广东省燕博园2024届高三下学期3月综合能力测试（CAT联考）数学试题

这是一份广东省燕博园2024届高三下学期3月综合能力测试（CAT联考）数学试题，共17页。试卷主要包含了03，已知且，则“的解集为”是“”的等内容，欢迎下载使用。
数学（新课标I卷）
2024.03
本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名､考生号､考场号和座位号填写在答题卡上，将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案：不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效.
4.考生必须保持答题卡整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若复数，则复数在复平面上对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
3.已知，若，则（ ）
A. B. C. D.
4.已知为双曲线的中心，为双曲线的一个焦点，且上存在点，使得，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C.5 D.7
5.已知且，则“的解集为”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
6.“ChatGPT”以其极高的智能化引起世界关注.深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为0.4，则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（ ）
参考数据：
A.72 B.74 C.76 D.78
7.已知为单位向量，向量满足，则的最大值为（ ）
A.1 B.2 C. D.4
8.已知直线与直线相交于点，若恰有3个不同的点到直线的距离为1，则（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.嘌呤是一种杂环有机化合物，它在能量的供应､代谢的调节等方面都有十分重要的作用，它的化学结构式主要由一个正五边形与一个正六边形构成（设它们的边长均为1），其平面图形如图所示，则（ ）
A.
B.到的距离是
C.是的内切圆的圆心
D.
10.已知函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象（如图所示），则（ ）
A.
B.在上为增函数
C.当时，函数在上恰有两个不同的极值点
D.是函数的图象的一条对称轴
11.已知定义域均为的函数与，其导函数分别为与，且，函数的图象关于点对称，则（ ）
A.函数的图象关于直线对称
B.8是函数的一个周期
C.
D.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知是正整数，且，当方差最小时，写出满足条件的一组的值__________.
13.中，角对边分别为，且为边上一点，平分，则__________.
14.已知表面积为的球的内接正四棱台，动点在内部及其边界上运动，则直线与平面所成角的正弦值的最大值为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（15分）
已知数列的前项和为为正整数，且.
（1）求证数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）若点在函数的图象上，且数列满足，求数列的前项和.
16.（15分）
在斜四棱柱中，，平面平面.
（1）求的长；
（2）求二面角的正切值.
17.（15分）
海参中含有丰富的蛋白质､氨基酸､维生素､矿物质等营养元素，随着生活水平的提高，海参逐渐被人们喜爱.某品牌的海参按大小等级划分为五个层级，分别对应如下五组质量指标值：.从该品牌海参中随机抽取10000颗作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图.
（1）质量指标值越高，海参越大､质量越好，若质量指标值低于400的为二级，质量指标值不低于400的为一级.现利用分层随机抽样的方法按比例从不低于400和低于400的样本中随机抽取10颗，再从抽取的10颗海参中随机抽取4颗，记其中一级的颗数为，求的分布列及数学期望.
（2）甲､乙两人计划在某网络购物平台上参加该品牌海参的订单“秒杀”抢购活动，每人只能抢购一个订单，每个订单均由箱海参构成.假设甲､乙两人抢购成功的概率均为，记甲､乙两人抢购成功的订单总数量为，抢到海参总箱数为.
①求的分布列及数学期望；
②当的数学期望取最大值时，求正整数的值.
18.（16分）
设函数常数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数的单调区间；
（3）证明：.
19.（16分）
在平面直角坐标系中，为平面内的一个动点，满足：.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）设动直线与曲线有且只有一个公共点，且与直线相交于点，该平面上是否存在定点，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
燕博园2024届3月CAT联考数学模拟试题解析版
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.
1.答案：C
【命题意图】：本题考查复数的共轭复数的概念，复数的乘法运算，立足基础考百学生的数学运算能力
解析：，在复平面上对应的点为.该点在第三象限故选C.
2.答案：D
【命题意图】本题主要考查初等函数的定义域､值域的求法，集合的交运算，立足基础性，考查基本的逻辑推理素养和数学运算能力.
【答案】D
【解析】由于集合，则.故选D.
3.答案：B
【命题意图】：本题考查了初等函数的性质，及不等式的计算，立足基础，考查学生逻辑推理素养和数学运算能力
【解析】函数为偶函数且在上为增函数，，所以选B
4.答案：C
【命题意图】：本小题考查双曲线的定义及性质，考查数形结合思想，逻辑推理能力与运算求解的综合能力，体现解析几何的基本思想与基本方法.
【解析】：
，
5.答案：A
【命题意图】：本小题考查了充分必要条件，二次不等式与二次函数的关系，考查了逻辑推理能力与运算求解的综合能力，
【解析】充分性：由题意可知为方程的解，所以有成立
必要性：只能说明为方程的一个解，不能保证是唯一解，若是唯一解则有，从而得到：，所以必要性不成立，所以选A
6.答案：B
【命题意图】：本小题考查了指对数的运算，考查了阅读能力和运算能力
【解析】由题意可知解得，则
，所以选B
7.答案C
【命题意图】：本小题考查了向量的模的运算及二次函数最值，数形结合，坐标法等知识，考查学生逻辑推理能力与运算求解的综合能力，
【解析】
解法一：
所以的最大值为.
解法二：
因为，所以向量的终点在直线上，向量的终点在直线上，因为，
所以，所以，所以的最大值为.
解法三：如上图，以为原点以为轴建立平面直角坐标系，则，则，
所以，因为，所以的最大值为.
8.答案：B
【命题意图】本题主要考查两条直线的位置关系､直线和圆的位置关系等知识，考查数形结合思想，逻辑推理能力与运算求解的综合能力，体现解析几何的基本思想与基本方法.
【答案】B
【解析】由于直线可化为：，即直线恒过定点，
同理直线恒过定点，
又由于，则直线与垂直，故两直线的交点在以为直径的圆上，
即点的轨迹方程为（挖去点）.由于圆心到直线的距离，要使圆上恰有三个点到直线的距离为1，首先优弧存在两个点，只需保证劣弧上恰有1个点，则，即.故选.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.答案：AD
【命题意图】本小题考查了在生物背景下的解三角形的应用.考查了学生的阅读和运算能力
解析：在中，过作交于，.故选项A正确.
由于，过作交于到的距离.故选项错误.
由于到的距离，不等于到的距离，则不是的内切圆圆心.故选项C错误.
由于，正切函数在随着角的增大而增大，所以.故选项D正确.
故选AD.
10.【答案】BCD
【命题意图】本小题考查了三角函数的图象与性质，考查了数形结合，逻辑思维能力和运算能力.
【解析】由于函数的图像是由函数的图像平移得到，
则，
又函数的图像关于点对称，
则，
由于，故，故选项A错误；
由于函数，
令，得函数的单调递增区间为，
故选项B正确；
由于，
则，得正数的取值范围为，故选项C正确；
由于函数
，
当时，函数有最大值，
则是函数的图像的一条对称轴，故选项D正确.故选BCD.
11.【命题意图】本题以抽象函数为背景，考查函数的奇偶性､对称性､周期性等基础知识，考查考生分析问题的能力和运用函数､导数相关知识解决问题的能力.
【答案】ABD
【解析】由于，则用代替，得
，又，则，取，则，
，则函数的图像关于直线对称，故选项A正确；由于函数的图像关于点对称，则，又，得
，即
，则8是函数的一个周期，故选项B正确；由于，
，故选项C错误；由于
，故选项D正确.故选ABD.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.答案：；或
【命题意图】本小题考查了方差的估算能力
解析：欲使方差最小，则取中的最大值取中的最小值取最接近20
与31的算术平均数25.5的整数，故取25或26.
13.【答案】
【命题意图】本小题考查了正弦定理及面积的计算，考查了基本运算能力
【解析】先求角的大小：
方法一（角化边）：
由及正弦定理得，，则.
又，故.
方法二（边化角）：
由及正弦定理得，，得.
又，故.
再求的值：
方法一：
由于为角平分线，则，且，
得，整理得，故.
方法二：
设，则，
在中，；在中，；
即，
两式相加得，故.
14.【命题意图】本题考查了正四棱台的基本概念与性质､和球体积的计算方法，考查考生对直线与直线､直线与平面､平面与平面的位置关系等基础知识的理解与应用的能力.
【答案】
【解析】设球的半径为，则.设
分别为正方形与正方形的中心，
在正方形中，，则与重合，故
正方形的中心即为球心.由于，
，则面面，
则面面.在平面内作于，则平面，则就是直线与平面所成角，，当取最小值时，最大.在等腰梯形中，，则为正三角形，，故直线与平面所成角的正弦值的最大值为.
四､解答题：本题共5题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（15分）
解：（1）由得.
当时，由，得.
当时，由，即，
，即，又，
所以数列是以4为首项，以4为公比的等比数列，
则.
所以数列的通项公式.
（2）因为点在函数的图象上，
则，
所以.
又因为.
所以.
16.（15分）
【命题意图】本题考查立体几何的基本知识､基本思想和基本方法，通过空间中直线与直线､直线与平面､平面与平面的位置关系，考查考生的空间想象能力､逻辑思维能力和运算求解能力，对二面角正切值的计算方法作了重点考查.
【解析】（1）由题意得，四边形为等腰梯形.
作于，则.由于，则，
作于，平面平面，平面平面，
故平面，又，故，即与重合.
方法一：由于，则四边形为菱形，
由于.
在中，.
方法二：以为坐标原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则，
由于，则.
（2）由于，
设平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，
由于得
取，则，故.
同理，设.
由于
故二面角的正切值为8.15分
17.（15分）
解：（1）由频率分布直方图，低于400的二级的频率为，不低于400的一级
的频率为，用分层随机抽样方法从中抽取10颗，其中二级､一级的颗数分别为6，4，所以的可能取值为
，
所以的分布列为
所以.
（2）①由题意知的可能取值为.
，所以的分布列为
所以.
②因为，
所以，
当且仅当时取等号.
所以当取最大值时，的值为5.
18.（16分）
解由得，.
（1）当时，.
所以，故曲线在点处的切线方程为
，即.
（2）
当时，，函数在单调递减，是的单调递减区间.
当时，，函数在单调递减，是的单调递减区间.
当时，令，解得，且当时，；
当时，；当时，.所以的单调递减区间是和，的单调递增区间是.
当时，令，解得，且当时，；当时，.所以的单调递增区间是的单调递减区间是.
（3）由（2）知，当时，.由单调递减且可知：
当时，，即，故；当时，，即，故.
综上可知，.
19.（16分）
解：（1），即.
若点构成三角形，则.
.
整理得，即.
若点不构成三角形，也满足.
所以动点的轨迹为椭圆，轨迹方程为.
（2）
由消去并整理，得.
因为直线与椭圆有且只有一个公共点.
所以，即，且.
此时.
所以，由得.
假设存在定点，使得以为直径的圆恒过点，则.
又.
所以.
整理得.
对任意实数恒成立.
所以，解得
故存在定点，使得以为直径的圆恒过点.0
1
2
3
4
0
1
2