还剩41页未读，
继续阅读
所属成套资源：人教版七年级数学下册同步精讲精练(原卷版+解析)
成套系列资料，整套一键下载
初中数学人教版七年级下册5.1.1 相交线巩固练习
展开
这是一份初中数学人教版七年级下册5.1.1 相交线巩固练习，共44页。试卷主要包含了1 相 交 线等内容，欢迎下载使用。
知识点一
邻补角、对顶角的概念及其性质
◆1、邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．
◆2、对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．
◆3、邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°．
◆4、对顶角的性质：对顶角相等．
知识点二
垂线的概念、画法及其性质
◆1、概念：
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
◆2、画法
一落：让三角板的一条直角边落在已知直线上，使其与已知直线重合；
二移：沿直线移动三角板，使其另一直角边经过所给的点；
三画：沿此直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线．
◆3、性质
在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
【注意】：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”，“过一点”的点在直线上或直线外都可以．
知识点三
垂线段与点到直线的距离
◆1、垂线段：
从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．
◆2、垂线段的性质：
连接直线外一点与这条直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简单说成：垂线段最短．
【注意】正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．
◆3、点到直线的距离：
（1）点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．
（2）点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．它只能量出或求出，而不能说画出，画出的是垂线段这个图形．
知识点四
同位角、内错角、同旁内角
◆1、同位角
两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．
◆2、内错角
两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．
◆3、同旁内角
两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角．
【注意】三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．
题型一 利用基本图形识别对顶角和邻补角
【例题1】（2022秋•南岗区校级期中）如图直线AB、CD交于点O，OE为射线，那么（ ）
A．∠AOC和∠BOE是对顶角B．∠COE和∠AOD是对顶角
C．∠BOC和∠AOD是对顶角D．∠AOE和∠DOE是对顶角
【变式1-1】（2022秋•南岗区校级月考）如图中，∠1和∠2是对顶角的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-2】（2021春•荆门期末）图中∠1与∠2互为邻补角的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（2021秋•兰西县期末）如图，图中邻补角有几对（ ）
A．4对B．5对C．6对D．8对
【变式1-4】（2021春•朝阳县期末）下列说法正确的是（ ）
A.互补的两个角是邻补角；
B．相等的角必是对顶角；
C．对顶角一定相等；
D．若两个角不是对顶角，则这两个角不相等.
【变式1-5】（2022春•迁安市期末）观察下列各图，寻找对顶角（不含平角）．如图1，图中有2条直线相交，则对顶角有 对；如图2，图中有3条直线相交于一点，则对顶角有 对；如图3图中有n条直线相交于一点，则对顶角有 对．
题型二 有关对顶角和邻补角的计算
【例题2】（2021秋•桃江县期末）如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOE是直角．
（1）直接写出∠DOE的补角；
（2）直接写出∠DOE的余角；
（3）若OF平分∠AOC，且∠COF＝20°，求∠DOE的度数．
【变式2-1】（2022春•仓山区校级期末）如图，直线AC，BD相交于点O，∠AOB＝48°，则∠COD的度数是（ ）
A．42°B．48°C．96°D．132°
【变式2-2】（2022春•交城县期中）如图，直线AB，CD相交于点O，并且∠AOD＝3∠AOC，则∠AOD的度数为 ．
【变式2-3】（2021秋•凤庆县期末）如图，直线AC和直线BD相交于点O，OE平分∠BOC，若∠1+∠2＝80°，求∠3的度数．
【变式2-4】（2022•西华县三模）如图，直线AB，CD相交于点O，已知∠BOE＝15°，∠AOD＝2∠DOE，则∠DOB的度数为 ．
【变式2-5】（2022春•夏邑县期中）如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOC﹣2∠AOE＝20°，射线OF平分∠DOE，若∠BOD＝60°，求∠AOF的度数．
【变式2-6】（2021秋•连城县期末）如图，直线AB与CD相交于点E，射线EG在∠AEC内（如图1）．
（1）若∠BEC的补角是它的余角的3倍，求∠BEC的角度；
（2）若射线EF平分∠AED，∠FEG＝105°（如图2），求∠AEG﹣∠CEG的值．
题型三 有关垂线的综合应用
【例题3】（2022春•天府新区月考）如图，点O在直线BD上，已知∠1＝20°，OC⊥OA，则∠DOC的度数为（ ）
A．20°B．70°C．110°D．90°
【变式3-1】（2021秋•北林区期末）如图，∠PQR＝132°，SQ⊥QR，QT⊥PQ，则∠SQT＝（ ）
A．48°B．32°C．24°D．66°
【变式3-2】（2022春•潼南区期末）如图，直线AB与CD相交于点E，EF⊥AB，垂足为E，∠CEA＝60°，则∠DEF的度数为（ ）
A．100°B．120°C．150°D．160°
【变式3-3】（2022春•云阳县校级月考）如图，直线AB、EF相交于点O，CD⊥AB于点O，∠EOD＝128°，则∠BOF的度数为 ．
【变式3-4】（2022春•元宝区校级期末）在同一平面内，若∠A与∠B的两边分别垂直，且∠A比∠B的3倍少20°，则∠A的度数为（ ）
A．10°B．50°C．10°或130°D．10°或50°
【变式3-5】（2022春•西安月考）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOC，OF⊥CD．若∠BOD：∠BOE＝1：4，求∠AOF的度数．
【变式3-6】（2021秋•梁河县期末）如图，已知直线AB、CD相交于点O，射线OD平分∠BOF，OE⊥CD于点O，∠AOC＝35°．
（1）求∠EOF的度数；
（2）试判断射线OE是否平分∠AOF，并说明理由．
题型四 垂线段最短的实际应用
【例题4】（2022春•青龙县期末）如图，某地进行城市规划，在一条新修公路旁有一超市，现要建一个汽车站，且有A、B、C、D四个地点可供选择．若要使超市距离汽车站最近，则汽车站应建在（ ）
点A处B．点B处C．点C处D．点D处
【变式4-1】（2021秋•朝阳区期末）如图，某同学在体育课上跳远后留下的脚印，在图中画出了他的跳远距离，能正确解释这一现象的数学知识是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．垂线段最短
C．两点确定一条直线
D．经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【变式4-2】（2022•兴宁区校级开学）如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是（ ）
A．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
B．垂线段最短
C．两点之间，线段最短
D．两点确定一条直线
【变式4-3】（2022•馆陶县二模）如图，生活中，有以下两个现象，对于这两个现象的解释，正确的是（ ）
A.两个现象均可用两点之间线段最短来解释；
B．现象1用垂线段最短来解释，现象2用经过两点有且只有一条直线来解释；
C．现象1用垂线段最短来解释，现象2用两点之间线段最短来解释；
D．现象1用经过两点有且只有一条直线来解释，现象2用垂线段最短来解释．
【变式4-4】如图，点P，点Q分别代表两个村庄，直线l代表两个村庄中间的一条公路．根据居民出行的需要，计划在公路l上的某处设置一个公交站．
（1）若考虑到村庄P居住的老年人较多，计划建一个离村庄P最近的车站，请在公路l上画出车站的位置（用点M表示），依据是 ；
（2）若考虑到修路的费用问题，希望车站的位置到村庄P和村庄Q的距离之和最小，请在公路l上画出车站的位置（用点N表示），依据是 ．
【变式4-5】（2021秋•缙云县期末）已知点直线BC及直线外一点A（如图），按要求完成下列问题：
（1）画出射线CA，线段AB．过C点画CD⊥AB，垂足为点D；
（2）比较线段CD和线段CA的大小，并说明理由；
（3）在以上的图中，互余的角为 ，互补的角为 ．（各写出一对即可）
题型五 点到直线的距离
【例题5】（2022春•逊克县期末）如图，线段AB外有一点P过点P作PE⊥AB垂足为E，连接PA、PB，PA＝8cm，PB＝6cm，PE＝4.5cm，若M是线段AB上任意一点，则P到M的最短距离为（ ）
A．8cmB．6cmC．4.5cmD．无法确定
【变式5-1】（2022秋•道里区校级月考）如图，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足是点D，则下列说法正确的是（ ）
A．线段AC的长表示点C到AB的距离
B．线段CD的长表示点A到CD的距离
C．线段BC的长表示点B到AC的距离
D．线段BD的长表示点C到DB的距离
【变式5-2】（2022春•渠县校级期中）下列说法中正确的个数有（ ）
①两点之间的所有连线中，线段最短；
②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
③平行于同一直线的两条直线互相平行；
④直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离．
A．4个B．3个C．2个D．1个
【变式5-3】（2022春•九龙坡区校级期中）点P为直线l外一点，点A为直线l上一点，PA＝4cm，设点P到直线l的距离是d cm，则（ ）
d＞4B．d≥4C．d＜4D．d≤4
【变式5-4】（2022春•巨野县期中）直线l上有A、B、C三点，直线l外有一点P，若PA=2cm,PB=4cm,PC=3cm,那么P点到直线l的距离是（ ）
A．等于2cm B．小于2cm C．不大于2cm D．大于2cm且小于3cm
【变式5-5】（2021春•珠海校级期中）如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°．
（1）画出点C到AB的最短路径CD；
（2）请指出B到AC的距离是线段 的长度．
【变式5-6】（2022春•平桥区校级月考）如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，BC＝4cm，AC＝3cm，AB＝5cm．
（1）点B到AC的距离是 cm；点A到BC的距是 cm．
（2）画出表示点C到AB的距离的线段，并求这个距离．
题型六 同位角、内错角、同旁内角的识别
【例题6】（2022春•丛台区校级期末）同学们可仿照图用双手表示“三线八角”图形（两大拇指代表被截直线，食指代表截线）．下面三幅图依次表示（ ）
A．同位角、同旁内角、内错角
B．同位角、内错角、同旁内角
C．同位角、对顶角、同旁内角
D．同位角、内错角、对顶角
【变式6-1】（2022春•八步区期末）如图，下列说法中，错误的是（ ）
A．∠1和∠4是内错角
B．∠4和∠5是同旁内角
C．∠2和∠4是对顶角
D．∠3和∠5是同位角
【变式6-2】（2021春•渠县期末）如图，下列结论：①∠2与∠3是内错角；②∠1与∠A是同位角；③∠A与∠B是同旁内角；④∠B与∠ACB不是同旁内角，其中正确的是 ．（只填序号）
【变式6-3】（2022春•赵县月考）如图所示，直线AB与BC被直线AD所截得的内错角是 ；直线DE与AC被直线AD所截得的内错角是 ；图中∠4的内错角是 ．
【变式6-4】（2022春•杨浦区校级期中）如图：与∠FDB成内错角的是 ；与∠DFB成同旁内角的是 ．
【变式6-5】如图所示，BF、DE相交于点A，BG交BF于点B，交AC于点C．
（1）指出ED、BC被BF所截的同位角，内错角，同旁内角；
（2）指出ED、BC被AC所截的内错角，同旁内角；
（3）指出FB、BC被AC所截的内错角，同旁内角．
【变式6-6】（2021春•莘县期末）两条直线被第三条直线所截，∠1是∠2的同旁内角，∠2是∠3的内错角．
（1）画出示意图，标出∠1，∠2，∠3；
（2）若∠1＝2∠2，∠2＝2∠3，求∠1，∠2，∠3的度数．
解题技巧提炼
分析图形特征，根据对顶角的定义，首先判断是否由两条直线相交形成，其次再判断两个角的两边是否互为反向延长线.
解题技巧提炼
准确识别图形，理清图中各角度之间的关系是解题的关键，再综合角平分线的定义、对顶角的性质及邻补角的定义求解.
解题技巧提炼
结合垂直的条件确定已知角和未知角之间的关系，再结合角平分线、对顶角、邻补角等定义计算.
解题技巧提炼
抽象成利用“垂线段最短”和“两点之间，线段最短”求解的模型，再借助垂线段的性质和线段的性质求解.
解题技巧提炼
分析图形特征，结合已知条件利用点到直线的距离的定义:直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离得出答案.
解题技巧提炼
本题运用了定义法，识别同位角、内错角、同旁内角，其关键是看两个角所涉及的直线是否只有三条，并且有没有一条边在同一直线（截线）上，如果没有，就不是；如果有，再根据角的位置特征判断.
七年级下册数学《第五章 相交线与平行线》
5.1 相 交 线
知识点一
邻补角、对顶角的概念及其性质
◆1、邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．
◆2、对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．
◆3、邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°．
◆4、对顶角的性质：对顶角相等．
知识点二
垂线的概念、画法及其性质
◆1、概念：
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
◆2、画法
一落：让三角板的一条直角边落在已知直线上，使其与已知直线重合；
二移：沿直线移动三角板，使其另一直角边经过所给的点；
三画：沿此直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线．
◆3、性质
在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
【注意】：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”，“过一点”的点在直线上或直线外都可以．
知识点三
垂线段与点到直线的距离
◆1、垂线段：
从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．
◆2、垂线段的性质：
连接直线外一点与这条直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简单说成：垂线段最短．
【注意】正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．
◆3、点到直线的距离：
（1）点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．
（2）点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．它只能量出或求出，而不能说画出，画出的是垂线段这个图形．
知识点四
同位角、内错角、同旁内角
◆1、同位角
两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．
◆2、内错角
两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．
◆3、同旁内角
两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角．
【注意】三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．
题型一 利用基本图形识别对顶角和邻补角
【例题1】（2022秋•南岗区校级期中）如图直线AB、CD交于点O，OE为射线，那么（ ）
A．∠AOC和∠BOE是对顶角B．∠COE和∠AOD是对顶角
C．∠BOC和∠AOD是对顶角D．∠AOE和∠DOE是对顶角
【分析】根据对顶角的定义可解此题．
【解答】解：∵OE⊥AB于点O，
∴∠AOE＝90°，
∵OC平分∠AOE，
∴∠AOC＝∠COE，
∵∠BOD与∠AOC是对顶角且相等，
故选：C．
【点评】本题考查了对顶角的定义，熟记概念，准确识图求出各角的度数是解题的关键．
【变式1-1】（2022秋•南岗区校级月考）如图中，∠1和∠2是对顶角的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据对顶角的定义进行判断即可．
【解答】解：由对顶角的定义可知，
图中的∠1与∠2是对顶角，
故选：B．
【点评】本题考查对顶角，理解对顶角的定义是正确判断的前提．
【变式1-2】（2021春•荆门期末）图中∠1与∠2互为邻补角的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用邻补角定义进行解答即可．
【解答】解：A、∠1与∠2对顶角，故此选项不合题意；
B、∠1与∠2是邻补角，故此选项符合题意；
C、∠1与∠2不是邻补角，故此选项不合题意；
D、∠1与∠2是内错角，故此选项不合题意；
故选：B．
【点评】此题主要考查了邻补角，关键是掌握只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．
【变式1-3】（2021秋•兰西县期末）如图，图中邻补角有几对（ ）
A．4对B．5对C．6对D．8对
【分析】根据邻补角的概念判断即可．
【解答】解：∠1与∠2是邻补角，∠1与∠4是邻补角，∠3与∠2是邻补角，∠3与∠4是邻补角，∠5与∠6是邻补角，∠5与∠8是邻补角，∠6与∠7是邻补角，∠7与∠8是邻补角共8对，
故选：D．
【点评】本题考查的是邻补角的概念，只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．
【变式1-4】（2021春•朝阳县期末）下列说法正确的是（ ）
A.互补的两个角是邻补角；
B．相等的角必是对顶角；
C．对顶角一定相等；
D．若两个角不是对顶角，则这两个角不相等.
【分析】根据邻补角以及对顶角的定义解决此题．
【解答】解：A．有一条边是公共边，另一边互为反向延长线的两个角是邻补角，故A不符合题意．
B．对顶角指角的两边互为反向的延长线的两个角，相等的角不一定是对顶角，故B不符合题意．
C．根据对顶角的性质，得对顶角一定相等，故C符合题意．
D．等腰三角形的底角相等，但两个底角不是对顶角，故D不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查邻补角以及对顶角，熟练掌握邻补角以及对顶角的定义是解决本题的关键．
【变式1-5】（2022春•迁安市期末）观察下列各图，寻找对顶角（不含平角）．如图1，图中有2条直线相交，则对顶角有 对；如图2，图中有3条直线相交于一点，则对顶角有 对；如图3图中有n条直线相交于一点，则对顶角有 对．
【分析】先将图①②③中的对顶角对数求出来，观察规律即可求解．
【解答】解：当2条直线相交于一点时对顶角有1×2=2对，
当3条直线相交于一点时对顶角有2×3=6对，
当4条直线相交于一点时对顶角有3×4=12对，
∴对顶角对数与直线条数的关系为：
对顶角对数=（直线条数-1）×直线条数，
∴当n条直线相交于一点时对顶角有（n﹣1）n=n2﹣n（对），
故答案为：2；6；n2﹣n.
【点评】本题考查对顶角的相关知识点，解题的关键是得出对顶角对数与直线条数的关系为：对顶角对数=（直线条数-1）×直线条数．
题型二 利用基本图形识别对顶角和邻补角
【例题2】（2021秋•桃江县期末）如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOE是直角．
（1）直接写出∠DOE的补角；
（2）直接写出∠DOE的余角；
（3）若OF平分∠AOC，且∠COF＝20°，求∠DOE的度数．
【分析】（1）根据互补的定义确定∠DOE的补角；
（2）根据互余的定义确定∠DOE的余角；
（3）运用平角的定义和角平分线的定义得∠DOE的度数．
【解答】解：（1）∠DOE的补角是：∠EOC．
（2）∠DOE的余角是：∠DOB，∠AOC．
（3）因为OF平分∠AOC，所以∠AOC＝2∠COF＝40°，
又因为∠AOE＝90°，
所以∠DOE＝180°﹣（∠AOE+∠AOC）＝180°﹣（90°+40°）＝50°．
【点评】本题考查了角平分线、补角、余角的定义以及角的计算，属于基础题型，比较简单．
【变式2-1】（2022春•仓山区校级期末）如图，直线AC，BD相交于点O，∠AOB＝48°，则∠COD的度数是（ ）
A．42°B．48°C．96°D．132°
【分析】根据对顶角相等解答即可．
【解答】解：∵∠AOB和∠COD是对顶角，
∴∠AOB＝∠COD，
∵∠AOB＝48°，
∴∠COD＝48°．
故选：B．
【点评】本题考查了对顶角的性质，对顶角的性质：对顶角相等．邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的．
【变式2-2】（2022春•交城县期中）如图，直线AB，CD相交于点O，并且∠AOD＝3∠AOC，则∠AOD的度数为 ．
【分析】根据邻补角的定义解决此题．
【解答】解：∵∠AOD＝3∠AOC，
∴∠AOC+∠AOD＝4∠AOC＝180°．
∴∠AOC＝45°．
∴∠AOD＝3∠AOC＝135°．
故答案为：135°．
【点评】本题主要考查邻补角，熟练掌握邻补角的定义是解决本题的关键．
【变式2-3】（2021秋•凤庆县期末）如图，直线AC和直线BD相交于点O，OE平分∠BOC，若∠1+∠2＝80°，求∠3的度数．
【分析】由∠1+∠2＝80°，∠1＝∠2可求∠2，于是得出∠BOC的度数，再由OE平分∠BOC，即可求出∠3．
【解答】解：∵∠1+∠2＝80°，∠1＝∠2，
∴∠2＝40°，
∴∠BOC＝180°﹣∠2＝140°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠3=12∠BOC＝70°
【点评】本题考查角的计算，关键是掌握对顶角，邻补角的性质，角平分线的定义．
【变式2-4】（2022•西华县三模）如图，直线AB，CD相交于点O，已知∠BOE＝15°，∠AOD＝2∠DOE，则∠DOB的度数为 ．
【分析】设∠DOB＝x，根据邻补角的概念得到∠AOD＝180°﹣x，根据题意列出方程，解方程得到答案．
【解答】解：设∠DOB＝x，
则∠AOD＝180°﹣x，
由题意得：180°﹣x＝2（x+15°），
解得：x＝50°，
∴∠DOB＝50°，
故答案为：50°．
【点评】本题考查的是对顶角、邻补角的概念，熟记邻补角之和为180°是解题的关键．
【变式2-5】（2022春•夏邑县期中）如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOC﹣2∠AOE＝20°，射线OF平分∠DOE，若∠BOD＝60°，求∠AOF的度数．
【分析】根据对顶角、邻补角、角平分线的定义解决此题．
【解答】解：∵∠AOC与∠BOD是对顶角，
∴∠AOC＝∠BOD＝60°．
∴∠AOD＝180°﹣∠AOC＝120°．
∵∠AOC﹣2∠AOE＝20°，
∴∠AOE＝20°．
∴∠DOE＝∠AOD﹣∠AOE＝100°．
∵射线OF平分∠DOE，
∴∠DOF=12∠DOE=50°．
∴∠AOF＝∠AOD﹣∠DOF＝120°﹣50°＝70°．
【点评】本题主要考查对顶角、邻补角、角平分线的定义，熟练掌握对顶角、邻补角、角平分线的定义是解决本题的关键．
【变式2-6】（2021秋•连城县期末）如图，直线AB与CD相交于点E，射线EG在∠AEC内（如图1）．
（1）若∠BEC的补角是它的余角的3倍，求∠BEC的角度；
（2）若射线EF平分∠AED，∠FEG＝105°（如图2），求∠AEG﹣∠CEG的值．
【分析】（1）设∠BEC的度数为x，根据∠BEC的补角是它的余角的3倍列方程解方程可得；
（2）根据角平分线的定义得：∠AEF＝∠DEF，根据∠FEG＝105°，得∠AEG＝105°﹣∠AEF，根据平角的定义可得∠CEG＝180°﹣105°﹣∠DEF，最后可得结论．
【解答】解：（1）设∠BEC的度数为x，
则180﹣x＝3（90﹣x），
解得：x＝45°，
∴∠BEC＝45°，
（2）∵射线EF平分∠AED，
∴∠AEF＝∠DEF，
∵∠FEG＝105°．
∴∠AEG+∠AEF＝105°，
∵∠CEG＝180°+105°＝∠DEF＝75°+∠DEF，
∴∠AEG﹣∠CEG＝105°﹣∠AEF＝（75°﹣∠DEF）＝30°．
【点评】本题考查了对顶角、邻补角，角平分线的定义，此类题目熟记概念并准确识图是解题的关键．
题型三 有关垂线的综合应用
【例题3】（2022春•天府新区月考）如图，点O在直线BD上，已知∠1＝20°，OC⊥OA，则∠DOC的度数为（ ）
A．20°B．70°C．110°D．90°
【分析】利用∠1与∠BOC互余求出∠BOC，利用∠DOC与∠BOC互补求出∠DOC．
【解答】解：∵OC⊥OA，∠1＝20°，
∴∠BOC＝90°﹣∠1＝90°﹣20°＝70°，
∴∠DOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣70°＝110°，
故选：C．
【点评】本题考查垂直的定义，得出∠1与∠BOC互余，∠DOC与∠BOC互补是解题的关键．
【变式3-1】（2021秋•北林区期末）如图，∠PQR＝132°，SQ⊥QR，QT⊥PQ，则∠SQT＝（ ）
A．48°B．32°C．24°D．66°
【分析】利用垂直的概念，得出∠PQS＝∠PQR°﹣90°，再利用互余的性质，得出∠SQT＝∠PQT﹣∠PQS．
【解答】解：∵，∠PQR＝132°，QT⊥PQ，
∴∠PQS＝132°﹣90°＝42°，
又∵SQ⊥QR，
∴∠PQT＝90°，
∴∠SQT＝∠PQT﹣∠PQS，
＝90°﹣42°，
＝48°．
故选：A．
【点评】本题考查了角的计算，掌握余角的和等于90°是关键．
【变式3-2】（2022春•潼南区期末）如图，直线AB与CD相交于点E，EF⊥AB，垂足为E，∠CEA＝60°，则∠DEF的度数为（ ）
A．100°B．120°C．150°D．160°
【分析】根据对顶角相等得出∠DEB，根据垂直的定义求出∠FEB，相加可得结果．
【解答】解：∵∠CEA＝60°，
∴∠BED＝60°，
∵EF⊥AB，
∴∠FEB＝90°，
∴∠DEF＝∠DEB+∠FEB＝60°+90°＝150°，
故选：C．
【点评】本题考查了对顶角相等，垂直的定义，解题的关键是根据对顶角相等求出∠DEB．
【变式3-3】（2022春•云阳县校级月考）如图，直线AB、EF相交于点O，CD⊥AB于点O，∠EOD＝128°，则∠BOF的度数为 ．
【分析】由平角的定义可知∠EOD+∠EOC＝180°，从而可求得∠EOC的度数，根据对顶角相等得∠DOF＝∠EOC＝52°，然后由垂线的定义可知∠DOB＝90°，从而求得∠BOF的度数．
【解答】解：∵∠EOD+∠EOC＝180°，
∴∠EOC＝180°﹣128°＝52°，
∴∠DOF＝∠EOC＝52°，
∵CD⊥AB，
∴∠DOB＝90°，
∴∠BOF＝90°﹣52°＝38°，
故答案为：38°．
【点评】本题主要考查的是邻补角的性质、对顶角的性质和垂线的定义，求得∠DOF的度数是解题的关键．
【变式3-4】（2022春•元宝区校级期末）在同一平面内，若∠A与∠B的两边分别垂直，且∠A比∠B的3倍少20°，则∠A的度数为（ ）
A．10°B．50°C．10°或130°D．10°或50°
【分析】因为两个角的两边分别垂直，则这两个角相等或互补，可设∠B是x度，利用方程即可解决问题．
【解答】解：设∠B是x度，根据题意，得
①两个角相等时，如图1：
∠B＝∠A＝x，
x＝3x﹣20，
解得x＝10，
故∠A＝10°，
②两个角互补时，如图2：
x+3x﹣20＝180，
所以x＝50，
3×50°﹣20°＝130°
故∠A的度数为：10°或130°．
故选：C．
【点评】此题主要考查了垂线，本题需仔细分析题意，利用方程即可解决问题．
【变式3-5】（2022春•西安月考）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOC，OF⊥CD．若∠BOD：∠BOE＝1：4，求∠AOF的度数．
【分析】由∠BOD：∠BOE＝1：4，列出关于∠BOD的方程，即可求出∠BOD的度数，根据对顶角相等可得∠AOC的度数，再根据余角的定义，可得答案．
【解答】解：设∠BOD＝x°，则∠BOE＝4x°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOC＝2∠BOE＝8x°，
∵∠BOD+∠BOC＝180°，
∴x+8x＝180，
∴x＝20，
∴∠AOC＝∠BOD＝x°＝20°，
∵OF⊥CD，
∴∠COF＝90°，
∴∠AOF＝90°﹣∠AOC＝70°．
【点评】本题考查了垂线的定义、角平分线的定义、对顶角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握角平分线的定义，垂线的定义，对顶角的性质．
【变式3-6】（2021秋•梁河县期末）如图，已知直线AB、CD相交于点O，射线OD平分∠BOF，OE⊥CD于点O，∠AOC＝35°．
（1）求∠EOF的度数；
（2）试判断射线OE是否平分∠AOF，并说明理由．
【分析】（1）利用对顶角相等，角平分线的定义，垂线的性质求解即可．
（2）OE平分∠AOF．分别求出∠AOE，∠EOF即可判断．
【解答】解：（1）∵OD平分∠BOF，
∴∠BOD＝∠DOF，
∵∠BOD＝∠AOC＝35°，
∴∠DOF＝35°，
∵EO⊥CD，
∴∠EOD＝90°，
∴∠EOF＝90°﹣∠DOF＝55°．
（2）OE平分∠AOF．理由如下：
∵∠AOB＝180°，∠EOD＝90°，
∴∠AOE+∠BOD＝90°，
∵∠BOD＝35°，
∴∠AOE＝55°，
∵∠EOF＝55°，
∴∠AOE＝∠EOF，
∴OE平分∠AOF．
【点评】本题考查垂线，角平分线的定义，对顶角等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
题型四 垂线段最短的实际应用
【例题4】（2022春•青龙县期末）如图，某地进行城市规划，在一条新修公路旁有一超市，现要建一个汽车站，且有A、B、C、D四个地点可供选择．若要使超市距离汽车站最近，则汽车站应建在（ ）
A．点A处B．点B处C．点C处D．点D处
【分析】根据垂线段最短得出即可．
【解答】解：建在点C处，根据垂线段最短，
故选：C．
【点评】本题考查了垂线段最短，熟练掌握垂线段最短的知识点是解此题的关键．
【变式4-1】（2021秋•朝阳区期末）如图，某同学在体育课上跳远后留下的脚印，在图中画出了他的跳远距离，能正确解释这一现象的数学知识是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．垂线段最短
C．两点确定一条直线
D．经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【分析】由点到直线的距离的定义及跳远比赛的规则作出分析和判断．
【解答】解：如图，某同学在体育课上跳远后留下的脚印，在图中画出了他的跳远距离，能正确解释这一现象的数学知识是垂线段最短．
故选：B．
【点评】本题考查了垂线段最短性质的运用，解答此题的关键是熟练掌握由点到直线的距离的定义及跳远比赛的规则．
【变式4-2】（2022•兴宁区校级开学）如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是（ ）
A．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
B．垂线段最短
C．两点之间，线段最短
D．两点确定一条直线
【分析】由垂线的性质，可选择．
【解答】解：A、垂线的一条性质，故A不符合题意；
B、直线外一点到这条直线上各点的连线中，垂线段最短，故B符合题意；
C、连接两点的所有线中，线段最短，故C不符合题意；
D、两点确定一条直线，是直线的性质，故D不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查垂线 的性质，关键是掌握垂线的两条性质，明白垂线段最短．
【变式4-3】（2022•馆陶县二模）如图，生活中，有以下两个现象，对于这两个现象的解释，正确的是（ ）
A.两个现象均可用两点之间线段最短来解释；
B．现象1用垂线段最短来解释，现象2用经过两点有且只有一条直线来解释；
C．现象1用垂线段最短来解释，现象2用两点之间线段最短来解释；
D．现象1用经过两点有且只有一条直线来解释，现象2用垂线段最短来解释．
【分析】分别根据垂线段的性质以及两点之间线段最短的性质判断即可．
【解答】解：现象1用垂线段最短来解释，现象2用两点之间线段最短来解释，
故选：C．
【点评】本题考查了线段的性质以及直线的性质，熟记性质公理是解题的关键．
【变式4-4】如图，点P，点Q分别代表两个村庄，直线l代表两个村庄中间的一条公路．根据居民出行的需要，计划在公路l上的某处设置一个公交站．
（1）若考虑到村庄P居住的老年人较多，计划建一个离村庄P最近的车站，请在公路l上画出车站的位置（用点M表示），依据是 ；
（2）若考虑到修路的费用问题，希望车站的位置到村庄P和村庄Q的距离之和最小，请在公路l上画出车站的位置（用点N表示），依据是 ．
【分析】（1）直接利用点到直线的距离的定义得出答案；
（2）利用线段的性质得出答案．
【解答】解：（1）如图，点M即为所示．依据是直线外一点与直线上各点连接的所有线段中垂线段最短
（2）如图，点N即为所示．依据是两点之间线段最短；
故答案为：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中垂线段最短；两点之间线段最短．
【点评】此题主要考查了应用设计与作图，正确理解线段的性质是解题关键．
【变式4-5】（2021秋•缙云县期末）已知点直线BC及直线外一点A（如图），按要求完成下列问题：
（1）画出射线CA，线段AB．过C点画CD⊥AB，垂足为点D；
（2）比较线段CD和线段CA的大小，并说明理由；
（3）在以上的图中，互余的角为 ，互补的角为 ．（各写出一对即可）
【分析】（1）根据垂线的定义，线段，射线的定义作图即可；
（2）根据垂线段最短即可求解；
（3）由互余、互补的定义解题即可．
【解答】解：（1）如图：
（2）∵CD⊥AD，
∴CA＞CD；
（3）∵∠DAC+∠DCA＝90°，
∴∠DAC与∠DCA互余，
∵∠ADC+∠BDC＝90°+90°＝180°，
∴∠ADC与∠BDC互补，
故答案为：∠DAC、∠DCA；∠ADC、∠BDC．
【点评】本题考查垂线段最短，两个角的互余、互补，熟练掌握垂线段最短，两个角的互余、互补的定义，会作图线段、射线、垂线段是解题的关键．
题型五 点到直线的距离
【例题5】（2022春•逊克县期末）如图，线段AB外有一点P过点P作PE⊥AB垂足为E，连接PA、PB，PA＝8cm，PB＝6cm，PE＝4.5cm，若M是线段AB上任意一点，则P到M的最短距离为（ ）
A．8cmB．6cmC．4.5cmD．无法确定
【分析】根据垂线段最短得出即可．
【解答】解：根据垂线段最短，则P到M的最短距离为不小于4.5cm，
故选：C．
【点评】本题考查了垂线段最短，熟练掌握垂线段最短的知识点是解此题的关键．
【变式5-1】（2022秋•道里区校级月考）如图，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足是点D，则下列说法正确的是（ ）
A．线段AC的长表示点C到AB的距离
B．线段CD的长表示点A到CD的距离
C．线段BC的长表示点B到AC的距离
D．线段BD的长表示点C到DB的距离
【分析】根据点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离判断即可得到答案．
【解答】解：A、线段AC的长是点A到BC的距离，错误正确，不合题意；
B、线段CD的长是点C到AB的距离，错误，不合题意；
C、线段BC的长是点B到AC的距离，正确，符合题意；
D、线段BD的长是点B到CD的距离，错误，不合题意；
故选：C．
【点评】此题考查的是点到直线的距离，掌握其概念是解决此题的关键．
【变式5-2】（2022春•渠县校级期中）下列说法中正确的个数有（ ）
①两点之间的所有连线中，线段最短；
②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
③平行于同一直线的两条直线互相平行；
④直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离．
A．4个B．3个C．2个D．1个
【分析】根据直线的性质，两点间的距离的定义，线段的性质以及直线的表示对各小题分析判断即可得解．
【解答】解：①两点之间的所有连线中，线段最短，正确；
②过平面上的一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故本命题错误；
③平行于同一直线的两条直线互相平行，正确；
④直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，故本命题错误；
综上所述，正确的有①，③共2个．
故选：C．
【点评】本题考查了直线、线段的性质，点到直线的距离，两点间的距离的定义，是基础题，熟记性质与概念是解题的关键．
【变式5-3】（2022春•九龙坡区校级期中）点P为直线l外一点，点A为直线l上一点，PA＝4cm，设点P到直线l的距离是d cm，则（ ）
A．d＞4B．d≥4C．d＜4D．d≤4
【分析】根据点到直线的距离垂线段最短进行求解即可．
【解答】解：∵点P到直线l的距离是d cm，点到直线的距离是垂线段的长度，垂线段最短PA＝4cm
∴d≤4，
故选：D．
【点评】本题主要考查了点到直线的距离，垂线段最短，熟知垂线段最短是解题的关键．
【变式5-4】（2022春•巨野县期中）直线l上有A、B、C三点，直线l外有一点P，若PA=2cm,PB=4cm,PC=3cm,那么P点到直线l的距离是（ ）
A．等于2cm B．小于2cm C．不大于2cm D．大于2cm且小于3cm
【分析】根据点到直线的距离的定义和垂线段最短的性质解答．
【解答】解：∵PA=2cm,PB=4cm,PC=3cm,
∴P点到直线l的距离不大于2cm.
故选：C．
【点评】本题考查了点到直线的距离以及垂线段性质，熟记概念与性质是解题的关键．
【变式5-5】（2021春•珠海校级期中）如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°．
（1）画出点C到AB的最短路径CD；
（2）请指出B到AC的距离是线段 的长度．
【分析】根据点到直线的距离垂线段最短，即可得出答案．
【解答】解：（1）根据题意，如图所示，
（2）B到AC的距离是线段BC的长度，
故答案为：BC．
【点评】本题主要考查点到直线的距离，已知点到直线的距离垂线段最短是解题的关键．
【变式5-6】（2022春•平桥区校级月考）如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，BC＝4cm，AC＝3cm，AB＝5cm．
（1）点B到AC的距离是 cm；点A到BC的距是 cm．
（2）画出表示点C到AB的距离的线段，并求这个距离．
【分析】（1）根据点到直线的距离的定义求．
（2）先画垂线段，再计算距离．
【解答】解：（1）∵∠C＝90°，BC＝4cm，AC＝3cm，
∴点B到AC的距离是线段BC的长度，点A到BC的距是线段AC的长度．
故答案为：4，3．
（2）如图：
作CD⊥AB于点D，则线段CD的长度就是点C到AB的距离．
∵S△ABC=12BC•AC=12AB•CD．
∴CD=BC⋅ACAB=125（cm）．
【点评】本题考查点到直线的距离，找到点到直线的距离是求解本题的关键．
题型六 同位角、内错角、同旁内角的识别
【例题6】（2022春•丛台区校级期末）同学们可仿照图用双手表示“三线八角”图形（两大拇指代表被截直线，食指代表截线）．下面三幅图依次表示（ ）
A．同位角、同旁内角、内错角
B．同位角、内错角、同旁内角
C．同位角、对顶角、同旁内角
D．同位角、内错角、对顶角
【分析】两条线a、b被第三条直线c所截，在截线的同旁，被截两直线的同一方，把这种位置关系的角称
为同位角；两个角分别在截线的异侧，且夹在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为内错角；两
个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角．据此作答即可．
【解答】解：根据同位角、内错角、同旁内角的概念，可知第一个图是同位角，第二个图是内错角，第三
个图是同旁内角．
故选：B．
【点评】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，解题的关键是掌握同位角、内错角、同旁内角，并能区
别它们．
【变式6-1】（2022春•八步区期末）如图，下列说法中，错误的是（ ）
A．∠1和∠4是内错角
B．∠4和∠5是同旁内角
C．∠2和∠4是对顶角
D．∠3和∠5是同位角
【分析】根据同位角、同旁内角、内错角的定义判断即可．
【解答】解：A、∠1和∠4不是内错角，原说法错误，故此选项符合题意；
B、∠4和∠5是同旁内角，原说法正确，故此选项不符合题意；
C、∠2和∠4是对顶角，原说法正确，故此选项不符合题意；
D、∠3和∠5是同位角，原说法正确，故此选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了同位角、内错角及同旁内角的知识，正确且熟练掌握同位角、同旁内角、内错角的定
义和形状是解题的关键．
【变式6-2】（2021春•渠县期末）如图，下列结论：①∠2与∠3是内错角；②∠1与∠A是同位角；③∠A与∠B是同旁内角；④∠B与∠ACB不是同旁内角，其中正确的是 ．（只填序号）
【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的意义，结合图形逐个判断即可．
【解答】解：如图：
∠2与∠3是直线AB、直线BC，被直线CD所截的一对内错角，因此①正确；
∠1与∠A是直线CD、直线AC，被直线AB所截的一对同位角，因此②正确；
∠A与∠B是直线AC、直线BC，被直线AB所截的一对同旁内角，因此③正确；
∠B与∠ACB是直线AB、直线AC，被直线BC所截的一对同旁内角，因此④不正确．
故答案为：①②③．
【点评】本题考查同位角、内错角、同旁内角的意义，理清哪两条直线被第三条直线所截，形成的角进行判断是关键．
【变式6-3】（2022春•赵县月考）如图所示，直线AB与BC被直线AD所截得的内错角是 ；直线DE与AC被直线AD所截得的内错角是 ；图中∠4的内错角是 ．
【分析】根据内错角的定义找出即可．
【解答】解：直线AB与BC被直线AD所截得的内错角是∠1和∠3，
直线DE与AC被直线AD所截得的内错角是∠2和∠4，
图中∠4的内错角是∠2和∠BED，
故答案为：∠1和∠3，∠2和∠4，∠2和∠BED．
【点评】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的定义等知识点，能正确识图是解此题的关键．
【变式6-4】（2022春•杨浦区校级期中）如图：与∠FDB成内错角的是 ；与∠DFB成同旁内角的是 ．
【分析】准确识别内错角、同旁内角的关键，是弄清哪两条直线被哪一条线所截．也就是说，在辨别这些角之前，要弄清哪一条直线是截线，哪两条直线是被截线．
【解答】解：如图，与∠FDB成内错角的是∠EFD、∠AFD和∠CBD，与∠DFB成同旁内角的是：∠DBF、∠CDF、∠BDF和∠CBF．
故答案分别是：∠EFD、∠AFD和∠CBD，∠DBF、∠CDF、∠BDF和∠CBF．
【点评】本题考查了同位角、内错角、同旁内角．在复杂的图形中识别同位角、内错角、同旁内角时，应当沿着角的边将图形补全，或者把多余的线暂时略去，找到三线八角的基本图形，进而确定这两个角的位置关系．
【变式6-5】如图所示，BF、DE相交于点A，BG交BF于点B，交AC于点C．
（1）指出ED、BC被BF所截的同位角，内错角，同旁内角；
（2）指出ED、BC被AC所截的内错角，同旁内角；
（3）指出FB、BC被AC所截的内错角，同旁内角．
【分析】根据同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三
条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．
内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）
的两旁，则这样一对角叫做内错角．
同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截
线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角．进行解答．
【解答】解：（1）同位角：∠FAE和∠B；
内错角：∠B和∠DAB；
同旁内角：∠EAB和∠B；
内错角：∠EAC和∠BCA，∠DAC和∠ACG；
同旁内角：∠EAC和∠ACG，∠DAC和∠BCA；
（3）内错角：∠BAC和∠ACG，∠FAC和∠BCA；
同旁内角：∠BAC和∠BCA，∠FAC和∠ACG．
【点评】此题主要考查了三线八角，关键是掌握同位角的边构成“F”形，内错角的边构成“Z”形，同旁内角
的边构成“U”形．
【变式6-6】（2021春•莘县期末）两条直线被第三条直线所截，∠1是∠2的同旁内角，∠2是∠3的内错角．
（1）画出示意图，标出∠1，∠2，∠3；
（2）若∠1＝2∠2，∠2＝2∠3，求∠1，∠2，∠3的度数．
【分析】（1）根据内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角；同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角进行分析即可，进而画出图形即可；
（2）设∠3＝x，则∠2＝2x，∠1＝4x，利用邻补角的关系得到x，进而求出∠1，∠2，∠3的度数．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）∵∠1＝2∠2，∠2＝2∠3，
∴设∠3＝x，则∠2＝2x，∠1＝4x，
∵∠1+∠3＝180°，
∴x+4x＝180°，
解得：x＝36°，
故∠3＝36°，∠2＝72°，∠1＝144°．
【点评】此题主要考查了三线八角以及邻补角的性质，得出∠1与∠3的关系是解题关键．解题技巧提炼
分析图形特征，根据对顶角的定义，首先判断是否由两条直线相交形成，其次再判断两个角的两边是否互为反向延长线.
解题技巧提炼
准确识别图形，理清图中各角度之间的关系是解题的关键，再综合角平分线的定义、对顶角的性质及邻补角的定义求解.
解题技巧提炼
结合垂直的条件确定已知角和未知角之间的关系，再结合角平分线、对顶角、邻补角等定义计算.
解题技巧提炼
抽象成利用“垂线段最短”和“两点之间，线段最短”求解的模型，再借助垂线段的性质和线段的性质求解.
解题技巧提炼
分析图形特征，结合已知条件利用点到直线的距离的定义:直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离得出答案.
解题技巧提炼
本题运用了定义法，识别同位角、内错角、同旁内角，其关键是看两个角所涉及的直线是否只有三条，并且有没有一条边在同一直线（截线）上，如果没有，就不是；如果有，再根据角的位置特征判断.
知识点一
邻补角、对顶角的概念及其性质
◆1、邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．
◆2、对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．
◆3、邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°．
◆4、对顶角的性质：对顶角相等．
知识点二
垂线的概念、画法及其性质
◆1、概念：
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
◆2、画法
一落：让三角板的一条直角边落在已知直线上，使其与已知直线重合；
二移：沿直线移动三角板，使其另一直角边经过所给的点；
三画：沿此直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线．
◆3、性质
在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
【注意】：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”，“过一点”的点在直线上或直线外都可以．
知识点三
垂线段与点到直线的距离
◆1、垂线段：
从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．
◆2、垂线段的性质：
连接直线外一点与这条直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简单说成：垂线段最短．
【注意】正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．
◆3、点到直线的距离：
（1）点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．
（2）点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．它只能量出或求出，而不能说画出，画出的是垂线段这个图形．
知识点四
同位角、内错角、同旁内角
◆1、同位角
两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．
◆2、内错角
两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．
◆3、同旁内角
两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角．
【注意】三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．
题型一 利用基本图形识别对顶角和邻补角
【例题1】（2022秋•南岗区校级期中）如图直线AB、CD交于点O，OE为射线，那么（ ）
A．∠AOC和∠BOE是对顶角B．∠COE和∠AOD是对顶角
C．∠BOC和∠AOD是对顶角D．∠AOE和∠DOE是对顶角
【变式1-1】（2022秋•南岗区校级月考）如图中，∠1和∠2是对顶角的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-2】（2021春•荆门期末）图中∠1与∠2互为邻补角的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（2021秋•兰西县期末）如图，图中邻补角有几对（ ）
A．4对B．5对C．6对D．8对
【变式1-4】（2021春•朝阳县期末）下列说法正确的是（ ）
A.互补的两个角是邻补角；
B．相等的角必是对顶角；
C．对顶角一定相等；
D．若两个角不是对顶角，则这两个角不相等.
【变式1-5】（2022春•迁安市期末）观察下列各图，寻找对顶角（不含平角）．如图1，图中有2条直线相交，则对顶角有 对；如图2，图中有3条直线相交于一点，则对顶角有 对；如图3图中有n条直线相交于一点，则对顶角有 对．
题型二 有关对顶角和邻补角的计算
【例题2】（2021秋•桃江县期末）如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOE是直角．
（1）直接写出∠DOE的补角；
（2）直接写出∠DOE的余角；
（3）若OF平分∠AOC，且∠COF＝20°，求∠DOE的度数．
【变式2-1】（2022春•仓山区校级期末）如图，直线AC，BD相交于点O，∠AOB＝48°，则∠COD的度数是（ ）
A．42°B．48°C．96°D．132°
【变式2-2】（2022春•交城县期中）如图，直线AB，CD相交于点O，并且∠AOD＝3∠AOC，则∠AOD的度数为 ．
【变式2-3】（2021秋•凤庆县期末）如图，直线AC和直线BD相交于点O，OE平分∠BOC，若∠1+∠2＝80°，求∠3的度数．
【变式2-4】（2022•西华县三模）如图，直线AB，CD相交于点O，已知∠BOE＝15°，∠AOD＝2∠DOE，则∠DOB的度数为 ．
【变式2-5】（2022春•夏邑县期中）如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOC﹣2∠AOE＝20°，射线OF平分∠DOE，若∠BOD＝60°，求∠AOF的度数．
【变式2-6】（2021秋•连城县期末）如图，直线AB与CD相交于点E，射线EG在∠AEC内（如图1）．
（1）若∠BEC的补角是它的余角的3倍，求∠BEC的角度；
（2）若射线EF平分∠AED，∠FEG＝105°（如图2），求∠AEG﹣∠CEG的值．
题型三 有关垂线的综合应用
【例题3】（2022春•天府新区月考）如图，点O在直线BD上，已知∠1＝20°，OC⊥OA，则∠DOC的度数为（ ）
A．20°B．70°C．110°D．90°
【变式3-1】（2021秋•北林区期末）如图，∠PQR＝132°，SQ⊥QR，QT⊥PQ，则∠SQT＝（ ）
A．48°B．32°C．24°D．66°
【变式3-2】（2022春•潼南区期末）如图，直线AB与CD相交于点E，EF⊥AB，垂足为E，∠CEA＝60°，则∠DEF的度数为（ ）
A．100°B．120°C．150°D．160°
【变式3-3】（2022春•云阳县校级月考）如图，直线AB、EF相交于点O，CD⊥AB于点O，∠EOD＝128°，则∠BOF的度数为 ．
【变式3-4】（2022春•元宝区校级期末）在同一平面内，若∠A与∠B的两边分别垂直，且∠A比∠B的3倍少20°，则∠A的度数为（ ）
A．10°B．50°C．10°或130°D．10°或50°
【变式3-5】（2022春•西安月考）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOC，OF⊥CD．若∠BOD：∠BOE＝1：4，求∠AOF的度数．
【变式3-6】（2021秋•梁河县期末）如图，已知直线AB、CD相交于点O，射线OD平分∠BOF，OE⊥CD于点O，∠AOC＝35°．
（1）求∠EOF的度数；
（2）试判断射线OE是否平分∠AOF，并说明理由．
题型四 垂线段最短的实际应用
【例题4】（2022春•青龙县期末）如图，某地进行城市规划，在一条新修公路旁有一超市，现要建一个汽车站，且有A、B、C、D四个地点可供选择．若要使超市距离汽车站最近，则汽车站应建在（ ）
点A处B．点B处C．点C处D．点D处
【变式4-1】（2021秋•朝阳区期末）如图，某同学在体育课上跳远后留下的脚印，在图中画出了他的跳远距离，能正确解释这一现象的数学知识是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．垂线段最短
C．两点确定一条直线
D．经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【变式4-2】（2022•兴宁区校级开学）如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是（ ）
A．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
B．垂线段最短
C．两点之间，线段最短
D．两点确定一条直线
【变式4-3】（2022•馆陶县二模）如图，生活中，有以下两个现象，对于这两个现象的解释，正确的是（ ）
A.两个现象均可用两点之间线段最短来解释；
B．现象1用垂线段最短来解释，现象2用经过两点有且只有一条直线来解释；
C．现象1用垂线段最短来解释，现象2用两点之间线段最短来解释；
D．现象1用经过两点有且只有一条直线来解释，现象2用垂线段最短来解释．
【变式4-4】如图，点P，点Q分别代表两个村庄，直线l代表两个村庄中间的一条公路．根据居民出行的需要，计划在公路l上的某处设置一个公交站．
（1）若考虑到村庄P居住的老年人较多，计划建一个离村庄P最近的车站，请在公路l上画出车站的位置（用点M表示），依据是 ；
（2）若考虑到修路的费用问题，希望车站的位置到村庄P和村庄Q的距离之和最小，请在公路l上画出车站的位置（用点N表示），依据是 ．
【变式4-5】（2021秋•缙云县期末）已知点直线BC及直线外一点A（如图），按要求完成下列问题：
（1）画出射线CA，线段AB．过C点画CD⊥AB，垂足为点D；
（2）比较线段CD和线段CA的大小，并说明理由；
（3）在以上的图中，互余的角为 ，互补的角为 ．（各写出一对即可）
题型五 点到直线的距离
【例题5】（2022春•逊克县期末）如图，线段AB外有一点P过点P作PE⊥AB垂足为E，连接PA、PB，PA＝8cm，PB＝6cm，PE＝4.5cm，若M是线段AB上任意一点，则P到M的最短距离为（ ）
A．8cmB．6cmC．4.5cmD．无法确定
【变式5-1】（2022秋•道里区校级月考）如图，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足是点D，则下列说法正确的是（ ）
A．线段AC的长表示点C到AB的距离
B．线段CD的长表示点A到CD的距离
C．线段BC的长表示点B到AC的距离
D．线段BD的长表示点C到DB的距离
【变式5-2】（2022春•渠县校级期中）下列说法中正确的个数有（ ）
①两点之间的所有连线中，线段最短；
②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
③平行于同一直线的两条直线互相平行；
④直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离．
A．4个B．3个C．2个D．1个
【变式5-3】（2022春•九龙坡区校级期中）点P为直线l外一点，点A为直线l上一点，PA＝4cm，设点P到直线l的距离是d cm，则（ ）
d＞4B．d≥4C．d＜4D．d≤4
【变式5-4】（2022春•巨野县期中）直线l上有A、B、C三点，直线l外有一点P，若PA=2cm,PB=4cm,PC=3cm,那么P点到直线l的距离是（ ）
A．等于2cm B．小于2cm C．不大于2cm D．大于2cm且小于3cm
【变式5-5】（2021春•珠海校级期中）如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°．
（1）画出点C到AB的最短路径CD；
（2）请指出B到AC的距离是线段 的长度．
【变式5-6】（2022春•平桥区校级月考）如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，BC＝4cm，AC＝3cm，AB＝5cm．
（1）点B到AC的距离是 cm；点A到BC的距是 cm．
（2）画出表示点C到AB的距离的线段，并求这个距离．
题型六 同位角、内错角、同旁内角的识别
【例题6】（2022春•丛台区校级期末）同学们可仿照图用双手表示“三线八角”图形（两大拇指代表被截直线，食指代表截线）．下面三幅图依次表示（ ）
A．同位角、同旁内角、内错角
B．同位角、内错角、同旁内角
C．同位角、对顶角、同旁内角
D．同位角、内错角、对顶角
【变式6-1】（2022春•八步区期末）如图，下列说法中，错误的是（ ）
A．∠1和∠4是内错角
B．∠4和∠5是同旁内角
C．∠2和∠4是对顶角
D．∠3和∠5是同位角
【变式6-2】（2021春•渠县期末）如图，下列结论：①∠2与∠3是内错角；②∠1与∠A是同位角；③∠A与∠B是同旁内角；④∠B与∠ACB不是同旁内角，其中正确的是 ．（只填序号）
【变式6-3】（2022春•赵县月考）如图所示，直线AB与BC被直线AD所截得的内错角是 ；直线DE与AC被直线AD所截得的内错角是 ；图中∠4的内错角是 ．
【变式6-4】（2022春•杨浦区校级期中）如图：与∠FDB成内错角的是 ；与∠DFB成同旁内角的是 ．
【变式6-5】如图所示，BF、DE相交于点A，BG交BF于点B，交AC于点C．
（1）指出ED、BC被BF所截的同位角，内错角，同旁内角；
（2）指出ED、BC被AC所截的内错角，同旁内角；
（3）指出FB、BC被AC所截的内错角，同旁内角．
【变式6-6】（2021春•莘县期末）两条直线被第三条直线所截，∠1是∠2的同旁内角，∠2是∠3的内错角．
（1）画出示意图，标出∠1，∠2，∠3；
（2）若∠1＝2∠2，∠2＝2∠3，求∠1，∠2，∠3的度数．
解题技巧提炼
分析图形特征，根据对顶角的定义，首先判断是否由两条直线相交形成，其次再判断两个角的两边是否互为反向延长线.
解题技巧提炼
准确识别图形，理清图中各角度之间的关系是解题的关键，再综合角平分线的定义、对顶角的性质及邻补角的定义求解.
解题技巧提炼
结合垂直的条件确定已知角和未知角之间的关系，再结合角平分线、对顶角、邻补角等定义计算.
解题技巧提炼
抽象成利用“垂线段最短”和“两点之间，线段最短”求解的模型，再借助垂线段的性质和线段的性质求解.
解题技巧提炼
分析图形特征，结合已知条件利用点到直线的距离的定义:直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离得出答案.
解题技巧提炼
本题运用了定义法，识别同位角、内错角、同旁内角，其关键是看两个角所涉及的直线是否只有三条，并且有没有一条边在同一直线（截线）上，如果没有，就不是；如果有，再根据角的位置特征判断.
七年级下册数学《第五章 相交线与平行线》
5.1 相 交 线
知识点一
邻补角、对顶角的概念及其性质
◆1、邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．
◆2、对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．
◆3、邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°．
◆4、对顶角的性质：对顶角相等．
知识点二
垂线的概念、画法及其性质
◆1、概念：
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
◆2、画法
一落：让三角板的一条直角边落在已知直线上，使其与已知直线重合；
二移：沿直线移动三角板，使其另一直角边经过所给的点；
三画：沿此直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线．
◆3、性质
在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
【注意】：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”，“过一点”的点在直线上或直线外都可以．
知识点三
垂线段与点到直线的距离
◆1、垂线段：
从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．
◆2、垂线段的性质：
连接直线外一点与这条直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简单说成：垂线段最短．
【注意】正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．
◆3、点到直线的距离：
（1）点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．
（2）点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．它只能量出或求出，而不能说画出，画出的是垂线段这个图形．
知识点四
同位角、内错角、同旁内角
◆1、同位角
两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．
◆2、内错角
两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．
◆3、同旁内角
两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角．
【注意】三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．
题型一 利用基本图形识别对顶角和邻补角
【例题1】（2022秋•南岗区校级期中）如图直线AB、CD交于点O，OE为射线，那么（ ）
A．∠AOC和∠BOE是对顶角B．∠COE和∠AOD是对顶角
C．∠BOC和∠AOD是对顶角D．∠AOE和∠DOE是对顶角
【分析】根据对顶角的定义可解此题．
【解答】解：∵OE⊥AB于点O，
∴∠AOE＝90°，
∵OC平分∠AOE，
∴∠AOC＝∠COE，
∵∠BOD与∠AOC是对顶角且相等，
故选：C．
【点评】本题考查了对顶角的定义，熟记概念，准确识图求出各角的度数是解题的关键．
【变式1-1】（2022秋•南岗区校级月考）如图中，∠1和∠2是对顶角的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据对顶角的定义进行判断即可．
【解答】解：由对顶角的定义可知，
图中的∠1与∠2是对顶角，
故选：B．
【点评】本题考查对顶角，理解对顶角的定义是正确判断的前提．
【变式1-2】（2021春•荆门期末）图中∠1与∠2互为邻补角的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用邻补角定义进行解答即可．
【解答】解：A、∠1与∠2对顶角，故此选项不合题意；
B、∠1与∠2是邻补角，故此选项符合题意；
C、∠1与∠2不是邻补角，故此选项不合题意；
D、∠1与∠2是内错角，故此选项不合题意；
故选：B．
【点评】此题主要考查了邻补角，关键是掌握只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．
【变式1-3】（2021秋•兰西县期末）如图，图中邻补角有几对（ ）
A．4对B．5对C．6对D．8对
【分析】根据邻补角的概念判断即可．
【解答】解：∠1与∠2是邻补角，∠1与∠4是邻补角，∠3与∠2是邻补角，∠3与∠4是邻补角，∠5与∠6是邻补角，∠5与∠8是邻补角，∠6与∠7是邻补角，∠7与∠8是邻补角共8对，
故选：D．
【点评】本题考查的是邻补角的概念，只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．
【变式1-4】（2021春•朝阳县期末）下列说法正确的是（ ）
A.互补的两个角是邻补角；
B．相等的角必是对顶角；
C．对顶角一定相等；
D．若两个角不是对顶角，则这两个角不相等.
【分析】根据邻补角以及对顶角的定义解决此题．
【解答】解：A．有一条边是公共边，另一边互为反向延长线的两个角是邻补角，故A不符合题意．
B．对顶角指角的两边互为反向的延长线的两个角，相等的角不一定是对顶角，故B不符合题意．
C．根据对顶角的性质，得对顶角一定相等，故C符合题意．
D．等腰三角形的底角相等，但两个底角不是对顶角，故D不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查邻补角以及对顶角，熟练掌握邻补角以及对顶角的定义是解决本题的关键．
【变式1-5】（2022春•迁安市期末）观察下列各图，寻找对顶角（不含平角）．如图1，图中有2条直线相交，则对顶角有 对；如图2，图中有3条直线相交于一点，则对顶角有 对；如图3图中有n条直线相交于一点，则对顶角有 对．
【分析】先将图①②③中的对顶角对数求出来，观察规律即可求解．
【解答】解：当2条直线相交于一点时对顶角有1×2=2对，
当3条直线相交于一点时对顶角有2×3=6对，
当4条直线相交于一点时对顶角有3×4=12对，
∴对顶角对数与直线条数的关系为：
对顶角对数=（直线条数-1）×直线条数，
∴当n条直线相交于一点时对顶角有（n﹣1）n=n2﹣n（对），
故答案为：2；6；n2﹣n.
【点评】本题考查对顶角的相关知识点，解题的关键是得出对顶角对数与直线条数的关系为：对顶角对数=（直线条数-1）×直线条数．
题型二 利用基本图形识别对顶角和邻补角
【例题2】（2021秋•桃江县期末）如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOE是直角．
（1）直接写出∠DOE的补角；
（2）直接写出∠DOE的余角；
（3）若OF平分∠AOC，且∠COF＝20°，求∠DOE的度数．
【分析】（1）根据互补的定义确定∠DOE的补角；
（2）根据互余的定义确定∠DOE的余角；
（3）运用平角的定义和角平分线的定义得∠DOE的度数．
【解答】解：（1）∠DOE的补角是：∠EOC．
（2）∠DOE的余角是：∠DOB，∠AOC．
（3）因为OF平分∠AOC，所以∠AOC＝2∠COF＝40°，
又因为∠AOE＝90°，
所以∠DOE＝180°﹣（∠AOE+∠AOC）＝180°﹣（90°+40°）＝50°．
【点评】本题考查了角平分线、补角、余角的定义以及角的计算，属于基础题型，比较简单．
【变式2-1】（2022春•仓山区校级期末）如图，直线AC，BD相交于点O，∠AOB＝48°，则∠COD的度数是（ ）
A．42°B．48°C．96°D．132°
【分析】根据对顶角相等解答即可．
【解答】解：∵∠AOB和∠COD是对顶角，
∴∠AOB＝∠COD，
∵∠AOB＝48°，
∴∠COD＝48°．
故选：B．
【点评】本题考查了对顶角的性质，对顶角的性质：对顶角相等．邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的．
【变式2-2】（2022春•交城县期中）如图，直线AB，CD相交于点O，并且∠AOD＝3∠AOC，则∠AOD的度数为 ．
【分析】根据邻补角的定义解决此题．
【解答】解：∵∠AOD＝3∠AOC，
∴∠AOC+∠AOD＝4∠AOC＝180°．
∴∠AOC＝45°．
∴∠AOD＝3∠AOC＝135°．
故答案为：135°．
【点评】本题主要考查邻补角，熟练掌握邻补角的定义是解决本题的关键．
【变式2-3】（2021秋•凤庆县期末）如图，直线AC和直线BD相交于点O，OE平分∠BOC，若∠1+∠2＝80°，求∠3的度数．
【分析】由∠1+∠2＝80°，∠1＝∠2可求∠2，于是得出∠BOC的度数，再由OE平分∠BOC，即可求出∠3．
【解答】解：∵∠1+∠2＝80°，∠1＝∠2，
∴∠2＝40°，
∴∠BOC＝180°﹣∠2＝140°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠3=12∠BOC＝70°
【点评】本题考查角的计算，关键是掌握对顶角，邻补角的性质，角平分线的定义．
【变式2-4】（2022•西华县三模）如图，直线AB，CD相交于点O，已知∠BOE＝15°，∠AOD＝2∠DOE，则∠DOB的度数为 ．
【分析】设∠DOB＝x，根据邻补角的概念得到∠AOD＝180°﹣x，根据题意列出方程，解方程得到答案．
【解答】解：设∠DOB＝x，
则∠AOD＝180°﹣x，
由题意得：180°﹣x＝2（x+15°），
解得：x＝50°，
∴∠DOB＝50°，
故答案为：50°．
【点评】本题考查的是对顶角、邻补角的概念，熟记邻补角之和为180°是解题的关键．
【变式2-5】（2022春•夏邑县期中）如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOC﹣2∠AOE＝20°，射线OF平分∠DOE，若∠BOD＝60°，求∠AOF的度数．
【分析】根据对顶角、邻补角、角平分线的定义解决此题．
【解答】解：∵∠AOC与∠BOD是对顶角，
∴∠AOC＝∠BOD＝60°．
∴∠AOD＝180°﹣∠AOC＝120°．
∵∠AOC﹣2∠AOE＝20°，
∴∠AOE＝20°．
∴∠DOE＝∠AOD﹣∠AOE＝100°．
∵射线OF平分∠DOE，
∴∠DOF=12∠DOE=50°．
∴∠AOF＝∠AOD﹣∠DOF＝120°﹣50°＝70°．
【点评】本题主要考查对顶角、邻补角、角平分线的定义，熟练掌握对顶角、邻补角、角平分线的定义是解决本题的关键．
【变式2-6】（2021秋•连城县期末）如图，直线AB与CD相交于点E，射线EG在∠AEC内（如图1）．
（1）若∠BEC的补角是它的余角的3倍，求∠BEC的角度；
（2）若射线EF平分∠AED，∠FEG＝105°（如图2），求∠AEG﹣∠CEG的值．
【分析】（1）设∠BEC的度数为x，根据∠BEC的补角是它的余角的3倍列方程解方程可得；
（2）根据角平分线的定义得：∠AEF＝∠DEF，根据∠FEG＝105°，得∠AEG＝105°﹣∠AEF，根据平角的定义可得∠CEG＝180°﹣105°﹣∠DEF，最后可得结论．
【解答】解：（1）设∠BEC的度数为x，
则180﹣x＝3（90﹣x），
解得：x＝45°，
∴∠BEC＝45°，
（2）∵射线EF平分∠AED，
∴∠AEF＝∠DEF，
∵∠FEG＝105°．
∴∠AEG+∠AEF＝105°，
∵∠CEG＝180°+105°＝∠DEF＝75°+∠DEF，
∴∠AEG﹣∠CEG＝105°﹣∠AEF＝（75°﹣∠DEF）＝30°．
【点评】本题考查了对顶角、邻补角，角平分线的定义，此类题目熟记概念并准确识图是解题的关键．
题型三 有关垂线的综合应用
【例题3】（2022春•天府新区月考）如图，点O在直线BD上，已知∠1＝20°，OC⊥OA，则∠DOC的度数为（ ）
A．20°B．70°C．110°D．90°
【分析】利用∠1与∠BOC互余求出∠BOC，利用∠DOC与∠BOC互补求出∠DOC．
【解答】解：∵OC⊥OA，∠1＝20°，
∴∠BOC＝90°﹣∠1＝90°﹣20°＝70°，
∴∠DOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣70°＝110°，
故选：C．
【点评】本题考查垂直的定义，得出∠1与∠BOC互余，∠DOC与∠BOC互补是解题的关键．
【变式3-1】（2021秋•北林区期末）如图，∠PQR＝132°，SQ⊥QR，QT⊥PQ，则∠SQT＝（ ）
A．48°B．32°C．24°D．66°
【分析】利用垂直的概念，得出∠PQS＝∠PQR°﹣90°，再利用互余的性质，得出∠SQT＝∠PQT﹣∠PQS．
【解答】解：∵，∠PQR＝132°，QT⊥PQ，
∴∠PQS＝132°﹣90°＝42°，
又∵SQ⊥QR，
∴∠PQT＝90°，
∴∠SQT＝∠PQT﹣∠PQS，
＝90°﹣42°，
＝48°．
故选：A．
【点评】本题考查了角的计算，掌握余角的和等于90°是关键．
【变式3-2】（2022春•潼南区期末）如图，直线AB与CD相交于点E，EF⊥AB，垂足为E，∠CEA＝60°，则∠DEF的度数为（ ）
A．100°B．120°C．150°D．160°
【分析】根据对顶角相等得出∠DEB，根据垂直的定义求出∠FEB，相加可得结果．
【解答】解：∵∠CEA＝60°，
∴∠BED＝60°，
∵EF⊥AB，
∴∠FEB＝90°，
∴∠DEF＝∠DEB+∠FEB＝60°+90°＝150°，
故选：C．
【点评】本题考查了对顶角相等，垂直的定义，解题的关键是根据对顶角相等求出∠DEB．
【变式3-3】（2022春•云阳县校级月考）如图，直线AB、EF相交于点O，CD⊥AB于点O，∠EOD＝128°，则∠BOF的度数为 ．
【分析】由平角的定义可知∠EOD+∠EOC＝180°，从而可求得∠EOC的度数，根据对顶角相等得∠DOF＝∠EOC＝52°，然后由垂线的定义可知∠DOB＝90°，从而求得∠BOF的度数．
【解答】解：∵∠EOD+∠EOC＝180°，
∴∠EOC＝180°﹣128°＝52°，
∴∠DOF＝∠EOC＝52°，
∵CD⊥AB，
∴∠DOB＝90°，
∴∠BOF＝90°﹣52°＝38°，
故答案为：38°．
【点评】本题主要考查的是邻补角的性质、对顶角的性质和垂线的定义，求得∠DOF的度数是解题的关键．
【变式3-4】（2022春•元宝区校级期末）在同一平面内，若∠A与∠B的两边分别垂直，且∠A比∠B的3倍少20°，则∠A的度数为（ ）
A．10°B．50°C．10°或130°D．10°或50°
【分析】因为两个角的两边分别垂直，则这两个角相等或互补，可设∠B是x度，利用方程即可解决问题．
【解答】解：设∠B是x度，根据题意，得
①两个角相等时，如图1：
∠B＝∠A＝x，
x＝3x﹣20，
解得x＝10，
故∠A＝10°，
②两个角互补时，如图2：
x+3x﹣20＝180，
所以x＝50，
3×50°﹣20°＝130°
故∠A的度数为：10°或130°．
故选：C．
【点评】此题主要考查了垂线，本题需仔细分析题意，利用方程即可解决问题．
【变式3-5】（2022春•西安月考）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOC，OF⊥CD．若∠BOD：∠BOE＝1：4，求∠AOF的度数．
【分析】由∠BOD：∠BOE＝1：4，列出关于∠BOD的方程，即可求出∠BOD的度数，根据对顶角相等可得∠AOC的度数，再根据余角的定义，可得答案．
【解答】解：设∠BOD＝x°，则∠BOE＝4x°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOC＝2∠BOE＝8x°，
∵∠BOD+∠BOC＝180°，
∴x+8x＝180，
∴x＝20，
∴∠AOC＝∠BOD＝x°＝20°，
∵OF⊥CD，
∴∠COF＝90°，
∴∠AOF＝90°﹣∠AOC＝70°．
【点评】本题考查了垂线的定义、角平分线的定义、对顶角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握角平分线的定义，垂线的定义，对顶角的性质．
【变式3-6】（2021秋•梁河县期末）如图，已知直线AB、CD相交于点O，射线OD平分∠BOF，OE⊥CD于点O，∠AOC＝35°．
（1）求∠EOF的度数；
（2）试判断射线OE是否平分∠AOF，并说明理由．
【分析】（1）利用对顶角相等，角平分线的定义，垂线的性质求解即可．
（2）OE平分∠AOF．分别求出∠AOE，∠EOF即可判断．
【解答】解：（1）∵OD平分∠BOF，
∴∠BOD＝∠DOF，
∵∠BOD＝∠AOC＝35°，
∴∠DOF＝35°，
∵EO⊥CD，
∴∠EOD＝90°，
∴∠EOF＝90°﹣∠DOF＝55°．
（2）OE平分∠AOF．理由如下：
∵∠AOB＝180°，∠EOD＝90°，
∴∠AOE+∠BOD＝90°，
∵∠BOD＝35°，
∴∠AOE＝55°，
∵∠EOF＝55°，
∴∠AOE＝∠EOF，
∴OE平分∠AOF．
【点评】本题考查垂线，角平分线的定义，对顶角等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
题型四 垂线段最短的实际应用
【例题4】（2022春•青龙县期末）如图，某地进行城市规划，在一条新修公路旁有一超市，现要建一个汽车站，且有A、B、C、D四个地点可供选择．若要使超市距离汽车站最近，则汽车站应建在（ ）
A．点A处B．点B处C．点C处D．点D处
【分析】根据垂线段最短得出即可．
【解答】解：建在点C处，根据垂线段最短，
故选：C．
【点评】本题考查了垂线段最短，熟练掌握垂线段最短的知识点是解此题的关键．
【变式4-1】（2021秋•朝阳区期末）如图，某同学在体育课上跳远后留下的脚印，在图中画出了他的跳远距离，能正确解释这一现象的数学知识是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．垂线段最短
C．两点确定一条直线
D．经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【分析】由点到直线的距离的定义及跳远比赛的规则作出分析和判断．
【解答】解：如图，某同学在体育课上跳远后留下的脚印，在图中画出了他的跳远距离，能正确解释这一现象的数学知识是垂线段最短．
故选：B．
【点评】本题考查了垂线段最短性质的运用，解答此题的关键是熟练掌握由点到直线的距离的定义及跳远比赛的规则．
【变式4-2】（2022•兴宁区校级开学）如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是（ ）
A．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
B．垂线段最短
C．两点之间，线段最短
D．两点确定一条直线
【分析】由垂线的性质，可选择．
【解答】解：A、垂线的一条性质，故A不符合题意；
B、直线外一点到这条直线上各点的连线中，垂线段最短，故B符合题意；
C、连接两点的所有线中，线段最短，故C不符合题意；
D、两点确定一条直线，是直线的性质，故D不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查垂线 的性质，关键是掌握垂线的两条性质，明白垂线段最短．
【变式4-3】（2022•馆陶县二模）如图，生活中，有以下两个现象，对于这两个现象的解释，正确的是（ ）
A.两个现象均可用两点之间线段最短来解释；
B．现象1用垂线段最短来解释，现象2用经过两点有且只有一条直线来解释；
C．现象1用垂线段最短来解释，现象2用两点之间线段最短来解释；
D．现象1用经过两点有且只有一条直线来解释，现象2用垂线段最短来解释．
【分析】分别根据垂线段的性质以及两点之间线段最短的性质判断即可．
【解答】解：现象1用垂线段最短来解释，现象2用两点之间线段最短来解释，
故选：C．
【点评】本题考查了线段的性质以及直线的性质，熟记性质公理是解题的关键．
【变式4-4】如图，点P，点Q分别代表两个村庄，直线l代表两个村庄中间的一条公路．根据居民出行的需要，计划在公路l上的某处设置一个公交站．
（1）若考虑到村庄P居住的老年人较多，计划建一个离村庄P最近的车站，请在公路l上画出车站的位置（用点M表示），依据是 ；
（2）若考虑到修路的费用问题，希望车站的位置到村庄P和村庄Q的距离之和最小，请在公路l上画出车站的位置（用点N表示），依据是 ．
【分析】（1）直接利用点到直线的距离的定义得出答案；
（2）利用线段的性质得出答案．
【解答】解：（1）如图，点M即为所示．依据是直线外一点与直线上各点连接的所有线段中垂线段最短
（2）如图，点N即为所示．依据是两点之间线段最短；
故答案为：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中垂线段最短；两点之间线段最短．
【点评】此题主要考查了应用设计与作图，正确理解线段的性质是解题关键．
【变式4-5】（2021秋•缙云县期末）已知点直线BC及直线外一点A（如图），按要求完成下列问题：
（1）画出射线CA，线段AB．过C点画CD⊥AB，垂足为点D；
（2）比较线段CD和线段CA的大小，并说明理由；
（3）在以上的图中，互余的角为 ，互补的角为 ．（各写出一对即可）
【分析】（1）根据垂线的定义，线段，射线的定义作图即可；
（2）根据垂线段最短即可求解；
（3）由互余、互补的定义解题即可．
【解答】解：（1）如图：
（2）∵CD⊥AD，
∴CA＞CD；
（3）∵∠DAC+∠DCA＝90°，
∴∠DAC与∠DCA互余，
∵∠ADC+∠BDC＝90°+90°＝180°，
∴∠ADC与∠BDC互补，
故答案为：∠DAC、∠DCA；∠ADC、∠BDC．
【点评】本题考查垂线段最短，两个角的互余、互补，熟练掌握垂线段最短，两个角的互余、互补的定义，会作图线段、射线、垂线段是解题的关键．
题型五 点到直线的距离
【例题5】（2022春•逊克县期末）如图，线段AB外有一点P过点P作PE⊥AB垂足为E，连接PA、PB，PA＝8cm，PB＝6cm，PE＝4.5cm，若M是线段AB上任意一点，则P到M的最短距离为（ ）
A．8cmB．6cmC．4.5cmD．无法确定
【分析】根据垂线段最短得出即可．
【解答】解：根据垂线段最短，则P到M的最短距离为不小于4.5cm，
故选：C．
【点评】本题考查了垂线段最短，熟练掌握垂线段最短的知识点是解此题的关键．
【变式5-1】（2022秋•道里区校级月考）如图，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足是点D，则下列说法正确的是（ ）
A．线段AC的长表示点C到AB的距离
B．线段CD的长表示点A到CD的距离
C．线段BC的长表示点B到AC的距离
D．线段BD的长表示点C到DB的距离
【分析】根据点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离判断即可得到答案．
【解答】解：A、线段AC的长是点A到BC的距离，错误正确，不合题意；
B、线段CD的长是点C到AB的距离，错误，不合题意；
C、线段BC的长是点B到AC的距离，正确，符合题意；
D、线段BD的长是点B到CD的距离，错误，不合题意；
故选：C．
【点评】此题考查的是点到直线的距离，掌握其概念是解决此题的关键．
【变式5-2】（2022春•渠县校级期中）下列说法中正确的个数有（ ）
①两点之间的所有连线中，线段最短；
②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
③平行于同一直线的两条直线互相平行；
④直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离．
A．4个B．3个C．2个D．1个
【分析】根据直线的性质，两点间的距离的定义，线段的性质以及直线的表示对各小题分析判断即可得解．
【解答】解：①两点之间的所有连线中，线段最短，正确；
②过平面上的一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故本命题错误；
③平行于同一直线的两条直线互相平行，正确；
④直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，故本命题错误；
综上所述，正确的有①，③共2个．
故选：C．
【点评】本题考查了直线、线段的性质，点到直线的距离，两点间的距离的定义，是基础题，熟记性质与概念是解题的关键．
【变式5-3】（2022春•九龙坡区校级期中）点P为直线l外一点，点A为直线l上一点，PA＝4cm，设点P到直线l的距离是d cm，则（ ）
A．d＞4B．d≥4C．d＜4D．d≤4
【分析】根据点到直线的距离垂线段最短进行求解即可．
【解答】解：∵点P到直线l的距离是d cm，点到直线的距离是垂线段的长度，垂线段最短PA＝4cm
∴d≤4，
故选：D．
【点评】本题主要考查了点到直线的距离，垂线段最短，熟知垂线段最短是解题的关键．
【变式5-4】（2022春•巨野县期中）直线l上有A、B、C三点，直线l外有一点P，若PA=2cm,PB=4cm,PC=3cm,那么P点到直线l的距离是（ ）
A．等于2cm B．小于2cm C．不大于2cm D．大于2cm且小于3cm
【分析】根据点到直线的距离的定义和垂线段最短的性质解答．
【解答】解：∵PA=2cm,PB=4cm,PC=3cm,
∴P点到直线l的距离不大于2cm.
故选：C．
【点评】本题考查了点到直线的距离以及垂线段性质，熟记概念与性质是解题的关键．
【变式5-5】（2021春•珠海校级期中）如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°．
（1）画出点C到AB的最短路径CD；
（2）请指出B到AC的距离是线段 的长度．
【分析】根据点到直线的距离垂线段最短，即可得出答案．
【解答】解：（1）根据题意，如图所示，
（2）B到AC的距离是线段BC的长度，
故答案为：BC．
【点评】本题主要考查点到直线的距离，已知点到直线的距离垂线段最短是解题的关键．
【变式5-6】（2022春•平桥区校级月考）如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，BC＝4cm，AC＝3cm，AB＝5cm．
（1）点B到AC的距离是 cm；点A到BC的距是 cm．
（2）画出表示点C到AB的距离的线段，并求这个距离．
【分析】（1）根据点到直线的距离的定义求．
（2）先画垂线段，再计算距离．
【解答】解：（1）∵∠C＝90°，BC＝4cm，AC＝3cm，
∴点B到AC的距离是线段BC的长度，点A到BC的距是线段AC的长度．
故答案为：4，3．
（2）如图：
作CD⊥AB于点D，则线段CD的长度就是点C到AB的距离．
∵S△ABC=12BC•AC=12AB•CD．
∴CD=BC⋅ACAB=125（cm）．
【点评】本题考查点到直线的距离，找到点到直线的距离是求解本题的关键．
题型六 同位角、内错角、同旁内角的识别
【例题6】（2022春•丛台区校级期末）同学们可仿照图用双手表示“三线八角”图形（两大拇指代表被截直线，食指代表截线）．下面三幅图依次表示（ ）
A．同位角、同旁内角、内错角
B．同位角、内错角、同旁内角
C．同位角、对顶角、同旁内角
D．同位角、内错角、对顶角
【分析】两条线a、b被第三条直线c所截，在截线的同旁，被截两直线的同一方，把这种位置关系的角称
为同位角；两个角分别在截线的异侧，且夹在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为内错角；两
个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角．据此作答即可．
【解答】解：根据同位角、内错角、同旁内角的概念，可知第一个图是同位角，第二个图是内错角，第三
个图是同旁内角．
故选：B．
【点评】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，解题的关键是掌握同位角、内错角、同旁内角，并能区
别它们．
【变式6-1】（2022春•八步区期末）如图，下列说法中，错误的是（ ）
A．∠1和∠4是内错角
B．∠4和∠5是同旁内角
C．∠2和∠4是对顶角
D．∠3和∠5是同位角
【分析】根据同位角、同旁内角、内错角的定义判断即可．
【解答】解：A、∠1和∠4不是内错角，原说法错误，故此选项符合题意；
B、∠4和∠5是同旁内角，原说法正确，故此选项不符合题意；
C、∠2和∠4是对顶角，原说法正确，故此选项不符合题意；
D、∠3和∠5是同位角，原说法正确，故此选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了同位角、内错角及同旁内角的知识，正确且熟练掌握同位角、同旁内角、内错角的定
义和形状是解题的关键．
【变式6-2】（2021春•渠县期末）如图，下列结论：①∠2与∠3是内错角；②∠1与∠A是同位角；③∠A与∠B是同旁内角；④∠B与∠ACB不是同旁内角，其中正确的是 ．（只填序号）
【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的意义，结合图形逐个判断即可．
【解答】解：如图：
∠2与∠3是直线AB、直线BC，被直线CD所截的一对内错角，因此①正确；
∠1与∠A是直线CD、直线AC，被直线AB所截的一对同位角，因此②正确；
∠A与∠B是直线AC、直线BC，被直线AB所截的一对同旁内角，因此③正确；
∠B与∠ACB是直线AB、直线AC，被直线BC所截的一对同旁内角，因此④不正确．
故答案为：①②③．
【点评】本题考查同位角、内错角、同旁内角的意义，理清哪两条直线被第三条直线所截，形成的角进行判断是关键．
【变式6-3】（2022春•赵县月考）如图所示，直线AB与BC被直线AD所截得的内错角是 ；直线DE与AC被直线AD所截得的内错角是 ；图中∠4的内错角是 ．
【分析】根据内错角的定义找出即可．
【解答】解：直线AB与BC被直线AD所截得的内错角是∠1和∠3，
直线DE与AC被直线AD所截得的内错角是∠2和∠4，
图中∠4的内错角是∠2和∠BED，
故答案为：∠1和∠3，∠2和∠4，∠2和∠BED．
【点评】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的定义等知识点，能正确识图是解此题的关键．
【变式6-4】（2022春•杨浦区校级期中）如图：与∠FDB成内错角的是 ；与∠DFB成同旁内角的是 ．
【分析】准确识别内错角、同旁内角的关键，是弄清哪两条直线被哪一条线所截．也就是说，在辨别这些角之前，要弄清哪一条直线是截线，哪两条直线是被截线．
【解答】解：如图，与∠FDB成内错角的是∠EFD、∠AFD和∠CBD，与∠DFB成同旁内角的是：∠DBF、∠CDF、∠BDF和∠CBF．
故答案分别是：∠EFD、∠AFD和∠CBD，∠DBF、∠CDF、∠BDF和∠CBF．
【点评】本题考查了同位角、内错角、同旁内角．在复杂的图形中识别同位角、内错角、同旁内角时，应当沿着角的边将图形补全，或者把多余的线暂时略去，找到三线八角的基本图形，进而确定这两个角的位置关系．
【变式6-5】如图所示，BF、DE相交于点A，BG交BF于点B，交AC于点C．
（1）指出ED、BC被BF所截的同位角，内错角，同旁内角；
（2）指出ED、BC被AC所截的内错角，同旁内角；
（3）指出FB、BC被AC所截的内错角，同旁内角．
【分析】根据同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三
条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．
内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）
的两旁，则这样一对角叫做内错角．
同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截
线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角．进行解答．
【解答】解：（1）同位角：∠FAE和∠B；
内错角：∠B和∠DAB；
同旁内角：∠EAB和∠B；
内错角：∠EAC和∠BCA，∠DAC和∠ACG；
同旁内角：∠EAC和∠ACG，∠DAC和∠BCA；
（3）内错角：∠BAC和∠ACG，∠FAC和∠BCA；
同旁内角：∠BAC和∠BCA，∠FAC和∠ACG．
【点评】此题主要考查了三线八角，关键是掌握同位角的边构成“F”形，内错角的边构成“Z”形，同旁内角
的边构成“U”形．
【变式6-6】（2021春•莘县期末）两条直线被第三条直线所截，∠1是∠2的同旁内角，∠2是∠3的内错角．
（1）画出示意图，标出∠1，∠2，∠3；
（2）若∠1＝2∠2，∠2＝2∠3，求∠1，∠2，∠3的度数．
【分析】（1）根据内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角；同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角进行分析即可，进而画出图形即可；
（2）设∠3＝x，则∠2＝2x，∠1＝4x，利用邻补角的关系得到x，进而求出∠1，∠2，∠3的度数．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）∵∠1＝2∠2，∠2＝2∠3，
∴设∠3＝x，则∠2＝2x，∠1＝4x，
∵∠1+∠3＝180°，
∴x+4x＝180°，
解得：x＝36°，
故∠3＝36°，∠2＝72°，∠1＝144°．
【点评】此题主要考查了三线八角以及邻补角的性质，得出∠1与∠3的关系是解题关键．解题技巧提炼
分析图形特征，根据对顶角的定义，首先判断是否由两条直线相交形成，其次再判断两个角的两边是否互为反向延长线.
解题技巧提炼
准确识别图形，理清图中各角度之间的关系是解题的关键，再综合角平分线的定义、对顶角的性质及邻补角的定义求解.
解题技巧提炼
结合垂直的条件确定已知角和未知角之间的关系，再结合角平分线、对顶角、邻补角等定义计算.
解题技巧提炼
抽象成利用“垂线段最短”和“两点之间，线段最短”求解的模型，再借助垂线段的性质和线段的性质求解.
解题技巧提炼
分析图形特征，结合已知条件利用点到直线的距离的定义:直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离得出答案.
解题技巧提炼
本题运用了定义法，识别同位角、内错角、同旁内角，其关键是看两个角所涉及的直线是否只有三条，并且有没有一条边在同一直线（截线）上，如果没有，就不是；如果有，再根据角的位置特征判断.
相关试卷
北师大版七年级数学下册同步精讲精练1.7整式除法-【题型技巧培优系列】(原卷版+解析)： 这是一份北师大版七年级数学下册同步精讲精练1.7整式除法-【题型技巧培优系列】(原卷版+解析)，共18页。试卷主要包含了单项式除以单项式，多项式除以单项式，由整式除法法则求字母的值，整式除法中错看问题，整式除法的应用等内容，欢迎下载使用。
北师大版七年级数学下册同步精讲精练1.1-1.3幂的运算-【题型技巧培优系列】(原卷版+解析)： 这是一份北师大版七年级数学下册同步精讲精练1.1-1.3幂的运算-【题型技巧培优系列】(原卷版+解析)，共24页。试卷主要包含了幂的基本运算等内容，欢迎下载使用。
北师大版七年级数学下册同步精讲精练5.1-5.2轴对称现象与轴对称性质-【题型技巧培优系列】(原卷版+解析)： 这是一份北师大版七年级数学下册同步精讲精练5.1-5.2轴对称现象与轴对称性质-【题型技巧培优系列】(原卷版+解析)，共23页。试卷主要包含了生活中的轴对称现象，轴对称图形，轴对称的性质，最短路径，折叠问题等内容，欢迎下载使用。
