《一元二次方程》单元测试题 (3)

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一元二次方程测试卷一、单选题(每小题3分，共8题，共24分)1、若一元二次方程式x2﹣2x﹣3599=0的两根为a、b，且a＞b，则2a﹣b的值为（　　）2、方程的所有整数解的个数是（ ）3、方程的解是（ ）4、设，都是正实数且，则的值为（ ）5、已知三个关于的一元二次方程，，恰有一个公共实数根，则的值为（ ）6、若t为实数，关于x的方程x2﹣4x+t﹣2=0的两个非负实数根为a、b，则代数式（a2﹣1）（b2﹣1）的最小值是（　　）7、已知是一元二次方程的一个实数根，则的取值范围为（ ）8、若a＜b＜c，设方程（x－a）（x－b）＋（x－b）（x－c）＋（x－a）（x－c）＝0的两个根分别为x1，x2（x1＜x2），则（ ）二、填空题(每小题3分，共6题，共18分)9、若关于的方程是一元二次方程，则__________10、从3，0，﹣1，﹣2，﹣3这五个数中抽取一个数，作为函数y=（5﹣m2）x和关于x的一元二次方程（m+1）x2+mx+1=0中m的值．若恰好使函数的图象经过第一、三象限，且使方程有实数根，则满足条件的m的值是______．11、设方程的较大根为，方程的较小根为，则的值为__________12、设α、β是方程（x+1）（x﹣4）=﹣5的两实数根，则=____．13、若关于的方程的解都是整数，则符合条件的整数的值有_______个14、已知：，是关于x的方程的两个实数根，，其中n为正整数，且．（1）的值为__________；（2）当n分别取1，2，……，2013时，相对应的有2013个方程，将这些方程的所有实数根按照从小到大的顺序排列，相邻两数的差恒为的值，则___________．三、解答题(每小题1分，共11题，共58分)15、若是关于的一元二次方程，求、的值．16、已知：a是方程的一个根，求代数式的值17、用直接开平方法解方程18、晓东在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：如：解方程．解：原方程可变形，得：直接开平方并整理，得：，．我们称晓东这种解法为“平均数法”（1）下面是晓东用“平均数法”解方程时写的解题过程．解：原方程可变形，得：直接开平方并整理，得：☆，¤．上述过程中““，”“，”☆“，”¤“的表示的数分别为________，________，________，________．（2）请用“平均数法“解方程：．19、阅读并回答问题：小亮是一位刻苦学习、勤于思考、勇于创新的同学．一天他在解方程时，突发奇想：在实数范围内无解，如果存在一个数i，使，那么当时，有i，从而i是方程的两个根．据此可知：(1)可以运算，例如：，则 ，______________，__________________；(2)方程的两根为 （根用表示）．20、已知关于的一元二次方程.（1）求证：无论取任何实数时，原方程总有两个实数根；（2）若原方程的两个实数根一个大于，另一个小于，求m的取值范围.21、设实数分别满足，并且，求的值22、已知关于x的方程，其中a、b为实数．（1）若此方程有一个根为，判断a与b的大小关系并说明理由；（2）若对于任何实数a，此方程都有实数根，求b的取值范围．23、已知关于的方程和，是否存在这样的值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，请求出这样的值；若不存在，请说明理由？24、已知是正整数，如果关于的方程的根都是整数，求的值及方程的整数根25、在一次活动课中，老师请每位同学自己做一个有盖的长方体纸盒，长方体的长、宽、高分别为，，，小明在展示自己做的纸盒时，告诉同学们说：“我做的纸盒的长、宽、高都是正整数，且经测量发现他们满足，.”请同学们算一算，做一个这样的纸盒至少需要多少平方厘米的纸板（接缝不算）？答案解析一、单选题(每小题3分，共8题，共24分)二、填空题(每小题3分，共6题，共18分)三、解答题(每小题1分，共11题，共58分)A．﹣57B．63C．179D．181A．2B．3C．4D．5A．，B．，C．，D．，A．B．C．D．A．0B．1C．2D．3A．﹣15B．﹣16C．15D．16A．B．C．D．A．a＜x1＜b，b＜x2＜cB．x1＜a，a＜x2＜bC．b＜x1＜c，x2＞cD．x1＜a，x2＞c1【答案】D【解析】x2﹣2x﹣3599=0，移项得：x2﹣2x=3599，x2﹣2x+1=3599+1，即（x﹣1）2=3600，x﹣1=60，x﹣1=﹣60，解得：x=61，x=﹣59，∵一元二次方程式x2﹣2x﹣3599=0的两根为a、b，且a＞b，∴a=61，b=﹣59，∴2a﹣b=2×61﹣（﹣59）=181，故选D．2【答案】C【解析】当，即或时，原方程成立；当时，当或．由，得是原方程的解；当或时，有，得，，从而知原方程整数解的个数是4．故选C．3【答案】D【解析】当时，原方程变形为，利用公式法求解得，（舍去），当时，原方程变形为，利用求根公式解得（舍去），方程的根，，故答案为D选项．4【答案】C【解析】原式可化简为，解得或（舍去）5【答案】D【解析】三个式子相加得，因为，所以，所以，故答案为D选项．6【答案】A【解析】∵a，b是关于x的一元二次方程x2﹣4x+t﹣2=0的两个非负实根，∴可得a+b=4，ab=t﹣2，（a2﹣1）（b2﹣1）=（ab）2﹣（a2+b2）+1=（ab）2﹣（a+b）2+2ab+1，∴（a2﹣1）（b2﹣1），=（t﹣2）2﹣16+2（t﹣2）+1，=（t﹣1）2﹣15，∵（t﹣1）2≥0，∴代数式（a2﹣1）（b2﹣1）的最小值是﹣15，7【答案】B【解析】∵方程有实数根，∴．由题意，得 ⑴ 或 ⑵令，则方程⑴可化为：，方程⑵化为：∵是方程⑴或⑵的解，∴方程⑴、⑵的判别式非负，即，∴，故答案为B选项．8【答案】A9【答案】【解析】满足，且，解得10【答案】-2【解析】∵函数y=（5﹣m2）x的图象经过第一、三象限，∴5﹣m2＞0，解得：﹣＜m＜，∵关于x的一元二次方程（m+1）x2+mx+1=0有实数根，∴m2﹣4（m+1）≥0，∴m≥2+2或m≤2﹣2，∴使函数的图象经过第一、三象限，且使方程有实数根的m的值有为﹣1，﹣2，∵是关于x的一元二次方程，∴m+1不等于0，即m不等于﹣1，∴m的值为﹣211【答案】【解析】，所以，，所以，故12【答案】47【解析】方程（x+1）（x﹣4）=﹣5可化为x2﹣3x+1=0，∵α、β是方程（x+1）（x﹣4）=﹣5的两实数根，∴α+β=3，αβ=1，∴（α+β）2=α2+β2=7，（α2+β2）2=α4+β4=47，∴=47，13【答案】5【解析】当时，得；当时，得，当时，解得，，当时，是整数，这时；当时，是整数这时综上所述，时原方程的解为整数14【答案】2；8048【解析】该题考查的是一元二次方程的综合．（1）当时，将代入方程得：，解得：，，则；故答案是2；（2）由求根公式得： ，据，得到，当时，，；当时，，，当时，，，依此类推，当时，，，当时，，，∴根由小到大排列为：，，…，，，…，，共4026项，∵等差且，∴．故答案是2和8048．15【答案】，或，或，【解析】分以下几种情况考虑：（1），，此时，；（2），，此时，；（3），，此时，；16【答案】1【解析】该题考查的是整式计算及整体代入法求值．∵a是方程的一个根，∴，∴∴原式，，17【答案】当时，，当时，，当时，为任意实数【解析】原方程可化为，故或，化简得或；当时，若，则，若，则该方程的根为任意实数；当时，若，则，若，则该方程的根为任意实数，综上可得，当时，，当时，，当时，为任意实数．18【答案】（1）4；2；；（2），【解析】该题考查的是解一元二次方程．（1）根据“平均数法”变形得：，可得到方程组，解得．∴解方程如下：变形得：，，，解得：，．∴“”，“”，“☆”，“¤”的表示的数分别为4，2，，．（2）变形得：，，，解得：，．19【答案】（1）1；；1（2）和【解析】该题考查的是求一元二次方程的根（1）根据可将化为；；进行计算即可；∵，∴∴；∴．∴，，……3分（2）先根据求出的值，再由公式法求出的值即可．∵，∴，∴方程的两根为，即或…5分20【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）----------------------------------1分无论取任何实数时，无论取任何实数，原方程总有两个实数根．----------------------------------------------2分（2）解关于的一元二次方程得，-----------------------------------------------------------------------------------3分由题意得或----------------------------------------------------------------4分分别解两个不等式组得无解或---------------------------------------------------------------------------------------------5分21【答案】【解析】由可知，，故．又，，故、是方程的两根，从而可知，，故．注意：此处方程是构造成还是主要是根据待求式的结构特点而定，待求式含，构造方程更快．其实构造成也可，不过此时两根变为和，由根系关系可知，，故22【答案】（1）（2）【解析】该题考察一元二次方程的根与判别式的关系．（1）∵ 方程有一个根为，∴，整理得．∵ ，∴，即． ---------------------------------------------3分（2）方程有实数根，必有．对于次方程，．∵ 对于任何实数此方程都有实数根， ∴ 对于任何实数都有 ，即． ∴ 对于任何实数都有．∵ ，当 时，有最小值．∴ b的取值范围是． ----------------------------------------------7分23【答案】存在，【解析】．可见，为任意实数，方程都有实数根，记这两个实数根为、，则，．．由方程得，解得，．若为整数，则，从而，．当时，是整数．当时，不是整数，舍去．若为整数，则，从而．当时，不是整数，舍去．综上可知，当时，第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根24【答案】当时，方程的三个根为，和；当时，方程的三个根为，和【解析】观察易知方程有一个整数根，将方程的左边分解因式，得：．因为是正整数，所以关于的方程： ……①的判别式，它一定有两个不同的实数根．而原方程的根都是整数，所以方程①的根都是整数，因此它的判别式应该是一个完全平方数． 设(其中为非负整数)，则，即：． 显然与的奇偶性相同，且，．而，所以：，或，或解得，或，或．而是正整数，所以只可能，或．当时，方程①即，它的两根分别为和．此时原方程的三个根为，和．当时，方程①即，它的两根分别为和．此时原方程的三个根为，和．25【答案】【解析】因为，所以，又，，都是正整数，则有或；（1）当时，由，即，整理得，解得，，故长方体纸盒的表面积是（）或者（）（舍去）（2）当时，由，即，整理得，此方程无实数解，故做一个这样的纸盒至少需要的纸板