+山东省青岛第五十八中学2023-2024学年高二上学期阶段性测试（第二次月考）数学试卷

这是一份+山东省青岛第五十八中学2023-2024学年高二上学期阶段性测试（第二次月考）数学试卷，共14页。试卷主要包含了本试卷分第I卷和第Ⅱ卷两部分，设函数，则，已知等比数列的前项和为，，，则，已知过点作曲线C，已知函数，则等内容，欢迎下载使用。

高二数学试卷
2024.1
注意事项：
1.本试卷分第I卷和第Ⅱ卷两部分。第I卷为选择题，共60分；第Ⅱ卷为非选择题，共90分，满分150分，考试时间为120分钟。
2.第I卷共2页，每小题有一个正确答案，请将选出的答案标号（A、B、C、D）涂在答题卡上。第Ⅱ卷共2页，将答案用黑色签字笔（0.5mm）写在答题纸上。
第I卷
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.函数，则自变量从2变到时函数值的增量为（ ）
A.8B.C.D.
2.已知数列满足：，，则（ ）
A.19B.21C.23D.25
3.设函数，则（ ）
A.6B.4C.3D.2
4.已知抛物线上一点到焦点的距离为，则其焦点坐标为（ ）
A.B.C.D.
5.已知等比数列的前项和为，，，则（ ）
A.29B.31C.33D.36
6.已知过点作曲线C：的切线有且仅有两条，则实数a的取值范围是（ ）
A.B.
C.D.
7.已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为，，且两条曲线在第一象限的交点为P，是以为底边的等腰三角形，若，椭圆与双曲线的离心率分别为，，则的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
8.在数列中，对任意的都有，且，则下列结论正确的是（ ）
①.对于任意的，都有；
②.对于任意，数列不可能为常数列：
③.若，则数列为递增数列；
④.若，则当，
A.①②③B.②③④C.③④D.①④
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9.已知是等比数列，则下列数列一定是等比数列的是（ ）
A.B.C.D.
10.已知函数，则（ ）
A.为其定义域上的增函数B.为偶函数
C.的图象与直线相切D.有唯一的零点
11.有一种被称为汉诺塔的益智游戏，该游戏是一块铜板装置上，有三根杆（编号A、B、C），在A杆自下而上、由大到小按顺序放置若干个有孔金盘（如下图）.游戏的目标：把A杆上的金盘全部移到C杆上，并保持原有顺序叠好.操作规则如下：每次只能移动一个盘子，并且在移动过程中三根杆上都始终保持大盘在下，小盘在上，操作过程中盘子可以置于A、B、C任一杆上.记个金盘从A杆移动到C杆需要的最少移动次数为，数列的前n项和为，则下列说法正确的是（ ）
A.B.
C.数列是等差数列D.
12.在平面上，定点、之间的距离.曲线C是到定点、距离之积等于的点的轨迹.以点、所在直线为轴，线段的中垂线为轴，建立直角坐标系.已知点是曲线C上一点，下列说法中正确的有（ ）
A.曲线C是中心对称图形
B.曲线C上有两个点到点、距离相等
C.曲线C上的点的纵坐标的取值范围是
D.曲线C上的点到原点距离的最大值为
第Ⅱ卷
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.设函数在内可导，且，则__________.
14.某厂去年的产值记为1.若计划在今后五年内每年的产值比上年增长10%，则从今年起到第五年这五年内，这个厂的总值约为_________.（保留一位小数，取）
15.函数在上的单调递增区间为___________.
16.设是双曲线：的右焦点，为坐标原点，过F作C的一条渐近线的垂线，垂足为M，若的内切圆与x轴切于点N，且，则C的离心率为____________.
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（10分）已知.
（1）求函数的平行于的切线方程；
（2）求的单调性.
18.（12分）数列为等差数列，为等比数列，公比，，，.
（1）求、的通项公式；
（2）求数列的前项和.
19.（12分）已知圆：，：，动圆M与圆，均外切，记圆心M的轨迹为曲线C.
（1）求曲线C的方程：
（2）过点且斜率为4的直线与曲线C交于A，B两点，求的面积.
20.（12分）已知数列的前n项积为，且.
（1）证明：是等差数列；
（2）设，数列的前n项和为，定义为不超过的最大整数，例如，，求的前项和.
21.（12分）已知椭圆：的右焦点为F，P在椭圆C上，的最大值与最小值分别是6和2.
（1）求椭圆C的标准方程
（2）若椭圆C的左顶点为A，过点F的直线与椭圆C交于B，D（异于点A）两点，直线，分别与直线交于M，N两点，试问是否为定值?若是，求出该定值：若不是，请说明理由.
22.（12分）已知函数，.
（1）若函数，求函数的单调区间；
（2）设直线为函数的图象上一点处的切线。证明：在区间上存在唯一的，使得直线与曲线相切.
2023—2024学年第一学期阶段性检测
高二数学参考答案
一、单选题
CBAB BABC
详解：
6.设切点为，，，
则切线方程为：，
切线过点代入得：，即，
即方程有两个解，则有，解得或.
故选：A
7.设椭圆与双曲线的半焦距为，椭圆长半轴为，双曲线实半轴为，
，，
∵是以为底边的等腰三角形，点在第一象限内，
∴，，，
即，，且，，
∴，，解得：.
在双曲线中，，∴；
在椭圆中，，∴；
∴；
∵，∴，则，∴，
可得：，∴的取值范围为.
故选：B.
8.因为，所以，
因为任意的都有，所以，
所以与同号，当，则时，都有，①错误；
当时，，所以，同理得：，此时为常数列，②错误；
，
由①选项知：若，则，
所以，
则数列为递增数列，③正确；
由与同号，当，则时，都有，
且此时，
所以数列为递减数列，
综上：若，则当时，，④正确.
故选：C
二、多选题
9.BC 10.AD 11.ACD 12.ACD
详解：
10.由题意，在中，定义域为，
，∴为上的增函数，A正确；
，∴为奇函数，B错误；
∵当时，解得：，此时，
∴斜率为0的切线为，不可能为直线，∴C错误；
为上的增函数，，∴有唯一的零点，D正确.故选：AD.
11.若有个金盘，可考虑先将上面n个金盘从A杆移动到B杆，至少需要移动次，再将最大的一个金盘从A杆移动到C杆，需要移动一次，
最后将上面n个金盘从B杆移动到C杆，至少需要移动次，
所以，，则，且，
所以，数列是首项为，公比为2的等比数列，
所以，，则，所以，，，A对B错；
，所以，数列是等差数列，C对；
对于D选项，
，D对.
故选：ACD.
12.解：依题意，令，设点是曲线C上任意一点，则有，
显然，，
即点关于原点对称点在曲线C上，因此曲线C是中心对称图形，A正确；
曲线C上点P满足，则点P在y轴上，由得，解得，因此曲线C上只有一个点到点、距离相等，B不正确；
当时，，即，当且仅当，即，
亦即，时取等号，此时，
而点在曲线上C，即成立，因此，
曲线C上的点的纵坐标的取值范围是，C正确；
因为，则，
当时，由余弦定理得，
于是得，
当时，或，有或，
因此曲线C上的点到原点距离的最大值为，D正确.
故选：ACD.
三、填空题
13.2 14.6.6 15.， 16.
详解：
16.结合题意：双曲线的渐近线方程为：，即.
所以到渐近线的距离为，所以.
则的内切圆的半径为，
设的内切圆与切于点P，则，
由，得，，
即，，
则，，
由，得.
即，
由于，解得.
故答案为：.
四、解答题
17.（1）∵，∴，
由，切线的斜率，设切点坐标为，
则，解得，
则，切点坐标为，
所以切线方程为.
（2）由，，
令即，解得，
令，解得，令，解得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
18.（1）设等差数列得公差为，联立，即，
解得，或，又，所以，
故，.
（2）令，
则，
两边乘以得，，
错位相减整理得，
所以.
19.（1）由题意可知：圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，由条件可得，即，
则根据双曲线的定义可知，点是以，为焦点，以2为实轴长的双曲线的右支，
则，，可得，
所以曲线的方程为.
（2）依题意，直线的方程为，即，
联立，消去，得，
易知，设，，则，，
所以，
而到直线的距离为，
所以的面积为.
20.（1）证明：已知数列的前项积为，得，
故有，从而，且，则，所以.
从而是首项为3，公差为2的等差数列.
（2）由（1）知，，.
所以
.
当时，，.
当时，，.
当时，.
这时.
所以时，，
综上，
21.（1）设椭圆的焦距为，
由题意可得，解得，
故椭圆的标准方程为.
（2）由（1）得，
当直线垂直于x轴时，：，代入椭圆方程，解得，.
所以直线的方程为，令，得，则，
直线的方程为，令，得，则，
所以，，则，即，
若为定值，则必为，
当直线的斜率存在时，设直线：，，，
联立整理得，
，
则，，
直线的方程为，令，得，则，
直线的方程为，令，得，则，
因为，所以，，
则
，
故，即.
综上，为定值.
22.（1），定义域为，
，
所以，函数的单调递增区间为，；
（2）∵，∴，
所以，直线的方程为，即，
∵，则，设直线与函数相切于点，
则，得，则切点坐标为，
所以，直线的方程可表示为，即，
由题意可得，则，
下面证明，存在唯一的使得.
由（1）知，函数在区间上单调递增，
∵，，
由零点存在定理可知，存在唯一的，使得，即.
所以，存在唯一的使得.
因此，在区间上存在唯一的，使得直线与曲线相切.