初中数学人教版七年级下册9.2 一元一次不等式精练

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1．（2017•齐齐哈尔）为有效开展“阳光体育”活动，某校计划购买篮球和足球共50个，购买资金不超过3000元．若每个篮球80元，每个足球50元，则篮球最多可购买（ ）
A．16个B．17个C．33个D．34个
思路引领：设买篮球m个，则买足球（50﹣m）个，根据购买足球和篮球的总费用不超过3000元建立不等式求出其解即可．
解：设买篮球m个，则买足球（50﹣m）个，根据题意得：
80m+50（50﹣m）≤3000，
解得：m≤1623，
∵m为整数，
∴m最大取16，
∴最多可以买16个篮球．
故选：A．
总结提升：本题考查了列一元一次不等式解实际问题的运用，解答本题时找到建立不等式的不等关系是解答本题的关键．
2．（2017•怀化）为加强中小学生安全教育，某校组织了“防溺水”知识竞赛，对表现优异的班级进行奖励，学校购买了若干副乒乓球拍和羽毛球拍．购买2副乒乓球拍和1副羽毛球拍共需116元；购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需204元．
（1）求购买1副乒乓球拍和1副羽毛球拍各需多少元；
（2）若学校购买乒乓球拍和羽毛球拍共30副，且支出不超过1480元，则最多能够购买多少副羽毛球拍？
思路引领：（1）设购买一副乒乓球拍x元，一副羽毛球拍y元，由购买2副乒乓球拍和1副羽毛球拍共需116元，购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需204元，可得出方程组，解出即可．
（2）设可购买a副羽毛球拍，则购买乒乓球拍（30﹣a）副，根据购买足球和篮球的总费用不超过1480元建立不等式，求出其解即可．
解：（1）设购买一副乒乓球拍x元，一副羽毛球拍y元，
由题意得，2x+y=1163x+2y=204，
解得：x=28y=60．
答：购买一副乒乓球拍28元，一副羽毛球拍60元．
（2）设可购买a副羽毛球拍，则购买乒乓球拍（30﹣a）副，
由题意得，60a+28（30﹣a）≤1480，
解得：a≤20，
答：这所中学最多可购买20副羽毛球拍．
总结提升：本题考查了二元一次方程组及一元一次不等式的应用，解答本题的关键是仔细审题，找到等量关系及不等关系，难度一般．
应用2 销售问题
3．（2021春•镇平县期末）某商场销售A、B两种商品，售出1件A种商品和4件B种商品所得利润为600元；售出3件A种商品和5件B种商品所得利润为1100元．
（1）求每件A种商品和每件B种商品售出后所得利润分别为多少元；
（2）由于需求量大，A、B两种商品很快售完，该商场决定再一次购进A、B两种商品共35件，如果将这35件商品全部售完后所得利润高于4000元，那么该商场至少需购进多少件A种商品？
思路引领：（1）设售出每件A种商品所得利润为x元，售出每件B种商品所得利润为y元，根据“售出1件A种商品和4件B种商品所得利润为600元；售出3件A种商品和5件B种商品所得利润为1100元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进m件A种商品，则购进（35﹣m）件B种商品，根据总利润＝售出每件商品的利润×销售数量结合总利润高于4000元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小整数值即可得出结论．
解：（1）设售出每件A种商品所得利润为x元，售出每件B种商品所得利润为y元，
依题意，得：x+4y=6003x+5y=1100，
解得：x=200y=100．
答：售出每件A种商品所得利润为200元，售出每件B种商品所得利润为100元．
（2）设购进m件A种商品，则购进（35﹣m）件B种商品，
依题意，得：200m+100（35﹣m）＞4000，
解得：m＞5．
∵m为整数，
∴m的最小值为6．
答：该商场至少需购进6件A种商品．
总结提升：本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
应用3 打折问题
4．（2020春•崇州市期末）小明用的练习本可以到甲超市购买，也可以到乙超市购买．已知两超市的标价都是每本1元，但甲超市的优惠条件是购买10本以上，从第11本开始按标价的70%卖；乙超市的优惠条件是每本都按标价的85%卖．
（1）当小明要买20本时，到哪家超市购买较省钱？
（2）写出在甲超市购买，总价y甲（元）与购买本数x（本）（x＞10）的关系式
（3）小明现有24元，最多可以买多少本练习本？
思路引领：（1）根据两家超市的优惠条件进行计算即可；
（2）当x＞10时，y＝1×10+1×70%（x﹣10）＝0.7x+3，求解即可；
（3）由（1）（2）知，超过17元时，甲商店每本显然低于乙店，故用24元应到甲商店买，当y＝24时，24＝0.7x+3，求解即可．
解：（1）甲超市收款为：1×10+1×70%×（20﹣10）＝17（元），
乙超市收款为：1×85%×20＝17（元），
∴小明要买20本时，到两家超市购买的费用相同；
（2）当x＞10时，y＝1×10+1×70%（x﹣10）＝0.7x+3，
即总价y甲（元）与购买本数x（本）（x＞10）的关系式为y＝0.7x+3；
（3）由（1）（2）知，超过17元时，甲商店每本显然低于乙店，故用24元应到甲商店买，
当y＝24时，24＝0.7x+3，
解得：x＝30，
答：小明用24元最多可买30本．
总结提升：此题考查了一元一次不等式的应用，函数关系式等知识；求出总价y甲与购买本数x（x＞10）的关系式是解题的关键．
应用4 积分问题
5．（2017•沈阳）小明要代表班级参加学校举办的消防知识竞赛，共有25道题，规定答对一道题得6分，答错或不答一道题扣2分，只有得分超过90分才能获得奖品，问小明至少答对多少道题才能获得奖品？
思路引领：在这次竞赛中，小明获得优秀（90分以上），即小明的得分＞90分，设小明答对了x，就可以列出不等式，求出x的值即可．
解：设小明答对了x题，根据题意可得：
（25﹣x）×（﹣2）+6x＞90，
解得：x＞1712，
∵x为非负整数，
∴x至少为18，
答：小明至少答对18道题才能获得奖品．
总结提升：此题主要考查了一元一次不等式的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，正确利用代数式表示出小明的得分．
6．（2019•苏州一模）某次篮球联赛初赛段，每队有10场比赛，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分，积分超过15分才能获得决赛资格．
（1）已知甲队在初赛阶段的得分为17分，求甲队初赛阶段胜、负各多少场；
（2）如果乙队要获得参加决赛资格，那么乙队在初赛阶段至少要胜多少场？
思路引领：（1）设甲队胜了x场，则负了（10﹣x）场，根据每队胜一场得2分，负一场得1分，利用甲队在初赛阶段的积分为17分，进而得出等式求出答案；
（2）设乙队在初赛阶段胜a场，根据积分超过15分才能获得参赛资格，进而得出答案．
解：（1）设甲队胜了x场，则负了（10﹣x）场，根据题意可得：
2x+10﹣x＝17，
解得：x＝7，
则10﹣x＝3，
答：甲队胜了7场，则负了3场；
（2）设乙队在初赛阶段胜a场，根据题意可得：
2a+（10﹣a）＞15，
解得：a＞5，
答：乙队在初赛阶段至少要胜6场．
总结提升：此题主要考查了一元一次不等式的应用以及一元一次方程的应用，正确表示出球队的得分是解题关键．
应用5 门票问题
7．（2017•南充）学校准备租用一批汽车，现有甲、乙两种大客车，甲种客车每辆载客量45人，乙种客车每辆载客量30人．已知1辆甲种客车和3辆乙种客车共需租金1240元，3辆甲种客车和2辆乙种客车共需租金1760元．
（1）求1辆甲种客车和1辆乙种客车的租金分别是多少元？
（2）学校计划租用甲、乙两种客车共8辆，送330名师生集体外出活动，最节省的租车费用是多少？
思路引领：（1）可设1辆甲种客车的租金是x元，1辆乙种客车的租金是y元，根据等量关系：①1辆甲种客车和3辆乙种客车共需租金1240元，②3辆甲种客车和2辆乙种客车共需租金1760元，列出方程组求解即可；
（2）由于求最节省的租车费用，可知租用甲种客车6辆，租用乙客车2辆，进而求解即可．
解：（1）设1辆甲种客车的租金是x元，1辆乙种客车的租金是y元，依题意有
x+3y=12403x+2y=1760，
解得x=400y=280．
故1辆甲种客车的租金是400元，1辆乙种客车的租金是280元；
（2）方法1：租用甲种客车6辆，租用乙客车2辆是最节省的租车费用，
400×6+280×2
＝2400+560
＝2960（元）．
方法2：设租用甲种客车x辆，依题意有
45x+30（8﹣x）≥330，
解得x≥6，
租用甲种客车6辆，租用乙客车2辆的租车费用为：
400×6+280×2
＝2400+560
＝2960（元）；
租用甲种客车7辆，租用乙客车1辆的租车费用为：
400×7+280
＝2800+280
＝3080（元）；
2960＜3080，
故最节省的租车费用是2960元．
总结提升：本题考查一元一次不等式及二元一次方程组的应用，解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式及所求量的等量关系．
应用6 租车问题
8．（2022•杭州模拟）市政府计划建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为106立方米，某运输公司承担了运送土石方的任务．
（1）设该公司平均每天运送土石方总量为y立方米，完成运送任务所需时间为t天．
①求y关于t的函数表达式．
②当0＜t≤80时，求y的取值范围．
（2）若1辆卡车每天可运送土石方102立方米，工期要求在80天内完成，公司至少要安排多少辆相同型号卡车运输？
思路引领：（1）①根据题意可知，运输公司平均每天的工作量y（m3/天）与完成运送任务所需的时间t（天）之间的函数关系，得出函数关系；②根据反比例函数的性质以及自变量的取值范围得出y的取值范围；
（2）根据题意直接列出不等式，求解即可．
解：（1）①由题意得；y=106t，
∴y关于t的函数表达式为y=106t；
②当0＜t≤80时，y随t的增大而减小，
∴当t＝80时，y有最小值为10680=12500，
当t接近于0，y的值越来越接近y轴，趋于无穷大，
∴y的取值范围为y≥12500；
（2）设至少要安排x辆相同型号卡车运输，
依题意得：102x×80≥106，
解得：x≥125，
∴公司至少要安排125辆相同型号卡车运输．
总结提升：本题考查反比例函数的应用，关键是根据题意列出反比例函数解析式．
应用7 工程问题
9．（2016•泰安模拟）市政府建设一项水利工程，某运输公司承担运送总量为106m3的土石方任务，该公司有甲、乙两种型号的卡车共100辆，甲型车平均每天可以运送土石方80m3，乙型车平均每天可以运送土石方120m3，计划100天完成运输任务．
（1）该公司甲、乙两种型号的卡车各有多少台？
（2）如果该公司用原有的100辆卡车工作了40天后，由于工程进度的需要，剩下的所有运输任务必须在50天内完成，在甲型卡车数量不变情况下，公司至少应增加多少辆乙型卡车？
思路引领：（1）可设该公司甲种型号的卡车有x台，乙种型号的卡车有y台，根据等量关系：该公司有甲、乙两种型号的卡车共100辆；某运输公司承担运送总量为106m3的土石方任务；列出方程组求解即可；
（2）可设公司增加z辆乙型卡车，根据不等关系：剩下的所有运输任务必须在50天内完成，列出不等式求解即可．
解：（1）可设该公司甲种型号的卡车有x台，乙种型号的卡车有y台，依题意有
x+y=100100(80x+120y)=106，
解得x=50y=50．
答：设该公司甲种型号的卡车有50台，乙种型号的卡车有50台；
（2）设公司增加z辆乙型卡车，依题意有
40（80×50+120×50）+50[80×50+120×（50+z）]≥106，
解得z≥1623，
∵z为整数，
∴公司至少应增加17辆乙型卡车．
总结提升：考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的不等关系，列出不等式，再求解．
10．（2017•益阳）我市南县大力发展农村旅游事业，全力打造“洞庭之心湿地公园”，其中罗文村的“花海、涂鸦、美食”特色游享誉三湘，游人如织．去年村民罗南洲抓住机遇，返乡创业，投入20万元创办农家乐（餐饮+住宿），一年时间就收回投资的80%，其中餐饮利润是住宿利润的2倍还多1万元．
（1）求去年该农家乐餐饮和住宿的利润各为多少万元？
（2）今年罗南洲把去年的餐饮利润全部用于继续投资，增设了土特产的实体店销售和网上销售项目．他在接受记者采访时说：“我预计今年餐饮和住宿的利润比去年会有10%的增长，加上土特产销售的利润，到年底除收回所有投资外，还将获得不少于10万元的纯利润．”请问今年土特产销售至少有多少万元的利润？
思路引领：（1）设去年餐饮利润为x万元，住宿利润为y万元，根据题意列出方程组，求出方程组的解即可得到结果；
（2）设今年土特产的利润为m万元，根据题意列出不等式，求出不等式的解集即可得到结果．
解：（1）设去年餐饮利润x万元，住宿利润y万元，
依题意得：x+y=20×80%x=2y+1，
解得：x=11y=5，
答：去年餐饮利润11万元，住宿利润5万元；
（2）设今年土特产利润m万元，
依题意得：16+16×（1+10%）+m﹣20﹣11≥10，
解之得，m≥7.4，
答：今年土特产销售至少有7.4万元的利润．
总结提升：此题考查了一元一次不等式的应用，以及二元一次方程组的应用，弄清题中的不等及相等关系是解本题的关键．
11．（2022春•宜丰县校级期中）某地新建的一个企业，每月将产生2021吨污水，为保护环境，该企业计划购置污水处理器，并在如下两个型号中选择：
已知商家售出的2台A型3台B型污水处理器的总价为44万元；售出的1台A型、4台B型污水处理器的总价为42万元．
（1）求每台A型、B型污水处理器的价格；
（2）为确保将每月产生的污水全部处理完，该企业决定购买上述A，B两种型号污水处理器共9台．
①该企业有几种购买方案？
②哪种方案费用最低？最低费用是多少？
思路引领：（1）设每台A型污水处理器x万元，每台B型污水处理器y万元，根据“商家售出的2台A型、3台B型污水处理器的总价为44万元；售出的1台A型、4台B型污水处理器的总价为42万元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）①设购买A型污水处理器m台，则购买B型污水处理器（9﹣m）台，根据每个月至少处理污水2020吨，即可得出关于m的一元一次不等式，结合m，（9﹣m）均为正整数，即可得出各购买方案；
②根据总价＝单价×数量，可分别求出各购买方案所需费用，比较后即可得出结论．
解：（1）设每台A型污水处理器的价格是x万元，每台B型污水处理器的价格是y万元．
依题意，得：，
解得：x=10y=8．
答：每台A型污水处理器的价格是10万元，每台B型污水处理器的价格是8万元．
（2）①设该企业决定购买A型污水处理器a台，则购买B型污水处理器（9﹣a）台．
依题意得240a+180（9﹣a）≥2021．
解得a≥40160，则整数a＝7、8或9．
故该企业有三种购买方案：
方案1：购买A型号污水处理器7台、B型号污水处理器2台；
方案2：购买A型号污水处理器8台、B型号污水处理器1台；
方案3：全部购买A型号污水处理器9台．
②方案1费用为：7×10+2×8＝86（万元）；
方案2费用为：8×10+1×8＝88（万元）；
方案3费用为：9×10＝90（万元）．
答：方案1费用最低，最低费用为86万元．
总结提升：本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）①根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；②利用总价＝单价×数量，分别求出各购买方案所需费用．
12．（2017•山西）“春种一粒粟，秋收万颗子”，唐代诗人李绅这句诗中的“粟”即谷子（去皮后则称为“小米”），被誉为中华民族的哺育作物．我省有着“小杂粮王国”的美誉，谷子作为我省杂粮谷物中的大类，其种植面积已连续三年全国第一．2016年全国谷子种植面积为2000万亩，年总产量为150万吨，我省谷子平均亩产量为160kg，国内其他地区谷子的平均亩产量为60kg，请解答下列问题：
（1）求我省2016年谷子的种植面积是多少万亩．
（2）2017年，若我省谷子的平均亩产量仍保持160kg不变，要使我省谷子的年总产量不低于52万吨，那么，今年我省至少应再多种植多少万亩的谷子？
思路引领：（1）可设我省2016年谷子的种植面积是x万亩，其他地区谷子的种植面积是y万亩，根据2016年全国谷子年总产量为150万吨列出方程组求解即可；
（2）可设我省应种植z万亩的谷子，根据我省谷子的年总产量不低于52万吨列出不等式求解即可．
解：（1）设我省2016年谷子的种植面积是x万亩，其他地区谷子的种植面积是y万亩，依题意有
x+y=20001601000x+601000y=150，
解得x=300y=1700．
答：我省2016年谷子的种植面积是300万亩．
（2）设我省应种植z万亩的谷子，依题意有
1601000z≥52，
解得z≥325，
325﹣300＝25（万亩）．
答：今年我省至少应再多种植25万亩的谷子．
总结提升：考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系和不等关系．污水处理器型号
A型
B型
处理污水能力（吨/月）
240
180