2024届河北省部分高中高考一模数学试题

这是一份2024届河北省部分高中高考一模数学试题，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷（选择题 共58分）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数z满足，，则（ ）
A. 1B. 2C. D.
3. 已知向量，，且与方向相反，若，则在方向上的投影向量的坐标是（ ）
A. B. C. D.
4. 函数的部分图像可能为（ ）
A．B．C．D．
5. 某校开展宪法宣传日活动，邀请了法制专家杨教授为广大师生做《大力弘扬宪法精神，建设社会主义法制文化》的法制报告，报告后杨教授与四名男生、两名女生站成一排合影留念，要求杨教授必须站中间，他的两侧均为两男一女，则总的站排方法共有（ ）
A. 300种B. 432种C. 600种D. 864种
6. 2006年5月20日，蹴鞠作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家级非物质文化遗产名录.“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早是外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动.如图所示，若将“鞠”的表面视为光滑的球面，已知某“鞠”的表面上有四个点P，A，B，C，满足，平面ABC，，若的面积为2，则制作该“鞠”的外包皮革面积的最小值为（ ）
A. B. C. D.
7. 若数列满足（且），则与的比值为（ ）
A. B. C. 2D. 3
8. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，P为C上一点，满足，以C的短轴为直径作圆O，截直线的弦长为，则C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 数据2，1，3，4，2，5，4，1的第45百分位数是4
B. 若数据，，，…，的标准差为s，则数据，，，…，的标准差为2s
C. 随机变量X服从正态分布，若，则
D. 随机变量X服从二项分布，若方差，则
10. 已知三棱锥，则下列论述正确的是（ ）
A. 若点S在平面ABC内的射影点为的外心，则
B. 若点S在平面ABC内的射影点为A，则平面SBC与平面ABC所成角的余弦值为
C. 若，点S在平面ABC内的射影点为BC的中点H，则S，A，B，C四点一定在以H为球心的球面上
D. 若，S，A，B，C四点在以BC中点H为球心的球面上，且S在平面ABC内的射影点的轨迹为线段BC（不包含B，C两点），则点S在球H的球面上的轨迹为以BC为直径的圆（不包括B，C两点）
11. 投掷一枚质地不均匀的硬币，已知出现正面向上的概率为p，记表示事件“在n次投掷中，硬币正面向上出现偶数次”，则下列结论正确的是（ ）
A. 与是互斥事件B.
C. D.
第Ⅱ卷（非选择题 共92分）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 若，则曲线在处的切线方程为______.
13. 在的展开式中含的系数为______.
14. 已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，AB的中点为P，以AB为直径的圆与y轴交于M，N两点，当取最大值时，此时______.
四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（13分）
已知函数.
（1）当时，求的极值；
（2）若在区间上单调递减，求a的取值范围.
16.（15分）
已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求证：；
（2）若的面积为，且，求b.
17.（15分）
为了研究学生每天整理数学错题情况，某课题组在某市中学生中随机抽取了100名学生调查了他们期中考试的数学成绩和平时整理数学错题情况，并绘制了下列两个统计图表，图①为学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，图②为学生一个星期内整理数学错题天数的扇形图.若本次数学成绩在110分及以上视为优秀，将一个星期有4天及以上整理数学错题视为“经常整理”，少于4天视为“不经常整理”.已知数学成绩优秀的学生中，经常整理错题的学生占70%.
（1）根据图①、图②中的数据，画出列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析数学成绩优秀与经常整理数学错题是否有关？
（2）用频率估计概率，在全市中学生中按经常整理错题与不经常整理错题进行分层随机抽样，随机抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2人进行座谈，求这2名同学中经常整理错题且数学成绩优秀的人数X的分布列和数学期望.
附：，其中.
18.（17分）
已知在一个不透明的盒中装有一个白球和两个红球（小球除颜色不同，其余完全相同），某抽球试验的规则如下：试验者在每一轮需有放回地抽取两次，每次抽取一个小球，从第一轮开始，若试验者在某轮中的两次均抽到白球，则该试验成功，并停止试验，否则再将一个黄球（与盒中小球除颜色不同，其余完全相同）放入盒中，然后继续进行下一轮试验.
（1）若规定试验者甲至多可进行三轮试验（若第三轮不成功，也停止试验），记甲进行的试验轮数为随机变量X，求X的分布列和数学期望；
（2）若规定试验者乙至多可进行轮试验（若第n轮不成功，也停止试验），记乙在第轮使得试验成功的概率为，则乙能试验成功的概率为，证明：.
19.（17分）
已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，离心率为，经过点且倾斜角为的直线l与椭圆交于A，B两点（其中点A在x轴上方），的周长为8.
（1）求C的方程；
（2）如图，将平面xOy沿x轴折叠，使y轴正半轴和x轴所确定的半平面（平面）与y轴负半轴和x轴所确定的半平面（平面）互相垂直.
（i）若，求异面直线和所成角的余弦值；
（ii）是否存在，使得折叠后的周长为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
参考答案及解析
一、选择题
1. B 2. C 3. B 4. A 5. B 6. C 7. D 8. A
二、选择题
9. BCD 10. ABD 11. ACD
三、填空题
12. 13. 24 14.
四、解答题
15. 解：（1）当时，，定义域为，
则.（2分）
令，解得，令，解得，
故在处取得极小值，，（4分）
所以的极小值为，无极大值.（5分）
（2）因为在区间上单调递减，
所以在区间上，，
所以，即.（8分）
令，只需，（9分）
显然在区间上单调递减，
所以，（12分）
所以，即a的取值范围为.（13分）
16.（1）证明：（解法一）由余弦定理得，
因为，所以，（1分）
所以，（2分）
因为，（3分）
所以，（4分）
所以，（5分）
又A，，所以.（6分）
（解法二）由正弦定理得，
所以，（2分）
因为A，B，C为的内角，所以，
所以，
所以，（4分）
即，（5分）
又A，，所以.（6分）
（2）解：（解法一）由（1）可知，
因为，所以，即，（8分）
所以，（10分）
因为，所以，.（12分）
记的面积为S，
则，
所以解得.（15分）
（解法二）由正弦定理得，
即，（7分）
因为A，，所以，且，
所以，（8分）
又，所以，
所以，
所以，
所以，（10分）
所以.（12分）
记的面积为S，
则，
所以解得.（15分）
17. 解：（1）由题意可得，
解得.（2分）
数学成绩优秀的有人，不优秀的有人，经常整理错题的有人，不经常整理错题的有人，经常整理错题且成绩优秀的有人，则
（4分）
零假设为：数学成绩优秀与经常整理数学错题无关，
根据列联表中的数据，经计算得到可得，（6分）
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为数学成绩优秀与经常整理数学错题有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05.（7分）
（2）由分层随机抽样知随机抽取的5名学生中，经常整理错题的有3人，不经常整理错题的有2人，则X的可能取值为0，1，2，
经常整理错题的3名学生中，恰抽到k人记为事件，
则.（9分）
由（1）知经常整理数学错题的学生中数学成绩优秀的学生占，数学成绩不优秀的学生占，
参与座谈的2名学生中，经常整理错题且数学成绩优秀的恰好抽到m人记为事件，
则，，
，，
，.
，
，
，（13分）
故X的分布列为
（14分）
则数学期.（15分）
18.（1）解：由题意得X的可能取值为1，2，3，
在第一轮中，试验者每次抽到白球的概率为，
所以，（2分）
依题意，在第二轮中，盒中有一个白球、两个红球和一个黄球，每次摸到白球的概率为，
所以，（4分）
易知，（5分）
所以X的分布列为
（6分）
数学期望.（7分）
（2）证明：当时，不难知道，（8分）
因为
，
所以.（11分）
由（1）可知，又，
所以，（14分）
所以，
即.（17分）
19. 解：（1）由椭圆的定义知，，
所以的周长，所以.（1分）
又C的离心率为，所以，
所以，，（3分）
所以C的方程为.（4分）
（2）（i）联立直线l：与，
求得（因为点A在x轴上方）及.（5分）
以O为坐标原点，折叠后原y轴负半轴、原x轴、原y轴正半轴所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，.（7分）
记异面直线和所成角为，
则.（9分）
（ii）设直线l的方程为，折叠前，，
折叠后A，B在新图形中的对应点记为，，
由，，得.（10分）
联立，整理得，
则，，（11分）
在折叠后的图形中建立如图所示的空间直角坐标系（原x轴仍然为x轴，原y轴正半轴所在直线为y轴，原y轴负半轴所在直线为z轴），即，，
则，
，
所以，（*）（12分）
又，
所以，（**）
由（*）（**）可得，（14分）
因为，
所以，
即，（16分）
所以，解得，
因为，所以.（17分）0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
数学成绩优秀
数学成绩不优秀
合计
经常整理
35
25
60
不经常整理
15
25
40
合计
50
50
100
X
0
1
2
P
X
1
2
3
P