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    海南省2023-2024学年高三下学期学业水平诊断(三)数学试题

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    海南省2023-2024学年高三下学期学业水平诊断(三)数学试题

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    这是一份海南省2023-2024学年高三下学期学业水平诊断(三)数学试题,共12页。试卷主要包含了已知等比数列的公比为,则,已知,且,则,已知正实数满足,则等内容,欢迎下载使用。
    数学
    考生注意:
    1.答题前,考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上,并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
    2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
    3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
    一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
    1.已知复数在复平面内对应的点为,则( )
    A. B.3 C. D.5
    2.在中,内角的对边分别为,若,则( )
    A. B. C. D.
    3.某机构统计了1000名演员的学历情况,制作出如图所示的饼状图,其中本科学历的人数为630.现按比例用分层随机抽样的方法从中抽取200人,则抽取的硕士学历的人数为( )
    A.11 B.13 C.22 D.26
    4.已知等比数列的公比为,则( )
    A.20 B.24 C.28 D.32
    5.已知,且,则( )
    A. B. C. D.
    6.当飞机超音速飞行时,声波会形成一个以飞机前端为顶点,飞机的飞行方向为轴的圆锥(如图),称为“马赫锥”.马赫锥的轴截面顶角与飞机的速度、音速满足关系式.若一架飞机以2倍音速沿直线飞行,则该飞机形成的马赫锥在距离顶点处的截面圆面积为( )
    A. B. C. D.
    7.已知正实数满足,则( )
    A. B.
    C. D.
    8.已知是抛物线的焦点,过且倾斜角为的直线与交于两点,与的准线交于点(点在线段上),,则( )
    A.1 B.2 C.3 D.4
    二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
    9.在平面直角坐标系中,已知点是一个动点,则下列说法正确的是( )
    A.若,则点的轨迹为椭圆
    B.若,则点的轨迹为双曲线
    C.若,则点的轨迹为一条直线
    D.若,则点的轨迹为圆
    10.已知函数的一个最大值点为,与之相邻的一个零点为,则( )
    A.的最小正周期为 B.为奇函数
    C.在上单调递增 D.在上的值域为
    11.在正方体中,点满足,其中,则下列说法正确的是( )
    A.若在同一球面上,则
    B.若平面,则
    C.若点到四点的距离相等,则
    D.若平面,则
    三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
    12.已知集合,若,则__________.
    13.的展开式中的系数为__________.
    14.已知函数若对任意恒成立,则__________.
    四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
    15.(13分)
    已知数列的前项和为.
    (1)求;
    (2)若,求数列的前项和.
    16.(15分)
    如图,已知四棱锥的体积为平面,四边形为矩形,为棱的中点,且的面积为.
    (1)求点到平面的距离;
    (2)若,求平面与平面的夹角的余弦值.
    17.(15分)
    如果一双曲线的实轴及虚轴分别为另一双曲线的虚轴及实轴,则这两双曲线互为“共轭双曲线”.已知双曲线的共轭双曲线的离心率为.
    (1)求的方程;
    (2)若直线与的右支交于两点,且以线段为直径的圆与轴相切,求的值.
    18.(17分)
    某学校有甲、乙、丙三名保安,每天由其中一人管理停车场,相邻两天管理停车场的人不相同.若某天是甲管理停车场,则下一天有的概率是乙管理停车场;若某天是乙管理停车场,则下一天有的概率是丙管理停车场;若某天是丙管理停车场,则下一天有的概率是甲管理停车场.已知今年第1天管理停车场的是甲.
    (1)求第4天是甲管理停车场的概率;
    (2)求第天是甲管理停车场的概率;
    (3)设今年甲、乙、丙管理停车场的天数分别为,判断的大小关系.(给出结论即可,不需要说明理由)
    19.(17分)
    已知函数.
    (1)讨论函数的单调性;
    (2)若不等式对任意恒成立,求的取值范围.
    海南省2023—2024学年高三学业水平诊断(三)
    数学·答案
    一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分
    1.答案C
    命题意图本题考查复数的相关概念.
    解析由题知.
    2.答案A
    命题意图本题考查正弦定理的应用.
    解析由正弦定理得.
    3.答案D
    命题意图本题考查分层随机抽样的概念.
    解析由题知,样本中本科学历占比为,硕士学历占比为,故抽取的硕士学历的人数为.
    4.答案D
    命题意图本题考查等比数列的基本性质.
    解析由题意知,所以.
    5.答案A
    命题意图本题考查同角三角函数的基本关系与三角恒等变换.
    解析,又,
    .
    6.答案B
    命题意图本题考查圆锥的结构特征.
    解析由条件知,则,则该飞机形成的马赫锥在距离顶点处的截面圆半径为,截面圆面积为.
    7.答案D
    命题意图本题考查指数函数、对数函数的图象与性质.
    解析在同一平面直角坐标系中作出的图象,由图得.
    8.答案C
    命题意图本题考查抛物线与直线的位置关系.
    解析如图,分别过点作抛物线准线的垂线,垂足分别为,分别过点作,垂足分别为,设交轴于点,准线与轴交于点.由题知的倾斜角为,则,又.
    二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.每小题全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
    9.答案BCD
    命题意图本题考查曲线与方程.
    解析对于,则点的轨迹为线段,故A错误;
    对于,则点的轨迹是双曲线,故B正确;
    对于,设,由,可得,化简得,表示一条直线,故C正确;
    对于,由,可得,则点的轨迹是以为直径的圆,故正确.
    10.答案BC
    命题意图本题考查三角函数的性质.
    解析设最小正周期为,则,故A错误.不妨令,则.再由五点法知,此函数为奇
    函数,故B正确.当时,,由余弦函数的性质知C正确.当时,,故D错误.
    11.答案ABD
    命题意图本题考查空间位置关系的判断.
    解析由题意知点在线段上(不包含点).
    对于A,若在同一球面上,则此球为正方体的外接球,所以与重合,所以,故A正确;
    对于,如图(1),设的中点为,则平面与平面的交线为直线,要使平面,则需,则为的中点,此时,故B正确;
    对于,点到四点的距离相等,则为正方体外接球的球心,即的中点,此时,故错误;
    对于,如图(2),设正方形的中心为,连接与交于点,在对角面内,易知是上靠近的三等分点,且,若平面,则,由对称性易知,则,从而是的靠近的三等分点,此时,故D正确.
    三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
    12.答案2
    命题意图本题考查集合的关系.
    解析因为,所以,则,且,所以.
    13.答案-480
    命题意图本题考查二项式定理的应用.
    解析由题知可将看成6个相乘,先从6个因式中选2个因式取,有种不同的取法,再从剩余4个因式中选3个因式取,则的系数为,最后1个因式取1,所以的系数为.
    14.答案
    命题意图本题考查函数性质的综合应用.
    解析由题知在区间上单调递增,在上单调递减.注意到,因此若
    对任意恒成立,则,即对任意恒成立.由于在区间上单调递增,且值域为在区间上单调递减,且值域为,因此对恒成立时.
    四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
    15.命题意图本题考查数列的通项公式与求和.
    解析(1)当时,,
    当时,,
    .
    (2)由(1)知,
    ,①
    ,②
    ①-②得,

    .
    16.命题意图本题考查空间中的位置关系以及空间向量的应用.
    解析(1)因为为的中点,所以点到平面的距离等于点到平面的距离,
    又四边形是矩形,所以,从而.
    设点到平面的距离为,则,得,
    因此点到平面的距离为.
    (2)因为四边形为矩形,为的中点,所以.
    因为平面,所以,又,所以平面,所以.
    即是等腰直角三角形.
    设,则.
    由条件知解得
    如图,以为坐标原点,所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系,
    则,
    所以.
    设是平面的法向量
    则可取.
    平面的一个法向量为.

    所以平面与平面的夹角的余弦值为.
    17.命题意图本题考查双曲线与直线的位置关系.
    解析(1)由题可得,
    因为的离心率为,所以,得,
    所以的方程为.
    (2)过的右顶点,不妨设,由的方程可得其渐近线方程为,因为均在的右支上,所以或.
    由得,
    所以.

    以线段为直径的圆的圆心横坐标为,半径为,
    由题意知,
    整理得,
    解得(负值舍去).
    18.命题意图本题考查全概率公式的应用,以及数列与概率的综合问题.
    解析(1)由题意,前4天管理停车场的顺序为“甲乙丙甲”或“甲丙乙甲”,
    所以.
    (2)设事件表示“第天甲管理停车场”,事件表示“第天乙管理停车场”,事件表示“第天丙管理停车场”,记,则.
    由题意知,
    当时,,
    即,
    整理得,
    所以,
    所以是以为首项,为公比的等比数列,
    所以,故,
    即第天是甲管理停车场的概率为.
    (3).
    19.命题意图本题考查利用导数研究函数性质.
    解析(1).
    当时,在上恒成立,所以在上单调递增.
    当时,令,得,令,得,
    所以在上单调递减,在上单调递增.
    (2)不等式对任意恒成立,即对任意恒成立.
    令,则.
    设,则.
    当时,,所以在上单调递增,
    所以当时,.
    ①若,当时,在上单调递增,
    则,所以,所以
    ②若,则,又当时,,所以,使得,即.
    当时,在上单调递减,
    当时,在上单调递增,
    则,
    所以,所以.
    由,令函数,则当时,,
    所以,所以.
    综上,实数的取值范围是.

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