2024年陕西省西安爱知初级中学中考第七次模拟数学试题

这是一份2024年陕西省西安爱知初级中学中考第七次模拟数学试题，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题(共8 小题，每题3分，计 24分，每小题只有一个选项符合题意)
1. 的算术平方根是（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】关键算术平方根的定义选出正确选项．
【详解】解：的算术平方根是．
故选：C．
【点睛】本题考查算术平方根，解题的关键是掌握算术平方根的定义．
2. 元旦期间，小明买到了一款包装精致的烟花．从上面、正面、左面观察它的外包装盒，得到的平面图形如图所示，则该烟花的外包装盒的形状是（ ）

A. 长方体B. 圆柱C. 三棱柱D. 三棱锥
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了三视图，根据三视图的概念判断选择即可．
【详解】根据三视图的意义，该立体图形是三棱柱．
故选：C．
3. 如图，为等腰直角三角形，，直线交于点E，．若，则的度数为（ ）您看到的资料都源自我们平台，20多万份试卷，家威杏 MXSJ663 每日最新，性比价最高
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，外角的性质，掌握三角形内角和定理、外角的性质、平行线的性质是解题的关键．根据等腰三角形的性质求出，根据平行线的性质得，然后利用三角形外角的性质即可求解．
【详解】解：∵为等腰直角三角形，，
∴．
∵，
∴，
∴．
故选D．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂乘法，积的乘方，完全平方公式和合并同类项，根据同底数幂乘法，积的乘方，完全平方公式和合并同类项运算法则逐项判断即可，熟知相关计算法则是解题的关键．
【详解】、，原选项计算错误，不符合题意；
、，原选项计算错误，不符合题意；
、，原选项计算正确，符合题意；
、，原选项计算错误，不符合题意；
故选：．
5. 一次函数的图象经过、两点，且，则的值可以是( )
A. 2B. C. 1D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的性质．根据题意可得一次函数，随的增大而减小，则，即可求解．
【详解】解：∵一次函数的图象经过、两点，且，即随的增大而减小，
∴，
解得：，
观察四个选项，选项A符合题意，
故选：A．
6. 如图， 菱形中， 对角线交于点O，， 垂足为点H，分别交及的延长线于点E、M、F，且，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形的性质，相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判断，先由菱形的性质得到，，，再证明，进而证明四边形是平行 四边形，得到，由此可得到，再证明，得到，则．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，，，
∵，
∴，
∴四边形是平行 四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
故选：D．
7. 如图，内接于， 点 B 是弧的中点， 是的直径．则的长为（ ）

A. 5B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，弧与弦之间的关系，直径所对的圆周角是直角，连接，先求得，进而得到，再利用直角三角形的性质求得，又由点是的中点得，进而利用勾股定理即可得解．
【详解】解：如图，连接，

∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∵，
∴即，
解得，
故选：C．
8. 二次函数 (其中x是自变量且)， 当时， y随x的增大而增大，且时，y的最大值是，则m的值为（ ）
A. B. 6C. 或6D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．先将题目中的函数解析式化为顶点式，即可得到该函数的对称轴，再根据当时，y随x的增大而增大，即可得到m的正负情况，最后根据当时，y的最大值为和二次函数的性质，可以求得m的值．
【详解】解：∵二次函数，
∴该函数的对称轴为直线，
∵当时，y随x的增大而增大，
∴，
又∵当时，y的最大值为，
∴时，，
即，
解得，，（舍去），
故选：D．
二、填空题(共5 小题， 每小题3分， 计 15分)
9. 比较大小：4______（填“＞”，“＜”或“＝”）．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查实数的大小比较，比较容易，由可得，从而即可得解．
【详解】解：∵,
∴，
故答案为：．
10. 在平面内，将长度为6 线段绕端点 A 按顺时针方向旋转，则线段扫过的图形的面积为_______． (结果保留)
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了扇形面积计算，根据题意可知线段扫过的图形的面积为一个半径为6且圆心角度数为120度的扇形面积，据此计算求解即可．
【详解】解；，
∴线段扫过的图形的面积为，
故答案为：．
11. 如图， 在正方形中，，点E 为边一点，，连接，过点B作，垂足为点F，则的长为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理，三角形相似的判定与性质，根据正方形的性质得到，，从而得到，，即可得到，结合得到，即可得到答案；
【详解】解：∵四边形是正方形，，，
∴，，
∴，，
∴，
∵,
∴，
∴，
∴，即：，
解得：，
故答案为：．
12. 如图，为等边三角形，且轴于点B， 反比例函数 经过点A与点C， 则________．

【答案】
【解析】
【分析】作于点D，求出，然后求出和的长，设则，再根据反比例函数图象上点的坐标特征求解即可．
【详解】如图，作于点D．

∵为等边三角形，
∴．
∵轴
∴，
∴，
∴，
∴．
设则．
∵点A，点C在反比例函数图象上，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，以及反比例函数图象上点的坐标特征，正确作出辅助线是解答本题的关键．
13. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，，点M 为边上一点，以点M为圆心，为半径作， 交x轴于点 D， 连接交于点E， 连接， 点 F 为中点，则的最小值为_______．
【答案】##
【解析】
【分析】如图所示，连接，取中点H，连接，取中点G，连接，由矩形的性质得到，进而得到，，证明，则，再证明为的中位线，得到，则点F在以点G为圆心，半径为1的圆上运动，故当三点共线且点F在上时，有最小值，利用勾股定理得到，则．
【详解】解；如图所示，连接，取中点H，连接，取中点G，连接，
∵四边形为矩形，，
∴，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵点F为的中点，
∴为的中位线，
∴，
∴点F在以点G为圆心，半径为1的圆上运动，
∴当三点共线且点F在上时，有最小值，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一点到圆上一点的距离的最值问题，矩形的性质，三角形中位线定理，圆周角定理，直角三角形的性质，坐标与图形，勾股定理等等，正确作出辅助线推出点F的运动轨迹是解题的关键．
三、解答题：(共 13 小题，计81分．解答应写出过程)
14. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的乘法计算，负整数指数幂，实数的运算，先计算二次根式乘法和负整数指数幂，再根据实数的混合计算法则求解即可．
【详解】解：原式
．
15. 解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，利用公式法解方程即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
解得．
16. 化简： ．
【答案】．
【解析】
【分析】本题考查了分式化简，先将括号里的异分母分式相减化为同分母分式相减，再算分式的除法运算得以化简，掌握分式的通分和约分是解题的关键．
【详解】解：
，
，
．
17. 如图，已知，，，请用尺规作图法，在边上找一点P，使得．(保留作图痕迹，不写作法)

【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、线段垂直平分线的尺规作图．作的垂直平分线，交于点，连接，由此即可得．
【详解】解：如图，点即为所求．

理由：由线段垂直平分线的性质得：，
，
，，
，
，
∴．
18. 如图， 在和中， 延长交于 F． 求证：．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，先分别证明，，再证明，即可证明．
【详解】证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
19. 作为西咸新区首条南北向的地铁线路，西安地铁号线的开通对西咸新区的发展来说意义非凡．小明在寒假以问卷的方式对西安市民关于地铁号线的满意度进行调查，如图是地铁号线线路图(部分) ，其中有四个站点：诗经里(用 表示)、欢乐谷(用 表示) 、沣东城市广场(用表示) 、细柳营(用表示)．
（1）小明从这四个站点中随机选取一站作为调查站点，则他选取的站点为诗经里的概率为 ；
（2）小明从这四个站点中随机选取两站作为调查站点，请你用画树状图或列表的方法计算出小明选取的两个站点相邻的概率．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（）直接根据概率公式计算即可；
（）根据题意画树状图，然后求出概率即可；
本题考查了用列表法或画树状图法求概率，随机事件，解题的关键是掌握列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果．
【小问1详解】
解：由题意得选取的站点为诗经里的概率为，
故答案为：；
【小问2详解】
根据题意，画出树状图如下：
从这四个站点中随机选取一站作为调查站点的所有机会均等的结果共有种，选取的两个站点相邻的有种等可能结果，
∴选取两个站点相邻的的概率为．
20. 某地遭遇暴雪袭击，严重影响人们的出行安全，现有甲、乙两支消雪队伍开始清理某路段积雪，积雪共有430吨，甲乙共同清理3 小时后，乙队被调往别处，甲队又用4 小时完成了剩余的清雪任务，已知甲队每小时清雪量保持不变，乙队每小时清雪50吨，求甲队每小时清雪多少吨？ (请列方程解决实际问题)
【答案】甲队每小时清雪40吨
【解析】
【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设甲队每小时清雪x吨，根据工作总量工作效率工作时间分别求出甲队和乙队的工作总量，再根据积雪为430吨列出方程求解即可．
【详解】解：设甲队每小时清雪x吨，
由题意得，，
解得，
答：甲队每小时清雪40吨．
21. 在学习了测高相关知识后，小明和小丽想利用所学知识测量学校一棵大树的高度，如图所示，大树的影子落在 处，小明站在影子顶端C 处，此时小丽测量小明影子长度，小丽将测倾器插在 D处测得点A 的仰角( ．已知小明的身高，测倾器的高度， 点 B、C、D在同一直线上，， 求大树的高度． (结果精确到．参考数据： )
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，过点F作于H，交于G，证明四边形和四边形都是矩形，得到，，，由太阳光是平行光线，得到，进而推出，设，则，解得到，解方程即可得到答案．
【详解】解：如图所示，过点F作于H，交于G，
∵，，
∴四边形和四边形都是矩形，
∴，，，
∵太阳光是平行光线，
∴，
∴，
∴，
设，
∴，
在中，，
∴，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴，
∴大树的高度约为．
22. 甲、乙两车都从A地前往B地，A、B两地相距320km．已知甲车先走后，乙车再出发．开始时，两车行驶的速度相同，中途甲车放缓速度，乙车仍按原速行驶．甲、乙两车离A地的距离与乙车行驶时间的函数关系如图所示．
（1）求段的函数表达式；
（2）当乙车到达B地时，求甲车离B地的距离．
【答案】（1）；
（2）当乙车到达B地时，甲车离B地的距离为．
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的应用．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求得开始时，甲车的速度，即乙车的速度，再求得乙车走完全程所用的时间，据此求解即可．
【小问1详解】
解：设段的函数表达式为，
把，代入得，
解得，
∴段的函数表达式为；
【小问2详解】
解：由题意得，开始时，甲车2小时走了，
则开始时，甲车的速度为，
∴乙车的速度为，
∴乙车走完全程所用的时间为，
当时，，
，
答：当乙车到达B地时，甲车离B地的距离为．
23. 为了普及科学知识，传播科学思想，弘扬科学精神，某校举行了青少年科普知识竞赛．随机抽取 名学生的竞赛成绩，把成绩分成四个等级(；；；)，并绘制了如下不完整的频数分布直方图和扇形统计图．

请根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空： ， ；
（2）补全频数分布直方图，所抽取学生的成绩的中位数落在 等级；
（3）若成绩达到和等级将获得“科普达人”称号，请你估计该校参加竞赛的名学生中获得“科普达人”称号的学生人数．
【答案】（1），；
（2）补全频数分布直方图见解析，；
（3）该校参加竞赛的名学生中获得“科普达人”称号的学生人数由人．
【解析】
【分析】（）频数分布直方图中等级的人数是人，所占百分比是，由此可求出抽取的总人数；根据总体人数可求出等级人数占的百分比，
（）由（）得到等级人数，即可补全频数分布直方图，根据中位数的定义，即可求出中位数落在哪一组；
（）根据样本所占百分比估算总体的方法即可求解；
本题主要考查调查与统计的相关知识，理解频数分布直方图、扇形统计图中的相关信息，掌握运用样本百分比估算总体数量，求中位数分方法是解题的关键．
【小问1详解】
解：频数分布直方图中等级的人数是人，所占百分比是，
由此可求出抽取的总人数（人），
则等级人数为：（人），
∴，
故答案为：，；
【小问2详解】
由（）得：等级人数为人，补全频数分布直方图如图，
由题意得：等级共人，等级共人，等级共人，等级共人，共人，
所抽取学生的成绩的中位数为第和名的平均数，
故中位数落在等级，
故答案为：；
【小问3详解】
该校参加竞赛的 名学生中获得“科普达人”称号的学生人数为：
（人），
答：该校参加竞赛的名学生中获得“科普达人”称号的学生人数由人．
24. 如图，为的直径， 点 D为上一点， 过点 B作切线交延长线于点 C，平分，交于F．
（1）求证：；
（2）若半径为2，，求的长度．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由直径所对的圆周角是直角得到，则，由切线的性质得到，则，由角平分线的定义得到，据此可证明，则；
（2）过点E作于H，由角平分线的性质得到，解得到，设，由勾股定理得，解得（负值舍去），则，根据，求出，解得到，则．
【小问1详解】
证明：∵为的直径，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
解；如图所示，过点E作于H，
∵平分，，
∴，
∵半径为2，
∴，
在中，，
设，
由勾股定理得，
∴，
解得（负值舍去），
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，解直角三角形，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，角平分线的性质，等角对等边等等，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
25. 某公园的人工湖里安装一个喷泉，在湖中心竖直安装了一根高为3米的喷水管，它喷出的抛物线形水柱在与喷水管的水平距离为 1 米处达到最高，水柱落地处离喷水管3米．以喷水管与湖面的交点为原点，建立如图的平面直角坐标系．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）现公园准备通过只调节喷头露出湖面的高度，使得游船能从抛物线水柱下方正中间通过．为避免游客被喷泉淋湿，要求游船从抛物线水柱下方正中间通过时，游船顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于 1.5米，已知游船顶棚宽度为 1米，顶棚到湖面的高度为 2.5米，那么公园应将喷头至少向上移动多少米才能符合要求？
【答案】（1）
（2）应将喷头至少向上移动米才能符合要求．
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用，求出函数解析式是解答本题的关键．
（1）用待定系数法求解即可；
（2）如图，设平移后的解析式，先求出，然后把代入解析式即可求解.
【小问1详解】
设，把，代入得，
，
∴，
∴；
【小问2详解】
如图，设平移后的解析式，
∴抛物线对称轴是直线．
∵顶棚宽度为 1米，顶棚到湖面的高度为 2.5米，
∴，
∵顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于 1.5米，
∴把代入解析式得，
，
∴，
∴应将喷头至少向上移动米才能符合要求．
26. （1）如图①， 点P 为上一点，， 垂足分别为点A与点H， 若，则的最大值为 ；
(2) 如图②， 在中，， D 是边上一点， 且， 点E 是边上一点， 将沿折叠， 则点C落在 F 处， 连接， 求周长的最小值；
（3）如图③，是某花园的设计示意图，已知，，，， 弧为上的一段优弧， 点E为弧上的一点，过点E与点O铺设一条观赏小路，过点 A 铺设一条与之垂直的观赏小路，垂足为F，现计划在内种植牡丹花，已知牡丹花每平米的成本费为 500 元，则种植牡丹花所需费用至少为多少元？
【答案】（1）8；（2）；（3）元
【解析】
【分析】（1）过点 O作于E，则四边形是矩形，据此得到，再由，即可得到；
（2）如图所示，连接，由折叠的性质可得，则的周长，根据题意可得点F在以D为圆心，2为半径的圆上运动，故当三点共线，且点F在上时，有最小值，即此时的周长最小，利用勾股定理求出，则的周长最小值为；
（3）如图所示，过点A作于G，连接，证明是等腰直角三角形，得到，则，利用勾股定理求出，则，由圆周角定理得到，则；如图所示，取的中点P，过点P作于Q，连接，过点F作于M，由，deed点F在以点P为圆心，为直径的圆上运动，由（1）可知，即，证明四边形是正方形，进而证明四边形是矩形，得到，则，再由，得到当最小时，最小，则最小值为，可得种植牡丹花所需费用至少为元．
【详解】解：（1）如图所示，过点 O作于E，则四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴的最大值为8，
故答案为：8；
（2）如图所示，连接，
由折叠的性质可得，
∴周长，
∵，
∴点F在以D为圆心，2为半径的圆上运动，
∴当三点共线，且点F在上时，有最小值，即此时的周长最小，
∵，
∴，
∴的周长最小值为；
（3）如图所示，过点A作于G，连接，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∵，，
∴；
如图所示，取的中点P，过点P作于Q，连接，过点F作于M，
∵，
∴，
∴点F在以点P为圆心，为直径的圆上运动，
由（1）可知，
∴，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
又∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴当最小时，最小，
∴最小值为，
∴种植牡丹花所需费用至少为元．
【点睛】本题主要考查了一点到圆上一点的距离的最小值问题，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，折叠的性质，圆周角定理，正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线找到动点的估计是圆是解题的关键．