海南省2023-2024学年高三下学期学业水平诊断(三)数学试题
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这是一份海南省2023-2024学年高三下学期学业水平诊断(三)数学试题,共12页。试卷主要包含了已知等比数列的公比为,则,已知,且,则,已知正实数满足,则等内容,欢迎下载使用。
数学
考生注意:
1.答题前,考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上,并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数在复平面内对应的点为,则( )
A. B.3 C. D.5
2.在中,内角的对边分别为,若,则( )
A. B. C. D.
3.某机构统计了1000名演员的学历情况,制作出如图所示的饼状图,其中本科学历的人数为630.现按比例用分层随机抽样的方法从中抽取200人,则抽取的硕士学历的人数为( )
A.11 B.13 C.22 D.26
4.已知等比数列的公比为,则( )
A.20 B.24 C.28 D.32
5.已知,且,则( )
A. B. C. D.
6.当飞机超音速飞行时,声波会形成一个以飞机前端为顶点,飞机的飞行方向为轴的圆锥(如图),称为“马赫锥”.马赫锥的轴截面顶角与飞机的速度、音速满足关系式.若一架飞机以2倍音速沿直线飞行,则该飞机形成的马赫锥在距离顶点处的截面圆面积为( )
A. B. C. D.
7.已知正实数满足,则( )
A. B.
C. D.
8.已知是抛物线的焦点,过且倾斜角为的直线与交于两点,与的准线交于点(点在线段上),,则( )
A.1 B.2 C.3 D.4
二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.在平面直角坐标系中,已知点是一个动点,则下列说法正确的是( )
A.若,则点的轨迹为椭圆
B.若,则点的轨迹为双曲线
C.若,则点的轨迹为一条直线
D.若,则点的轨迹为圆
10.已知函数的一个最大值点为,与之相邻的一个零点为,则( )
A.的最小正周期为 B.为奇函数
C.在上单调递增 D.在上的值域为
11.在正方体中,点满足,其中,则下列说法正确的是( )
A.若在同一球面上,则
B.若平面,则
C.若点到四点的距离相等,则
D.若平面,则
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.已知集合,若,则__________.
13.的展开式中的系数为__________.
14.已知函数若对任意恒成立,则__________.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)
已知数列的前项和为.
(1)求;
(2)若,求数列的前项和.
16.(15分)
如图,已知四棱锥的体积为平面,四边形为矩形,为棱的中点,且的面积为.
(1)求点到平面的距离;
(2)若,求平面与平面的夹角的余弦值.
17.(15分)
如果一双曲线的实轴及虚轴分别为另一双曲线的虚轴及实轴,则这两双曲线互为“共轭双曲线”.已知双曲线的共轭双曲线的离心率为.
(1)求的方程;
(2)若直线与的右支交于两点,且以线段为直径的圆与轴相切,求的值.
18.(17分)
某学校有甲、乙、丙三名保安,每天由其中一人管理停车场,相邻两天管理停车场的人不相同.若某天是甲管理停车场,则下一天有的概率是乙管理停车场;若某天是乙管理停车场,则下一天有的概率是丙管理停车场;若某天是丙管理停车场,则下一天有的概率是甲管理停车场.已知今年第1天管理停车场的是甲.
(1)求第4天是甲管理停车场的概率;
(2)求第天是甲管理停车场的概率;
(3)设今年甲、乙、丙管理停车场的天数分别为,判断的大小关系.(给出结论即可,不需要说明理由)
19.(17分)
已知函数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)若不等式对任意恒成立,求的取值范围.
海南省2023—2024学年高三学业水平诊断(三)
数学·答案
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分
1.答案C
命题意图本题考查复数的相关概念.
解析由题知.
2.答案A
命题意图本题考查正弦定理的应用.
解析由正弦定理得.
3.答案D
命题意图本题考查分层随机抽样的概念.
解析由题知,样本中本科学历占比为,硕士学历占比为,故抽取的硕士学历的人数为.
4.答案D
命题意图本题考查等比数列的基本性质.
解析由题意知,所以.
5.答案A
命题意图本题考查同角三角函数的基本关系与三角恒等变换.
解析,又,
.
6.答案B
命题意图本题考查圆锥的结构特征.
解析由条件知,则,则该飞机形成的马赫锥在距离顶点处的截面圆半径为,截面圆面积为.
7.答案D
命题意图本题考查指数函数、对数函数的图象与性质.
解析在同一平面直角坐标系中作出的图象,由图得.
8.答案C
命题意图本题考查抛物线与直线的位置关系.
解析如图,分别过点作抛物线准线的垂线,垂足分别为,分别过点作,垂足分别为,设交轴于点,准线与轴交于点.由题知的倾斜角为,则,又.
二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.每小题全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.答案BCD
命题意图本题考查曲线与方程.
解析对于,则点的轨迹为线段,故A错误;
对于,则点的轨迹是双曲线,故B正确;
对于,设,由,可得,化简得,表示一条直线,故C正确;
对于,由,可得,则点的轨迹是以为直径的圆,故正确.
10.答案BC
命题意图本题考查三角函数的性质.
解析设最小正周期为,则,故A错误.不妨令,则.再由五点法知,此函数为奇
函数,故B正确.当时,,由余弦函数的性质知C正确.当时,,故D错误.
11.答案ABD
命题意图本题考查空间位置关系的判断.
解析由题意知点在线段上(不包含点).
对于A,若在同一球面上,则此球为正方体的外接球,所以与重合,所以,故A正确;
对于,如图(1),设的中点为,则平面与平面的交线为直线,要使平面,则需,则为的中点,此时,故B正确;
对于,点到四点的距离相等,则为正方体外接球的球心,即的中点,此时,故错误;
对于,如图(2),设正方形的中心为,连接与交于点,在对角面内,易知是上靠近的三等分点,且,若平面,则,由对称性易知,则,从而是的靠近的三等分点,此时,故D正确.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.答案2
命题意图本题考查集合的关系.
解析因为,所以,则,且,所以.
13.答案-480
命题意图本题考查二项式定理的应用.
解析由题知可将看成6个相乘,先从6个因式中选2个因式取,有种不同的取法,再从剩余4个因式中选3个因式取,则的系数为,最后1个因式取1,所以的系数为.
14.答案
命题意图本题考查函数性质的综合应用.
解析由题知在区间上单调递增,在上单调递减.注意到,因此若
对任意恒成立,则,即对任意恒成立.由于在区间上单调递增,且值域为在区间上单调递减,且值域为,因此对恒成立时.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.命题意图本题考查数列的通项公式与求和.
解析(1)当时,,
当时,,
.
(2)由(1)知,
,①
,②
①-②得,
,
.
16.命题意图本题考查空间中的位置关系以及空间向量的应用.
解析(1)因为为的中点,所以点到平面的距离等于点到平面的距离,
又四边形是矩形,所以,从而.
设点到平面的距离为,则,得,
因此点到平面的距离为.
(2)因为四边形为矩形,为的中点,所以.
因为平面,所以,又,所以平面,所以.
即是等腰直角三角形.
设,则.
由条件知解得
如图,以为坐标原点,所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系,
则,
所以.
设是平面的法向量
则可取.
平面的一个法向量为.
,
所以平面与平面的夹角的余弦值为.
17.命题意图本题考查双曲线与直线的位置关系.
解析(1)由题可得,
因为的离心率为,所以,得,
所以的方程为.
(2)过的右顶点,不妨设,由的方程可得其渐近线方程为,因为均在的右支上,所以或.
由得,
所以.
,
以线段为直径的圆的圆心横坐标为,半径为,
由题意知,
整理得,
解得(负值舍去).
18.命题意图本题考查全概率公式的应用,以及数列与概率的综合问题.
解析(1)由题意,前4天管理停车场的顺序为“甲乙丙甲”或“甲丙乙甲”,
所以.
(2)设事件表示“第天甲管理停车场”,事件表示“第天乙管理停车场”,事件表示“第天丙管理停车场”,记,则.
由题意知,
当时,,
即,
整理得,
所以,
所以是以为首项,为公比的等比数列,
所以,故,
即第天是甲管理停车场的概率为.
(3).
19.命题意图本题考查利用导数研究函数性质.
解析(1).
当时,在上恒成立,所以在上单调递增.
当时,令,得,令,得,
所以在上单调递减,在上单调递增.
(2)不等式对任意恒成立,即对任意恒成立.
令,则.
设,则.
当时,,所以在上单调递增,
所以当时,.
①若,当时,在上单调递增,
则,所以,所以
②若,则,又当时,,所以,使得,即.
当时,在上单调递减,
当时,在上单调递增,
则,
所以,所以.
由,令函数,则当时,,
所以,所以.
综上,实数的取值范围是.
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