时,,
由AB得:或,解得:或(舍去)
综上:;
③当,即时,,
由AB,得或,解得:(舍)或,所以.
综上可得:即
所以的取值范围为:.
19. 设函数,其中.
(1)若,求函数在区间上的值域;
(2)若,且对任意的,都有,求实数的取值范围;
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)根据二次函数的对称性即可求解;
(2)将问题转化为,再利用二次函数的性质得在上的最大值为或,从而得解;
【小问1详解】
当时,则,,
由二次函数的对称性知:当时,的最小值为1;
当时,的最大值为10;
所以在区间值域的为.
【小问2详解】
“对任意的,都有”等价于“在区间上”.
由(1)知时,,
由二次函数的性质知函数的图象开口向上,
所以在上的最大值为或,
则,即,解得,
故实数的取值范围为区间.
20. 某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召,因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”.经调研发现:某珍稀水果树的单株产量(单位:千克)与施用肥料(单位:千克)满足如下关系:,肥料成本投入为元,其它成本投入(如培育管理、施肥等人工费)元.已知这种水果的市场售价大约为15元/千克,且销路畅通供不应求.记该水果树的单株利润为(单位:元).
(1)求的函数关系式;
(2)当施用肥料为多少千克时,该水果树的单株利润最大?最大利润是多少?
【答案】(1)
(2)4千克,480元
【解析】
【分析】(1)根据单株产量与施用肥料满足的关系,结合利润的算法,即可求得答案;
(2)结合二次函数的最值以及基本不等式求最值,分段计算水果树的单株利润,比较大小,即可求得答案.
【小问1详解】
由题意得
;
【小问2详解】
当时,,
则当时,取到最大值;
当时,
,
当且仅当,即时取等号,
由于,
故当施用肥料为4千克时,该水果树的单株利润最大,最大利润是480元.
21. 已知函数.
(1)当时,求函数的单调递增区间;
(2)将函数的图象向左平移个单位后,所得图象对应的函数为.若关于的方程在区间上有两个不相等的实根,求实数的取值范围.
【答案】(1)和;(2)或.
【解析】
【详解】分析:(1)整理函数的解析式可得 ,结合正弦函数的性质可知单调递增区间为,又,故的单调递增区间为和.
(2)由题意可知,由函数的定义域可知的函数值从0递增到1,又从1递减回0.令,则,原问题等价于在上仅有一个实根.据此讨论可得或.
详解:(1)∵
,
令,
得,
又因为,
所以的单调递增区间为和.
(2)将的图象向左平移个单位后,得,
又因为,则,
的函数值从0递增到1,又从1递减回0.
令,则,
依题意得在上仅有一个实根.
令,因为,
则需或,
解得或.
点睛:本题主要考查三角函数的性质,分类讨论的数学思想等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
22. 设是函数定义域的一个子集,若存在,使得成立,则称是的一个“准不动点”,也称在区间上存在准不动点.已知.
(1)若,求函数的准不动点;
(2)若函数在区间上存在准不动点,求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)由题意,当时,可得,可解得函数的准不动点;
(2)先根据对数的性质可得在内恒成立,即在内恒成立,可得;再由在区间上存在准不动点可得与在内有交点,分析求解即可.
【小问1详解】
若时,则,
因为在内均单调递增,则在内单调递增,
且,则的解集为,
即的定义域为,
令,
即,解得,
故当,函数的准不动点为.
【小问2详解】
因为在内恒成立,则在内恒成立,
因为在内均单调递增,可知在内单调递增,
且,则,解得;
令,则,
整理得,可知与在内有交点,
且,结合的单调性可得,解得;
综上所述:实数的取值范围为.
湖南省岳阳市湘阴县知源高级中学2023-2024学年高一下学期入学考试数学试题: 这是一份湖南省岳阳市湘阴县知源高级中学2023-2024学年高一下学期入学考试数学试题,共9页。试卷主要包含了单项选择题,多项选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
湖南省岳阳市平江县第一中学2023-2024学年高二下学期开学考试数学试题: 这是一份湖南省岳阳市平江县第一中学2023-2024学年高二下学期开学考试数学试题,文件包含平江一中高二年级下学期数学入学考试试卷学生pdf、平江一中高二年级下学期数学入学考试试卷pdf、平江一中高二年级下学期数学入学考试答案2pdf等3份试卷配套教学资源,其中试卷共15页, 欢迎下载使用。
2023-2024学年湖南省岳阳市平江县高二上学期期末教学质量监测数学试题(含解析): 这是一份2023-2024学年湖南省岳阳市平江县高二上学期期末教学质量监测数学试题(含解析),共18页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。