江苏省宿迁市江苏省泗阳桃州中学2023-2024学年九年级上学期第二次阶段测试数学试题

这是一份江苏省宿迁市江苏省泗阳桃州中学2023-2024学年九年级上学期第二次阶段测试数学试题，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
(时间120分钟，总分150分)
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如、、是常数，的函数，叫做二次函数，根据二次函数的定义判断即可．
【详解】解：A、，该函数整理后是一次函数，故本选项不符合题意；
B、时，是一次函数，故本选项不符合题意；
C、，该函数是二次函数，故本选项符合题意；
D、该函数是一次函数，故本选项不符合题意．
故选：C．
2. 已知⊙O的半径为3，A为线段PO的中点，则当OP＝5时，点A与⊙O的位置关系为（）
A. 点在圆内B. 点在圆上C. 点在圆外D. 不能确定
【答案】A
【解析】
【分析】先求出点A到圆心的距离，再根据点与圆的位置关系解答即可．
【详解】解：∵，⊙O的半径为3，
∴OA＜⊙O半径，
∴点A与⊙O的位置关系为：点在圆内．
故选：A．
【点睛】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．设点到圆心的距离为d，圆的半径为R，则当d=R时，点在圆上；当d＞R时，点在圆外；当d＜R时，点在圆内．
3. 关于x的一元二次方程的一个根为0，则m为（ ）
A. B. 0C. 1D. 1或您看到的资料都源自我们平台，20多万份试卷，家威杏 MXSJ663 每日最新，性比价最高【答案】A
【解析】
【分析】将一个根为0代入方程，再解关于m的方程，即可求得答案．
【详解】解：∵关于x的方程有一个根为0，
，
解得，
，
，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了方程根的定义和一元二次方程的解法，熟记一元二次方程的定义并熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
4. 在同一坐标系中一次函数和二次函数的图象可能为（ ）
A B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先由二次函数图象得到字母系数的正负，再与一次函数的图象相比较看是否一致．
【详解】解：由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项错误；
B．由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项错误；
C．由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项正确；
D．由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了抛物线的图象与性质和一次函数的图象与性质的知识点，熟练掌握抛物线的图象与性质和一次函数的图象与性质是解题的关键．
5. 若二次函数中函数y与自变量x之间部分对应值如下表
点点在该函数图象上，当与的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据表格数据判断出对称轴为直线x=2，再根据二次项系数小于0判断出函数图象开口向下，然后根据x的取值范围写出大小关系即可．
【详解】解：由表可知，抛物线的对称轴为直线x=2，
∵a=-1＜0，
∴函数图象开口向下，
∵0＜x1＜1，2＜x2＜3，
∴y1＜y2．
故选A．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，判断出对称轴和开口方向是解题的关键．
6. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A. （﹣1，2）B. （﹣1，﹣2）C. （1，﹣2）D. （1，2）
【答案】D
【解析】
【分析】根据顶点式，顶点坐标是（h，k），即可求解.
【详解】∵顶点式，顶点坐标是（h，k），
∴抛物线的顶点坐标是（1，2）．
故选：D．
7. 圆锥底面半径是3，母线是4，则圆锥侧面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据圆锥侧面积公式进行计算即可．
【详解】解：根据圆锥的侧面积可得：
圆锥侧面积.
故选：C．
【点睛】本题主要考查圆锥侧面积公式，解决本题的关键是要熟练掌握圆锥侧面积计算公式．
8. 如图，AB是⊙O直径，点C，D，E在⊙O上，若∠ACE＝20°，则∠BDE的度数为（ ）
A. 90°B. 100°C. 110°D. 120°
【答案】C
【解析】
【分析】连接，根据圆周角定理，可分别求出，，即可求的度数．
【详解】解：连接，
为的直径，
，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．
9. 在平面直角坐标系中，函数的图像经变换后得到函数的图像，则这个变换可以是（ ）
A. 向左平移2个单位B. 向左平移4个单位C. 向右平移2个单位D. 向右平移4个单位
【答案】C
【解析】
【分析】根据变换前后的两抛物线的顶点坐标找变换规律．
【详解】解：，顶点坐标是．
，顶点坐标是．
所以将抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
10. 如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x＝﹣1，且过点（﹣3，0），下列说法：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（2.5，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2，其中说法正确的是（ ）
A. ①②③B. ②③C. ①②④D. ①②③④
【答案】C
【解析】
【分析】根据图象分别求出a、b、c的符号，即可判断①，根据对称轴求出b＝2a，代入2a﹣b即可判断②，把x＝2代入二次函数的解析式，再根据图象即可判断③，求出点（﹣5，y1）关于直线x＝﹣1的对称点的坐标，根据对称轴即可判断y1和y2的大小.
【详解】解：∵二次函数的图象开口向上，
∴a＞0，
∵二次函数的图象交y轴的负半轴于一点，
∴c＜0，
∵对称轴是中线x＝﹣1，
∴﹣＝﹣1，∴b＝2a＞0，
∴abc＜0，∴①正确；
∵b＝2a，
∴2a﹣b＝0，∴②正确；
把x＝2代入y＝ax2+bx+c得：y＝4a+2b+c，
从图象可知，当x＝2时y＞0，
即4a+2b+c＞0，∴③错误；
∵（﹣5，y1）关于直线x＝﹣1的对称点的坐标是（3，y1），
又∵当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，2.5＜3，
∴y1＞y2，∴④正确；
即正确的有3个①②④.
故选：C.
【点睛】本题考查了二次函数的图象和系数的关系的应用，关键是注意：当a＞0时，二次函数的图象开口向上，当a＜0时，二次函数的图象开口向下.
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11. 方程的解是______
【答案】
【解析】
【分析】移项后根据因式分解法求解方向即可．解题的关键是因式分解法在解一元二次方程中的灵活运用．
【详解】∵
∴
∴或
∴
故答案为：．
12. 数据，0，1，2，3，7的方差为______．
【答案】##
【解析】
【分析】先求出这组数据的平均数，再根据方差公式进行计算即可得到答案．
【详解】解：这组数据的平均数，
这组数据的方差
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了方差计算，解题关键是熟练掌握方差公式．
13. 一只蚂蚁在如图的方格地板上随机爬行（每个小方格形状、大小完全相同）．则当蚂蚁停下时，停在地板中阴影部分的概率为 _____．
【答案】
【解析】
【分析】首先确定在阴影的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出蚂蚁停在阴影部分的概率．
【详解】解：∵正方形被等分成9份，其中阴影方格占4份，
∴当蚂蚁停下时，停在地板中阴影部分的概率为；
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了几何概率，解题的关键是熟练掌握概率＝相应的面积与总面积之比．
14. 一元二次方程的两根为、，则的值是________．
【答案】-2
【解析】
【分析】直接根据一元二次方程根与系数的关系求解即可．
【详解】解：∵、是一元二次方程的两根，
∴
故答案为：-2
【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系、完全平方公式的应用，x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．
15. 如图，扇形的圆心角是，正方形的顶点分别在，和上．若，则图中阴影部分的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，正方形的性质，勾股定理，扇形的面积，连接，由正方形的性质可得，，由可得，进而得到，利用勾股定理可得，再根据阴影部分的面积，即可求解，利用勾股定理求出圆的半径的长度是解题的关键．
【详解】解：连接，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴
∴
∴，
∴
∴，
∴阴影部分的面积
，
，
故答案为：．
16. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E.若AB＝8，AE＝1，则弦CD的长是____.
【答案】2
【解析】
【详解】试题解析：连接OC，
由题意，得



故答案:
17. 如图，将二次函数的图像在x轴下方的部分沿x轴翻折，图像的其余部分不变，即得到的图像．根据图像，若关于x的方程有四个不相等的实数根，则k的取值范围是_____________．
【答案】
【解析】
【分析】把关于的方程有四个不相等的实数根转化为图象的交点，利用数形结合的思想解答即可．
【详解】解：若关于的方程有四个不相等的实数根，则函数的图象与的图象有四个交点，如图：
由函数图象可知，的取值范围是，
故答案为：．
【点睛】本题考查抛物线与轴的交点，关键是数形结合思想的应用．
18. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，为平面内的动点，且满足，为直线上的动点，则线段长的最小值为________.
【答案】
【解析】
【分析】由直径所对的圆周角为直角可知，动点轨迹为以中点为圆心，长为直径的圆，求得圆心到直线的距离，即可求得答案．
【详解】∵，
∴动点轨迹为：以中点为圆心，长为直径的圆，
∵，，
∴点M的坐标为：，半径为1，
过点M作直线垂线，垂足为D，交⊙D于C点，如图：
此时取得最小值，
∵直线的解析式为：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了点的轨迹，圆周角定理，圆心到直线的距离，正确理解点到直线的距离垂线段最短是正确解答本题的关键．
三、解答题（本大题共9小题，共96分）
19. 解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先移项、然后再运用因式分解法解一元二次方程即可；掌握运用因式分解法解一元二次方程是解题的关键；
（2）先移项、然后再运用因式分解法解一元二次方程即可；掌握整体法及运用因式分解法解一元二次方程是解题的关键．
【小问1详解】
解：
所以．
【小问2详解】
解：
所以．
20. 小尧用“描点法”画二次函数的 图像，列表如下：
（1）由于粗心，小尧算错了其中的一个 y值，请你指出这个算错的y值所对应的 x ＝ ；
（2）在图中画出这个二次函数的图像；
（3）当 y≥5 时，x 的取值范围是 ．
【答案】（1）2；（2）详见解析；（3）或
【解析】
【分析】（1）由表格给出的信息可以看出，该函数的对称轴为直线x=-1，则x=-4与x=2时应取值相同．
（2）将表格中的x，y值看作点的坐标，分别在坐标系中描出这几个点，用平滑曲线连接即可作出这个二次函数的图象；
（3）根据抛物线的对称轴，开口方向，利用二次函数的对称性判断出x=-4或2时，y=5，然后写出y≥5时，x的取值范围即可．
【详解】解：（1）从表格可以看出，当x=-2或x=0时，y=-3，
可以判断（-2，-3），（0，-3）是抛物线上的两个对称点，
（-1，-4）就是顶点，设抛物线顶点式y=a（x+1）2-4，
把（0，-3）代入解析式，-3=a-4，解得a=1，
所以，抛物线解析式为y=（x+1）2-4，
当x=-4时，y=（-4+1）2-4=5，
当x=2时，y=（2+1）2-4=5≠-5，
所以这个错算的y值所对应的x=2；
（2）描点、连线，如图：
（3）∵函数开口向上，
当y=5时，x=-4或2，
∴当 y≥5 时，由图像可得：
x≤-4或x≥2.
【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、画函数图像、二次函数与不等式，解题的关键是正确分析表中的数据．
21. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
（1）求作⊙P，使圆心P在BC上，且⊙P与AC、AB都相切；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
（2）在（1）的条件下，若AC＝4，BC＝3．求⊙P的半径．
【答案】（1）见解析；（2）⊙P的半径为．
【解析】
【分析】（1）作∠CAB的角平分线交BC于点P，以P为圆心，PC为半径作⊙P即可；
（2）设⊙P的半径为R，⊙P与AB相切于点D，连接PD，则PB=3-R，利用勾股定理构建方程求解即可．
【详解】解：（1）如图所示．
（2）设⊙P的半径为R，⊙P与AB相切于点D，连接PD，则PB=3-R，
在Rt△ABC中，，
∵⊙P与AC、AB都相切
∴AD=AC=4，
∴BD=AB-AD=5-4=1，
在Rt△PBD中，
∵PD2+BD2=PB2，
∴，
解得：R=．
答：⊙P的半径为．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，切线的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22. 如图，△ABC内接于⊙O，且AB=AC，BD是⊙O的直径，AD与BC交于点E，F在DA的延长线上，且BF=BE．
（1）试判断BF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BF=6，∠C=30°，求阴影的面积．
【答案】（1）相切；
【解析】
【分析】（1）根据等腰三角形性质求出∠FBA=∠EBA=∠C，推出∠D=∠C=∠FBA，根据∠DAB=90°推出∠D+∠DBA=90°，求出∠ABD+∠FBA=90°，根据切线的判定推出即可．
（2）连接OA，求出∠BOA=60°，求出AB长，求出BD、AD，求出OB，根据三角形的面积求出△ABD面积，即可求出△BAO面积，求出扇形BOA面积，即可求出答案．
【详解】（1）解：BF与⊙O的位置关系是相切，
理由是：∵∠D和∠C都对弧AB，
∴∠C=∠D，
∵BD是直径，
∴∠DAB=90°，
∴∠D+∠ABD=90°，
∴∠C+∠ABD=90°，
∵∠DAB=90°，
∴BA⊥EF，
∵BE=BF，
∴∠EBA=∠FBA，
∵AB=AC，
∴∠C=∠EBA=∠FBA，
∵∠C+∠ABD=90°（已证），
∴∠FBA+∠ABD=90°，
∴∠FBD=90°，
∵OB是半径，
∴BF是⊙O的切线，
即BF与⊙O的位置关系是相切；
（2）解：连接OA，
∵∠C=∠D=30°=∠FBA，
∴在Rt△ABF中，BF=6，AF=BF=3，
由勾股定理得AB=3，
在Rt△DBA中，∠D=30°，
∴BD=2AB=6，OB=3
，∠BOA=2∠C=60°，
∵在Rt△ABD中，BD=6，OB=3，
由勾股定理得：AD=9，
又∵BO=OD，
∴根据等底同高的三角形的面积相等得出S△BOA=S△AOD=
，
∠BOA=2∠C=60°，
∴S阴影=S扇形OBA-S△OAB=．
【点睛】本题考查了三角形面积，等腰三角形性质，勾股定理，扇形面积，圆周角定理等知识点的综合运用．
23. 一个口袋中装有4个白球、6个红球，这些球除颜色外完全相同，重复搅匀后随机摸出一球，发现是白球．
（1）如果将这个白球放回，再摸出一球，那么它是白球的概率是多少？
（2）如果这个白球不放回，再摸出一球，那么它是白球的概率是多少．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【详解】分析：（1）摸出一个白球放回对第二次摸到白球没有影响，直接利用概率公式求解即可；
（2）确定摸出一个白球不放回的白球和红球的个数，直接利用概率公式求解即可．
详解：（1）如果将白球放回，再摸出一球P（摸到的球是白球）==；
（2）如果先摸出一白球，这个白球不放回，那么第二次摸球时，有3个白球和6个红球，再摸出一球P（摸到的球是白球）==．
点睛：本题考查了概率的公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
24. 王老师为了选拔一名学生参加数学比赛，对两名备赛选手进行了10次测验，成绩如下（单位：分）：
甲：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10
乙：5，6，6，6，7，7，7，7，9，10
（1）以上成绩统计分析表中_______，________，______；
（2）d______（填“＞”、＜或“＝”）：
（3）根据以上信息，你认为王老师应该选哪位同学参加比赛，请说明理由．
【答案】（1）6，7，7
（2）
（3）乙同学，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据平均数、众数、中位数的定义即可求出结果；
（2）根据平均数和方差的计算结果求出答案；
（3）比较出甲、乙两位同学的中位数、众数和方差即可．
【小问1详解】
解：甲数据从小到大排列，第5、6位都是6，故中位数为；
乙的平均数，
乙的数据中7最多有4个，所以众数，
故答案为：6，7，7；
【小问2详解】
，
，
故答案为：；
【小问3详解】
选择乙同学，
理由：乙同学的中位数和众数都比甲的大，并且乙的方差比甲小，成绩比较稳定．
【点睛】本题主要考查了平均数、众数、方差的有关概念，在解题时要能根据方差的计算公式求出一组数据的方差是本题的关键．
25. 某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．

（1）求该商品每天的销售量y与销售单价x之间的函数关系式；
（2）若商店按单价不低于成本价，且不高于55元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？
【答案】（1）
（2）销售单价定为55元时，该超市每天的利润最大，最大利润1750元
【解析】
【分析】此题主要考查了二次函数的应用以及一元二次不等式的应用、待定系数法求一次函数解析式等知识，正确利用销量每件的利润=w得出函数关系式是解题关键；
（1）将点代入一次函数表达式，即可求解；
（2）由题意得，即可求解；
【小问1详解】
设y与销售单价x之间的函数关系式为：，
将点代入一次函数表达式得：
，
解得，
故函数的表达式为：；
【小问2详解】
由题意得：，
∵，故当时，w随x的增大而增大，而，
∴当时，w有最大值，此时，，
故销售单价定为55元时，该超市每天的利润最大，最大利润1750元．
26. 完成下列各题：

（1）如图①，是的圆周角，为直径，平分交于点D，，则点D到直线的距离为______．
（2）【类比迁移】如图②，是的圆周角，为的弦，平分交于点D，过点D作，垂足为E，探索线段、之间的数量关系，并说明理由．
（3）【问题解决】如图③，四边形为的内接四边形，平分，，求线段的长．
【答案】（1）
（2）
（3）的长为
【解析】
【分析】（1）作于F，于E，由角平分线定理得到，利用勾股定理求出，再根据面积法求出即可；
（2）作于F，连接．证明，推出，再证明，得到，由此得到结论；
（3）作于点G，交AB的延长线于点H，证明，推出，设，证明四边形是正方形，得到，，，由勾股定理得，求出x即可．
【小问1详解】
如图①中，作于F，于E．

∵平分，，，
∴，
∵是直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为．
【小问2详解】
如图②中，结论：．

理由：作于F，连接．
∵平分，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【小问3详解】
如图③，作于点G，交AB的延长线于点H，

∵平分，
∴，
∵，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
∵，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
解得，（不符合题意，舍去），
∴，
∴线段的长为．
【点睛】此题是圆的综合题，考查圆周角定理，圆内接四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的判定和性质，角平分线的性质定理，熟练掌握各知识点并综合应用是解题的关键.
27. 如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求该抛物线的解析式及顶点M坐标；
（2）求△BCM面积与△ABC面积的比；
（3）若P是x轴上一个动点，过P作射线PQ∥AC交抛物线于点Q，随着P点的运动，在抛物线上是否存在这样的点Q，使以A，P，Q，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y=（x﹣1）2﹣4，M（1，﹣4）；（2）S△BCM：S△ABC=1：2；（3）存在，Q（2，﹣3）或（1+，3）或（1﹣，3）
【解析】
【分析】（1）有抛物线与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）两点，则可设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3）．由与y轴交于点C（0，﹣3），则代入易得解析式，顶点易知；
（2）求△BCM面积与△ABC面积的比，由两三角形不为同高或同底，所以考虑求解求出两三角形面积再作比即可．因为S△BCM=S梯形OCMD+S△BMD﹣S△BOC，S△ABC=•AB•OC，则结论易得；
（3）由四边形为平行四边形，则对边PQ、AC平行且相等，过Q点作x轴的垂线易得Q到x轴的距离=OC=3，又（1）得抛物线解析式，代入即得Q点横坐标，则Q点可求．
【详解】解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），
∵抛物线过点（0，﹣3），
∴﹣3=a（0+1）（0﹣3），
∴a=1，
∴抛物线解析式为y=（x+1）（x﹣3）=x2﹣2x﹣3，
∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，
∴M（1，﹣4）．
（2）如图1，连接BC、BM、CM，作MD⊥x轴于D，
∵S△BCM=S梯形OCMD+S△BMD﹣S△BOC
=•（3+4）•1+•2×4﹣•3•3
=﹣=3
S△ABC=•AB•OC=•4•3=6，
∴S△BCM：S△ABC=3：6=1：2．
（3）存在，理由如下：
①如图2，当Q在x轴下方时，作QE⊥x轴于E，
∵四边形ACQP为平行四边形，
∴PQ平行且相等AC，
∴△PEQ≌△AOC，
∴EQ=OC=3，
∴﹣3=x2﹣2x﹣3，
解得 x=2或x=0（与C点重合，舍去），
∴Q（2，﹣3）．
②如图3，当Q在x轴上方时，作QF⊥x轴于F，
∵四边形ACPQ为平行四边形，
∴QP平行且相等AC，
∴△PFQ≌△AOC，
∴FQ=OC=3，
∴3=x2﹣2x﹣3，
解得 x=1+或x=1﹣，
∴Q（1+，3）或（1﹣，3）．
综上所述，Q点为（2，﹣3）或（1+，3）或（1﹣，3）
【点睛】本题考查二次函数综合题；平行四边形的性质．x
…
0
1
2
3
…
y
…
2
3
2
…
x
…
－4
－3
－2
－1
0
1
2
…
y
…
5
0
－3
－4
－3
0
－5
…
选手
平均数
中位数
众数
方差
甲
7
a
6
乙
b
7
c
d