广西壮族自治区南宁市西乡塘区第十八中学2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题

这是一份广西壮族自治区南宁市西乡塘区第十八中学2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第Ⅰ卷
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑）
1. 下列各曲线是在平面直角坐标系中根据不同的方程绘制而成的，其中是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了中心对称图形的概念．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做中心对称点．
中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据中心对称图形的概念求解．
【详解】解： A、是轴对称图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、是轴对称图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、是轴对称图形也是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、是轴对称图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：C．
2. 已知甲，乙同学1分钟跳绳成绩的平均数相同，若甲同学成绩方差，乙同学成绩方差，则成绩更稳定的同学是（ ）
A. 甲B. 乙C. 甲，乙一样稳定D. 无法确定您看到的资料都源自我们平台，20多万份试卷，家威杏 MXSJ663 每日最新，性比价最高【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查方差，熟练掌握方差是解题的关键；此题可根据方差的性质“方差越小，数据的波动越小”进行求解．
详解】解：∵，
∴成绩较稳定的同学是乙；
故选：B．
3. 如图，四边形内接于，，则度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，注意：圆内接四边形的对角互补．根据圆内接四边形的性质得出，再代入求出答案即可．
【详解】解：∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
4. 如果将抛物线向上平移3个单位长度，得到新的抛物线的表达式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数图象平移的方法：左加右减，上加下减，可得答案．
【详解】解：抛物线向上平移3个单位长度可得，
故选：C
【点睛】本题考查二次函数图象的平移，准确掌握平移方法是解题的关键．
5. 如图，将绕点A顺时针旋转得到，若线段，则的长为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】由旋转可得：得是等边三角形，即可得出答案．
【详解】解：绕点A顺时针旋转得到，
，
是等边三角形，
，
，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了旋转的性质及等边三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识是解题关键．
6. 如图，，分别切于点，，连接交于，下列结论错误的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了切线长定理、等腰三角形的性质，利用切线长定理、等腰三角形的性质即可得出．
【详解】解：由切线长定理可得：，，从而．
因此A．B．C都正确．
无法得出，可知：D是错误的．
综上可知：只有D是错误的．
故选：D．
7. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查二次函数的性质，懂得从二次函数顶点式中解出顶点坐标是解题的关键．
根据题目中函数的解析式即可直接得出此二次函数的顶点坐标．
【详解】，
∴二次函数的图象的顶点坐标为，
故选：A．
8. 如图是小雨学习时使用的圆锥形台灯灯罩的示意图，已知圆锥底面圆半径为，圆锥母线长为，则围成这个灯罩的铁皮的面积是（不考虑缝隙等因素）（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了求圆锥的侧面积；根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，然后根据扇形的面积公式计算即可：
【详解】灯罩的铁皮的面积是（）．
故选B．
9. 判断方程的根的情况（ ）
A. 方程有两个不等的实数根B. 方程有两个相等实数根
C. 方程无实数根D. 无法判断
【答案】A
【解析】
【分析】根据一元二次方程根的判别式求出值， 即可得解．
本题考查了一元二次方程根的判别式，熟知，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程无实数根；是解题的关键．
【详解】，，，
，
∴方程有两个不等的实数根，
故选：A．
10. 往水平放置半径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面图如图所示，若水面宽度，则水的最大深度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接OA，过点O作OD⊥AB交AB于点C交⊙O于D，再根据勾股定理求出AC的长，进而可得出CD的长．
【详解】解：连接OA，过点O作OD⊥AB交AB于点C交⊙O于D，
∵OC⊥AB，由垂径定理可知，
∴AC=CB=AB=12，
在Rt△AOC中，由勾股定理可知：
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了垂径定理及勾股定理的应用，属于基础题，关键是过O点作AB的垂线，由此即可求解．
11. 如图所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：设蜡烛火焰的高度是，
由相似三角形的性质得到：，
解得，
即蜡烛火焰的高度是．
故选：C．
12. 北京时间2023年5月30日，搭载神舟十六号载人飞船的长征二号F遥十六运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，发射取得圆满成功．某校九年级学生做炮弹模拟发射实验，其运动轨迹可以近似看成抛物线，若此炮弹在第6秒和第12秒时的高度一致，则该炮弹到地面上时，所经过的时间为（ ）
A. 第6秒B. 第9秒C. 第12秒D. 第18秒
【答案】D
【解析】
【分析】根据抛物线，炮弹离地面到第6秒和第12秒时高度一致，得，即：，令，解出x的值即可求解．
【详解】解：抛物线，炮弹离地面到第6秒和第12秒时高度一致，
，即：，
当时，，
解得：，，
该炮弹到地面上时，所经过的时间为：18秒，
故选D．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
13. 化简：=_____．
【答案】2
【解析】
【分析】根据算术平方根的定义，求数a的算术平方根，也就是求一个正数x，使得x2=a，则x就是a的算术平方根，特别地，规定0的算术平方根是0．
【详解】∵22=4，
∴=2，
故答案为：2
【点睛】本题考查求算术平方根，熟记定义是关键．
14. 半径是，点与圆心距离是，则点在______．（填写“内”，“上”，“外”）
【答案】内
【解析】
【分析】本题考查的是点与圆的位置关系，根据的半径为和点到圆心的距离的大小关系判断即可．
【详解】解：∵的半径为，点到圆心的距离为，，
∴点在内，
故答案为：内．
15. 为落实国家“双减”政策，科任老师们精心设置作业．某班主任随机抽查本班6名学生每天完成课后作业的时间（单位：分钟）是：54，62，74，86，90，97，则这组数据的中位数是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查中位数：将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．据此进行解答即可．
【详解】解：∵数据54，62，74，86，90，97处在中间的两个数为74，86，
∴这组数据的中位数为，
故答案为：
16. 大自然中有许多小动物都是“小数学家”，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．一个巢房的横截面为正六边形，如图所示，若正六边形半径为5，则这个正六边形的周长是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了正六边形的性质，等边三角形的判定和性质，证明为等边三角形，得出，即可得出六边形的周长．
【详解】解：如图所示：

六边形是正六边形，
∴，，
∴为等边三角形，
∴，
∵正六边形半径为5，
∴这个正六边形的周长是
故答案为：．
17. 如图，抛物线与直线相交于点，，则关于的不等式的解集为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数与不等式，根据、两点的横坐标和函数的图象得出不等式的解集即可．
【详解】抛物线与直线相交于点，，
关于的不等式的解集为，
故答案为：．
18. 如图，是的直径，点是上一点，将劣弧沿弦折叠交直径于点，连接，若，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】连接，，过C点作于E点，由折叠得，则可得．由可得，进而可得，则．设，则，然后证明， 则可得，又，由此可求出x的值，进而可求出的值，也即的值．
本题主要考查了圆的相关性质：“同圆或等圆中相等的弧所对的圆周角相等”，“直径所对的圆周角等于”，以及相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线，找出等量关系，是解题的关键．
【详解】解：如图所示：
连接，，过C点作于E点，
∵是的直径，
由折叠知，和所在的圆为等圆，
又∵，
，
，
，
∴，
又，
，
，
设，则，
，，
，
，
，
又，
，
解得，
，
．
故答案为：．
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则以及运算顺序是解题的关键．
【详解】解：
20. 解一元二次方程：
【答案】，
【解析】
【分析】运用配方法解一元二次方程即可得出答案．
【详解】解：，
，
，
∴，．
【点睛】本题主要考查了运用配方法解一元二次方程，能够正确配方是解题的关键．
21. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，．
（1）将向上平移4个单位长度得到，请画出，并直接写出的坐标；
（2）以点为对称中心，画出的中心对称图形；
（3）在（2）的图形变换过程中，点与为对应点，求的值．
【答案】（1）图见解析，
（2）图见解析， （3）
【解析】
【分析】本题主要考查了平移、轴对称等知识点；
（1）根据平移的定义，的每个顶点、、分别向上平移个单位得到，再顺次连接即可画出图形，最后直接写出的坐标即可；
（2）根据中心对称的定义，的每个顶点A、B、C分别作关于对称的点，再顺次连接即可画出图形即可；
（3）根据平移的性质以及中心对称的性质得出坐标的关系，求得的值，即可求解．
【小问1详解】
解：如图所示：即为所求，的坐标为．
【小问2详解】
解：如图所示，即为所求，
【小问3详解】
∵向上平移4个单位长度得到，关于原点对称得出，即，
∴，
∴．
22. 【课本再现】
要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．
（1）①共有______场比赛；
②设比赛组织者应邀请个队参赛，每个队要与其他______个队各赛一场，因为甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以可列方程：______．
【小试牛刀】
（2）参加聚会的每两人都要握手一次，所有人共握手了45次，有多少人参加聚会？
【答案】（1）①28；②，；（2）人
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，
（1）①利用乘法运算即可求解；
②可设比赛组织者应邀请x队参赛，则每个队参加场比赛，则共有场比赛，可以列出一元二次方程；
（2）同（1）的方法列出一元二次方程，求解，舍去小于0的值，即可求解．
【详解】解：(1)①共有场比赛；
②可设比赛组织者应邀请x队参赛，那么每个队要与其他个队各赛一场，又由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲对的比赛是同一场比赛，所以全部的比赛一共有场比赛，
根据题意，列出相应方程：，
故答案为：28；②，；
(2)设有人参加聚会，
根据题意，得：，
解得，(舍去)
答：一共有人参加聚会．
23. 在中，在边上，，将线段绕着点逆时针旋转得到，且，连接交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求旋转到的过程中，线段所扫过的面积．
【答案】（1）见详解 （2）
【解析】
【分析】（1）由可得，根据证明，即可得．
（2）在中，先求出，由可得，旋转到的过程中，线段所扫过的图形是一个扇形，根据扇形的面积公式，计算出扇形的面积即可．
本题主要考查了全等三角形判定和性质、旋转的性质，以及扇形的面积公式，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【小问1详解】
∵将线段绕着点逆时针旋转得到，
即
又
【小问2详解】
∵中，
旋转到的过程中，线段所扫过的图形是一个扇形,
,
∴线段所扫过的面积为．
24. 跳绳是很多同学都喜爱的一项体育运动，当绳子甩到最高处时，其形状可近似的看作一条抛物线．如图是甲，乙两人将绳子用到最高处时的示意图，已知两人拿绳子的手离地面的高度都为，并且相距，绳子最高点距离地面2米．现以两人的站立点所在的直线为轴，过甲拿绳子的手作轴的垂线为轴，建立如图1所示的平面直角坐标系．

（1）求绳子用到最高处时所对应的抛物线表达式；
（2）身高的小明，能否站在绳子的正下方，让绳子通过他的头顶？
（3）现有9位身高均为的同学采取一路纵队并排的方式同时起跳（如图2），但为了保证安全，人与人之间距离至少0.5米，此时绳子能否顺利的甩过所有队员的头顶？
【答案】（1）．
（2）小明站在绳子的正下方距离甲的距离不小于米且不大于米时，绳子能通过他的头顶．
（3）此时绳子不能否顺利的甩过所有队员的头顶．
【解析】
【分析】本题是二次函数的应用，主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，应用二次函数的解析式由自变量求函数值，由函数值确定自变量等知识判定实际问题，关键是确定抛物线上点的坐标和应用二次函数解析式解决实际问题．
（1）绳子用到最高处时所对应的抛物线表达式为，用选定系数法求解即可；
（2）由时求出其自变量的值，便可确定的取值范围；
（3）由自变量的值求出函数值，再比较便可．
【小问1详解】
解：绳子用到最高处时所对应抛物线表达式为，
根据题意，抛物线经过点，且顶点坐标为，
解得，
绳子所对应的抛物线解析式为：，即．
【小问2详解】
身高的小明，能站在绳子的正下方让绳子通过他的头顶．
理由如下：
将代入得，
，
解得：，
开口向下，
当小明站在绳子的正下方距离甲的距离不小于米且不大于米时，绳子能通过他的头顶．
绳子能碰到小明，小明能站在绳子的正下方让绳子通过他的头顶．
【小问3详解】
有9位身高均为的同学采取一路纵队并排的方式同时起跳，人与人之间距离至少0.5米，则首尾两位同学的距离是（米），
最理想状态是最中间的同学站在对称轴的位置，此时首尾两位同学距离对称轴距离恰好是2米，
将代入得，
，
，
此时绳子不能否顺利的甩过所有队员的头顶．
25. 如图，正方形边长为6，点，分别是边，上的动点（点不与、重合），连接，，且．
（1）求证：；
（2）设，的面积为，用含有的式子表示，并写出自变量的取值范围；
（3）结合（2）的关系式，描述的面积随长度的变化规律．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）当时，的面积有最小值，最小值为；当时，的面积随的长度增大而减小；当时，的面积随的长度增大而增大
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，二次函数的性质等知识，证明三角形相似是解决问题的关键．
（1）根据两角对应相等的两个三角形相似即可证明；
（2）由（1）知，根据，求出，利用的面积为即可得出结果；
（3）结合二次函数的性质即可解答．
【小问1详解】
证明：四边形是正方形，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：，
，
正方形边长为6，，
，，
，
，
的面积为：，
；
【小问3详解】
解：，
，
当时，的面积有最小值，最小值为；
当时，的面积随的长度增大而减小；
当时，的面积随的长度增大而增大．
26. 【知识重现】
在圆周角定理的学习过程中，如图1，图2，图3，我们分三种情况探究了一条弧所对的圆周角和它所对的圆心角的数量关系：
（1）直接写出和的数量关系______，并用图1证明它们之间的数量关系；
【迁移应用】
已知内接于，直线为的切线，为切点．
（2）如图4，求证：．
（3）如图5，当点是射线上一点，过点作的平行线交直线于，交于点，求证：．
【答案】（1）；证明见解析；（2）见解析；（3）见解析
【解析】
【分析】本题考查了切线的性质和圆周角定理，相似三角形的性质与判定，
知识重现（1）： ；利用三角形外角性质及角的和差求解即可．
迁移应用（2）：作直径，根据切线性质得：，则，由直径所对的圆周角为直角，则，即，由同角的余角得出结论；
（3）证明线段所在的两个三角形与相似即可．再根据(2)可得和平行线的性质证出对应角相等，利用相似三角形的判定证出，即可得证．
【详解】解：知识重现：（1）．
证明：如图1，作直径，
∵，
∴．
∴，
同理，
∴，
∴；
迁移应用：（2）作直径，交于，连接，
∵为的切线，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
,
∵，
∴．
（3）证明：∵
又∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴
∴．