辽宁省沈阳市大东区2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试题

这是一份辽宁省沈阳市大东区2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试题，共27页。试卷主要包含了答题前，学生须用0， 下列命题正确的是等内容，欢迎下载使用。

试卷满分120分，考试时间120分钟．
注意事项：
1.答题前，学生须用0.5mm黑色字迹的签字笔在诊断卷规定位置填写自己的姓名、准考证号；
2.学生须在答题卡上作答，不能在诊断卷上作答，答在诊断卷上无效；
3.诊断结束，将诊断卷和答题卡一并交回；
4.诊断卷包括七道大题，25道小题，共8页．如缺页、印刷不清，学生须声明
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的．每小题2分，共20分）
1. 下列方程中，属于一元二次方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元二次方程的三个特点：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）是整式方程，进行判断即可．
【详解】解：A．是一元一次方程，故该选项不符合题意；
B．，含有两个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；
C．，只含有一个未知数且最高次数为2，是一元二次方程，故该选项符合题意；
D．含有分式，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，如果一个方程经整理后，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．
2. 把方程配方，化为的形式应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先把-6移项后，左右两边加上一次项系数-4的一半的平方即可．您看到的资料都源自我们平台，20多万份试卷，家威杏 MXSJ663 每日最新，性比价最高详解】∵x2-4x-6=0，
∴x2-4x=6，
∴x2-4x+4=6+4，
∴（x-2）2=10，
故选D．
【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握配方法的一般步骤是解题的关键.
配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
3. 一个不透明的袋子中装有除颜色外均相同的4个白球和若干个绿球，每次摇均匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经大量试验，发现摸到绿球的频率稳定在0.6，则绿球的个数为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】C
【解析】
【分析】根据绿球个数总数=0.6，设绿色的球有个，根据题意，列分式方程，解分式方程，检验，即可解题．
【详解】解：设绿色的球有个，根据题意得，
解得，
经检验，是原分式方程的解，
即袋中有6个绿球，
故选：C．
【点睛】本题考查利用频率估计概率，涉及解分式方程等知识，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
4. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A. B. m<3且m≠2C. 且m≠2D. m<3
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意得且，从而直接解出答案．
【详解】解：由题意得：且，
解得且，
故选：B．
【点睛】本题考查一元二次方程有两个不相等的实数根的条件，解题的关键是熟知当时，方程有两个不相等的实数根，注意二次项系数不为零．
5. 下列命题正确的是( )
A. 正方形对角线相等且互相平分B. 对角互补的四边形是平行四边形
C. 矩形的对角线互相垂直D. 一组邻边相等的四边形是菱形
【答案】A
【解析】
【分析】根据正方形、平行四边形、矩形、菱形的各自性质和构成条件进行判断即可．
【详解】A、正方形的对角线相等且互相垂直平分，描述正确；
B、对角互补的四边形不一定是平行四边形，只是内接于圆，描述错误；
C、矩形的对角线不一定垂直，但相等，描述错误；
D、一组邻边相等的平行四边形才构成菱形，描述错误．
故选：A．
【点睛】本题考查平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定，解题的关键是熟悉掌握各类特殊四边形的判定和性质．
6. 如图所示，在平面直角坐标系中，，，，以A为位似中心，把在点A同侧按相似比放大，放大后的图形记作，则的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，将的横、纵坐标乘以2，即可求解．
【详解】解：∵在平面直角坐标系中，，，，以A为位似中心，把在点A同侧按相似比放大，
∴的坐标为．
故选：C．
【点睛】本题考查了位似图形的性质，掌握位似图形的性质是解题的关键．
7. 如图，点E是的边上的一点，且，连接并延长交的延长线于点F，若，则的周长为（ ）
A. 21B. 28C. 34D. 42
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行四边形性质和相似三角形的判定和性质解答即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CF，AB=CD，
∴△ABE∽△DFE，
∴，
∵，
∴AE=6，AB=8，
∴AD=AE+DE=6+3=9，
∴的周长为：（8+9）×2=34．
故选：C．
【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质，关键是根据平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质解答．
8. 微信红包是沟通人们之间感情的一种方式，已知小明在2020年“中秋节”收到微信红包为300元，2022年为675元，若这两年小明收到的微信红包的年平均增长率为x，根据题意可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意得2021年收到的微信红包为元，2022年收到的微信红包为元，进而可列出方程.
【详解】解：由题意得：
，
故选C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用——增长率问题，正确理解题意，表示出2021、2022年微信收到的红包是解题的关键.
9. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点A作于点E，连接．若，菱形的面积为54，则的长为（ ）
A. 4B. 4.5C. 5D. 5.5
【答案】B
【解析】
【分析】由菱形的性质可得，由菱形的面积得可得，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可解答．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识点，根据菱形的性质求得是解题的关键．
10. 如图，在中，，，．点P是边AC上一动点，过点P作交BC于点Q，D为线段PQ的中点，当BD平分时，AP的长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据勾股定理求出AC，根据角平分线的定义、平行线的性质得到，得到，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
【详解】解：，，，
，
，
，又，
，
，
，
，
，
，即，
解得，，
，
故选B．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共24分）
11. 已知方程的一个根是，则m的值为___________．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解，先把代入，得，解得m的值，即可作答．
【详解】解：∵方程的一个根是，
∴把代入，
得，
解得，
故答案：4．
12. 两相似三角形的相似比为，它们的周长和为，则较大三角形的周长为___________．
【答案】20
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形性质，根据相似三角形的周长比等于相似比解题．
【详解】解：设较大三角形的周长是，较小三角形的周长是，则，
解得，那么较大三角形的周长是，
故答案为：．
13. 一个不透明的袋子中装有3个红球和2个白球，这些小球除标号外完全相同，随机摸出两个小球，恰好是一红一白的概率是__________．
【答案】##0.6
【解析】
【分析】首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与随机摸出一红一白
的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】解：列表得：
由列表可知：共有20种等可能的结果，其中随机摸出两个小球，恰好是一红一白的情况有12种，
∴恰好是一红一白的概率是，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
14. 如图，在矩形，，，点E在上，且，与交于点H，则长为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解题关键是证明三角形相似并运用其性质，属于中考常考题型．
利用矩形性质可得∶，，由勾股定理可得，由，可得，推出，即，再由，即可求得答案．
【详解】四边形是矩形，
在中，
故答案为：．
15. 一农户要建一个长方形羊舍，羊舍的一边利用长的住房墙，另外三边用长的栅栏围成，为方便进出，在垂直于墙的一边留一个宽的木门，当羊舍的面积是时，所围的羊舍与墙平行的边长为______m．
【答案】16
【解析】
【分析】设羊舍的宽为xm，则羊舍的长为（34+2-2x）m，根据矩形的面积公式结合羊舍的面积是160m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再由矩形的长小于等于18m，即可确定x的值，此题得解．
【详解】解：设羊舍的宽为xm，则羊舍的长为（34+2-2x）m，
根据题意得：x（34+2-2x）=160，
解得：x1=8，x2=10．
∵34+2-2x≤18，
∴x≥9，
∴x=10，
∴34+2-2x=16．
故答案为：16．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
16. 若，则k＝_____．
【答案】或﹣1．
【解析】
【分析】根据a+b+c的值是否为0分类讨论：a+b+c＝0时，根据等式的基本性质可得a＝﹣（b+c）,代入即可求出k；当a+b+c≠0时，根据等比性质即可求出k．
【详解】解：当a+b+c＝0时，a＝﹣（b+c），则k＝＝＝﹣1；
当a+b+c≠0时，根据等比性质可以得到：k＝＝＝．
则k＝或﹣1．
【点睛】此题考查的是比例的基本性质，掌握等比性质和分类讨论的数学思想是解决此题的关键.
17. 如图，将两张长为8，宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值8，那么菱形周长的最大值是_________．
【答案】17
【解析】
【分析】画出图形，设菱形的边长为x，根据勾股定理求出周长即可．
【详解】当两张纸条如图所示放置时，菱形周长最大，设这时菱形的边长为xcm，
在Rt△ABC中，
由勾股定理：x2=（8-x）2+22，
解得：x=，
∴4x=17，
即菱形的最大周长为17cm．
故答案是：17．
【点睛】解答关键是怎样放置纸条使得到的菱形的周长最大，然后根据图形列方程．
18. 如图，正方形中，，点E为中点，于点G，交边于点F，连接，则长为___________．
【答案】4
【解析】
【分析】作于点，交于点，先证明四边形是平行四边形，再证明 ，则，再证明，根据平行线分线段成比例定理证明，则垂直平分，根据线段垂直平分线的性质得，得到问题的答案．
【详解】如图，作于点，交于点，

，
，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
在和中,
，
∴，
∴，
∵为中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为:4．
【点睛】此题考查正方形的性质、直角三角形的两个锐角互余、全等三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理、线段垂直平分线的性质等知识，合理的添加辅助线是解题的关键．
三、解答题（每小题10分，共20分）
19. 解方程：
（1）；
（2）
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】（1）把变形为，利用因式分解法解方程即可；
（2）把变为，利用因式分解法解方程即可．
【小问1详解】
解：
原方程可变为，
∴或，
解得，
【小问2详解】
原方程可变为，
∴，
∴或，
解得，
【点睛】此题考查一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键．
20. 一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的2个黑球和个白球，搅匀后从盒子里随机摸出一个球，摸到白球的概率为．
（1）求的值；
（2）所有球放入盒中，搅匀后随机从中摸出1个球，放回搅匀，再随机摸出第2个球，求两次摸球摸到一个白球和一个黑球的概率，请用画树状图或列表的方法进行说明．
【答案】（1）1；（2）．
【解析】
【分析】（1）根据概率公式列方程求解即可；
（2）先画出树状图确定所有情况数和所求情况数，然后再运用概率公式求解即可．
【详解】解：（1）由题意得 ，解得n=1；
（2）根据题意画出树状图如下：

所以共有9种情况，其中两次摸球摸到一个白球和一个黑球有4种情况，则 两次摸球摸到一个白球和一个黑球的概率．
【点睛】本题考查了概率公式的运用和利用树状图求概率，根据概率公式列方程和正确画出树状图是解答本题的关键．
四、（每小题10分，共20分）
21. 如图，是边长为的等边三角形，点为边上一点，，点为边上的动点，以为顶点作，射线交边于点．
（1）若，求的长；
（2）当最小时，连接，求与面积的比．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查相似三角形，全等三角形的知识解题的关键是掌握相似三角形和全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，即可．
（1）根据等边三角形的性质，则，；根据，则，在根据三角形的内角和，，等量代换，相似三角形的判定，则，得，即可；
（2）根据题意，当时，存在最小值，则 ；根据勾股定理求出，根据全等三角形的判定和性质，则，求得，再根据，等边三角形的判定，相似三角形的性质，即可．
【小问1详解】
∵是边长为的等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【小问2详解】
∵点为边上一点，点为边上的动点，，
∴当时，存在最小值，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴．
22. 为缅怀革命英烈、传承红色基因，在今年“十一”长假期间，各地游客纷纷来到沈阳抗美援朝烈士陵园瞻仰革命烈士．据统计，烈士陵园9月30日接待游客1.2万人次，10月2日接待游客2.7万人次．求今年9月30日到10月2日，烈士陵园接待游客的日平均增长率．
【答案】50%
【解析】
【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用——增长率问题．熟练掌握增长率问题的等量关系是解决问题的关键．
设日平均增长率为，根据2天时间接待游客从1.2万人次增加到2.7万人次列方程，解答即可．
【详解】设日平均增长率为，
根据题意得，，
∴，
∵，
∴，
∴．
答：今年9月30日到10月2日，烈士陵园接待游客的日平均增长率为．
五、（本题12分）
23. 某商店准备销售一种多功能旅行背包，计划从厂家以每个30元的价格进货，经市场调研发现当每个背包的售价为40元时，月均销量为600个，售价每增长2元，月均销量就相应减少20个．
（1）为减少库存，当这种背包销售单价为多少元时，销售利润是10000元？
（2）这种背包的销售利润有可能达到13000元吗？若能，请求出此时的销售单价；若不能，请说明理由．
【答案】（1）50元 （2）不能，见解析
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）牢记“当时，方程无实数根”．
（1）设这种背包销售单价为x元，则每个的销售利润为元，月均销量为个，根据总利润=每个的销售利润×月销售量，列出一元二次方程，求出x的值，结合要减少库存，即可得出答案；
（2）这种背包的销售利润不可能达到13000元，设这种背包销售单价为y元，则每个的销售利润为元，月均销量为个，根据总利润=每个的销售利润×月销售量，列出一元二次方程，由根的判别式，可得出该方程没有实数根，即这种背包的销售利润不可能达到13000元．
【小问1详解】
解：设这种背包销售单价为x元，则每个的销售利润为元，
月均销量为个，
由题意得：
整理得：，
解得：，
又∵要减少库存，
∴，
答：当这种背包销售单价为50元时，销售利润是10000元；
【小问2详解】
解：这种背包的销售利润不可能达到13000元，理由如下：
设这种背包销售单价为y元，则每个的销售利润为元，月均销量为个，
由题意得：，
整理得：，
∵，
∴该方程没有实数根，
即这种背包的销售利润不可能达到13000元．
六、（本题12分）
24. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在x轴上，，的长是一元二次方程的根，过点C作x轴的垂线，交对角线于点D，直线分别交x轴和y轴于点E和点F，动点N从点E以每秒2个单位长度的速度沿向终点F运动．设运动时间为t秒．
（1）求直线的函数表达式：
（2）求点N到直线的距离h与运动时间t的函数关系式，直接写出自变量的取值范围；
（3）点N在运动的过程中，在坐标平面内是否存在一点M．使得以为项点的四边形是矩形．若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）存在，点M的坐标是或
【解析】
【分析】（1）过点作于，解方程可得，然后解直角三角形求出、和的长，得到点、的坐标，再利用待定系数法求出解析式即可；
（2）先求出，可得为的中点，利用勾股定理可得
，再证得是等边三角形，可得，然后分情况讨论∶当时，即点在线段上运动时，过点作于，当时，即点在线段上运动时，过点作于，分别解直角三角形即可求得答案；
（3）分情况讨论∶①当是矩形的边时，则，过点作于，首先求出，然后解直角三角形求出和，再利用平移的性质得出点的坐标；②当是矩形的对角线时，则，过点作于，证明，可得然后解直角三角形求出，再利用平移的性质得出点的坐标．
【小问1详解】
解：方程，
解得∶，
四边形是是形，，
，
，
，
过点作于，如图1，
，
，
，
，
设直线的解析式为，代入得∶
解得∶，
直线的解析式为；
【小问2详解】
当时，，当时，
为的中点，
在中，
是等边三角形．
当时，即点在线段上运动时，过点作于，如图2，
则
当时，即点在线段上运动时，过点作于，如图3，
则，
，
综上所述，点到直线距离与运动时间的函数关系式为
【小问3详解】
存在，分情况讨论∶
①如图4，当是矩形的边时，则，过点作于，
，即点为与的交点，
，
将点向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到点，
将点向左平移向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到点，
，
；
②如图5，当是矩形的对角线时，则，过点作于，
，
是等边三角形，
将点向右平移3个单位长度，再向上平移个单位长度得到点，
将点向右平移3个单位长度，再向上平移个单位长度得到点，
存在一点，使得以为顶点的四边形是矩形，点的坐标是()或．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，菱形的性质，解直角三角形，待定系数法的应用，等边三角形的判定和性质，含直角三角形的性质，矩形的判定和性质以及平移的性质等知识，灵活运用相关知识点，作出合适的辅助线，熟练掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用是解题的关键．
七、（本题12分）
25. （1）提出问题：如图1，在和中，，且，，连接，连接交的延长线于点F．
①__________，
②的度数是__________；
（2）类比问题：如图2，在和中，，且，，连接，并延长交于点F．
①求的值，
②求的度数；
（3）解决问题：如图3，在等边中，于点D，点E在线段上且不与A重合，以为边在的右侧构造等边，将绕着点A在平面内逆时针旋转任意角度如图4，M为的中点，N为的中点．
①求证：为等腰三角形，
②求的度数．
【答案】（1）①；②；（2）①，②；（3）①见解析；②
【解析】
【分析】（1）①证明，由全等三角形的性质可得，则；
②由全等三角形的性质得到，进而证明，即可求出；
（2）①根据等腰直角三角形的性质得到，，进而证明，得到；
②由相似三角形的性质可得，推出，则；
（3）①连接，延长交于点P，交于点O，证明分别是、的中位线，得到，再证明，得到，则，由此即可证明为等腰三角形；
②由全等三角形的性质可得，进而求出，则，再由平行线的性质可得．
【详解】（1）解：①，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：；
②∵，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴．
故答案为：；
（2）①∵在和中，，且，
∴，，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，
故答案为：；
②∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（3）①连接，延长交于点P，交于点O，如图所示：
在等边中，于点D，
为的中点，
又为的中点，N为的中点，
分别是、的中位线，
，
∵都是等边三角形，
∴，
，
，
在和中
，
为等腰三角形．
②
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
又，即
．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，三角形中位线定理，三角形内角和定理等等，平行线的性质，正确理解题意通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键．红1
红2
红3
白1
白2
红1
（红1，红2）
（红1，红3）
（红1，白1）
（红1，白2）
红2
（红2，红1）
（红2，红3）
（红2，白1）
（红2，白2）
红3
（红3，红1）
（红3，红2）
（红3，白1）
（红3，白2）
白1
（白1，红1）
（白1，红2）
（白1，红3）
（白1，白2）
白2
（白2，红1）
（白2，红2）
（白2，红3）
（白2，白1）