初中数学人教版七年级下册5.1.2 垂线第2课时综合训练题

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考点1 垂直的定义
1．（2022春•梅里斯区期末）如图，点O为直线AB上一点，OC⊥OD，若∠1＝35°，则∠2的度数是（ ）
A．35°B．45°C．55°D．65°
思路引领：首先根据垂线的定义可知：∠COD＝90°，从而可得到∠1+∠2＝90°，由∠1＝35°，即可得出结果．
解：∵OC⊥OD，
∴∠COD＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∵∠1＝35°，
∴∠2＝55°，
故选：C．
总结提升：本题主要考查的是垂线的定义、角的互余关系；熟练掌握垂线的定义是解决问题的关键．
2．（2013•德宏州）如图，三条直线相交于点O．若CO⊥AB，∠1＝56°，则∠2等于（ ）
A．30°B．34°C．45°D．56°
思路引领：根据垂线的定义求出∠3，然后利用对顶角相等解答．
解：∵CO⊥AB，∠1＝56°，
∴∠3＝90°﹣∠1＝90°﹣56°＝34°，
∴∠2＝∠3＝34°．
故选：B．
总结提升：本题考查了垂线的定义，对顶角相等的性质，是基础题．
3．如图，已知OA⊥OB，OC⊥OD，∠AOC＝27°，则∠BOD的度数是（ ）
A．117°B．127°C．153°D．163°
思路引领：利用周角是360°进行计算即可．
解：∵OA⊥OB，OC⊥OD，
∴∠AOB＝∠COD＝90°，
∵∠AOB+∠COD+∠AOC+∠BOD＝360°，∠AOC＝27°，
∴∠BOD＝153°，
故选：C．
总结提升：本题考查的是周角的定义，一个周角是360°是解题的关键．
4．（2014•河南）如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM，若∠AOM＝35°，则∠CON的度数为（ ）
A．35°B．45°C．55°D．65°
思路引领：由射线OM平分∠AOC，∠AOM＝35°，得出∠MOC＝35°，由ON⊥OM，得出∠CON＝∠MON﹣∠MOC得出答案．
解：∵射线OM平分∠AOC，∠AOM＝35°，
∴∠MOC＝35°，
∵ON⊥OM，
∴∠MON＝90°，
∴∠CON＝∠MON﹣∠MOC＝90°﹣35°＝55°．
故选：C．
总结提升：本题主要考查了垂线和角平分线，解决本题的关键是找准角的关系．
5．已知在同一平面内：①两条直线相交成直角；②两条直线互相垂直；③一条直线是另一条直线的垂线．那么下列因果关系：①→②③；②→①③：③→①②中，正确的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
思路引领：分别用①、②、③作为条件，依据垂直的定义分别进行判断即可．
解：①作为条件，②③为结论正确；
②作为条件，①③为结论正确；
③作为条件，①②为结论正确．
故选：D．
总结提升：本题主要考查垂直的定义，熟练掌握定义是解题的关键．
6．（2018春•兴义市期中）如图，∠PQR＝138°．SQ⊥QR于Q，QT⊥PQ于Q，则∠SQT等于 42° ．
思路引领：利用垂直的概念和互余的性质计算．
解：∵∠PQR等于138°，QT⊥PQ，
∴∠PQS＝138°﹣90°＝48°，
又∵SQ⊥QR，
∴∠PQT＝90°，
∴∠SQT＝42°．
故答案是：42°．
总结提升：本题是对有公共部分的两个直角的求角度的考查，注意直角的定义和度数．
考点2 垂线的画法
7．（2022春•平泉市期末）下列选项中，过点P画AB的垂线CD，三角板放法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
思路引领：根据过直线外一点作已知直线的垂线做法及三角板的特征直接可得．
解：∵三角板有一个角是直角．
∴三角板的一条直角边与直线AB重合．
∵过点P作直线AB的垂线．
∴三角板的另一条直角边过点P．
∴符合上述条件的图形只有选项C．
故选：C．
总结提升：本题考查了过直线外一点作已知直线的垂线，熟记其做法是解题的关键．
8．过一条线段外一点，画出这条线段的垂线，垂足在（ ）
A．这条线段上B．这条线段的端点
C．这条线段的延长线上D．以上都有可能
思路引领：画一条线段的垂线，就是画线段所在的直线的垂线，进而得出答案．
解：由垂线的定义可知，画一条线段的垂线，垂足可以在线段上，可以是线段的端点，也可以在线段的延长线上．
故选：D．
总结提升：本题考查了线段垂线的画法，正确把握垂线的定义是解题关键．
9．各图中，用三角板分别过点C画线段AB的垂线．
思路引领：根据垂直的定义，借助三角板的直角可画出垂线段．
解：
总结提升：本题主要考查了垂线段的画法．
考点3 垂线的性质
10．在同一平面内，下列语句正确的是（ ）
A．过一点有无数条直线与已知直线垂直
B．和一条直线垂直的直线有两条
C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．若两直线相交，则它们一定垂直
思路引领：平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，可以判断A，B，C的说法；
两直线相交，只有当夹角为直角时，两直线才垂直，据此对D选项进行判断．
解：平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故A，B不符合题意，C符合题意；
两直线相交，只有当夹角为直角时，两直线才垂直，故D不符合题意．
故选：C．
总结提升：本题考查了垂线，掌握垂线的性质、垂线的定义是解题的关键．
11．（2022春•沂水县期中）如果直线ON⊥直线a，直线OM⊥直线a，那么OM与ON重合（即O，M，N三点共线），其理由是（ ）
A．两点确定一条直线
B．在同一平面内，过两点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．两点之间，线段最短
思路引领：利用垂线的性质解答．
解：如果直线ON⊥直线a，直线OM⊥直线a，那么OM与ON重合（即O，M，N三点共线），其理由是在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，
故选：C．
总结提升：此题主要考查了垂线，关键是掌握垂线的性质．
三、易错点
易错点 误认为垂足一定要在线段或射线上而导致错误
12．（1）在图①中，过AB外一点M作AB的垂线；
（2）在图②中，分别过A，B作OB，OA的垂线．
思路引领：（1）利用直角三角板，一条直角边与AB重合，沿AB平移，是另一直角边过M，再沿直角边过M画直线即可；
（2）利用直角三角板，延长BO，AO进而作出垂线．
解：（1）如图1所示；
（2）如图2所示．
总结提升：此题主要考查了基本作图，关键是掌握利用直角三角板画垂线的方法．
误点警示;误认为垂足一定要在线段或射线上而导致错误
拔尖角度
角度1 利用垂直的定义和周角求角
13．已知OA⊥OB，OC⊥OD．
（1）如图①，若∠BOC＝50°，求∠AOD的度数；
（2）如图②，若∠BOC＝60°，求∠AOD的度数；
（3）根据（1）（2）结果猜想∠AOD与∠BOC有怎样的关系？并根据图①说明理由；
（4）如图②，若∠BOC：∠AOD＝7：29，求∠COB和∠AOD的度数．
思路引领：（1）根据垂线的定义，可得∠AOB与∠COD的度数，根据余角的定义，可得∠AOC，根据角的和差，可得答案；
（2）根据角的和差，可得答案；
（3）根据角的和差，可得答案；
（4）根据按比例分配，可得答案．
解：（1）由OA⊥OB，OC⊥OD，得
∠AOB＝∠COD＝90°．
由余角的定义，得
∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝90°﹣50°＝40°，
由角的和差，得
∠AOD＝∠AOC+∠COD＝40°+90°＝130°；
（2）由OA⊥OB，OC⊥OD，得
∠AOB＝∠COD＝90°．
由角的和差，得
∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠BOC﹣∠COD＝360°﹣90°﹣60°﹣90°＝120°；
（3）∠AOD+∠BOC＝180°，
∠AOD+∠BOC＝130°+50°＝180°；
（4）由角的和差，得∠AOD+∠BOC＝360°﹣∠AOB﹣∠COD＝180°，
按比例分配，得
∠BOC＝180°×77+29=35°
∠AOD＝180°×297+29=145°．
总结提升：本题考查了垂线，利用角的和差得出∠AOD+∠BOC是解题关键，又利用了按比例分配．
角度2 利用垂直的定义求角(分类讨论思想)
14．（2021秋•贵溪市期末）在直线AB上任取一点O，过点O作射线OC、OD，使OC⊥OD，当∠AOC＝30°时，∠BOD的度数是 ．
思路引领：先根据题意可得OC分在AB同侧和异侧两种情况讨论，并画出图，然后根据OC⊥OD与∠AOC＝30°，计算∠BOD的度数．
解：当OC、OD在直线AB同侧时，如图：
∵OC⊥OD，∠AOC＝30°；
∴∠BOD＝180°﹣∠COD﹣∠AOC＝180°﹣90°﹣30°＝60°；
当OC、OD在直线AB异侧时，如图：
∵OC⊥OD，∠AOC＝30°；
∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝180°﹣（∠DOC﹣∠AOC）＝180°﹣（90°﹣30°）＝120°．
故答案为：60°或120°．
总结提升：解答此类问题时，要注意对不同的情况进行讨论，避免出现漏解．
角度3 利用垂直的定义、对顶角（或邻补角）的性质求角
15．（2021秋•下城区期末）如图，直线AB与CD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CD．
（1）图中∠COE的余角是 ．（请符合条件的角都写出来）；
（2）图中除直角外，还有相等的角，请写出三对；
① ；② ；③ ．
（3）若∠AOF＝3∠COE，求∠COE的度数（请写出解答过程）．
思路引领：（1）根据图形及余角的定义可得出答案．
（2）根据图形可找出三对相等角．
（3）观察图形根据∠AOF＝3∠COE，可知∠AOC＝∠EOC＝∠EOF，由此可得出答案．
解：（1）图中∠COE的余角是∠AOC，∠EOF，∠BOD．（请符合条件的角都写出来）；
（2）图中除直角外，还有相等的角，请写出三对；
①∠AOC＝∠EOF；②∠AOC＝∠BOD；③∠EOF＝∠BOD．
（3）∵∠AOF＝3∠COE，∠AOC＝∠EOF，
∴∠COE＝∠AOC，
∵OE⊥AB，
∴∠COE+∠AOC＝90°，
∴∠COE＝45°．
故∠COE的度数是45°．
故答案为：∠AOC，∠EOF，∠BOD；∠AOC＝∠EOF；∠AOC＝∠BOD；∠EOF＝∠BOD．
总结提升：本题考查余角和补角的知识，有一定难度，关键是仔细地观察图形，注意不要遗漏满足条件的角．
16．（2017春•硚口区期中）如图，AB交CD于O，OE⊥AB．
（1）若∠EOD＝20°，求∠AOC的度数；
（2）若∠AOC：∠BOC＝1：2，求∠EOD的度数．
思路引领：（1）利用垂直的定义，∠AOE＝90°，即可得出结果；
（2）利用邻补角的定义，解得∠AOC＝60°，有对顶角的定义，得∠BOD＝60°，解得∠EOD．
解：（1）∵OE⊥AB，
∴∠AOE＝90°，
∵∠EOD＝20°，
∴∠AOC＝180°﹣90°﹣20°＝70°；
（2）设∠AOC＝x，则∠BOC＝2x，
∵∠AOC+∠BOC＝180°，
∴x+2x＝180°，
解得：x＝60°，
∴∠AOC＝60°，
∴∠BOD＝60°，
∴∠EOD＝180°﹣90°﹣60°＝30°．
总结提升：本题主要考查了垂直的定义，邻补角的定义，对顶角的性质，熟练掌握垂直的定义，邻补角的定义是解决此题的关键．
角度4 利用垂线的作法探究两角关系（验证法）
17．（2014春•普陀区校级期末）（1）在图1中以P为顶点画∠P，使∠P的两边分别和∠1的两边垂直．
（2）量一量∠P和∠1的度数，它们之间的数量关系是 ．
（3）同样在图2和图3中以P为顶点作∠P，使∠P的两边分别和∠1的两边垂直，分别写出图2和图3中∠P和∠1的之间数量关系．（不要求写出理由）图2： 图3：
（4）由上述三种情形可以得到一个结论：如果一个角的两边分别和另一个角的两边垂直，那么这两个角 ．（不要求写出理由）
思路引领：（1）过点P作∠1两边的垂线段即可，
（2）从图形中得出∠P+∠1＝180°，
（3）分别作图得出角的关系．
（4）由上面的情况得出结论．
解：（1）如图1，
（2）∠P+∠1＝180°，
故答案为：∠P+∠1＝180°．
（3）如图2，
则∠P＝∠1；
如图3，
则∠P+∠1＝180°或∠P＝∠1；
故答案为：∠P＝∠1，∠P+∠1＝180°或∠P＝∠1；．
（4）相等或互补
故答案为：相等或互补．
总结提升：本题主要考查了垂线的定义，解题的关键是分析题意，利用作图即可解决问题．