2023中考数学真题专项汇编特训 专题16等腰三角形与直角三角形(共25道)(原卷版+解析)

这是一份2023中考数学真题专项汇编特训 专题16等腰三角形与直角三角形(共25道)(原卷版+解析)，共35页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．如图，直角中，，点O是的重心，连接CO并延长交AB于点E，过点E作交BC于点F，连接AF交CE于点M，则的值为( )
A．B．C．D．
2．将一副直角三角板和一把宽度为2cm的直尺按如图方式摆放：先把和角的顶点及它们的直角边重合，再将此直角边垂直于直尺的上沿，重合的顶点落在直尺下沿上，这两个三角板的斜边分别交直尺上沿于，两点，则的长是（ ）

A．B．C．2D．
3．如图，是等腰三角形，．以点B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于点F，交BC于点G，分别以点F和点G为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点H，作射线BH交AC于点D；分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两孤相交于M、N两点，作直线MN交AB于点E，连接DE．下列四个结论：①；②；③；④当时，．其中正确结论的个数是（ ）

A．1B．2C．3D．4
4．如图中，，为中点，若点为直线下方一点，且与相似，则下列结论：①若，与相交于，则点不一定是的重心；②若，则的最大值为；③若，则的长为；④若，则当时，取得最大值．其中正确的为（ ）

A．①④B．②③C．①②④D．①③④
5．如图，在中，为的中点．若点在边上，且，则的长为（ ）

A．1B．2C．1或D．1或2
6．如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点，分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线，交于点，则的长为（ ）

A．B．C．D．
7．5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰三角形模型（示意图如图所示），它的顶角为，腰长为，则底边上的高是（ ）

A．B．C．D．
8．如图，为等边三角形，点，分别在边，上，，若，，则的长为（ ）

A．B．C．D．
9．下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程：
下列不属于该尺规作图依据的是（ ）
A．两点确定一条直线
B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
C．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
D．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
10．如图，在中，，点在边上，且平分的周长，则的长是（ ）

A．B．C．D．
11．的三边长a，b，c满足，则是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等腰直角三角形
12．四边形的边长如图所示，对角线的长度随四边形形状的改变而变化．当为等腰三角形时，对角线的长为（ ）

A．2B．3C．4D．5
二、填空题
13．将形状、大小完全相同的两个等腰三角形如图所示放置，点D在AB边上，△DEF绕点D旋转，腰DF和底边DE分别交△CAB的两腰CA，CB于M，N两点，若CA=5，AB=6，AB=1：3，则MD+的最小值为 ．
14．如图，在中，，点D为的中点，过点C作交的延长线于点E，若，，则的长为 ．

15．如图，在中，，，点在直线上，，过点作直线于点，连接，点是线段的中点，连接，则的长为 ．

16．如图，在中，．P为边上一动点，作于点D，于点E，则的最小值为 ．

17．如图．四边形中，，，，交于点，，，则AB的长为 ．
18．如图，已知，点D在上，以点B为圆心，长为半径画弧，交于点E，连接，则的度数是 度．

19．如图，在中，以A为圆心，长为半径作弧，交于C，D两点，分别以点C和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点P，作直线，交于点E，若，，则 ．

20．如图，在中，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，；分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点；作射线交于点，若，，的面积为，则的面积为 ．
21．如图，为斜边上的中线，为的中点．若，，则 ．

22．在 Rt △ABC中, ∠ACB=90°，AC=6，BC=8，D是AB的中点，则 ．
三、解答题
23．在中，是斜边上的高．

(1)证明：；
(2)若，求的长．
24．如图，是等边的中线，以为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于，连接．求证：．

25．如图，在四边形中，点E是边上一点，且，．

(1)求证：；
(2)若，时，求的面积．
专题16 等腰三角形与直角三角形
（25道）
一、单选题
1．如图，直角中，，点O是的重心，连接CO并延长交AB于点E，过点E作交BC于点F，连接AF交CE于点M，则的值为( )
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：∵点O是△ABC的重心，∴OC=CE，∵△ABC是直角三角形，∴CE=BE=AE，∵∠B=30°，∴∠FAE=∠B=30°，∠BAC=60°，∴∠FAE=∠CAF=30°，△ACE是等边三角形，∴CM=CE，∴OM=CE﹣CE=CE，即OM=AE，∵BE=AE，∴EF=AE，∵EF⊥AB，∴∠AFE=60°，∴∠FEM=30°，∴MF=EF，∴MF=AE，∴==．
故选D．
2．将一副直角三角板和一把宽度为2cm的直尺按如图方式摆放：先把和角的顶点及它们的直角边重合，再将此直角边垂直于直尺的上沿，重合的顶点落在直尺下沿上，这两个三角板的斜边分别交直尺上沿于，两点，则的长是（ ）

A．B．C．2D．
【答案】B
【分析】根据等腰直角三角形的性质可得，由含30度角直角三角形的性质可得，由勾股定理可得的长，即可得到结论．
【详解】解：如图，在中，，

∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，含角直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
3．如图，是等腰三角形，．以点B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于点F，交BC于点G，分别以点F和点G为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点H，作射线BH交AC于点D；分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两孤相交于M、N两点，作直线MN交AB于点E，连接DE．下列四个结论：①；②；③；④当时，．其中正确结论的个数是（ ）

A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根据等腰三角形两底角相等与，得到，根据角平分线定义得到，根据线段垂直平分线性质得到，得到，推出，得到，推出，①正确；根据等角对等边得到，，根据三角形外角性质得到，得到，推出，②正确；根据，得到，推出，③错误；根据时， ，得到,推出，④正确．
【详解】∵中，，，
∴，
由作图知，平分，垂直平分，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，①正确；
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，②正确；
设，，
则，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，③错误；
当时，，
∵，
∴,
∴，④正确
∴正确的有①②④，共3个．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形，相似三角形，解决问题的关键是熟练掌握等腰三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，角平分线的定义和线段垂直平分线的性质．
4．如图中，，为中点，若点为直线下方一点，且与相似，则下列结论：①若，与相交于，则点不一定是的重心；②若，则的最大值为；③若，则的长为；④若，则当时，取得最大值．其中正确的为（ ）

A．①④B．②③C．①②④D．①③④
【答案】A
【分析】①有3种情况，分别画出图形，得出的重心，即可求解；当，时，取得最大值，进而根据已知数据，结合勾股定理，求得的长，即可求解；③如图5，若，，根据相似三角形的性质求得，，，进而求得，即可求解；④如图6，根据相似三角形的性质得出，在中，，根据二次函数的性质，即可求取得最大值时，．
【详解】①有3种情况，如图，和都是中线，点是重心；
如图，四边形是平行四边形，是中点，点是重心；
如图，点不是中点，所以点不是重心；
①正确

②当，如图时最大，，
，，，
，
，
②错误；

③如图5，若，，
∴，，，，，，，
∴，，，
∴，，
∴，
∴③错误；
④如图6，，
∴，
即，
在中，，
∴，
∴，
当时，最大为5，
∴④正确．
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形重心的定义，勾股定理，相似三角形的性质，二次函数的性质，分类讨论，画出图形是解题的关键．
5．如图，在中，为的中点．若点在边上，且，则的长为（ ）

A．1B．2C．1或D．1或2
【答案】D
【分析】根据题意易得，然后根据题意可进行求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵点D为的中点，
∴，
∵，
∴，
①当点E为的中点时，如图，

∴，
②当点E为的四等分点时，如图所示：

∴，
综上所述：或2；
故选D．
【点睛】本题主要考查含30度直角三角形的性质及三角形中位线，熟练掌握含30度直角三角形的性质及三角形中位线是解题的关键．
6．如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点，分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线，交于点，则的长为（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】过点D作于M，由勾股定理可求得，由题意可证明，则可得，从而有，在中，由勾股定理建立方程即可求得结果．
【详解】解：过点D作于M，如图，
由勾股定理可求得，
由题中作图知，平分，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
设，则，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
即的长为为；
故选：D．

【点睛】本题考查了作图：作角平分线，角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理，利用全等的性质、利用勾股定理建立方程是解题的关键．
7．5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰三角形模型（示意图如图所示），它的顶角为，腰长为，则底边上的高是（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】作于点D，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，再根据含30度角的直角三角形的性质即可得出答案．
【详解】解：如图，作于点D，

中,，，
，
，
，
故选B．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质等，解题的关键是掌握30度角所对的直角边等于斜边的一半．
8．如图，为等边三角形，点，分别在边，上，，若，，则的长为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】证明，根据题意得出，进而即可求解．
【详解】解：∵为等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴
∴
∵，
∴，
∴
∵
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
9．下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程：
下列不属于该尺规作图依据的是（ ）
A．两点确定一条直线
B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
C．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
D．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
【答案】D
【分析】利用直角三角形斜边中线的性质证明：即可．
【详解】解：作直线（两点确定一条直线），
连接，

∵由作图，，
∴且（与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）．
∵，
∴（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），
∴，
∴A，B，C三点在以O为圆心，为直径的圆上．
∴为的外接圆．
故选：D．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的定义，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
10．如图，在中，，点在边上，且平分的周长，则的长是（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】如图所示，过点B作于E，利用勾股定理求出，进而利用等面积法求出，则可求出，再由平分的周长，求出，进而得到，则由勾股定理得．
【详解】解：如图所示，过点B作于E，
∵在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分的周长，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，
∴，
故选C．

【点睛】本题主要考查了勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
11．的三边长a，b，c满足，则是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等腰直角三角形
【答案】D
【分析】由等式可分别得到关于a、b、c的等式，从而分别计算得到a、b、c的值，再由的关系，可推导得到为直角三角形．
【详解】解∵
又∵
∴，
∴
解得 ，
∴，且，
∴为等腰直角三角形，
故选：D．
【点睛】本题考查了非负性和勾股定理逆定理的知识，求解的关键是熟练掌握非负数的和为0，每一个非负数均为0，和勾股定理逆定理．
12．四边形的边长如图所示，对角线的长度随四边形形状的改变而变化．当为等腰三角形时，对角线的长为（ ）

A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】利用三角形三边关系求得，再利用等腰三角形的定义即可求解．
【详解】解：在中，，
∴，即，
当时，为等腰三角形，但不合题意，舍去；
若时，为等腰三角形，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形三边关系以及等腰三角形的定义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
二、填空题
13．将形状、大小完全相同的两个等腰三角形如图所示放置，点D在AB边上，△DEF绕点D旋转，腰DF和底边DE分别交△CAB的两腰CA，CB于M，N两点，若CA=5，AB=6，AB=1：3，则MD+的最小值为 ．
【答案】
【分析】先求出AD=2，BD=4，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠AMD+∠A=∠EDF+∠BDN，然后求出∠AMD=∠BDN，从而得到△AMD和△BDN相似，根据相似三角形对应边成比例可得，求出MA•DN=4MD，再将所求代数式整理出完全平方的形式，然后根据非负数的性质求出最小值即可．
【详解】∵AB=6，AB=1：3，
∴AD=6×=2，BD=6﹣2=4，
∵△ABC和△FDE是形状、大小完全相同的两个等腰三角形，
∴∠A=∠B=∠FDE，由三角形的外角性质得，∠AMD+∠A=∠EDF+∠BDN，∴∠AMD=∠BDN，
∴△AMD∽△BDN，
∴，
∴MA•DN=BD•MD=4MD，
∴MD+
=MD+
=，
∴当，
即MD=时MD+有最小值为．
故答案为．
考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；旋转的性质；最值问题；综合题．
14．如图，在中，，点D为的中点，过点C作交的延长线于点E，若，，则的长为 ．

【答案】//1.5
【分析】先根据证明，推出，再利用勾股定理求出，最后根据中点的定义即可求的长．
【详解】解：，
，
点D为的中点，
，
又，
，
，
中，，，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的性质等，证明是解题的关键．
15．如图，在中，，，点在直线上，，过点作直线于点，连接，点是线段的中点，连接，则的长为 ．

【答案】或
【分析】分两种情况当在延长线上和当在上讨论，画出图形，连接，过点作于，利用勾股定理解题即可
【详解】解：当在线段上时，连接，过点作于，

当在线段上时，
，
，
，
，
点是线段的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
当在延长线上时，则，

是线段的中点，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的长为或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．
16．如图，在中，．P为边上一动点，作于点D，于点E，则的最小值为 ．

【答案】
【分析】连接，利用勾股定理列式求出，判断出四边形是矩形，根据矩形的对角线相等可得，再根据垂线段最短可得时，线段的值最小，然后根据直角三角形的面积公式列出方程求解即可．
【详解】解：如图，连接，

∵，
∴，
∵于点D，于点E，，
∴四边形是矩形，
∴，
由垂线段最短可得时，线段的值最小，此时线段的值最小，
此时，，
代入数据：，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出时，线段的值最小是解题的关键．
17．如图．四边形中，，，，交于点，，，则AB的长为 ．
【答案】
【分析】连接、交于点，过点作，交于点，先证明是等边三角形，垂直平分，求得，，再解三角形求出，，最后运用勾股定理求得即可．
【详解】解：如图：连接、交于点，
又∵，，
∵是等边三角形，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
又∵，
∴．
∴，
过点作，交于点，
∴，
，
，
∴，
∴．
∴在中，．
故答案为：.
【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了等边三角形的判定和性质、平行线的性质、垂直平分线、勾股定理、解直角三角形等知识点，正确作出辅助线成为解答本题的关键．
18．如图，已知，点D在上，以点B为圆心，长为半径画弧，交于点E，连接，则的度数是 度．

【答案】65
【分析】根据题意可得，再根据等腰三角形两个底角相等和三角形内角和为180°进行计算即可解答．
【详解】解：根据题意可得：，
∴，
∵，
∴．
故答案为：65．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形内角和等知识点，掌握等腰三角形的性质是解答本题的关键．
19．如图，在中，以A为圆心，长为半径作弧，交于C，D两点，分别以点C和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点P，作直线，交于点E，若，，则 ．

【答案】4
【分析】利用圆的性质得出垂直平分和，运用勾股定理便可解决问题.
【详解】解：根据题意可知，以点C和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点P，
∴垂直平分,即，
∴，
又∵在中，以A为圆心，长为半径作弧，交于C，D两点，其中，
∴，
在中，，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查圆和三角形的相关性质，掌握相关知识点是解题的关键.
20．如图，在中，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，；分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点；作射线交于点，若，，的面积为，则的面积为 ．
【答案】
【分析】过点作交的延长线于点，证明，得出，根据，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作交的延长线于点，
∴
由作图可得是的角平分线，
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴，
∵的面积为，
∴的面积为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，作角平分线，熟练掌握基本作图以及相似三角形的性质与判定是解题的关键．
21．如图，为斜边上的中线，为的中点．若，，则 ．

【答案】3
【分析】首先根据直角三角形斜边中线的性质得出，然后利用勾股定理即可得出，最后利用三角形中位线定理即可求解．
【详解】解：∵在中，为斜边上的中线，，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查直角三角形的性质，三角形中位线定理，掌握直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
22．在 Rt △ABC中, ∠ACB=90°，AC=6，BC=8，D是AB的中点，则 ．
【答案】5
【分析】先根据题意画出图形，再运用勾股定理求得AB，然后再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．
【详解】解：如图：∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8
∴
∵∠ACB=90°，D为AB的中点，
∴CD=AB=×10=5．
故答案为5．
【点睛】本题主要考查了运用勾股定理解直角三角形、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质等知识点，掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”成为解题的关键．
三、解答题
23．在中，是斜边上的高．

(1)证明：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据三角形高的定义得出，根据等角的余角相等，得出，结合公共角，即可得证；
（2）根据（1）的结论，利用相似三角形的性质即可求解．
【详解】（1）证明：∵是斜边上的高．
∴，
∴，
∴
又∵
∴，
（2）∵
∴，
又
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
24．如图，是等边的中线，以为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于，连接．求证：．

【答案】见解析
【分析】利用三线合一和等腰三角形的性质，证出，再利用等边对等角即可．
【详解】证明：为等边的中线，

，
，
，
【点睛】本题考查了等边三角形，等腰三角形的性质和判定，理解记忆相关定理是解题的关键．
25．如图，在四边形中，点E是边上一点，且，．

(1)求证：；
(2)若，时，求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由求出，然后利用证明，可得，再由等边对等角得出结论；
（2）过点E作于F，根据等腰三角形的性质和含直角三角形的性质求出和，然后利用勾股定理求出，再根据三角形面积公式计算即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，即，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：过点E作于F，
由（1）知，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴．

【点睛】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，含直角三角形的性质以及勾股定理等知识，正确寻找证明三角形全等的条件是解题的关键．
已知：如图1，在中，．
求作：的外接圆．
作法：如图2．
（1）分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点；
（2）作直线，交于点O；
（3）以O为圆心，为半径作，即为所求作的圆．

已知：如图1，在中，．
求作：的外接圆．
作法：如图2．
（1）分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点；
（2）作直线，交于点O；
（3）以O为圆心，为半径作，即为所求作的圆．