合肥一六八中学2024届高三“九省联考”考后适应性测试数学试卷（二）(含答案)

这是一份合肥一六八中学2024届高三“九省联考”考后适应性测试数学试卷（二）(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知数据，，…，的平均数和方差分别为4，10，那么数据，，…，的平均数和方差分别为( )
A.，B.1，C.1，D.，
2．已知方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是( )
A.B.C.D.
3．在等比数列中，，，则( )
A.-4B.8C.-16D.16
4．已知m，n表示两条直线，，，表示平面，下列命题中正确的有( )
①若，，且，则；
②若m，n相交且都在平面，外，，，，，则；
③若，，则；
④若，，且，则.
A.1个B.2个C.3个D.4个
5．加强学生心理健康工作已经上升为国家战略，为响应国家号召，W区心理协会派遣具有社会心理工作资格3位专家去定点帮助5名心理特异学生.若要求每名学生只需一位专家负责，每位专家至多帮助两名学生，则不同的安排方法共有( )种
A.90B.125C.180D.243
6．平行四边形中，，，，，则的值为( )
A.10B.12C.14D.16
7．已知，求( )
A.B.C.D.
8．已知，，，则( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知函数的部分图象如图所示，则( )
A.的最小正周期为π
B.当时，的值域为
C.将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象
D.将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称
10．已知复数，则( )
A.
B.
C.
D.若关于x的方程的一个根为z，则
11．设定义在R上的可导函数和满足，，为奇函数，且.则下列选项中正确的有( )
A.为偶函数B.为周期函数
C.存在最大值且最大值为1D.
三、填空题
12．已知，，若是的充分条件，则实数m的取值范围是__________.
13．设且，若对都有恒成立，则实数a的取值范围为______.
四、双空题
14．在四面体中，，，若，则四面体体积的最大值是__________，它的外接球表面积的最小值为__________.
五、解答题
15．已知函数.
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若，研究函数在上的单调性和零点个数.
16．一个骰子各个面上分别写有数字1，2，3，4，5，6，现抛掷该骰子2次，记第一次正面朝上的数字为，第二次正面朝上的数字为，记不超过的最大整数为Y.
（1）求事件“”发生的概率，并判断事件“”与事件“”是否为互斥事件；
（2）求Y的分布列与数学期望.
17．如图，四边形是圆柱的轴截面，圆柱的侧面积为，点P在圆柱的底面圆周上，且是边长为的等边三角形，点G是的中点.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的正弦值.
18．已知双曲线与直线：（）有唯一的公共点P，直线l与双曲线的两条渐近线分别交于M，N两点，其中点M，P在第一象限.
（1）探求参数k，m满足的关系式；
（2）若O为坐标原点，F为双曲线的左焦点，证明：.
19．已知数列，，…，为有穷正整数数列.若数列A满足如下两个性质，则称数列A为m的k减数列：
①；
②对于，使得的正整数对有k个.
（1）写出所有4的1减数列；
（2）若存在m的6减数列，证明：；
（3）若存在2024的k减数列，求k的最大值.
参考答案
1．答案：D
解析：设数据，，…，的平均数和方差分别为和，
则数据，，…，的平均数为，方差为，
得，，
故选：D.
2．答案：D
解析：由题意得，，解得.
故选：D.
3．答案：C
解析：设等比数列的公比为q，则，即，.
故选:C.
4．答案：A
解析：对于①，若，，且，则或相交，故①错误；
对于③和④，与也可能相交，均错误；
对于②，设m，n相交确定平面，根据线面平行的判定定理知，，根据平行平面的传递性得知.
故选：A.
5．答案：A
解析：根据题意，具有社会心理工作资格的3位专家去定点帮助5名心理特异学生，
要求每名学生只需一位专家负责，每位专家至多帮助两名学生，
则把五位同学分3组，且三组人数为2、2、1，然后分配给3位专家，
所以不同的安排方法共有种.
故选：A.
6．答案：D
解析：因为平行四边形中，，，，，
所以，
，
.
故选：D.
7．答案：D
解析：由题意知，，
即，
故，
即，
故，
即，
.
故选：D.
8．答案：D
解析：，
令，则，
当时，，所以在上单调递增，
，
；
，
易知，
，
.
故选：D.
9．答案：AD
解析：由函数图象可知，，的最小正周期为，A选项正确；
，，，
则，由，得，
所以.
当时，，，的值域为，B选项错误；
将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象，C选项错误；
将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数的图象，
，函数的图象关于点对称，D选项正确.
故选：AD.
10．答案：BD
解析：复数，则，故A错误；
因为，故B正确；
因为，故C错误；
因为x的方程的一个根为z，
所以，
由复数相等可知，即，故D正确.
故选：BD.
11．答案：AD
解析：A选项，由为奇函数，即，对方程两边同时求导，
根据求导法则，得，即，
从而为偶函数，所以A正确.
B选项，由题意知，构造函数，，
根据求导法则，得，
即，
于是，构造函数，，根据求导法则，
得.
从而，，即，，其中c为待定常数.
由为奇函数，得.再由，得，
又，即，
从而，.
另由为奇函数，为偶函数知，
，
与联立，解得，，
，.
由于当时，，
故不是周期函数，所以B不正确；
C选项，由基本不等式知，，
其中当且仅当时等号成立，即存在最小值且最小值为1，所以C不正确；
D选项，
，
D正确.
故选：AD.
12．答案：
解析：由可得，则，解得，
即，
若是的充分条件，则是的子集，
可得，所以实数m的取值范围是.
故答案为：.
13．答案：
解析：因为且，因为，当且仅当时取等号，
故，所以，
又，所以，当且仅当时取等号，
所以.
又，所以，显然，
所以有，即恒成立，
又，所以，故，所以.
当时，恒成立，即恒成立，与矛盾.
下面证明：在，，有，
令，，
要使，即，
即，
由知，得，，
从而需证：，
即需证明：，记，
从而只需证：①，
而，，
令，
则，
令，则，
当时，，当时，，
所以在上递减，在上递增，
所以，即，
因为，所以
在上递增，又，
在，，递减，，
，，递增，，
而，从而在时总有，
①式恒成立，不等式得证.
综上所述，.
故答案为：.
14．答案：；
解析：由余弦定理可得，
故，所以，
当且仅当时取等号，故，
故面积的最大值为，
，
由于，所以点P在以为直径的球上（不包括平面），故当平面平面时，此时h最大为半径，
故，
由正弦定理可得：，r为外接圆的半径，
设四面体外接球半径为R，则，其中O，分别为球心和外接圆的圆心，故当时，此时最小，
故外接球的表面积为，
故答案为：，.
15．答案：（1）
（2）在上单调递增；1
解析：（1）当时，，
则，则，，
所以曲线在点处的切线方程为.
（2）当时，，则，
当时，，，，则，
故在上单调递增.
又因为，所以在上的零点个数为1.
16．答案：（1），事件“”与事件“”为互斥事件；
（2）分布列见解析，
解析：（1）当取6，取值为1，2，3，4，5时，，
当取5，取值1，2，3，4时，，
当取4，取值1，2，3时，，
当,取3，取值为1，2时，，
当取2，取值为1时，，
所以，
当时，，，事件“”与事件“”不能同时发生，为互斥事件；
（2）Y的取值为0，1，2，3，4，5，6，
取值为，，，，，，，，，，，时，
，
取值为，，，时，，
取值为，时，，
取值为时，，
取值为时，，
取值为时，，
所以Y的分布列为
所以.
17．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）点P在圆柱的底面圆周上，，
四边形是圆柱的轴截面，平面，
因平面，，
，，平面，平面，
而平面，①.
是边长为的等边三角形，，
.
圆柱的侧面积为，即，
则，又点G是的中点，②.
又，，平面，由①②可得平面.
（2）以P为坐标原点，以，及过点P与平行的直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
则，，，，，.
设平面的法向量为，则，
令，得，，.
由（1）知，平面，故是平面的一个法向量.
由图知二面角为锐角，设为，则，
，即二面角的正弦值为.
18、
（1）答案：
解析：联立方程，整理得.
由，且P是双曲线与直线的唯一公共点，可得，
则，即为参数k，m满足的关系式.
结合图象，由点P在第一象限，可知，且.
所以k，m的关系式满足.
（2）答案：证明见解析
解析：由题可得双曲线的左焦点，渐近线为.
联立方程，解得，即；
联立方程，解得，即.
结合，且由式可变形为，
解得，可得.
要证，即证，
即证，
即证，即证.
由，得.
根据直线的斜率公式，，，，
则，
，
，
，
可得，
因此，.
19、
（1）答案：数列1，2，1和数列3，1
解析：由题意得，则或，
故所有4的1减数列有数列1，2，1和数列3，1.
（2）答案：证明见解析
解析：因为对于，使得的正整数对有k个，
且存在m的6减数列，所以，得.
①当时，因为存在m的6减数列，
所以数列中各项均不相同，所以.
②当时，因为存在m的6减数列，
所以数列各项中必有不同的项，所以.
若，满足要求的数列中有四项为1，一项为2，
所以，不符合题意，所以.
③当时，因为存在m的6减数列，
所以数列各项中必有不同的项，所以.
综上所述，若存在m的6减数列，则.
（3）答案：k的最大值为512072
解析：若数列中的每一项都相等，则，
若，所以数列A存在大于1的项，
若末项，将拆分成个1后k变大，
所以此时k不是最大值，所以.
当，2，…，时，若，交换，的顺序后k变为，
所以此时k不是最大值，所以.
若，所以，
所以将改为，并在数列末尾添加一项1，所以k变大，
所以此时k不是最大值，所以.
若数列A中存在相邻的两项，设此时A中有x项为2，
将改为2，并在数列末尾添加项1后，k的值至少变为，
所以此时k不是最大值，
所以数列A的各项只能为2或1，所以数列A为2，2，…，2，1，1，…，1的形式.
设其中有x项为2，有y项为1，
因为存在2024的k减数列，所以，
所以，
所以，当且仅当，时，k取最大值为512072.
所以，若存在2024的k减数列，k的最大值为512072.
Y
0
1
2
3
4
5
6
P