青海省2024届高三上学期协作联考数学（理科）试卷(含答案)

这是一份青海省2024届高三上学期协作联考数学（理科）试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．设复数,则( )
A.B.C.D.
2．已知集合,,则( )
A.B.C.D.
3．在中,角A,B所对的边分别为a,b.若,则( )
A.B.C.D.
4．已知函数的图象在处的切线与直线垂直,则( )
A.B.1C.D.2
5．下列区间中,函数单调递增的区间是( )
A.B.C.D.
6．已知函数为定义在R上的奇函数,命题,,命题,,则下列命题中为真命题的是( )
A.B.C.D.
7．古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图,发现了黄金分割率.黄金分割率的值也可以用表示,即,设为正五边形的一个内角,则( )
A.B.C.D.
8．用2个0,2个1和1个2组成一个五位数,则这样的五位数有( )
A.8个B.12个C.18个D.24个
9．某圆锥的轴截面是一个边长为4的等边三角形,在该圆锥中内接一个圆柱,则该圆柱的侧面积的最大值为( )
A.B.C.D.
10．已知贵州某果园中刺梨单果的质量M(单位:g)服从正态分布,且,若从该果园的刺梨中随机选取100个单果,则质量在28g~32g的单果的个数的期望为( )
A.20B.60C.40D.80
11．已知,M为抛物线上一动点,N是圆上一点,则的最小值是( )
A.5B.4C.3D.2
12．已知函数,,若关于x的方程有3个实数解,,,且则的最小值是( )
A.8B.11C.13D.16
二、填空题
13．已知双曲线的一条渐近线方程为,左焦点为,则C的实轴长为________.
14．若实数x,y满足约束条件,则的最小值是________.
15．如图,直径的半圆,D为圆心,点C在半圆弧上,,P为的中点,AP与BC相交于点E,则________.
16．在正四棱台中,,,点P在底面ABCD内,且,则P的轨迹长度是________.
三、解答题
17．从某脐橙果园随机选取200个脐橙,已知每个脐橙的质量(单位:g)都在区间内,将这200个脐橙的质量数据分成,,,这4组,得到的频率分布直方图如图所示.
（1）试问这200个脐橙中质量不低于的个数是多少?
（2）若每个区间的值以该区间的中间值为代表,估计这200个脐橙的质量的平均数.
18．已知数列满足.
（1）求的通项公式;
（2）设,求数列的前n项和.
19．如图,在三棱柱中,平面ABC,是等边三角形,且D为棱AB的中点.
（1）证明:平面;
（2）若,求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
20．已知椭圆的上､下顶点分别是A,B,点P(异于A,B两点)在椭圆C上,直线PA与PB的斜率之积为,椭圆C的长轴长为6.
（1）求C的标准方程;
（2）已知,直线PT与椭圆C的另一个交点为Q,且直线AP与BQ相交于点D,证明:点D在定直线上.
21．已知函数.
（1）当时,证明:.
（2）试问是否为的极值点?说明你的理由.
22．在直角坐标系xOy中,直线的参数方程为(t为参数),直线的参数方程为(s为参数).
（1）求这两条直线的普通方程(结果用直线的一般式方程表示);
（2）若这两条直线与圆都相离,求m的取值范围.
23．已知函数,其中a,b为常数.
（1）求的最小值;
（2）若,求不等式的解集.
参考答案
1．答案：B
解析:因为,
所以,
故选:B.
2．答案：D
解析:因为,所以,所以,
因为,所以,所以,
所以,
故选:D.
3．答案：A
解析:根据正弦定理可知,,,
则,得.
故选:A
4．答案：A
解析:因为,所以,
又因为切线与l垂直,
所以,所以,
故选:A.
5．答案：C
解析:令,,得,,
当时,增区间是,当时,增区间是,
其中只有是增区间的子集.
故选:C
6．答案：A
解析:令,所以为定义在R上的奇函数,
所以,所以,所以p为真命题,
又因为,,即,即,所以q为真命题,
所以为真命题,
故选:A.
7．答案：A
解析:因为,
所以,
所以,
故选:A.
8．答案：C
解析:当首位为2时,这样的五位数有个;
当首位为1时,这样的五位数有个.
综上,这样的五位数共有个.
故选:C.
9．答案：C
解析:由题意作图如下:
由题设可知该圆锥的高.设在该圆锥中内接一个高为的圆柱,
该圆柱的底面半径为,由,则,即,所以,
故该圆柱的侧面积,
当时,侧面积S取得最大值.
故选:C.
10．答案：B
解析:因为M(单位g)服从正态分布,且,
所以,
若从该果园的刺梨中随机选取100个单果,
则质量在28g~32g的单果的个数,
所以.
故选:B
11．答案：B
解析:的焦点为,准线为,
即为,
所以圆心为即为焦点,半径,显然在抛物线内部,
过点M作准线,交准线于T点,记点,,如下图所示:
所以,
当且仅当M,QT三点共线时取最小值,此时,
所以的最小值为4,
故选:B.
12．答案：C
解析:由函数,,作出函数的大致图象,如图所示,
由图可知,,,则,
因为,
所以,
设函数,则,
当时,;当时,,
所以,即的最小值是.
故选:C.
13．答案：
解析:因为一条渐近线方程为,即,
所以,
又因为左焦点为,
所以,解得,所以实轴长为,
故答案为:.
14．答案：
解析:如图,画出约束条件表示的可行域,
目标函数,当,得,
当目标函数平移至点A,目标函数取得最小值,
联立,得,,即,
所以目标函数的最大值.
故答案为:
15．答案：
解析:连接AC,DP,如下图所示:
因为P为的中点,所以,
所以,
又因为,
所以,
所以(负值舍去),
因为AB为直径,所以,
所以,
故答案为:.
16．答案：
解析:连接,,连接,过点作交AC于Q点,
因为,所以,
所以,所以,
因为几何体为正四棱台,所以平面ABCD,
所以,
又因为,平面,平面,
所以,所以平面ABCD,
又因为,所以,
以Q为圆心,为半径画圆,如下图,即为P的轨迹,
过Q作,,分别交AD,AB于E,F,
因为,
所以,
所以,
所以,
所以的长度为,
故答案为:.
17．答案：（1）110
（2）100.75g
解析:（1）不低于100g的频率为,
所以这200个脐橙中质量不低于100g的个数是.
（2）平均数为.
18．答案：（1）
（2）
解析:（1）当时,,
由已知,,①
当,,②
①②,得,
得,
当时,,成立,
综上可知,;
（2）由（1）可知,,
则,
,
,
两式相减得,
即,
所以
19．答案：（1）证明见解析
（2）
解析:（1）证明:由三棱柱的性质可知.
因为平面ABC,所以平面ABC.
因为平面ABC,所以.
因为D为AB的中点,且是等边三角形,所以.
因为CD,平面,且,
所以平面.
（2）取的中点,连接.由题意可得DB,DC,两两垂直,故以D为坐标原点,
,,的方向分别为x,y,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系.
设,则,,,,,,
故,,,.
设平面的法向量为,
则令,得.
设平面的法向量为,
则令,得.
设平面与平面所成的锐二面角为,
则,
即平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
20．答案：（1）
（2）证明见解析
解析:（1）由题意可得,,设,
则,,所以.
因为点P在椭圆C上,所以,所以,
则.
因为,所以,,
故椭圆C的标准方程为.
（2）设,,显然直线不垂直于x轴,
设直线PT的方程为.
由消去y得.
因为点在椭圆C的内部,所以,,.
设直线AP的方程为,直线BQ的方程为,
所以.
由（1）知,可得
因此,即点D在直线上.
21．答案：（1）证明见解析
（2）不是,理由见解析
解析:（1）,要证,
只需证,即证,
令,则,
则在上单调递增,所以,
所以当时,,
从而当时,得证.
（2）因为,所以的导数为,故,
当时,,当且仅当时取等号,又,当时,,所以,
当时,令,则,因为时,,所以,所以在上单调递增,
又,,所以,使,
所以当时,,当时,,
所以当时,,即在区间上单调递减;当时,,即在区间上单调递增,
又,所以当时,,当时,,
所以在上单调递增,在上单调递减,又,
所以,当时,,当时,,
所以不是的极值点.
22．答案：（1）,
（2）
解析:（1）直线的参数方程为,则,
两式相减得
直线的参数方程为,则代入,
得;
（2）圆C的圆心为,半径为,
若与圆相离,
所以,即,
解得.
23．答案：（1）
（2）
解析:（1）因为,
当且仅当,即或时取等号,
所以的最小值为;
（2）因为,,所以,
当时,,解得,所以解集为;
当时,,此时恒成立,所以解集为;
当时,,解得,所以解集为;
综上所述,不等式解集为.