山东省青岛市青岛高新技术产业开发区青岛实验学校2022-2023学年八年级上学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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（考试时间：120分钟；满分：120分）
一、选择题（本题满分21分，共有7道小题，每小题3分）下列每小题都给出标号为A、B、C、D的四个结论，其中只有一个是正确的．每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分．请将1—7各小题所选答案的标号填写在第7小题后面的表格内．
1. 下列不能构成直角三角形三边长的是 （ ）
A. 1、2、3B. 6、8、10C. 3、4、5D. 5、12、13
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形．
【详解】解：A、，不符合勾股定理的逆定理，不能作为直角三角形三边长，故该选项符合题意；
B、，符合勾股定理的逆定理，能作为直角三角形三边长，故该选项不符合题意；
C、，符合勾股定理的逆定理，能作为直角三角形三边长，故该选项不符合题意；
D、，符合勾股定理的逆定理，能作为直角三角形三边长，故该选项不符合题意．
故选：A．
2. 在实数，0.31，，，，0.1010010001…（两个1之间零的个数依次多1个）中，无理数有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】根据无理数即为无限不循环小数、开方开不进的逐一判断即可．
【详解】解：，是有理数；
0.31是有限的小数，是有理数；
是无理数；
是有理数；
是分数，是有理数；
0.1010010001…是无理数；
综上：共有2个无理数
故选：B．
【点睛】本题考查了无理数的定义，注意无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．
3. 如图所示，甲图案变为乙图案，可以用（ ）
A. 旋转、平移B. 平移、轴对称
C. 旋转、轴对称D. 平移
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了平移、对称、旋转．
在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转；
轴对称的特点是一个图形绕着一条直线对折，直线两旁的图形能够完全重合；
平移，是指在同一平面内，将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移．
【详解】解：甲图案先绕根部旋转一点角度，再平移即可得到乙，只有A符合题意．
故选：A．
4. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．将图形沿着一条直线翻折，直线两侧能够完全重合的图形是轴对称图形；在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后两部分重合．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
5. 已知一个多边形内角和是外角和的4倍，则这个多边形是（ ）
A. 八边形B. 九边形C. 十边形D. 十二边形
【答案】C
【解析】
【分析】设这个多边形的边数为n，然后根据内角和与外角和公式列方程求解即可.
【详解】设这个多边形的边数为n，
则（n－2）×180°＝4×360°，
解得：n＝10，
故选C.
【点睛】本题主要考查多边形的内角和定理及多边形的外角和定理，熟练掌握多边形内角和定理是解答本题的关键.n变形的内角和为：(n-2) ×180°， n变形的外角和为：360°；然后根据等量关系列出方程求解．
6. 下列条件中，不能判定四边形为平行四边形的条件是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查平行四边形判定．根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案．
【详解】解：∵，，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定四边形为平行四边形，故A选项不符合题意；
∵，，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定出四边形为平行四边形，故B选项不符合题意；
∵，，不可判定出四边形为平行四边形，故C选项符合题意；
∵，，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可判定出四边形为平行四边形，故D选项不符合题意；
故选：C．
7. 如图，把一个长方形纸片沿折叠后，点分别落在的位置，若，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查平行线的性质及折叠的性质，由平行可求得，又由折叠的性质可得，结合平角可求得，掌握两直线平行内错角相等是解题的关键．
【详解】解：∵四边形是长方形，
∴，
∴，
又由折叠的性质可得，
，
∴，
故选：A．
二．填空题（本题满分21分，共有7道小题，每小题3分）
8. 的平方根是______，的立方根是______，______．
【答案】 ①. ②. ③.
【解析】
【分析】根据求一个数的算术平方根、平方根、立方根，绝对值的意义求解即可．
【详解】解：∵ ，9的平方根为，
∴ 的平方根是；
的立方根是；
；
故答案为：；；．
【点睛】本题考查算术平方根、平方根、立方根，绝对值，熟练掌握求一个数的算术平方根、平方根、立方根，绝对值的意义是解题的关键．
9. 工人师傅要做一个正方形的窗框，知道它的对角线长4米，则它的边长是_________米．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查正方形的性质和勾股定理，根据勾股定理和对角线长即可求出边长．
【详解】解：由正方形性质设边长为a米，已知对角线长为4米，
则由勾股定理知： ，
∴ ，
故答案：．
10. 矩形的两条对角线的夹角为，矩形较短的边长为，则较长的边长为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形的性质以及等边三角形的判定和勾股定理，先证为等边三角形，求对角线长度．再利用勾股定理求出较长的边长．
【详解】
如图，，，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴．
∴
．
故答案为．
11. 如果，则_____.
【答案】-2
【解析】
【详解】∵且，，
∴ ，解得： ，
∴.
点睛：（1）一个代数式的算术平方根、一个代数式的平方都是非负数；（2）两个非负数的和为0，则这两个非负数都为0.
12. 一个长方体的长为、宽为、高为，而一个正方体的体积是它的3倍，则这个正方体的棱长为____cm．
【答案】．
【解析】
【分析】首先根据长方体体积公式利用已知可求出正方体体积，然后利用立方根的定义即可求棱长．
【详解】解：，
，
棱长：．
故答案为：．
【点睛】本题考查正方体的棱长问题掌握常见图形的体积公式，也利用了立方根的定义是解题关键．
13. 如图所示，和是等边三角形，B、C、E在一条直线上，则绕着点 逆时针旋转____________度可得到．
【答案】60
【解析】
【分析】本题考查了旋转的定义和旋转的性质，先根据等边三角形的性质，运用证明，再由旋转的定义即可求解．
【详解】解：∵和是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∴E绕点逆时针方向旋转度可得到．
故答案．
三、作图题（本题满分6分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
14. 如图所示，△ABO绕O点旋转后，G点是B的对应点，作出△AOB 旋转后的三角形．
【答案】见详解
【解析】
【分析】连接OG，然后作∠AOA′，使∠AOA′=∠BOG，并截取OA′=OA，连接G、O、A'，即可得到旋转变换后的三角形．
【详解】解：所作图形如下所示：
【点睛】本题考查了利用旋转变换作图，根据旋转性质找出对应点的位置是解题的关键．
四．解答题（本大题满分72分）
15. 计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）
（2）
（3）1 （4）
【解析】
【分析】（1）先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答；
（2）先计算利用二次根式的乘除法，再算减法，即可解答；
（3）先计算利用二次根式的除法，再算加减，即可解答；
（4）利用完全平方公式，进行计算即可解答．
【小问1详解】
解：

【小问2详解】
解：


【小问3详解】
解：

【小问4详解】
解：

【点睛】本题考查了二次根式混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
16. 有一块薄铁皮，，各边的尺寸如图所示，若沿对角线剪开，则得到的两块三角形铁皮的面积分别是多少？

【答案】，．
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，先在中，由，可得为直角三角形；根据勾股定理得出，那么，由勾股定理的逆定理可得也为直角三角形．继而可求面积．
【详解】解：连接．

在中，∵，
∴为直角三角形；
∴，；
又∵，而，
∴，
∴为直角三角形．，
所以两块三角形铁皮的面积分别是，．
17. 已知，如图，在▱ABCD中，点E、F在对角线AC上且AE=CF，请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只需证明一组线段相等即可），
（1）连结______；
（2）猜想：_____=_____；
（3）证明：
【答案】（1）DF；（2）DF，BE；（3）见解析
【解析】
【分析】（1）由题意连接DF即可；
（2）猜想：DF=BE即可；
（3）由平行四边形的性质得AB∥CD，AB=CD，再由平行线的性质得∠BAE=∠DCF，然后证△CDF≌△ABE（SAS），即可得出结论．
【详解】（1）解：连接DF，
故答案为：DF；
（2）DF=BE，
故答案为：DF，BE；
（3）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠BAE=∠DCF，
在△CDF和△ABE中，
，
∴△CDF≌△ABE（SAS），
∴DF=BE．
【点睛】本题是四边形综合题目，考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
18. 江老师到家具城购买家具，当卡车装满家具后高3米、宽2米． 那么这辆卡车能否通过直径为7米的半圆形小区大门？为什么？
【答案】能通过
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理勾、股定理的应用，作弦，于，连接，在直角中，当，求出，然后与车宽比较即可．
【详解】解：如图，
设半圆的半径为，则，
作，且米，过点H作弦，
连接，
∵，
∴．
在中， （米），
∴．
∴能通过．
19. 小兰的课桌桌面的形状如图所示，她想检查一下它是不是矩形，如果手头仅有一根比较长的绳子，请你帮她想一下应该如何做，并说明原因．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定和矩形的判定，根据平行四边形的判定（有两组对边分别相等的四边形是平行四边形）判断桌面是否是平行四边形，再根据矩形的判定（对角线相等的平行四边形是矩形）判断桌面是否是矩形．
【详解】解：如图：
①先用线测量，，则四边形是平行四边形，
②再用线测量，
则四边形就是矩形，否则就不是矩形．
20. 小路在学习了后， 认为也成立，因此他认为一个化简过程： 是正确的．
（1）你认为他的化简对吗？ 如果不对，请写出正确的化简过程；
（2）说明成立的条件．
【答案】（1）不对，见解析
（2）且
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．
（1）根据二次根式的被开方数的非负性可得他的化简不对，利用二次根式的性质化简即可得；
（2）根据二次根式的被开方数的非负性、分式的分母不能等于0即可得．
【小问1详解】
解：因为二次根式的被开方数不能小于0，所以他的化简不对．
正确的化简过程如下：
．
【小问2详解】
解：因为二次根式的被开方数不能小于0、分式的分母不能等于0，
所以成立的条件是且．
21. 矩形的对角线相交于点O，，，、交于点E，请问：
（1）四边形是什么四边形？请说明理由．
（2）当对角线与满足什么条件时，四边形是正方形？（直接给出答案，不用说明理由）
【答案】（1）四边形是菱形，理由见解析
（2）当时，四边形是正方形
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质、菱形的判定、正方形的判定，熟练掌握特殊四边形的判定与性质是解题关键．
（1）先根据平行四边形的判定可得四边形是平行四边形，再根据矩形的性质可得，然后根据菱形的判定即可得；
（2）根据正方形的判定即可得．
【小问1详解】
解：四边形是菱形，理由如下：
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是矩形，
，
∴平行四边形是菱形．
【小问2详解】
解：当时，四边形是正方形，理由如下：
由（1）已证：四边形是菱形，
∵，
∴菱形是正方形．
22. 在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度后能与自身重合（0°＜旋转角度＜360°），那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角称为这个图形的一个旋转角．
例如：如图，正方形绕着它的对角线的交点旋转90°后能与自身重合，所以正方形是旋转对称图形，它有一个旋转角为90°．
（1）判断下列说法的对错（在相应的括号内填上“对”或“错”）．
①等腰梯形是旋转对称图形，它有一个旋转角为180°．（ ）
② 矩形是旋转对称图形，它有一个旋转角为180°． （ ）
（2）填空：下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角为120°的是 ．（写出所有正确结论的序号）：①正三角形；②正方形；③正六边形；④正八边形 ．
（3）写出一个满足下述条件的多边形：是旋转对称图形，有一个旋转角为72°，并且是轴对称图形，但不是中心对称图形： ；
写出一个满足下述条件的多边形：是旋转对称图形，有一个旋转角为72°，并且是轴对称图形，又是中心对称图形： ．
【答案】（1）错，对；
（2）①③ （3）正五边形；正十边形
【解析】
【分析】本题考查了旋转对称图形的知识，注意掌握一个正n边形旋转后，可与自身重合．
（1）根据题意旋转角的定义，即可作出判断；
（2）正多边形的最小旋转角等于分别求出几种图形的旋转角，即可得出答案．
（3）根据正多边形的最小旋转角等于进行计算即可．
【小问1详解】
解：①等腰梯形旋转一定的角度后不能与自身重合（0°＜旋转角度＜360°），故不是旋转对称图形，所以①说法错误；
②长方形是中心对称图形，绕中心旋转旋转180°能与自身重合，故②说法正确，
故答案为：错，对；
【小问2详解】
①正三角形的最小旋转角为；
②正方形的最小旋转角为；
③正六边形的最小旋转角为；
④正八边形的最小旋转角为；
则有一个旋转角为120°的是①③．
【小问3详解】
正五边形最小旋转角为，
则正五边形是满足有一个旋转角为72°，是轴对称图形，但不是中心对称图形；
正十边形最小旋转角为，故有一个旋转角为72°，既是轴对称图形，又是中心对称图形．
故答案为：正五边形；正十边形；
23. （1）操作：如图，已知三个矩形和三个平行四边形，请你试着画一条直线将每个图形分成面积相等的两部分．（同一种图形中的画法不能重复）
（2）归纳：这样的直线你能画 条．观察你画的这些直线，得出的结论是 ．
（3）应用：①一位同学受到前面操作的启发，在3×3的方格纸中，他用格点连线将方格纸分割成全等的两部分，请你给出与他不一样的两种画法．
②如下图，一块平行四边形的稻田里有一矩形的水库，现要从水库引一条笔直的水渠（水渠的宽度忽略不计），并使水渠两侧的稻田面积相等，请你在图中画出你的设计方案．
【答案】（1）见解析；（2）无数条；这些直线直线都经过中心对称图形的中心
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形和矩形性质可知：对角线将它们分成形状相同的部分；
（2）根据图形可知过中心对称图形的中心将每个图形分成面积相等的两部分；
（3）①过图形的中心画直线即可；②过水库中心和稻田稻田中心画直线即可；
【详解】（1）如图：
（2）由（1）可知将每个中心对称图形分成面积相等的两部分的直线有无数条；这些直线都经过中心对称图形的中心．
故答案为无数条；这些直线直线都经过中心对称图形的中心．
（3）①如图：

②解：如图，