天津市和平区建华中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（原卷版+解析版）

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第Ⅰ卷选择题（共36分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．）
1. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形与中心对称图形的识别，根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，如果一个图形绕某一点旋转 后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
【详解】解：A、赵爽弦图是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
B、笛卡尔心形线是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C、斐波那契螺旋线不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意；
D、科克曲线既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意
故选：D．
2. 不透明袋中装有3个红球和5个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋中随机摸出1个球是红球的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据概率公式计算即可．
【详解】解：袋中装有3个红球和5个绿球共8个球，
从袋中随机摸出1个球是红球的概率为，
故选：A．
【点睛】此题考查了概率的计算公式，正确掌握计算公式是解题的关键．
3. 若2sinA＝，则锐角A的度数为（ ）
A 30°B. 45°C. 60°D. 75°
【答案】B
【解析】
【分析】等式两边除以2，根据特殊的锐角三角比值可确定∠A的度数．
【详解】∵2sinA＝，sinA＝，∠A＝45°，故选B．
【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解答关键．
4. 如图是由大小相同的6个正方体搭成的几何体，其主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【详解】解：从正面看有2层，底层是3个小正方形，上层有2个小正方形，
所以主视图是：
故A符合题意， 故选：A．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
5. 如图，点A，B，C，D都在半径为2的⊙O上，若OA⊥BC，∠CDA=30°，则弦BC的长为（ ）
A. 4B. 2C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】根据垂径定理得到CH=BH，，根据圆周角定理求出∠AOB，根据正弦的定义求出BH，计算即可．
【详解】如图BC与OA相交于H
∵OA⊥BC，
∴CH=BH，，
∴∠AOB=2∠CDA=60°，
∴BH=OB⋅sin∠AOB=，
∴BC=2BH=2，
故选D．
【点睛】本题考查的是垂径定理、圆周角定理，熟练掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．
6. 如图，A为反比例函数图象上一点，垂直x轴于B点．若，则k的值为（ ）
A. 10B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，根据反比例函数中比例系数的几何意义，的面积等于，以及函数所在的象限，即可确定k的符号，从而得到k的值．
【详解】解：由题意得：的面积等于，
∴，
得，
又∵反比例函数图象在二、四象限．
∴，
∴，
故选：B．
7. 若点都在反比例函数的图象上，则有（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查反比例函数的性质，的图象在二、四象限，且在两个象限内随增大而增大．
【详解】解：∵，
∴的图象在二、四象限，且在两个象限内随增大而增大，
∵，
∴，
故选：B．
8. 如图，在中，，点是的中点，点在上，．若，则的长为（ ）
A. 3B. 4C. 5D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质、勾股定理，连接，由线段垂直平分的性质得出，设，则，在中，，从而得出，求解即可得出答案．
【详解】解：如图，连接，
，
点是的中点，，
垂直平分，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，
，
故选：A．
9. 如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为12，则C点坐标为（ ）
A. （6，4）B. （6，2）C. （4，4）D. （8，4）
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用位似图形的性质结合相似比得出AD的长，进而得出△OAD∽△OBG，进而得出AO的长，即可得出答案．
【详解】∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为 ，
∴，
∵BG＝12，
∴AD＝BC＝4，
∵AD∥BG，
∴△OAD∽△OBG，
∴
∴
解得：OA＝2，
∴OB＝6，
∴C点坐标为：（6，4），
故选A．
【点睛】此题主要考查了位似变换以及相似三角形的判定与性质，正确得出AO的长是解题关键．
10. 如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2米，水面下降2.5米时，水面的宽度为米．（ ）
A. 3B. 6C. 8D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把代入抛物线解析式求出水面宽度即可，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．
【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴通过，纵轴轴通过中点且通过点，则通过画图可得为原点，抛物线以轴为对称轴，且经过、两点，和可求出为的一半为米，抛物线的顶点坐标为，
，
设顶点式为，代入点坐标，
得出，
解得：，
抛物线的解析式为：，
当水面下降2.5米时，即当时，，
解得：，
水面的宽度为（米），
故选：B．
11. 如图，已知钝角三角形，将绕点A按逆时针方向旋转得到，连接，若，则的度数为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据旋转的性质得到，，根据等腰三角形的性质易得，再根据平行线的性质得出，然后利用进行计算即可得出答案．
【详解】解：将绕点A按逆时针方向旋转得到，
，，
，
∵，
，
．
故选：C．
【点睛】此题考查了旋转的性质：掌握旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角是本题的关键．
12. 二次函数的图像如图所示，根据图像判断下列结论中①；②；③；④；⑤；⑥；正确的有个（ ）

A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，由抛物线的开口方向判断出，由抛物线交轴于正半轴得出，由抛物线的对称轴得出，即可判断①⑤，根据当时，，即可判断②；根据抛物线与轴的交点个数即可判断④，根据当时，，结合，即可判断⑥，熟练掌握二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：由图象可得抛物线开口向下，对称轴为直线，交轴于正半轴，
故，，，
，
，故①错误，不符合题意；
由图象可得，当时，，即，故②正确，符合题意；
∵图象与轴有两个交点，
，故③正确，符合题意；
由图象可得，图象经过点，
，
，
，
，故④错误，不符合题意；
，
，故⑤错误，不符合题意；
，
，
当时，，
，即，
，故⑥正确，符合题意；
综上所述，正确的有②③⑥，共个，
故选：B．
第Ⅱ卷 非选择题（共84分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13. 正六边形的边长为4cm，它的半径等于_____cm．
【答案】4
【解析】
【分析】根据题意画出图形，由正六边形的特点求出∠AOB的度数及OA的长即可．
【详解】解：∵此多边形为正六边形，
∴∠AOB＝＝60°；
∵OA＝OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴OA＝AB＝4cm，
故答案为：4
【点睛】此题主要考查正多边形的计算问题，关键是由正六边形的特点求出∠AOB的度数及OA的长．
14. 不透明的袋子里装有2个红球和1个白球，这些球除了颜色外都相同，从中任意摸出一个，放回摇匀，再从中摸一个，则两次摸到球的颜色相同的概率是_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．画树状图列举出所有情况，看两次摸到球的颜色相同的情况占总情况的多少即可．
【详解】解：画树状图如下：

由树状图知共有9种等可能，两次摸到球的颜色相同的有5种，所以两次摸到球的颜色相同的概率是．
故答案为：．
15. 如图，点D、E、F分别位于△ABC的三边上，满足DE∥BC，EF∥AB，如果AD：DB=3：2，那么BF：FC=_____．
【答案】3:2
【解析】
【详解】因为DE∥BC,所以,因为EF∥AB,所以,所以,故答案为: 3:2.
16. 如图，从直径为4cm的圆形纸片中，剪出一个圆心角为90°的扇形OAB，且点O、A、B在圆周上，把它围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径是_____cm．
【答案】
【解析】
【分析】设圆锥的底面圆的半径为r，由于∠AOB＝90°得到AB为圆形纸片的直径，则OB＝cm，根据弧长公式计算出扇形OAB的弧AB的长，然后根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长进行计算．
【详解】解：设圆锥的底面圆的半径为r，
连结AB，如图，
∵扇形OAB的圆心角为90°，
∴∠AOB＝90°，
∴AB为圆形纸片的直径，
∴AB＝4cm，
∴OB＝cm，
∴扇形OAB的弧AB的长＝π，
∴2πr＝π，
∴r＝（cm）．
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了圆周角定理和弧长公式．
17. 如图，已知Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，斜边AC＝4，点P是三角形内的一动点，则PA+PB+PC的最小值是 _____．
【答案】
【解析】
【分析】将△BCP绕点B顺时针旋转60°得到△BHG，连接PH，AG，过点G作AB的垂线，交AB的延长线于N．证明△是等边三角形，得，所以，推出当A，P，G，H′共线时，PA+PB+PC的值最小，最小值=AG的长，再运用勾股定理求出AG的长即可．
【详解】解：将△BCP绕点B顺时针旋转60°得到△BHG，连接PH，AG，过点G作AB的垂线，交AB的延长线于N，如图，
∵∠，
由勾股定理得：
∵将△BCP绕点B顺时针旋转60°得到△BHG，
∴△
∴，，∠
∴△是等边三角形，
∴
∴
∴当点A，点P，点G，点H共线时，有最小值，最小值为，
∵∠
∴∠
∴∠
∵
∴，
由勾股定理得，
∴
∴
∴最小值为
故答案为：
【点睛】本题考查了勾股定理，旋转变换，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是利用旋转变换添加辅助线，用转化的思想思考问题．
18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点P，A，O均在格点上，半圆O的半径为3，与半圆O相切于点T．
（1）的大小=________（度）；
（2）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段，并简要说明点T的位置是如何找到的（不要求证明）________．
【答案】 ①. ②. 取格点B，连接PB交圆O于T，点T即为所求
【解析】
【分析】（1）根据切线的性质判断即可；
（2）取格点B，连接PB交圆O于T，根据等腰三角形腰上的高相等．
【详解】（1）连接TO，
∵PT是圆O的切线，
∴=90°，
故答案为：90°；
（2）如图，取格点B，连接PB交圆O于T，点T即为所求；
由勾股定理得PB=PO，
根据等腰三角形腰上高相等，∴OT=BC=3，
则T圆O上．
【点睛】本题考查了网格上切线的直尺作图，切线的性质，熟练掌握勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质是解题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，19-20每题8分，21-25每题10分，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若该方程的一个根为2，求k的值及方程的另一根．
【答案】（1）；
（2）k的值为，方程的另一根为4．
【解析】
【分析】（1）根据根的判别式求出，再求出不等式的解集即可；
（2）设方程的另一个根为a，根据根与系数的关系列方程求解即可．
【小问1详解】
解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：；
【小问2详解】
解：设方程的另一个根为a，
∴，
解得：，
∴方程的另一个根为4；
∴，
解得：；
∴k的值为，方程的另一根为4．
【点睛】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，熟练堂握根的判别式及根与系数的关系的相关知识是解题的关键．
20. 已知二次函数几组x与y的对应值如下表：
（1）求此二次函数的表达式；
（2）直接写出此二次函数图象上与关于对称轴对称的点的坐标；
（3）当时，直接写出x的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）或
【解析】
【分析】本题考查的是二次函数解析式，抛物线与轴的交点、二次函数的性质，掌握抛物线的对称性、灵活运用数形结合思想是解题的关键．
（1）根据表格数据特点可得出，二次函数图像经过点和点，顶点为，设该二次函数的表达式为，将代入即可；
（2）根据抛物线对称轴即可求解；
（3）根据抛物线开口向上，经过点和点，根据二次函数的性质解答即可．
【小问1详解】
解：根据表格，二次函数图象经过点和点，
∴对称轴为，
即顶点为，
设该二次函数的表达式为，
把代入，，
解得：，
∴二次函数的表达式为．
【小问2详解】
令与关于对称轴对称，
则，可得，
即：与关于对称轴对称；
【小问3详解】
在中，
∵函数图象经过点和点，且抛物线开口向上，
要使得，只需抛物线图象在轴上方，
∴当或时，．
21. 在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交边BC、AC于点D、点E，且AE=BE．
（1）如图①，求∠EBC的度数；
（2）如图②，过点D作⊙O切线交AB的延长线于点G，交AC于点F，若⊙O的直径为10，求BG的长．
【答案】（1）22.5°；（2）5﹣5．
【解析】
【分析】（1）由AB为⊙O的直径，得到∠AEB=90°，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论；
（2）连接OD，AD，由FG是⊙O的切线，得到∠ODG=90°，根据三角形的中位线的性质得到OD∥AC，于是得到∠GOD=∠BAC=45°，于是得到结论．
【详解】解：（1）∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∵AE=BE，
∴∠A=∠ABE==45°，
∵AB=AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝=67.5°，
∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=22.5°；
（2）连接OD，AD，
∵FG是⊙O的切线，
∴GF⊥OD，
∴∠ODG=90°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=DC，
∵OA=OB，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∴∠GOD=∠BAC=45°，
∴cs∠GOD=，
∵⊙O的直径为10，
∴OB=OD=5，
∴OG=5，
∴BG=5-5．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，勾股定理，三角函数的定义，三角形的中位线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
22. 如图，某数学兴趣小组为测量一棵古树和教学楼的高，先在A处用高米的测角仪测得古树顶端H的仰角为，此时教学楼顶端G恰好在视线上，再向前走10米到达B处，又测得教学楼顶端G的仰角为，点A、B、C三点在同一水平线上．
（1）求古树的高．
（2）求教学楼的高．（参考数据：，）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先证明是等腰直角三角形，得，即可得出结果；
（2）设，则，，证明是等腰直角三角形，得，再列关于的一元一次方程即可得到结果．
【小问1详解】
解：在中，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
答：古树的高为米．
【小问2详解】
解：在中，，
设，则，，
在中，，
是等腰直角三角形，
，即，
解得：，
∴，
∴
答：教学楼的高为米．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
23. 某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15米）的空地上修建一个矩形花园，花园的一边靠墙，另三边用总长40米的栅栏围成（如图所示）．若设花园的边长为x米，花园的面积为y平方米．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）满足条件的花园面积能否达到150平方米？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由；
（3）当x是多少时，矩形场地面积y最大？最大面积是多少？
【答案】（1），
（2）此花园面积能达到150平方米，此时
（3）当时，矩形场地面积y最大，最大面积是平方米
【解析】
【分析】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解题的关键是明确题意，列出函数关系式．
（1）已知矩形的长和周长可表示宽，运用公式表示面积，根据墙宽得的取值范围；
（2）求当时的值，根据自变量的取值范围回答问题；
（3）把函数解析式化为顶点式，再由二次函数的性质，即可求解．
【小问1详解】
解：根据题意得：由题意可知为米，
则，
∴，，
墙长15米，
，
，
，
自变量的取值范围是；
【小问2详解】
此花园面积能达到150平方米，理由如下：
当时，即，
，
解得：，，
，
∴
此花园面积能达到150平方米，此时；
【小问3详解】
，
∵，
∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，
∵，
∴当时，矩形场地面积y最大，最大面积是平方米．
24. 问题背景：（1）如图1，和都是等腰直角三角形，点在上，连，求证：；
迁移运用：（2）如图2，在中，，，点在外，，，，求的长；
拓展提升：（3）如图3，在等腰中，，，点、在外，，，直接写出线段、、之间的关系．

【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【解析】
【分析】（1）由“”可证，可得，可得结论；
（2）由旋转的性质可得，，，，由勾股定理可求解；
（3）由旋转的性质可得，，，，可求，由“”可证，可得，由勾股定理可求解．
【详解】解：（1）证明：和都是等腰直角三角形，
，，，，
，
，
，
，
；
（2）如图2，将绕点逆时针旋转得到，连接，过点作于，

将绕点逆时针旋转得到，
，，
，，，
，
，
，，
，
，
；
（3）如图3，将绕点顺时针旋转，得到，连接，

，，
，
，
，
，
将绕点顺时针旋转，得到，
，
，，，，
，
，
，，
，
，
，
又，，
，
，
．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理等知识，利用旋转构造全等三角形是解题的关键．
25. 如图，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C，动点P在抛物线的对称轴上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当以P，B，C为顶点的三角形周长最小时，求点P的坐标及的周长；
（3）若点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ；(2) P点坐标为(1,2)，的周长最小值为；(3) Q点坐标存在，为(2，2)或(4，)或(4，)或(，)或(，)
【解析】
【分析】(1)将，代入即可求解；
(2)连接BP、CP、AP，由二次函数对称性可知，BP=AP，得到BP+CP=AP+CP，当C、P、A三点共线时，△PBC的周长最小，由此求出AC解析式，将P点横坐标代入解析式中即可求解；
(3)设P点坐标为(1，t)，Q点坐标为(m，n)，按AC为对角线，AP为对角线，AQ为对角线分三种情况讨论即可求解．
【详解】解：(1)将，代入二次函数表达式中，
∴ ，解得，
∴二次函数的表达式为：；
(2)连接BP、CP、AP，如下图所示：
由二次函数对称性可知，BP=AP，
∴BP+CP=AP+CP，

BC为定直线，当C、P、A三点共线时，有最小值为，
此时的周长也最小，
设直线AC的解析式为：，代入，
∴，解得，
∴直线AC的解析式为：，
二次函数的对称轴为，代入，得到，
∴P点坐标(1,2)，
此时的周长最小值=；
(3)设P点坐标为(1，t)，Q点坐标为(m，n)，
分类讨论：
情况一：AC为菱形对角线时，另一对角线为PQ，
此时由菱形对角互相平分知：AC的中点也必定是PQ的中点，
由菱形对角线互相垂直知：，
∴ ，解得，
∴P点坐标为(1，1)，对应的Q点坐标为(2，2)；
情况二：AP为菱形对角线时，另一对角线为CQ，
同理有：，解得或，
∴P点坐标为(1，)或(1，)，对应的Q点坐标为(4，)或(4，)；
情况三：AQ为菱形对角线时，另一对角线为CP，
设P点坐标为(1，t)，Q点坐标为(m，n)，
同理有：，解得或，
∴P点坐标为(1，)或(1，)，对应的Q点坐标为(-2，)或(-2，)；
纵上所示，Q点坐标存在，为(2，2)或(4，)或(4，)或(，)或(，)．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数对称性求线段最值问题及菱形的存在性问题，本题第三问难度大一些，熟练掌握各图形的性质是解决本题的关键．x
…
0
1
3
5
7
…
y
…
6
0
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6
…