江苏省无锡市锡山区港下中学2023-2024学年八年级上学期10月月考数学试题

这是一份江苏省无锡市锡山区港下中学2023-2024学年八年级上学期10月月考数学试题，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. “致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标志等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形的概念，轴对称图形是关于对称轴两边的图形折叠后重合．
【详解】解：．该图像使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故本选项符合题意；
．该图像不能使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故本选项不符合题意；
．该图像不能使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故本选项不符合题意；
．该图像不能使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故本选项不符合题意．
故选：A．
2. 在实数， －，－3.14，0，π，2.161161116，中，无理数有 （ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】根据无理数的形式：无限不循环小数、开方开不尽的数、π，依次判断即可．
【详解】分数，属于有理数；－是无理数；－3.14是有限小数，属于有理数；0是有理数；π是无理数；2.161161116是有限小数，属于有理数；，是有理数．
所以无理数有2个，
故选B
【点睛】本题考查实数的分类，熟记概念是解题的关键．
3. 有下列四种说法：您看到的资料都源自我们平台，20多万份试卷，家威杏 MXSJ663 每日最新，性比价最高①1的算术平方根是1；②的立方根是；③没有立方根；④互为相反数的两个数的立方根互为相反数.其中正确的是（ ）
A. ①②B. ①③C. ①④D. ②④
【答案】C
【解析】
【分析】根据算术平方根、立方根、相反数的定义即可判定．
【详解】解：一个数的立方根只有一个，的立方根是，故②错误；
任何一个数都有立方根，的立方根是，故③错误.
①④正确，
故选C.
【点睛】本题考查相反数，立方根和算术平方根的性质，要掌握一些特殊数字的特殊性质，如1，-1和0．
4. 如图，点在上，，，添加一个条件，不能证明的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，全等三角形的判定定理有，两直角三角形全等还有等．根据求出，再根据全等三角形的判定定理进行分析即可．
【详解】解：∵，
∴，即，
，
∴当时，利用可得；
当时，利用可得；
当时，利用可得；
当时，无法证明；
故选：D．
5. 如图，是的边的垂直平分线，若，，，则的周长为（ ）

A. 14B. 13C. 12D. 10
【答案】A
【解析】
【分析】根据垂直平分线的性质得出，根据，求出结果即可．
【详解】解：∵是的边的垂直平分线，
∴，
∴，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握到线段两个端点的距离相等．
6. 如图，在中，，是的角平分线，若，，则的面积是( )

A. 36B. 24C. 12D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】过点作于，根据角平分线的性质求出，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【详解】解：过点作于，
是的角平分线，，，
，
．
故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
7. 如图是正方形网格，其中已有3个小正方形涂成了黑色，现在要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成黑色的图形成为轴对称图形，这样的白色小方格有( )
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查的是利用轴对称设计图案，根据轴对称图形的概念求解．解答此题关键是找对称轴，按对称轴的不同位置，可以有4种画法．
【详解】解：如图所示，有4个位置使之成为轴对称图形．
故选：C．
8. 如图，，，，，则的度数等于（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知条件证明，再根据三角形内角和定理和外角性质即可得结论．
【详解】解：在和中，
，
，
，
，
，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．
9. 如图，在中，已知和的平分线相交于点F，过点F作，交于D，交于E，若，则的周长为（ ）
A. 6B. 8C. 10D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】根据角平分线的定义得到，，平行线的性质得到，，等量代换得到，，根据等腰三角形的判定定理得到，，即可得到结论．
【详解】解：∵和的平分线相交于点F，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∵，
∴的周长为：
．
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，角平分线的定义，平行线的性质，证明，是解本题的关键．
10. 如图，在中，为中线，过点B作于点E，过点C作于点F．在延长线上取一点G，连接，使．下列结论中正确的个数为（ ）
①；②；③；④

A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】证明，可得，从而可判断①正确；证明，可证，从而判断②④正确；由，结合以上结论可判断③正确．
【详解】∵为中线，
∴．
∵，，
∴，
∵，
，
∴，故①正确；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，故②正确；
∵，
∴，故④正确；
∴，
∴
，故③正确．
故选D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积等知识，证明、是解答本题的关键．
二、填空题（本答题共8小题，每小题3分，共24分）
11. 64的平方根是________，的立方根是________，数轴上与原点相距个单位的点表示的实数为_________．
【答案】 ①. ②. ③.
【解析】
【分析】本题考查的是平方根的含义，立方根的含义，数轴上两点之间的距离，熟记概念是解本题的关键；分别根据平方根与立方根的定义求解平方根与立方根，再根据两点之间的距离可得与原点相距个单位的点表示的实数．
【详解】解：64的平方根是，的立方根是，数轴上与原点相距个单位的点表示的实数为；
故答案为：，，；
12. 如图，在中，，过点作的垂线，连接．若，，，，则的长为 _____．

【答案】
【解析】
【分析】根据题意可证，由此可得，，根据，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握以上知识是解题的关键．
13. 如图，为一长条形纸带，，将沿折叠，、两点分别与、对应，若比大，则的度数为 ________．

【答案】##度
【解析】
【分析】根据题意，设，则，根据平行线和折叠的性质，得到，再利用平角等于列方程，求出，即可得到答案．
【详解】解：比大，
设，则，
，
，
将沿折叠，、两点分别与、对应，
，
，
，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，一元一次方程的应用，根据相关性质找出角度之间的数量关系列方程是解题关键．
14. 如图，将沿所在直线翻折，点落在边上的点，，，那么等于______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了折叠的性质以及等腰三角形的性质、三角形的外角的性质，证明是本题的关键．根据折叠的性质可得，然后根据，证得，根据等边对等角以及三角形的外角的性质求解．
【详解】解：根据折叠的性质可得
∵，
∴．
∴
∴．
，
故答案为：．
15. 已知：如图，在四边形中，，点E是的中点．

（1）若，则___________．
（2）当___________时，是等边三角形．
【答案】 ①. 2 ②. 30
【解析】
【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，从而得到,即可求得的长．
（2）利用等边对等角以及三角形外角的性质得出，即可得出．
【详解】（1）解：，点是边的中点，
，，
，又,
∴.
故答案为：2.
（2），
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
．
故答案为：30.
【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质和判定以及三角形外角的性质等知识，根据题意得出是解题关键．
16. 如图，在四边形中，，，在，上分别找一个点M，N，使的周长最小，则___________°

【答案】150
【解析】
【分析】要使的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出关于和的对称点，，即可得出，进而得出，即可得出答案．
【详解】解：作关于和的对称点，，连接，交于，交于，则即为的周长最小值．

，
，
，，且，，
故答案为：150．
【点睛】本题考查的是轴对称最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出，的位置是解题关键．
17. 如图，在中，D为边上一点，且平分，过A作于点E．若，则__．
【答案】3
【解析】
【分析】延长交于点F，证明，得出，根据，得出，则，进而即可求解．
【详解】解：如图，延长交于点F．
∵平分，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，等角对等边，角平分线的定义，三角形外角的定义和性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
18. 如图，在中，，，．点P从点A出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，点Q从点B出发沿折线以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，P、Q两点同时出发．分别过P、Q两点作于E，于F，设运动时间为t，当与全等时，t的值为_______．

【答案】1秒，或3.5秒，或12秒
【解析】
【分析】根据于E，于F，得到与都是直角三角形，当与全等时，得到，分三种情况讨论求解即可，当P在上，Q在上时，根据，，得到，解得；当P、Q在上重合时，根据，，得到，解得：当Q到达A点后，点P运动到上时，根据，得到．满足条件的t值为1秒，或3.5秒，或12秒．
本题主要考查了全等三角形，熟练掌握全等三角形的性质定理，分类讨论，是解题的关键．
【详解】∵于E，于F，
∴，
∴与都是直角三角形，
∴当与全等时，，
当P在上，Q在上时，
∵，，，，
∴，，
∴，
解得；
当P、Q在上重合时，，，
∴，
解得：
当Q到达A点后，点P运动到上时，，
∴．
综上，当与全等时，满足条件的t值为1秒，或3.5秒，或12秒．
故答案为：1秒，或3.5秒，或12秒．
三、解答题（本大题共9小题，满分共66分）
19. 求下列各式中的：
（1）；
（2）
【答案】19.
20. ，
【解析】
【分析】本题考查利用平方根的概念解方程等知识点，
（1）根据等式的性质，可得乘方的形式，根据开平方，可得方程的解；
（2）根据等式的性质，可得乘方的形式，根据开平方，可得方程的解；
理解平方根的定义是解题关键．
【小问1详解】
移项，得，
开方，得，
∴；
【小问2详解】

两边都除以4，得，
开方，得，
∴．
20. 已知的平方根是，的立方根是，是的整数部分，求的平方根．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了平方根、立方根、算术平方根的定义及无理数的估算能力，掌握二次根式的基本运算技能，灵活估算无理数是解题的关键．
【详解】解：根据题意，可得，
故，
又
的平方根为．
21. 如图，在正方形网格中，每个小正方形边长都是 1，每个小正方形的顶点叫做格点． 网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）
（1）在图中作出关于直线 l 的对称图形；
（2）在直线 l 上找一点P，使得的周长最小．
【答案】（1）画图见解析
（2）画图见解析
【解析】
【分析】此题主要考查了轴对称变换以及与轴对称的性质，正确得出对应点位置是解题关键．
（1）直接利用关于直线对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）如图所示：连接交直线于，则，从而可得结论．
【小问1详解】
解：如图所示： 即为所求；
【小问2详解】
如图所示：连接交直线于，则，
，此时周长最短，
∴点P即为所求的点．
．
22. 已知：直角三角形纸片ABC，按要求作图：（保留作图痕迹，不写作法）．
（1）折叠三角形，使点A与点C重合，折痕为MN（折痕与AC交于M，与AB交于N）用直尺和圆规在图1中画出折痕MN；
（2）折叠三角形，使点C落在AB上的点E处，折痕为AD（点D在BC边上），用直尺和圆规在图2中画出折痕AD．
【答案】（1）画图见解析；（2）画图见解析．
【解析】
【分析】（1）分别以点，点为圆心，大于的长度为半径作弧，分别交于点，点，过点，作直线，与交于，与交于，线段为所求；
（2）以点为圆心，任意长为半径作弧，交于点，交于点，分别以点，点为圆心，大于的长度为半径作弧，交于点，作射线，与于点，线段为所求．
【详解】解：（1）如图1所示：
（2）如图2所示：
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质与角平分线的性质，以及作图，掌握尺规作图的步骤是解题关键．
23. 已知：．求证：．
【答案】详见解析
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质等知识点，求出，根据推出三角形全等，进而即可得证，熟练掌握其性质是解决此题的关键．
【详解】∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴．
24. 如图，四边形中，，，，与相交于点F．

（1）求证：
（2）判断线段与的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）见解析 （2），理由见解析
【解析】
分析】（1）根据即可证明．
（2）根据得到，结合得到，即可得结论．
【小问1详解】
解：
在和中，
∴．
【小问2详解】
解：．理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，常用的判定方法有：、、、、等，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
25. 如图，在中，已知点在线段的反向延长线上，过的中点作线段交的平分线于，交于，且．
（1）求证：是等腰三角形．
（2）若，，，求的周长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查的是等腰三角形的性质和判定，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的性质和判定定理是解题的关键．
（1）首先依据平行线的性质证明，，然后结合角平分线的定义可证明，故此可证明为等腰三角形；
（2）首先证明，从而得到的长，然后可求得的长，于是可求得的周长．
【小问1详解】
证明：，
，．
平分，
．
．
．
是等腰三角形．
【小问2详解】
是的中点，
．
，
．
由对顶角相等可知：．
在和中，
，
．
．
，
．
．
，
的周长．
26. 如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F．
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）求∠FAE的度数；
（3）求证：CD＝2BF+DE．
【答案】（1）见解析；
（2）；
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）先根据等角的余角相等证得，再根据全等三角形的判定证明即可；
（2）根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质求得，再根据直角三角形的两锐角互余求得即可求解；
（3）延长BF到G，使得，根据全等三角形的判定与性质证明，得到即可证得结论．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，，
∴，
在△BAC和△DAE中，
∵，
∴；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
由（1）知，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
证明：延长BF到G，使得，
∵，
∴，
在△AFB和△AFG中，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，，，
∴，，
∴，
∵，
∴在△CGA和△CDA中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等角的余角相等、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、线段的和差等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质，添加辅助线构造全等三角形求解线段问题是解答的关键．
27. 如图1，点P、Q分别是边长为4cm的等边边、上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为．

（1）连接、交于点M，则在P、Q运动的过程中，变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；
（2）当运动时间为_________时，是直角三角形？
（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线、上运动，直线、交点为M，则变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数．
【答案】（1）不变，
（2）第秒或第秒
（3）不变，
【解析】
【分析】（1）利用等边三角形的性质可证明，则可求得，再利用三角形外角的性质可证得；
（2）设时间为，用分别表示出，分和两种情况，分别利用直角三角形的性质可得到关于的方程，则可求得的值；
（3）同（1）可证得，再利用“8字模型”可得．
小问1详解】
解：不变，，理由如下：
∵是等边三角形中，
∴，，
∵点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为，
∴，
在中，
，
∴，
∴，
∴，
∴在P、Q运动的过程中，不发生变化，；
【小问2详解】
解：设时间为，则，，
当时，
∵，
∴，
得即，
当时，
∵，
∴，
得即，
∴当运动时间为第秒或第秒时，为直角三角形；
【小问3详解】
解：不变，，理由如下：
是等边三角形中，
∴，，
∴，
∵点P、Q在运动到终点后继续在射线、上运动，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
∴点P、Q在运动到终点后继续在射线、上运动，此时不发生变化，．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质，解题的关键是正确找到全等的三角形．