山东省济南市市中区2022-2023学年七年级下学期期中数学试题

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一、选择题
1. 下列各式运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接利用同底数幂乘除运算法则、幂的乘方运算法则、积的乘方运算法则分别判断得出答案．
【详解】解：A．，故此选项不合题意；
B．，故此选项不合题意；
C．，故此选项不合题意；
D．，故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘除运算、幂的乘方运算、积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
2. 世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有克，用科学记数法表示此数正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为正整数，据此判断即可．
【详解】解：
故选：A．
【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定，确定与的值是解题的关键．
3. 下列图形中，由AB∥CD，能得到∠1=∠2的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行线的性质逐项判断即可.
【详解】A、∵AB//CD，
∴∠1+∠2=180°．故本选项不符合题意；
B、如图，∵AB//CD，
∴∠1=∠3．
∵∠2=∠3，
∴∠1=∠2．故本选项正确．
C、∵AB//CD，
∴∠BAD=∠CDA，不能得到∠1=∠2．故本选项不符合题意；
D、当梯形ABDC是等腰梯形时才有，∠1=∠2．故本选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答的关键.
4. 在实验课上，小亮利用同一块木板测得小车从不同高度下滑的时间，支撑物高度（）与下滑的时间（）的关系如下表：
以下结论错误的是（ ）
A. 当时，约2.66秒
B. 随支撑物高度增加，下滑时间越来越短
C. 支撑物高度每增加了，时间就会减少0.24秒
D. 估计当时，一定小于2.56秒
【答案】C
【解析】
【分析】根据表格中数量的变化情况，分别进行判断即可．
【详解】解：当支撑物高度从10cm升高到20cm，下滑时间的减少0.24s；
从20cm升高到30cm时，下滑时间就减少0.2s；
从30cm升高到40cm时，下滑时间就减少015s；
从40cm升高到50cm时，下滑时间就减少0.1s；
因此，“高度每增加了10cm，时间就会减少0.2秒”是错误的．
由表中数据可知A、B、D三个选项正确；
故选：C
【点睛】本题考查变量之间的关系，理解表格中两个变量之间的变化关系是解题的关键．
5. 在中，，则是（ ）
A. 直角三角形B. 锐角三角形
C. 钝角三角形D. 等腰三角形
【答案】A
【解析】
【分析】根据三角形的内角和定理及三个内角的比例关系即可解答．
【详解】解：设∠A=2x，∠B=3x，∠C=5x，
∴2x+3x+5x=180°，
解得：x=18°，
∴∠A=36°，∠B=54°，∠C=90°，
∴△ABC为直角三角形，
故答案为：A．
【点睛】本题考查了三角形的分类，根据已知条件求出三个内角的度数是解题的关键．
6. 下列给出的线段长度不能与4，3能构成三角形的是（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可得答案．
【详解】解：设第三边为，根据三角形的三边关系：，
解得：．
故选项A、B、C能构成三角形，D选项1不能构成三角形，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系定理：任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
7. 如图，用三角板作的边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形高的画法进行判断即可．
【详解】解：选项A，C，D中都不是的边上的高，
故选：B．
【点睛】此题考查了三角形的高，熟练掌握三角形高的画法是解题的关键．
8. 下列命题中，真命题有( )
①在同一平面内，两边分别平行的两角相等；②两条直线被第三条直线所截，内错角相等；③三角形的三条高线所在直线交于一点；④如果，那么；⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】A
【解析】
【分析】利用平行线的性质及判定，实数的性质等知识分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：①在同一平面内，两边分别平行的两角相等或互补，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
②两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
③三角形的三条高线所在直线交于一点，正确，是真命题，符合题意；
④如果x2＞0，那么x＞0或x＜0，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
⑤过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原命题错误，是假命题，不符合题意．
真命题有1个，
故选：A．
【点睛】此题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的性质及判定，实数的性质等知识，属于基础性知识，比较简单．
9. 如图，已知直线l1l2，直线l与l1，l2分别相交于点A，B，把一块含30°角的直角三角尺按如图位置摆放，若∠1＝130°，则∠ABD的度数为（ ）
A. 15°B. 20°C. 25°D. 30°
【答案】B
【解析】
【分析】利用平行线的性质求出∠CBA即可解决问题．
【详解】解：如图，
∵l1l2，
∴∠2+∠CBA＝180°，
∵∠2＝∠1＝130°，
∴∠CBA＝180°－∠2＝50°，
∵∠DBC＝30°，
∴∠ABD＝∠CBA－∠DBC ＝50°﹣30°＝20°，
故选：B．
【点睛】本题考查平行线的性质，对顶角相等等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
10. 如图，长为，宽为的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的是（ ）
①小长方形的较长边为；
②阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为；
③若x为定值，则阴影A和阴影B周长和为定值；
④当时，阴影A和阴影B的面积和为定值．
A. ①③B. ②④C. ①③④D. ①④
【答案】A
【解析】
【分析】由题意知，小长方形的较长边为，阴影A的较短边为，较长边为，阴影B的较短边为，较长边为15，根据各说法列代数式求解，进而可判断各说法的正误．
【详解】解：由题意知，小长方形的较长边为，①正确，故符合要求；
阴影A的较短边为，阴影B的较短边为，
∴阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为；②错误，故不符合要求；
阴影A的较长边为，阴影B的较长边为15，
∴阴影A和阴影B的周长和为，
∴若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值，③正确，故符合要求；
当时，阴影A和阴影B的面积和为，④错误，故不符合要求；
∴正确的有①③，
故选：A．
【点睛】本题考查了列代数式以及整式的混合运算．正确的列代数式表示阴影的边长是解题的关键．
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题
11. 若，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】利用同底数幂的除法的法则对式子进行整理，再代入相应的值运算即可．
【详解】解：当，时，



．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查同底数幂的除法，解答的关键是对同底数幂的除法的法则的掌握．
12. 如果a2+（k-1）ab+9b2是一个完全平方式，那么k=________．
【答案】7或-5##-5或7
【解析】
【分析】这里首末两项是a和3b这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去a和3b积的2倍．
【详解】解：解：∵a2+（k-1）ab+9b2=a2+（k-1）ab+（3b）2，
∴（k-1）ab=±2×a×3b，
∴k-1=6或k-1=-6，
解得k=7或k=-5．
故答案为：7或-5．
【点睛】本题是完全平方公式应用；两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．
13. 一个角比它的补角的少40°，这个角等于______．
【答案】15°##15度
【解析】
【分析】设这个角为x°，根据题意，得x=，解方程即可．
【详解】设这个角为x°，根据题意，得x=，
解方程，得x=15，
故这个角为15°，
故答案为：15°．
【点睛】本题考查了补角，一元一次方程的应用，熟练掌握补角的意义，解方程是解题的关键．
14. 太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯以及其他很多灯具都与抛物线有关．如图，从点照射到抛物线上的光线，等反射以后沿着与平行的方向射出．图中如果，，则________，________．
【答案】 ①. 45°##45度
②. 112°##45度
【解析】
【分析】由平行线的性质即可得出，．
【详解】由题意知AB//PQ//CD
∴
∴
故答案为：45°，112°
【点睛】本题考查了平行线的性质，两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补．
15. 已知一张三角形纸片（如图①），其中．将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到边上的点E处，折痕为，点D在边上（如图②）．再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为（如图③）．原三角形纸片中，的大小为______．

【答案】72
【解析】
【分析】根据翻折不变性可知，，利用三角形内角和定理构建方程即可解答．
【详解】设，根据翻折不变性可知，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
故答案为72．
【点睛】本题考查了翻折变换、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会转化角的关系并用方程的思想思考问题．
16. 已知动点P以每秒2cm的速度沿图1的边框按从B→C→D→E→F→A的路径移动，相应的△ABP的面积S（cm2）与时间t（秒）之间的关系如图2中的图象所示．其中AB＝6cm，a= ____，当t＝_____时，△ABP的面积是18cm2．
【答案】 ①. 24 ②. 3或14##14或3
【解析】
【分析】根据题意得：动点P在BC上运动的时间及动点的速度，可得BC、CD、DE、EF、AF的长；再根据三角形的面积公式解答即可．
【详解】解：动点P在BC上运动时，对应的时间为0到4秒，易得：BC＝2cm/秒×4秒＝8（cm）；
动点P在CD上运动时，对应时间为4到6秒，易得：CD＝2cm/秒×（6﹣4）秒＝4（cm）；
动点P在DE上运动时，对应的时间为6到9秒，易得：DE＝2cm/秒×（9﹣6）秒＝6（cm），
故图1中的BC长是8cm，DE＝6cm，EF＝6﹣4＝2（cm），
∴AF＝BC+DE＝8+6＝14（cm），
∴ 可知a＝×AB×BC＝24，
当点P在BC上运动时，△ABP的面积S＝×AB×2t＝6t，
由△ABP的面积S＝18得
6t＝18，解得t＝3，
当点P在AF上运动时，
△ABP的面积S＝AB（BC+CD+DE+EF+FA﹣2t）＝18，
解得 t＝14
故答案为：24，3或14．
【点睛】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是读懂图意，明确横轴与纵轴的意义．
三、解答题
17. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）10 （2）
【解析】
【分析】（1）先算绝对值，乘方，零指数幂，负整数指数幂，再算乘法，最后算加减即可；
（2）先算积的乘方，再算单项式乘单项式，最后算整式的除法即可．
【小问1详解】



；
【小问2详解】



．
【点睛】本题主要考查绝对值，乘方，零指数幂，负整数指数幂，整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
18. （1）；
（2）先化简，再求值：，其中，．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）先根据完全平方公式和多项式乘多项式的计算法则去括号，最后合并同类项即可；
（2）先根据完全平方公式和平方差公式去掉中括号内的小括号，再合并同类项，然后计算多项式除以单项式，最后代值计算即可．
【详解】解：（1）原式

；
（2）原式


，
当，时，
原式

．
【点睛】本题主要考查整式的混合运算和化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
19. 完成下面的推理过程．
已知：如图，与互补，，求证：．
证明：∵与互补，即 ，
∴//(______ )．
∴(______ )．
又∵，(已知)．
∴，即．( )．
∴ // ( )．
∴．( )．

【答案】(已知)；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；等式的性质；；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【解析】
【分析】首先判断，然后根据平行线的性质，以及平行线的判定方法证明，根据平行线的性质即可求解．
【详解】证明：与互补，
即（已知），
//（同旁内角互补，两直线平行），
（两直线平行，内错角相等），
又（已知），
，即（等式的性质），
//（内错角相等，两直线平行），
（两直线平行，内错角相等），
故答案为：；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；等式的性质；、；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
【点睛】本题考查了平行线的性质以及平行线的判定方法，正确证明//是关键．
20. 如图，在△ABC中，AD，AF分别是△ABC的中线和高，BE是△ABD的角平分线．
（1）若△ABC的面积为80，BD＝10，求AF的长；
（2）若∠BED＝40°，∠BAD＝25°，求∠BAF的大小．
【答案】（1）8 （2）60°
【解析】
【分析】（1）利用面积法求解即可；
（2）求出∠ABC，再根据∠BAF=90°-∠ABC求解即可．
【小问1详解】
解：∵AD是△ABC的中线，BD＝10，
∴BC＝2BD＝1×10＝20，
∵AF是△ABC的高，△ABC的面积为80，
∴BC•AF＝×20•AF＝80，
∴AF＝8；
【小问2详解】
解：在△ABE中，∠BED为它的一个外角，且∠BED＝40°，∠BAD＝25°，
∴∠ABE＝∠BED﹣∠BAD＝40°﹣25°＝15°，
∵BE是△ABD的角平分线，
∴∠ABC＝2∠ABE＝2×15°＝30°，
∵AF是△ABC的高，
∴∠AFB＝90°．
∴∠BAF＝90°﹣∠ABC＝90°﹣30°＝60°．
【点睛】本题考查三角形内角和定理、三角形面积、角平分线的定义，熟练掌握基础知识是解答本题的关键．
21. 某次大型活动，组委会启用无人机航拍活动过程，在操控无人机时应根据现场状况调节高度，已知无人机在上升和下降过程中速度相同，设无人机的飞行高度h（米）与操控无人机的时间t（分钟）之间的关系如图中的实线所示，根据图象回答下列问题：
（1）图中的自变量是______，因变量是______；
（2）无人机在75米高的上空停留的时间是______分钟；
（3）在上升或下降过程中，无人机的速度______为米/分；
（4）图中a表示的数是______；b表示的数是______；
（5）图中点A表示______．
【答案】（1）时间（或t）；高度（或h）；（2）5；（3）25；（4）2；15；（5）在第6分钟时，无人机的飞行高度为50米．
【解析】
【分析】根据图象信息得出自变量和因变量即可；
根据图象信息得出无人机在75米高的上空停留的时间分钟即可；
根据速度路程除以时间计算即可；
根据速度的汽车时间即可；
根据点的实际意义解答即可．
【详解】解：（1）横轴是时间，纵轴是高度，所以自变量是时间（或t），因变量是高度（或h）；
（2）无人机在75米高的上空停留的时间是12-7=5分钟；
（3）在上升或下降过程中，无人机的速度米/分；
（4）图中a表示的数是分钟；b表示的数是分钟；
（5）图中点A表示在第6分钟时，无人机的飞行高度为50米；
故答案为时间（或t）；高度（或h）；5；25；2；15；在第6分钟时，无人机的飞行高度为50米．
【点睛】此题考查函数图象问题，从图象中获取信息是学习函数的基本功，要结合题意熟练掌握．
22. “五一”假期，小明一家将随团到某风景区旅游，集体门票的收费标准是：25人以内（含25人），每人30元；超过25人时，超过部分每人20元．
（1）写出应收门票费y（元）与游览人数x（人）之间的关系式；
（2）若小明一家所在的旅游团购门票花了1250元，则该旅游团共有多少人．
【答案】（1）（x为整数）
（2）旅游团共有50人
【解析】
【分析】（1）当时，票价是每人30元，则，当时，超过部分每人20元，则此时的门票费为：；
（2）根据花费为元，，据此可以判断人数超过25人，即可得到，解方程即可得到答案．
【小问1详解】
解：（1）由题意得：当时，票价是每人30元
∴；
当时，超过部分每人20元，
∴，
∴综上所述：（x为整数）；
【小问2详解】
解：∵小明一家所在的旅游团购门票花了1250元，
∴，
∴旅游团购门票的张数超过25张，
∴，
解得，
∴该旅游团共有50人．
答：该旅游团共有50人．
【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
23. 阅读下列材料，完成相应的任务：
发现：每相邻两个“三角形数”的和有一定的规律．如：；；；…
（1）第5个“三角形数”与第6个“三角形数”的和为__________；
（2）第n个“三角形数”与第个“三角形数”的和的规律可用下面等式表示：__________+__________=__________，请补全等式并说明它的正确性．
【答案】（1）36 （2），，
【解析】
【分析】（1）根据第n个“三角形数”可表示为：进行求解即可；
（2）根据规律得到等式并化简即可证明．
【小问1详解】
解：第5个“三角形数”为：；
第6个“三角形数”为：；
第5个“三角形数”与第6个“三角形数”的和为：15+21=36，
故答案是：36；
【小问2详解】
+=
理由：
∵左边右边
∴原等式成立．
故答案是：，，．
【点睛】本题主要考查整式的混合运算的应用，正确理解“三角形数”的概念是解题的关键．
24. 有两个正方形A，B，边长分别为，b（a＞b）．现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙．
（1）用，b表示图甲阴影部分面积：___________；用，b表示图乙阴影部分面积：___________．
（2）若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，则正方形A，B的面积之和为_________．
（3）在（2）的条件下，三个正方形A和两个正方形B如图丙摆放，求阴影部分的面积．
【答案】（1），；（2）正方形A，B的面积之和为13；（3）阴影部分的面积为29
【解析】
【分析】（1）根据图形知甲图中阴影部分正方形的边长为，乙图中新的正方形的边长为，然后列代数式表示阴影部分面积即可；
（2）设正方形，的边长分别为，．构建方程组即可解决问题；
（3）由面积和差公式可求解．
【详解】解：（1）图甲阴影部分面积：，
图乙阴影部分面积：，
故答案是：，．
（2）设正方形，的边长分别为，，
由图甲得，由图乙得
得，
，
故答案为：13；
（3），，
，
，
，
，
，
图丙的阴影部分面积
．
【点睛】本题考查了完全平方公式，正方形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程组解决问题．
25. 以直线上一点O为端点作射线，使，将一个直角角板的直角顶点放在O处，即．

（1）如图1，若直角三角板的一边放在射线上，则 ；
（2）如图2，将直角三角板绕点O顺时针转动到某个位置，
①若恰好平分，则 ；
②若在内部，请直接写出与有怎样的数量关系；
（3）将直角三角板绕点O顺时针转动(与重合时为停止)的过程中，恰好有，求此时的度数．
【答案】（1）
（2）①；②
（3）的度数为或
【解析】
【分析】（1）利用余角的定义可求解；
（2）由平角的定义及角平分线的定义求解的度数，进而可求解；
由，，结合的度数可求解；
（3）可分两种情况：当在的内部时，当在的外部时，根据角的和差可求解．
【小问1详解】
由题意得：，
，
，
故答案为；
【小问2详解】
，，
，
平分，
，
，
，
故答案为；
，，
，
，
，
，
即与数量关系为：．
【小问3详解】
当在的内部时，

，而，
，
，，
，
又，
，
；
当在的外部时，

，而，
，
，，
，
又，
，
，
综上所述：的度数为或．
【点睛】本题主要考查余角的定义，角的和差，角平分线的定义等知识的综合运用，分类讨论是解题的关键．
26. 珠江某河段两岸安置了两座可旋转探照灯A，B．如图1，2所示，假如河道两岸是平行的，，且，灯A射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯B射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视，且灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度．

（1）填空： °；
（2）若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？
（3）如图3，若两灯同时转动，在灯A射线到达之前，若两灯发出的射线与交于点C，过C作交PQ于点D，且，则在转动过程中，请探究与的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）60 （2）当秒或110秒时，两灯的光束互相平行
（3），见解析
【解析】
【分析】（1）根据，：：，即可得到的度数；
（2）设灯转动秒，两灯的光束互相平行，分两种情况进行讨论：当时，根据，可得；当时，根据，可得；
（3）设灯射线转动时间为秒，根据，，即可得出：：，据此可得和关系不会变化．
【小问1详解】
，，
，
故答案为：；
【小问2详解】
设灯转动秒，两灯的光束互相平行，

当时，如图，
，
，
，
，
，
解得 ；
当时，如图，
，
，
，
，
解得 ，
综上所述，当秒或秒时，两灯的光束互相平行；
【小问3详解】
．
理由：设灯射线转动时间为秒，

，
，
又，
，而，
，
：：，
即．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．支撑物高（）
10
20
30
40
50
…
下滑时间（）
3.25
3.01
2.81
2.66
2.56
…
三角形数
古希腊著名数学家的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，．．．，这样的数称为“三角形数”，第n个“三角形数”可表示为：．