广西壮族自治区南宁市广西大学附属中学2023-2024学年九年级上学期1月月考数学试题

这是一份广西壮族自治区南宁市广西大学附属中学2023-2024学年九年级上学期1月月考数学试题，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题．等内容，欢迎下载使用。

1. 生活中有许多对称美的图形，下列是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查中心对称图形定义：把图形沿某点旋转得到的新图形与原图形重合的图形叫中心对称图形，轴对称图形定义：把一个图形沿某条直线对折两边完全重合的图形叫轴对称图形．根据中心对称图形定义及轴对称图形定义，逐个判断即可得到答案．
【详解】解： A、选项图形即是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合题意，
B、选项图形即是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合题意，
C、选项图形即是中心对称图形又是轴对称图形，不符合题意，
D、选项图形是中心对称图形，不是轴对称图形，符合题意，
故选：D；
2. 下列事件中属于随机事件的是（ ）
A. 若今天是星期一，则明天是星期二B. 掷一枚质地均匀的硬币正面朝上
C. 抛出的篮球会下落D. 从一个装满红球的袋子里摸出了一个白球
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了随机事件，在一定条件下，可能出现也可能不出现的事件叫随机事件，熟练掌握随机事件的概念是解题的关键．
【详解】A、今天是星期一，明天是星期二是必然事件，故本选项不符合题意；
B、掷一枚质地均匀的硬币正面朝上是随机事件，故本选项符合题意；
C、抛出的篮球会下落是必然事件，故本选项不符合题意；
D、从一个装满红球的袋子里摸出了一个白球是不可能事件，故本选项不符合题意．
故选：B．
3. 已知点是外一点，且的半径为，则的长可能为( )您看到的资料都源自我们平台，20多万份试卷，家威杏 MXSJ663 每日最新，性比价最高A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了点与圆的位置关系：若半径为，点到圆心的距离为，则有当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内．根据点在圆外，点到圆心的距离大于圆的半径可对各选项进行判断．
【详解】解：点是外一点，
，
的长可能为，
故选：D．
4. 若点关于原点的对称点是，则m+n的值是 ( )
A. 1B. -1C. 3D. -3
【答案】B
【解析】
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点；两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，可得m、n的值，进而可算出m+n的值．
【详解】∵点P1（m，-1）关于原点的对称点是P2（2，n），
∴m=-2，n=1，
∴m+n=-2+1=-1，
故选B．
【点睛】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．
5. 下列抛物线中，对称轴为直线的抛物线的表达式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的对称轴，熟练掌握求二次函数对称轴的方法和技巧是解答本题的关键．
分别求出各选项中抛物线的对称轴，由此进行判断，得到答案．
【详解】解：根据题意得：
选项中，抛物线的对称轴为轴，故本选项不符合题意；
选项中，抛物线的对称轴为轴，故本选项不符合题意；
选项中，抛物线，该抛物线的对称轴为直线，故本选项不符合题意；
选项中，抛物线，该抛物线的对称轴为直线，故本选项符合题意；
故选：．
6. 一元二次方程配方后可变形为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查解一元二次方程—配方法，根据确配方法的步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方解答即可．
【详解】解：
故选：A．
7. 如果三点和在抛物线的图象上，那么与之间的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向下，对称轴是直线x=3，根据x＞3时，y随x的增大而减小，即可得出答案．
【详解】解：∵y=-x2+6x+c=-（x-3）2+9+c，
∴图象的开口向下，对称轴是直线x=3，
P1（1，y1）关于对称轴的对称点为（5，y1），
∵3＜4＜5，
∴y2＞y3＞y1，
故选：A．
【点睛】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键．
8. 如图，是的直径，四边形内接于，若，则的直径为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，等边三角形的判定．连接、．根据圆心角、弧、弦的关系证得是等边三角形，则的半径长为，再求解即可．
【详解】解：如图，连接、．

是的直径，四边形内接于，若，
，
．
又，
是等边三角形，
，
．
故选：D．
9. 下列关于方程的结论正确的是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 有一个实数根D. 无实数根
【答案】D
【解析】
【分析】根据判别式的符号进行判断即可．
【详解】解：由题意得：；
∴方程没有实数根；
故选D．
【点睛】本题考查一元二次方程的判别式与根的个数的关系．熟练掌握，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根是解题的关键．
10. 如图，抛物线与直线的两个交点分别为，，则关于x的方程的解集为（ ）
A. B.
C. 或D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一次函数及二次函数图象上点的坐标特征，利用图象解不等式，根据抛物线与直线的两个交点分别为，，当抛物线在直线的上方时，自变量x的取值即为的解集求解即可．
【详解】解：抛物线在直线的上方时，自变量x的取值即为的解集，，，
或，
故选：C．
11. 如图，在中，，，O为的内心．若的面积为20，则的面积为（ ）
A. 20B. 15C. 18D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】由角平分线的性质可得，点O到，，的距离相等，则、、面积的比实际为，，三边的比．
【详解】解：∵O为的内心，
∴点O是三条角平分线的交点，
∴点O到，的距离相等，
∴、面积的比．
∵的面积为20，
∴的面积为15．
故选B．
【点睛】此题主要考查三角形的内心的性质，掌握“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”是解本题的关键．
12. 如图，抛物线m：y＝ax2+b（a0，b0）与x轴于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．将抛物线m绕点B旋转180°，得到新的抛物线n，它的顶点为C1，与x轴的另一个交点为A1．若四边形AC1A1C为矩形，则a，b应满足的关系式为（ ）
A. ab＝﹣2B. ab＝﹣3C. ab＝﹣4D. ab＝﹣5
【答案】B
【解析】
【分析】利用矩形性质得出要使平行四边形是矩形,必须满足AB=BC,继而可求出a、b满足的关系．
【详解】解：令x＝0，得：y＝b．
∴C（0，b）．
令y＝0，得：ax2+b＝0，
∵，
∴x＝±，
∴A（﹣，0），B（，0），
∴AB＝2，BC＝,
要使平行四边形AC1A1C是矩形，必须满足AB＝BC，
∴,
∴，
∴ab＝﹣3,
∴a，b应满足关系式ab＝﹣3,
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数、平行四边形的性质，灵活利用平行四边形的性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
13. 当=_____时，关于的方程是一元二次方程．
【答案】4
【解析】
【详解】关于x的方程是一元二次方程，得m-2=2，
解得m=4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，解题的关键是熟练掌握此概念．
14. 边长为4的正六边形内接于，则的半径是______．
【答案】4
【解析】
【分析】根据正六边形的外接圆半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形，即可求解．
【详解】解：正六边形的中心角为，
那么外接圆的半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形，
边长为4的正六边形外接圆半径是4．
故答案为4．
【点睛】本题考查了正多边形和圆，掌握正六边形的外接圆半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形是解题的关键．
15. 若关于x的一元二次方程的一个根为，则另一个根为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据一元二次方程根与系数关系，代入求解即可
【详解】设另一个根为，根据根与系数的关系有：
即
解得：
故答案为
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
16. 将抛物线先向右平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度，可得到抛物线__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．
【详解】解：将抛物线先向右平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度，可得到抛物线，
故答案为：．
17. 如图所示，某市世纪广场有一块长方形绿地长，宽，在绿地中开辟三条道路后，剩余绿地的面积为，如图，设道路的宽为，则可列方程为__________．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了一元二次方程的应用题，由题意列出一元二次方程即可．
【详解】解：根据题意得：，
故答案为：．
18. 如图，已知正方形纸片的边长为，的半径为，圆心在正方形的中心上，将纸片按图示方式折叠，使恰好与相切于点（与除切点外无重叠部分），延长交边于点，则的长是___________．
【答案】##
【解析】
【分析】连，过F作于H．由题干条件易证明点共线，即过圆心O，再由可证明，得、；设，将和用含x式子表示，在中运用勾股定理即可求解．
【详解】解：连，过F作于H．
由折叠的性质可知，，
∵恰好与相切于点，
∴，则点共线，即过圆心O，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴、，
∵，
∴；
设，则，，，
在中，，
则，
解得，
则，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆的切线性质，也考查了折叠和正方形的性质以及勾股定理．
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．
19. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查实数的混合运算，先化简零指数幂，化简绝对值，立方根，负整数指数幂，再运算加减法，即可作答．
详解】解：原式
．
20. 解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查解一元二次方程，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．直接利用因式分解法求解方程即可．
【详解】解：
或
解得：．
21. 为庆祝党的二十大胜利召开，某学校举行作文比赛，题目有“伟大的中国共产党”“科技托起强国梦”“家乡的新变化”“时代赋予我们的使命”（分别用字母A，B，C，D依次表示这四个题目）．比赛时，将A，B，C，D这四个字母分别写在4张无差别不透明的卡片的正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，小青先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再由小云从中随机抽取一张卡片，进行比赛．
（1）小云抽中题目“时代赋予我们的使命”的概率是______．
（2）试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出小青和小云抽中不同题目的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接根据概率公式求解；
（2）利用列表法展示所有16种等可能性结果，再找出小明和小亮加同一项目的结果数，然后根据概率公式求解．
【小问1详解】
解：小云抽中题目“时代赋予我们的使命”的概率是：．
故答案为：
【小问2详解】
列表如下：
一共有16种结果，每种结果出现的可能性相同，其中小青和小云抽中不同题目的结果有12种，
所以小青和小云抽中不同题目的概率为．
【点睛】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
22. 在初中阶段的函数学习中我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程.以下是我们研究函数性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题.
（1）自变量x的取值范围是全体实数，与y的几组对应值列表如下
其中，__________________.
（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中补全函数的图象.
（3）根据函数图象，下列关于该函数性质的说法正确的有__________________（填序号）；
①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为y轴
②该函数在自变量的取值范围内，没有最大值，但有最小值
③当时，函数取得最小值0
④当或时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大.
（4）在同一坐标系中作出函数的图象，结合你所画的函数图象，直接写出方程的解__________________.（保留1位小数，误差不超过0.4）.
【答案】（1）（2）画图见解析；（3）②③；（4）或
【解析】
【分析】（1）把代入，可得的值；
（2）根据表中的的对应数值作为点的横坐标，纵坐标，描点作图即可得到答案；
（3）根据函数的图像逐一判断即可得到答案；
（4）先在同一直角坐标系内画出的图像，再利用两个函数的交点的横坐标就是方程的近似解，从而可得答案．
【详解】解：（1）
当
故答案为：
（2）描点：
再用平滑的曲线连接各点补全图像如下：
（3）由函数的图像可得：
该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为直线故①错误；
该函数在自变量的取值范围内，没有最大值，但有最小值，说法正确，故②正确；
当或时，函数取得最小值0，故③正确；
当或＜＜随的增大而减小，当＜＜或＞时，y随x的增大而增大，故④错误；
综上：正确的有：②③．
故答案：②③．
（4） 函数
令 则
令 则
函数过
画出函数图像如图示：
由图像可得：当时，
或
故答案为：或
【点睛】本题考查的是探究绝对值函数的图像与性质，二次函数的图像与性质，同时考查描点法画函数图像，利用函数图像求解方程的近似解，掌握以上知识是解题的关键．
23. 如图，在四边形中，是对角线，是等边三角形，线段CD绕点顺时针旋转得到线段，连接，．
（1）求证：；
（2）若，，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据旋转的性质得到，利用等边三角形的性质得到．则，即可得到结论；
（2）证明．则．证明是等边三角形．进一步得到．在中，由勾股定理即可得到的长．
【小问1详解】
证明：由旋转的性质，知．
∵是等边三角形，
∴．
∴．
∴，
即．
【小问2详解】
解：在和中，
∴．
∴．
∵，
∴是等边三角形．
∴．
∵，
∴．
在中，
．
【点睛】此题考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌握旋转的性质、全等三角形的判定和性质是解题的关键．
24. 根据以下素材，探索完成任务．
【答案】任务一：的值是；b的值是2.8
任务二：选择吊球方式，球的落地点到点的距离更近
【解析】
【分析】本题考查一次函数，二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，求出一次函数和二次函数解析式，掌握函数图象上点坐标的特征．
任务一：先求出点的坐标，再分别 代入一次函数与二次函数解析式计算即可求解；
任务二：在中，令得，在中，令可得（舍去）或，由，即可得到答案．
【详解】解：任务一：∵，
∴，
把代入得：，
解得：，
的值是；
把代入得，
∴b的值是2.8．
任务二：，，
，
，
在中，令得，
在中，令得（舍去）或，
，
选择吊球方式，球的落地点到点的距离更近．
25. 筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，车轮缚以竹筒，旋转时低则舀水，高则泻水．如图，水力驱动筒车按逆时针方向转动，竹筒把水引至A处，水沿射线方向泻至水渠，水渠所在直线与水面平行．设筒车为，与直线交于P，Q两点，与直线交于B，C两点，恰有，连接．
（1）求证：为的切线；
（2）筒车的半径为，，．当水面上升，A，O，Q三点恰好共线时，求和的度数；
（3）在（2）的条件下，直接写出筒车在水面下的最大深度（精确到．参考值：，）．
【答案】（1）见解析 （2），
（3）
【解析】
【分析】（1）连接并延长交于，根据为的直径可以得到，继而得到，根据，，即可得到，即可证明为的切线；
（2）根据，解出，根据为的直径得到，进而得出，，又根据得出，故可得到；
（3）过作交于，交于，于是在等腰中，根据锐角三角函数求出长，进而求出最大深度．
【小问1详解】
证明：连接并延长交于，连接，如图1，
为的直径，
，
，
又，
，
，
，
是的半径，
为的切线；
【小问2详解】
解：如图2所示，
，，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
【小问3详解】
解：过作交于，交于，如图3，
为等腰直角三角形，
，
，
．
【点睛】本题主要考查圆的切线的判断，等腰三角形、圆周角定理，锐角三角函数，掌握公式定理并且灵活应用是解题的关键．
26. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．过点，且顶点P的坐标为．
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图1，若点M是二次函数图象上点，且在直线的上方．连接，．求面积的最大值；
（3）如图2，设点Q是抛物线对称轴上的一点，连接，将线段绕点Q逆时针旋转，点C的对应点为F，连接交抛物线于点E，请直接写出点E的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）由面积，即可求解；
（3）①当点在点的下方时，证明，得到，，则点，求出直线的表达式，进而求解；②当点在点的上方时，同理可得：点的坐标为，进而求解．
【小问1详解】
解：设抛物线的表达式为：，
则，
将点的坐标代入上式并得：，
解得：，
故抛物线的表达式为：，即；
【小问2详解】
解：由抛物线的表达式知，点，
如图1，过点作轴交于点，
设直线的表达式为：，
则，解得，
故直线的表达式为：，
设点，点，
则面积
，
，故函数由最大值，
当时，面积的最大值为；
【小问3详解】
设点，如图2，
①当点在点的下方时，
过点作轴的平行线交轴于点，交过点与轴的平行线于点，
，，
，
，，
，
，，
点，
设直线的表达式为：，
则，解得，
故直线的表达式为：②，
联立直线与抛物线的：，
解得：（不合题意的值已舍去），
即点；
②当点在点的上方时，
同理可得：点的坐标为，
由点、的坐标得：直线的表达式为，同情况①，
故点；
当点与点重合时，也符合题意，
综上，点的坐标为或．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质和旋转的性质；会利用三角形全等的知识解决线段相等的问题；会解一元二次方程；理解坐标与图形性质．A
B
C
D
A
（AA）
（A,B）
（A,C）
（A,D）
B
（B,A）
（B,B）
（B,C）
（B,D）
C
（C,A）
（C,B）
（C,C）
（C,D）
D
（D,A）
（D,B）
（D,C）
（D,D）
x
…
-4
-3
-2
-1
0
1
2
…
y
…
4
1.5
0
0.5
0
m
4
…
如何设计击球线路的方案
素材1
数学兴趣小组运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，兴趣小组对击球线路进行探索，如图1，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网AB与y轴的水平距离，，击球点P在y轴上，且．

素材2
若选择点P扣球，如图2，羽毛球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）近似满足一次函数关系．

素材3
若选择点P吊球，如图2，羽毛球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）近似满足二次函数关系．
问题解决
任务1
确定关键数据
求a和b的值．
任务2
拟定设计方案
兴趣小组探索发现，上面两种击球方式均能使球过网．要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式．