高考数学二轮复习压轴题专题17 数列（选填压轴题）（2份打包，原卷版+教师版）

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TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc19191" ①等差数列 PAGEREF _Tc19191 \h 1
\l "_Tc14082" ②等比数列 PAGEREF _Tc14082 \h 7
\l "_Tc4920" ③数列的通项 PAGEREF _Tc4920 \h 14
\l "_Tc17410" ④递推数列 PAGEREF _Tc17410 \h 19
\l "_Tc11793" ⑤数列求和 PAGEREF _Tc11793 \h 23
\l "_Tc21644" ⑥数列的极限 PAGEREF _Tc21644 \h 28
\l "_Tc25942" ⑦等差数列与等比数列综合 PAGEREF _Tc25942 \h 33
\l "_Tc20406" ⑧数列不等式 PAGEREF _Tc20406 \h 37
\l "_Tc32271" ⑨数列新定义 PAGEREF _Tc32271 \h 40
①等差数列
1．（2023·福建宁德·校考二模）已知是数列的前项和，，，，数列是公差为1的等差数列，则（ ）
A．366B．367C．368D．369
【答案】A
【详解】设，由题意是公差为的等差数列，则，
故，则，
故
于是
.
故选：A
2．（2023·江西上饶·校联考模拟预测）在正项数列中，，记．整数满足，则数列的前项和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】因为，
所以为首项是1，公差是1的等差数列，
所以，
所以，
的前项和为，
整数满足，
所以，
是整数，
所以，
所以则数列的前项和为：
.
故选：C.
3．（多选）（2023·山东·山东省实验中学校考一模）已知为等差数列，前n项和为，，公差，则（ ）．
A．
B．
C．当或6时，取得最大值为30
D．数列与数列共有671项互为相反数
【答案】ABC
【详解】数列为等差数列，前n项和为，，公差，
则有，A正确；
因为，所以，B正确；
因为，即数列为递减等差数列，且当时，，
因此数列的前5项均为正，第6项为0，从第7项起为负，
所以当或6时，取得最大值，C正确；
令数列的第n项与数列的第m项互为相反数，即，
于是，而，则为偶数，令，有，
因此数列与数列成互为相反数的项构成等差数列，且，
显然，即，又，则，
所以数列与数列共有670项互为相反数，D错误.
故选：ABC
4．（多选）（2023·湖南长沙·周南中学校考三模）已知数列的前n项和是，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则是等差数列
B．若，，则是等比数列
C．若是等差数列，则，，成等差数列
D．若是等比数列，则，，成等比数列
【答案】ABC
【详解】对于A，，时，，解得，因此，，是等差数列，A正确；
对于B，，，则，而，是等比数列，B正确；
对于C，设等差数列的公差为，首项是，
，
，
因此，则 ，成等差数列，C正确；
对于D，若等比数列的公比，则 不成等比数列，D错误.
故选：ABC
5．（2023·福建泉州·校联考模拟预测）已知是等差数列{}的前n项和，若仅当时取到最小值，且，则满足的n的最小值为 .
【答案】11
【详解】因为，当时取到最小值，
所以，所以，
因为，所以，即，所以.
，则，因为，
所以，解之得：,因为，所以n的最小值为11.
故答案为：11.
6．（2023·上海青浦·统考二模）已知数列满足，若满足且对任意，都有，则实数的取值范围是 .
【答案】
【详解】由题意数列的通项公式为，,满足
，且对任意的恒成立，
当时，显然不合题意，根据二次函数性质可得，解得
，所以实数的取值范围是.
故答案为：.
7．（2023·福建福州·福州四中校考模拟预测）已知无穷等差数列中的各项均大于0，且，则的最小值为 .
【答案】
【详解】根据题意，设等差数列的公差为，由于无穷等差数列中的各项均大于0，则，
由于，则，解得或（舍去），
所以，
因为，所以，
令（），则，
由，得，得，解得或（舍去）。
当时，，当时，，
所以在上递减，在上递增，
所以当时，取得最小值，
所以的最小值为，
故答案为：
8．（2023·海南省直辖县级单位·文昌中学校考模拟预测）已知各项都不为0的数列的前项和满足，其中，设数列的前项和为，若对一切，恒有成立，则能取到的最大整数是 .
【答案】
【详解】因为，当时，，
两式相减可得，即，
因为数列的各项都不为0，所以，
因为，所以，
数列的奇数项是以1为首项，公差为2的等差数列，所以；
数列的偶数项是以2为首项，公差为2的等差数列，所以，
故数列的通项公式为，可得，所以，
令，
，
，则，
所以随着的增大而增大，即在处取最小值，，
又因为对一切，恒有成立，所以，解得，
故能取到的最大整数是.
故答案为：.
9．（2023·山东烟台·统考三模）如图，某数阵满足：每一行从左到右成等差数列，每一列从上到下成公比相同的等比数列，数阵中各项均为正数，，，则 ；在数列中的任意与两项之间，都插入个相同的数，组成数列，记数列的前项和为，则 ．
【答案】
【详解】设第一行公差为，各列的公比为且，且，
则，，，，
所以，则，
由各项均为正数，故，则，即，
综上，，故，
由上，前n项为，且，
故在之前共有项，
则，则，
综上，前70项为，
.
故答案为：，
10．（2023·云南·校联考模拟预测）定义表示与实数的距离最近的整数（当为两相邻整数的算术平均值时，取较大整数），如，，，，令函数，数列的通项公式为，其前项和为，则 ； .
【答案】 4 89
【详解】空1：因为，，，，，，所以；
空2：根据，当时，，则，，
当时，，则，，
当时，，则，，
当时，，则，，
以此类推，将重新分组如下，，
第组有个数，且每组中所有数之和为，
设在第组中，
则，可得，解得，故在第45组，
前面共有44组，共1980项，所以.
故答案为：4；89.
②等比数列
1．（2023·陕西宝鸡·统考二模）已知是等比数列的前项和，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】因为，所以，，
，
又是等比数列，所以，即，解得，所以．
当时，，又满足，
所以，，故数列是公比为，首项为的等比数列，
所以．
故选：A.
2．（2023·四川绵阳·三台中学校考一模）已知各项都为正数的等比数列，满足，若存在两项，，使得，则最小值为（ ）
A．2B．C．D．1
【答案】B
【详解】因为正项等比数列满足，设其公比为，则，，
所以，得，解得，
因为，所以，则，即，故，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为.
故选：B.
3．（2023·四川·校联考模拟预测）在数列中，，，且，则下列结论成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】因为，所以，，
两式相除，得，
又，所以，
所以是以为公比的等比数列，
所以，
记，则，所以，所以，
所以，
即，故A错误；
因为，所以，
所以，
同理，，，
所以，
即，故B错误；
，
所以，故C正确；
，所以，故D错误.
故选：C.
4．（2023·山东青岛·统考二模）设表示不超过的最大整数（例如：，），则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】当时，，
即，共有个.
因为，
故
，
设，①
则，②
①-②,得
，
所以.
所以.
故选:B.
5．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）已知数列的前n项和为，，且，若不等式对一切恒成立，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】因为，，
所以，而，
所以是以为首项，公比为的等比数列，
所以，即，
所以，
，
所以，
所以
由，得，
则
当为奇数时，有，所以，
当为偶数时，有，所以，
综上，的取值范围为．
故选：B.
6．（多选）（2023·福建三明·统考三模）设等比数列的前项和为，前项积为，若满足，，，则下列选项正确的是（ ）
A．为递减数列B．
C．当时，最小D．当时，的最小值为4047
【答案】BC
【详解】A.由条件可知，，与同号，所以，则，
而，则公比，
若，数列单调递减，则，那么，与已知矛盾，
若，则，则那么，与已知矛盾，
只有当，才存在，使，所以等比数列单调递增，故A错误；
B.因为，单调递增，所以，
则，即，故B正确；
C.因为，且，所以当时，最小，故C正确；
D.根据等比数列的性质可知，，，
所以当时，的最小值为4046，故D错误.
故选：BC
7．（2023·福建泉州·统考三模）某商场设有电子盲盒机，每个盲盒外观完全相同，规定每个玩家只能用一个账号登陆，且每次只能随机选择一个开启．已知玩家第一次抽盲盒，抽中奖品的概率为，从第二次抽盲盒开始，若前一次没抽中奖品，则这次抽中的概率为，若前一次抽中奖品，则这次抽中的概率为．记玩家第次抽盲盒，抽中奖品的概率为，则（ ）
A．B．数列为等比数列
C．D．当时，越大，越小
【答案】ABC
【详解】记玩家第次抽盲盒并抽中奖品为事件，
依题意，，，，，
对于A选项，，A对；
对于B选项，，
所以，，所以，，
又因为，则，
所以，数列是首项为，公比为的等比数列，B对；
对于C选项，由B选项可知，，则，
当为奇数时，，
当为偶数时，，则随着的增大而减小，所以，.
综上所述，对任意的，，C对；
对于D选项，因为，则数列为摆动数列，D错.
故选：ABC.
8．（2023·重庆巴南·统考一模）已知等比数列满足：，.数列满足，其前项和为，若恒成立，则的最小值为 .
【答案】/
【详解】设等比数列的公比为，则，解得，
所以，，解得，则，
所以，，
，所以，数列为等差数列，
所以，，
则，
因为函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，；当时，.
又因为，故的最大值为.
因此，对任意的恒成立，所以，，故的最小值为.
故答案为：.
9．（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考三模）已知数列的通项公式是，记为在区间内项的个数，则 ，不等式成立的的最小值为 ．
【答案】 14 13
【详解】令，得，
当为奇数时，，
当为偶数时，，
所以.
当为奇数时，，
即，因为，所以，即，
因为为奇数，所以的最小值为；
当为偶数时，，
因为，所以，，
因为为偶数，所以的最小值为.
综上所述，的最小值为.
故答案为： ，
10．（2023·山东菏泽·统考二模）设数列是以为首项，为公比的等比数列，在和之间插入1个数，使，，成等差数列；在和之间插入2个数，，使，，，成等差数列；…；在和之间插入n个数，，…，，使，，，…，，成等差数列.则＝ ；令，则＝ .
【答案】
【详解】依题意，，由等差数列性质得，即，解得；
，显然数列是等差数列，
其前n项和记为，则，
令均满足上式，因此，
于是
，则，
令，
则有，
两式相减得：，
因此，所以.
故答案为：；
③数列的通项
1．（2023·山东济宁·嘉祥县第一中学统考三模）已知函数，满足，.若，函数，则（ ）
A．3036B．3034C．3032D．3030
【答案】A
【详解】因为，，即，
所以，
则，，
所以，
又因为，
所以.
故选：A.
2．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习）数列满足，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】显然，对任意，．，
化简可得，所以，则，
累加可得，所以．
又，所以，
则
，
注意到，
所以，则，
所以．综上．
当时，，，即.
故选：C.
3．（多选）（2023·江苏扬州·统考模拟预测）定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫作该数列的一次“美好成长”．将数列、进行“美好成长”，第一次得到数列、、；第二次得到数列、、、、；；设第次“美好成长”后得到的数列为、、、、、，并记，则（ ）
A．B．
C．D．数列的前项和为
【答案】ACD
【详解】对于A选项，，A对；
对于B选项，设第次“美好成长”后共插入项，即，共有个间隔，且，
则第次“美好成长”后再插入项，则，
可得，且，
故数列是以首项为，公比为的等比数列，
则，故，B错；
对于C选项，由题意可知：
，C对；
对于D选项，因为，且，
所以，，且，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，，故，
所以，，
所以，数列的前项和为，D对.
故选：ACD.
4．（2023·全国·高三专题练习）数列，，，该数列为著名的裴波那契数列，它是自然界的产物揭示了花瓣的数量、树木的分叉、植物种子的排列等植物的生长规律，则下面结论正确的是（ ）
A．B．
C．数列为等比数列D．数列为等比数列
【答案】ABD
【详解】对于A，由，，…，，两边相加并代入得，故A正确；
对于B，因为，则， 则
.
故B正确；
对于C，假设为公比为q等比数列，
故，即，
所以，，矛盾，故C不成立.
对于D，假设为公比为q的等比数列，
故，即，
由已知得：，，解得，所以D正确.
故选：ABD.
5．（2023·全国·高三专题练习）引得无数球迷心情澎湃的世界杯，于今年在卡塔尔举行，为了弘扬顽强拼搏的体育竞技精神，某学校的足球社团利用课余时间展开“三人足球”的比赛，比赛的第一阶段为“传球训练赛”，即参赛的甲、乙、丙三名同学，第一次传球从乙开始，随机地传球给其他两人中的任意一人，接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人，则第6次传球，重新由乙同学传球的概率为 ．
【答案】
【详解】设第次由乙同学传球的概率为，显然，
第一次传球从乙开始，随机地传球给其他两人中的任意一人，这两人每人得到球的概率为，
如果球传到乙，则乙不能传到乙，
故第次由乙传球的概率与第次由乙传球的概率的关系为：
，即，
故数列是首项为，公比为的等比数列，
则，则，故.
故答案为：.
6．（2023春·湖北武汉·高二武汉西藏中学校考期末）已知点列，其中．是线段的中点，是线段的中点，…，是线段的中点，…．记．则 ； ．
【答案】
【详解】解：是线段的中点，,
故，
又，
故；
，
即，
故是以为首项，为公比的等比数列，
即，
由，
得：，
将上面所有式子相加得： ，
故.
故答案为：；.
④递推数列
1．（2023春·安徽黄山·高二统考期末）数列中，，对任意正整数都满足，数列，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由题意，
又，则，，…，，
累加得，
所以，则，可得.
故选：C
2．（2023春·新疆·高二校联考期末）若数列满足，则（ ）
A．2B．C．D．
【答案】C
【详解】因为，所以，
，
，
所以是周期为的数列，故.
故选：C
3．（2023春·广西河池·高二校联考期中）已知数列满足，，，则（ ）
A．B．3C．D．
【答案】A
【详解】因为，
当时，得，即，显然不成立，故，
将进行变形，得，
则由得，，，，，
所以数列是以4为周期的周期数列，
又，所以.
故选：A．
4．（多选）（2023春·江西赣州·高二江西省龙南中学校考期末）已知是的前n项和，，，则（ ）
A．B．
C．D．是以3为周期的周期数列
【答案】ABD
【详解】由已知可得，，，，，，
所以，是以3为周期的周期数列.
对于A项，因为，所以，故A项正确；
对于B项，因为，所以，故B项正确；
对于C项，因为的周期为3，
所以，，，
所以，，故C项错误；
对于D项，由解析可知，是以3为周期的周期数列，故D项正确.
故选：ABD.
5．（2023春·浙江·高二期中）已知数列满足，其中是给定的实数.设，以下判断正确的是（ ）
A．是等差数列
B．
C．的通项公式为
D．数列的最小项是
【答案】BCD
【详解】由已知条件，得，
即，所以，，…，，
将这个式子左右两边分别相加可得，
即，代入验证也符合，所以C正确；
根据的通项公式依次求出数列前三项，，，显然不是等差数列，所以A错误；
再由，，得，
同理根据，，得，所以B正确；
设数列的最小项为，则，即，
所以，解得，
由于，，
所以，即数列的最小项是.
故选：BCD.
6．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考模拟预测）已知数列满足：，，若，则数列的前50项和为 .
【答案】
【详解】由，，
可得数列中从奇数项起的连续三项成等比数列，从偶数项起的连续三项成等差数列，
又，，可得数列的前10项为1，2，4，6，9，12，16，20，25，30，
由此可得
进而可得，
则数列的前50项和为
．
故答案为：．
7．（2023·全国·高三专题练习）函数为数学家高斯创造的取整函数，表示不超过的最大整数，如，，已知数列满足，且，若，则数列的前2023项和为 .
【答案】4962
【详解】因为，所以，
所以，
所以数列为常数列，
所以，所以，
记的前项和为，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
所以
，
故答案为：4962
8．（2023春·山东·高二校联考阶段练习）在数列中，，，则 ；的前40项和为 .
【答案】 0 420
【详解】因为，，所以，得，
所以，所以，
因为，
所以，，，……，，，①
所以，②
因为，，，……，，③
所以，④
由①③得，所以
②式减去④式得，
所以，
所以，
故答案为：0，420
⑤数列求和
1．（2023·北京·校考模拟预测）已知公差不为零的等差数列满足：，且是与的等比中项.设数列满足，则数列的前项和为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】根据题意可得，则，解得，所以，，
.
故选：A.
2．（2023·福建厦门·厦门一中校考一模）已知数列满足：，，则数列的前项的和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由，，
令、、、，，
可得，，
两式相加可得，，，
两式相加，
进行推论归纳可得，，
所以，对任意的,，
所以，数列的前项的和为.
故选：C.
3．（多选）（2023春·安徽亳州·高二亳州二中校考期中）已知数列满足，，数列的前n项和为，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【详解】由，
可得：，，，，，
则
即，则，又时也成立，所以
故选项B判断正确；
由，可知选项A判断正确；
令
则2
两式相减得
故选项D判断正确；
由，可得选项C判断错误.
故选：ABD
4．（多选）（2023春·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考期末）已知数列满足，，，为数列的前项和，则下列说法正确的有（ ）
A．B．
C．D．的最大值为
【答案】ACD
【详解】对于A，当为奇数时，，又，
，则，A正确；
对于B，当为偶数时，，又，；
由A知：当为奇数时，；
则当为偶数时，；
当为奇数时，；
，B错误；
对于C，，C正确；
对于D，当时，，
当为偶数时，；当为奇数时，；
当时，，
当为偶数时，；当为奇数时，；
综上所述：，D正确.
故选：ACD.
5．（2023春·湖南·高二校联考阶段练习）我们定义为数列的“特别数”．现已知数列的“特别数”为，则 ．
【答案】/
【详解】由于为数列的“特别数”，又数列的“特别数”为，
所以，则①，
当时，，
当时，②，
①减去②可得：，又符合该式，
所以，则，
所以
.
故答案为：.
6．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）数列中，．定义：使数列的前项的积为整数的数叫做期盼数，则区间内的所有期盼数的和等于 .
【答案】
【详解】因为，
所以，
设，则，
所以为的整数次幂，
因为，
所以，
故满足条件的，，，，，，，，，
故区间内的所有期盼数的和为：
．
故答案为：．
7．（2023·全国·高二专题练习）已知数列满足，数列的通项公式为，记数列的前项和为，则 ；若存在正数，使对任意恒成立，则的最小值为 .
【答案】
【详解】因为，所以，故是首项为4，公比为2的等比数列，
所以，所以，
所以①，②，
①-②得，
所以.
因为不等式对任意恒成立，
所以9对任意恒成立，所以.
因为，当且仅当时等号成立，所以，
所以，又，所以，故的最小值是.
故答案为：；.
⑥数列的极限
1．（2023·全国·高二专题练习）若数列满足：，其中且，若对任意成立，则实数的最小值是（ ）
A．B．4C．D．
【答案】D
【详解】因为，且，
所以，
即，
，，
，
累加得
，
又，所以，
即，
当为奇数时，单调递增，，，
当为偶数时，单调递减，，，
要使对任意成立，则，实数的最小值是.
故选：D
2．（2023·全国·高三专题练习）已知，记表示中的最大值，表示中的最小值．若，，数列和满足，，，，，则下列说法中正确的是（ ）
A．若，则存在正整数，使得
B．若，则
C．若，则
D．若，则存在正整数，使得
【答案】B
【详解】设的解为，作出，，图象如下图所示，
，；
，，结合图象可知：；
对于A，，，
，以此类推，，
，；
，
不存在正整数，使得，A错误；
对于B，当或或时，，，即；
当时，，且，
，且，
以此类推，则有，有极限；
当时，，，
以此类推，则有，又，有极限；
当时，，，
，
以此类推，则有当时，；又，有极限；
当时，，
且，
且，
以此类推，则有当时，，有极限；
综上所述：当且时，无论取何值，都有极限，且当时，；
令，则，，解得：或；
当时，，，，B正确.
对于C，当时，，，
以此类推，则为递增数列，无极限，C错误；
对于D，，，
不存在正整数，使得，D错误.
故选：B.
3．（多选）（2023春·江西上饶·高二校联考期中）如图，有一列曲线，，……，，……，且1是边长为1的等边三角形，是对进行如下操作而得到：将曲线的每条边进行三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉得到，记曲线的边数为，周长为，围成的面积为，则下列说法正确的是（ ）
A．数列{}是首项为3，公比为4的等比数列
B．数列{}是首项为3，公比为的等比数列
C．数列是首项为，公比为的等比数列
D．当n无限增大时，趋近于定值
【答案】ABD
【详解】是在的基础上，每条边新增加3条新的边，故，又,所以数列{}是首项为3，公比为4的等比数列,且 故A正确，
第个图形的边长为 ，所以，故数列{}是首项为3，公比为的等比数列，故B正确，
因为是在的每条边上再生出一个小正三角形，于是
，
同理，对是在的每条边上再生出一个小正三角形，
于是的面积等于的面积加上个新增小三角形的面积，
即，
于是可以利用累加的方法得到
将上面式子累加得
当时， ，故C错误，D正确，
故选：ABD
4．（多选）（2023·江苏·校联考模拟预测）佩尔数列是一个呈指数增长的整数数列．随着项数越来越大，其后一项与前一项的比值越来越接近于一个常数，该常数称为白银比．白银比和三角平方数、佩尔数及正八边形都有关系．记佩尔数列为，且，，．则（ ）
A．B．数列是等比数列
C．D．白银比为
【答案】ACD
【详解】对于A：因为，，，，，，，，故A正确；
对于B：因为，，，故B错误；
对于C：设数列是公比为是等比数列，则，
所以，所以，
所以或；
当时，，
当时，，
解得，故C正确；
对于D：因为
，
因为，
所以当时，，，故D正确，
故选：ACD．
5．（2023春·上海浦东新·高一上海市进才中学校考期末）已知数列的前项和为，数列满足，则 .
【答案】
【详解】因为数列的前项和为，
当时，，
当时，.
也满足，故对任意的，，则，
所以，，故数列为等比数列，且其首项和公比均为，
所以，，
因此，.
故答案为：.
⑦等差数列与等比数列综合
1．（2023·全国·高二专题练习）对于无穷数列，给出下列命题：
①若既是等差数列，又是等比数列，则是常数列；
②若等差数列满足，则是常数列；
③若等比数列满足，则是常数列；
④若各项为正数的等比数列满足，则是常数列．
其中正确的命题个数是（ ）．
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【详解】①因为既是等差数列，设的公差为，
则相邻的三项为，
因为又是等比数列，则，设公比为，
则相邻的三项为，
所以①，
②，
两式相减得：③，
将③代入①中，，
因为，
所以，
解得：，则，
所以是常数列，①正确；
②因为等差数列为无穷数列，假设，则无最大值，不满足，
所以假设不成立，即，所以是常数列，②正确；
③考虑，能够满足，而不是常数列，③错误；
④设各项为正数的等比数列的公比为，
因为，
所以，则，
若，则无最大值，不合题意，
所以，进而是常数列，④正确．
故选：C
2．（2023春·广东佛山·高二校考阶段练习）已知数列1、1、2、1、2、4、1、2、4、8、1、2、4、8、16、…，其中第一项是，接下来的两项是、，再接下来的三项是、、，以此类推，若且该数列的前项和为2的整数幂，则的最小值为（ ）
A．440B．330C．220D．110
【答案】A
【详解】把题设中的数列分成如下的组： ，记前组的和为。
则
.
令即，故.
故当时，数列至少包括前13组且含有第14组的前个元素.
设前项和为2的整数幂且第项为第组的第个元素，则，
且前项和，其中，.
下证：当时，总有.
记，则当时，有，
故为单调增数列，而，故即.
所以，
由为2的整数幂，故，从而，
当时，，与矛盾；
当时，，此时，
故选：A.
3．（多选）（2023春·广西河池·高二校联考期中）在数列中，如果对任意，都有（为常数），则称数列为比等差数列，称为比公差.则下列说法错误的是（ ）
A．等比数列一定是比等差数列，且比公差
B．等差数列一定不是比等差数列
C．若数列是等差数列，是等比数列，则数列一定是比等差数列
D．若数列满足，，则该数列不是比等差数列
【答案】ABC
【详解】若为等比数列，公比，则，，
所以，故选项A错误；
若，是等差数列，则，故为比等差数列，故选项B错误；
令，，则，此时无意义，故选项C错误；
因为数列满足，，
所以，，故，
所以不是比等差数列，故选项D正确.
故选：ABC.
4．（多选）（2023春·安徽蚌埠·高二蚌埠二中校考阶段练习）在数列中，如果对任意都有（为常数），则称为等差比数列，k称为公差比下列说法正确的是（ ）
A．等差数列一定是等差比数列
B．等差比数列的公差比一定不为0
C．若，则数列是等差比数列
D．若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比
【答案】BCD
【详解】对于数列，考虑，无意义，所以A选项错误；
若等差比数列的公差比为0，，则与题目矛盾，所以B选项说法正确；
若，，数列是等差比数列，所以C选项正确；
若等比数列是等差比数列，则，
，所以D选项正确.
故选：BCD
5．（2023春·天津·高三校联考阶段练习）等比数列中，各项都是正数，且,,成等差数列，则= ．
【答案】/
【详解】等比数列中，各项都是正数，且，，成等差数列，故公比为正数且不等于1．
，即，
即为，解得，
，
故答案为：．
6．（2023春·吉林长春·高二校考阶段练习）已知数列的前项和为（），且满足，若对恒成立，则首项的取值范围是 ．
【答案】
【详解】因为，所以，
两式作差得，所以，
两式再作差得，可得数列的偶数项是以4为公差的等差数列，从起奇数项也是以4为公差的等差数列.
若对恒成立，当且仅当.
又，，
所以，解得：.
即首项的取值范围是.
⑧数列不等式
1．（2023·全国·高二专题练习）对于无穷数列，给出下列命题：
①若既是等差数列，又是等比数列，则是常数列；
②若等差数列满足，则是常数列；
③若等比数列满足，则是常数列；
④若各项为正数的等比数列满足，则是常数列．
其中正确的命题个数是（ ）．
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【详解】①因为既是等差数列，设的公差为，
则相邻的三项为，
因为又是等比数列，则，设公比为，
则相邻的三项为，
所以①，
②，
两式相减得：③，
将③代入①中，，
因为，
所以，
解得：，则，
所以是常数列，①正确；
②因为等差数列为无穷数列，假设，则无最大值，不满足，
所以假设不成立，即，所以是常数列，②正确；
③考虑，能够满足，而不是常数列，③错误；
④设各项为正数的等比数列的公比为，
因为，
所以，则，
若，则无最大值，不合题意，
所以，进而是常数列，④正确．
故选：C
2．（2023春·广东佛山·高二校考阶段练习）已知数列1、1、2、1、2、4、1、2、4、8、1、2、4、8、16、…，其中第一项是，接下来的两项是、，再接下来的三项是、、，以此类推，若且该数列的前项和为2的整数幂，则的最小值为（ ）
A．440B．330C．220D．110
【答案】A
【详解】把题设中的数列分成如下的组： ，记前组的和为。
则
.
令即，故.
故当时，数列至少包括前13组且含有第14组的前个元素.
设前项和为2的整数幂且第项为第组的第个元素，则，
且前项和，其中，.
下证：当时，总有.
记，则当时，有，
故为单调增数列，而，故即.
所以，
由为2的整数幂，故，从而，
当时，，与矛盾；
当时，，此时，
故选：A.
3．（多选）（2023春·广西河池·高二校联考期中）在数列中，如果对任意，都有（为常数），则称数列为比等差数列，称为比公差.则下列说法错误的是（ ）
A．等比数列一定是比等差数列，且比公差
B．等差数列一定不是比等差数列
C．若数列是等差数列，是等比数列，则数列一定是比等差数列
D．若数列满足，，则该数列不是比等差数列
【答案】ABC
【详解】若为等比数列，公比，则，，
所以，故选项A错误；
若，是等差数列，则，故为比等差数列，故选项B错误；
令，，则，此时无意义，故选项C错误；
因为数列满足，，
所以，，故，
所以不是比等差数列，故选项D正确.
故选：ABC.
4．（多选）（2023春·安徽蚌埠·高二蚌埠二中校考阶段练习）在数列中，如果对任意都有（为常数），则称为等差比数列，k称为公差比下列说法正确的是（ ）
A．等差数列一定是等差比数列
B．等差比数列的公差比一定不为0
C．若，则数列是等差比数列
D．若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比
【答案】BCD
【详解】对于数列，考虑，无意义，所以A选项错误；
若等差比数列的公差比为0，，则与题目矛盾，所以B选项说法正确；
若，，数列是等差比数列，所以C选项正确；
若等比数列是等差比数列，则，
，所以D选项正确.
故选：BCD
5．（2023春·天津·高三校联考阶段练习）等比数列中，各项都是正数，且,,成等差数列，则= ．
【答案】/
【详解】等比数列中，各项都是正数，且，，成等差数列，故公比为正数且不等于1．
，即，
即为，解得，
，
故答案为：．
6．（2023春·吉林长春·高二校考阶段练习）已知数列的前项和为（），且满足，若对恒成立，则首项的取值范围是 ．
【答案】
【详解】因为，所以，
两式作差得，所以，
两式再作差得，可得数列的偶数项是以4为公差的等差数列，从起奇数项也是以4为公差的等差数列.
若对恒成立，当且仅当.
又，，
所以，解得：.
即首项的取值范围是.
⑨数列新定义
1．（2023·全国·高三专题练习）南宋数学家杨辉在《详解九章算术》中提出了高阶等差数列的问题，即一个数列本身不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列（则称数列为一阶等差数列），或者仍旧不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列（则称数列为二阶等差数列），依次类推，可以得到高阶等差数列.类比高阶等差数列的定义，我们亦可定义高阶等比数列，设数列：1，1，3，27，729…是一阶等比数列，则的值为（参考公式：）（ ）
A．60B．120C．240D．480
【答案】B
【详解】由题意，数列1，1，3，27，729，…为，且为一阶等比数列，
设，所以为等比数列，其中，，公比为，所以，
则，，
所以，，
因为，，也适合上式，所以，
所以
.
故选：B.
2．（2023春·黑龙江牡丹江·高二牡丹江市第二高级中学校考期末）已知定义数列为数列的“差数列”，若的“差数列”的第项为，则数列的前2023项和（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】依题意，，当时，
，而满足上式，因此，
所以.
故选：D
3．（2023·河南·河南省内乡县高级中学校考模拟预测）“角谷猜想”首先流传于美国，不久便传到欧洲，后来一位名叫角谷静夫的日本人又把它带到亚洲，因而人们就顺势把它叫作“角谷猜想”.“角谷猜想”是指一个正整数，如果是奇数就乘以3再加1，如果是偶数就除以2，这样经过若干次运算，最终回到1.对任意正整数，按照上述规则实施第次运算的结果为，若，且均不为1，则（ ）
A．5或16B．5或32
C．5或16或4D．5或32或4
【答案】B
【详解】由题知，因为，则有：
若为奇数，则，得，不合题意，所以为偶数，则；
若为奇数，则，得，不合题意，所以为偶数，；
若为奇数，则，得，不合题意，所以为偶数，且；
若为奇数，则，得，不合题意，所以为偶数，且；
若为奇数，则，可得；若为偶数，则.
综上所述：或32.
故选：B
4．（2023春·上海宝山·高一上海交大附中校考期末）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：.该数列的特点如下：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把由这样一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，记是数列的前项和，则 .
【答案】98
【详解】当时，，则，
则当时，
，
因此，而，
所以.
故答案为：98
5．（2023·辽宁大连·育明高中校考一模）某高中图书馆为毕业生提供网上阅读服务，其中电子阅览系统的登录码由学生的届别+班级+学号+特别码构成.这个特别码与如图数表有关，数表构成规律是：第一行数由正整数从小到大排列得到，下一行数由前一行每两个相邻数的和写在这两个数正中间下方得到.以此类推特别码是学生届别数对应表中相应行的自左向右第一个数的个位数字，如：1997届3班21号学生的登陆码为1997321*.（*为表中第1997行第一个数的个位数字）.若已知某毕业生的登录码为201*2138，则可以推断该毕业生是 届2班13号学生.
【答案】
【详解】根据图表可得，第行的前两个数之差为，
设第行的第一个数为，则，即
两边同时除以，可得，且，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，所以，
所以，
因为的个位数分别为，所以的个位数呈现周期性变化，且周期为，
因为，所以，
若时，则，
因为，所以的个位数是，故的个位数为；
若时，则，
因为，所以的个位数是，故的个位数为；
若时，则，
因为，所以的个位数是，故的个位数为；
若时，则，
因为，所以的个位数是，故的个位数为，
同理可得：的个位数为，的个位数为，的个位数为，
的个位数为，的个位数为，的个位数为，
所以某毕业生的登录码为201*2138，则，
故推断该毕业生是届2班13号学生.
故答案为：.
6．（2023·安徽黄山·屯溪一中校考模拟预测）对于数列，记，，，则称是的“下界数列”，令，是的下界数列，则 ；
（参考公式：）
【答案】
【详解】因为，所以，
所以当时单调递增，当时单调递减，且，
又，所以当时，
当时，
当时，
即，所以，
所以当时
，
当时
，
所以.
故答案为：