浙江省宁波市余姚市六校2023-2024学年九年级上学期11月月考数学试题

这是一份浙江省宁波市余姚市六校2023-2024学年九年级上学期11月月考数学试题，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
卷面分值：120分 考试时间120分钟
一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分，每题只有一个正确答案）
1. 已知的半径为，若，则点与的位置关系是( )
A. 点在外B. 点在上C. 点在内D. 不能确定
【答案】C
【解析】
【分析】根据点到圆心的距离即可得出答案.
【详解】解：根据点到圆心的距离小于圆的半径，则该点在圆内．
故选C．
【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系：当点到圆心距离小于半径时，点在圆内；当点到圆心距离等于半径时，点在圆上；当点到圆心距离大于半径时，点在圆外.
2. 从数学观点看，对以下成语及诗句中的事件判断正确的是（ ）
A. 成语“守株待兔”是随机事件B. 成语“水中捞月”是随机事件
C. 诗句“清明时节雨纷纷”是必然事件D. 诗句“离离原上草，一岁一枯荣”是不可能事件
【答案】A
【解析】
【分析】在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件；在一定条件下，肯定它一定不会发生的事件，称为不可能事件；在一定条件下，肯定它一定会发生的事件，称为必然事件；根据随机事件、必然事件和不可能事件的定义进行分析即可．
【详解】解：A：“守株待兔”可能发生也可能不发生，故是随机时间，符合题意；
B：“水中捞月”是肯定会失败的，是不可能事件，故不符合题意；
C：“清明时节雨纷纷” 可能发生也可能不发生，是随机时间，故不符合题意；
D：“离离原上草，一岁一枯荣”是肯定会发生的事件，是必然事件，故不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查事件类型的判断，解题的关键是掌握事件的分类知识．
3. 在图中，将方格纸中的图形绕O点顺时针旋转90°得到的图形是（ ）您看到的资料都源自我们平台，20多万份试卷，家威杏 MXSJ663 每日最新，性比价最高
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据旋转的性质，找出图中三角形的关键处（旋转中心）按顺时针方向旋转90°后的形状即可选择答案．
【详解】根据旋转的性质可知，绕O点顺时针旋转90°得到的图形是
故选B．
【点睛】本题考查了旋转的性质．旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．
4. 如图，是半圆O的直径，C是半圆O上一点，连接，若半圆O的半径为5，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题主要考查了弧长公式，根据等边对等角和三角形内角和定理求出，再利用弧长公式进行解答即可．
【详解】解：如图，连接，
∵，
∴，
∴，
∴长为．
故选：D．
5. 如图，排水管截面的直径为，水面宽，则水的最大深度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出的长，再由垂径定理求出的长，根据勾股定理求出的长，然后用即可求出结果．
【详解】解：∵排水管截面的直径为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴水的最大深度，
故选：A．
【点睛】本题考查的是垂径定理的应用以及勾股定理，根据垂径定理和勾股定理求出的长是解决此题的关键．
6. 四边形内接于，，则m，n满足条件（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据圆内接四边形的对角互补，可得，所以所占的份数一定和所占的份数相等，则．
【详解】解：∵ 圆内接四边形，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
7. 下列命题：①同圆中等弧对等弦；②垂直于弦的直径平分这条弦；③平分弦的直径垂直于这条弦；④相等的圆心角所对的弧相等．其中是真命题的是（ ）
A. ①②B. ①②③C. ①③④D. ②③④
【答案】A
【解析】
【分析】根据垂径定理、圆心角定理逐个判断即可．
【详解】同圆中等弧对等弦，则命题①是真命题
垂直于弦的直径平分这条弦，则命题②是真命题
平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦，则命题③是假命题
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，则命题④是假命题
综上，是真命题的有①②
故选：A．
【点睛】本题考查了垂径定理、圆心角定理，熟记圆中的相关定理是解题关键．
8. 某校举办文艺汇演，在主持人选拔环节中，有一名男同学和三名女同学表现优异．若从以上四名同学中随机抽取两名同学担任主持人，则刚好抽中一名男同学和一名女同学的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据列表法求概率即可求解．
【详解】解：列表如下，
共有12种等可能结果，其中符合题意的有6种，
∴刚好抽中一名男同学和一名女同学的概率是，
故选：A．
【点睛】本题考查了列表法求概率，熟练掌握列表法求概率是解题的关键．
9. 已知每个网格中小正方形的边长都是1，如图中的阴影图案是由三段以格点为圆心，半径分别为1和2的圆弧围成，则阴影部分的面积是（ ）
A. B. π﹣2C. 1+D. 1﹣
【答案】B
【解析】
【分析】如图，标注顶点，连接AB，由图形的对称性可得阴影部分面积=S扇形AOB-S△ABO，从而可得答案.
【详解】解：标注顶点，连接AB，
由对称性可得：
阴影部分面积=S扇形AOB-S△ABO= ．
故选：B．
【点睛】本题考查的是阴影部分的面积的计算，扇形面积的计算，掌握“图形的对称性”是解本题的关键.
10. 如图，在扇形中，点A从点M出发沿着向点N运动，当点A到达点N时停止运动．以为边，顺时针方向作正方形，连结．在整个运动过程中，图中阴影部分的面积的大小变化情况是（ ）
A. 变大B. 变小C. 先变大再变小D. 不变
【答案】D
【解析】
【分析】过点作于，于，分别记为，，可知正方形ABCD面积固定，求出△AON和△BCN的面积之和，得到，可得结果．
【详解】解：如图，过点作于，于，分别记为，，
由题可知，AO为半径，长度不变，则正方形ABCD面积固定，
∵，，
∴，
∴，
∴不变且为正方形面积的一半．
故选D．
【点睛】本题考查了正方形的性质，圆的基本性质，解题的关键是能够表示出的面积．
二、填空题（本题有6小题，每题4分，共24分）
11. 不透明的袋子中只有个黑球和个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中摸出个球是白球的概率为______．
【答案】##
【解析】
【分析】直接根据概率公式计算，即可求解．
【详解】解：根据题意，随机从袋子中摸出个球是白球的概率为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了简单的概率计算，熟练掌握概率的计算公式是解题的关键．
12. 如图，已知四边形是圆的内接四边形，，则______．
【答案】140°
【解析】
【分析】先根据圆周角定理求出∠A的度数，再由圆内接四边形的性质求出∠BCD的度数即可．
【详解】∵∠BOD=80°，
∴∠A=40°．
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BCD=180°-∠A=180°-40°=140°．
故答案为140°．
【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．
13. 边长为、、的三角形的外接圆半径等于______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了三角形的外接圆，勾股定理的逆定理，由勾股定理的逆定理可得三角形为直角三角形，即可得外接圆的圆心为斜边的中点，半径为斜边的一半，进而求解，掌握直角三角形的斜边是其外接圆的直径是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴三角形为直角三角形，
∴外接圆的圆心为斜边的中点，半径为斜边的一半，
∴外接圆半径等于，
故答案为：．
14. 如图，在圆内接正六边形中，、交于点，已知半径为，则的长为__________．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查了圆内接正六边形的性质，圆周角定理，勾股定理的应用．连接、，则三角形为直角三角形，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：连接、、，

∵六边形是正六边形，
∴经过O点，且O是的中点，
，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
解得：或（舍去）．
故答案为：．
15. 如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转，使斜边过点，则线段扫过的面积为______．
【答案】．
【解析】
【分析】线段CA形成的是以C为圆心，以C为半径的扇形，求出其圆心角，按照扇形面积公式计算即可．
【详解】∵，，，
∴BC=4，CA==；
根据旋转的性质，得，，
∴△是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴=8π．
故答案为：8π．
【点睛】本题考查了旋转问题，扇形面积问题，勾股定理，熟练掌握旋转的性质，灵活运用公式是解题的关键．
16. 如图，点P是线段AB上一动点（不包括端点），过点P作PQ⊥AB交以AB为直径的半圆于点Q，连接AQ，过点P作PSAQ交该半圆于点S，连接SB．当PSB是以PS为腰的等腰三角形时，为_________．
【答案】
【解析】
【分析】分两种情况：①时，过点作于，则，根据等腰三角形的性质得平分，，根据平行线的性质得，，由圆周角、弧、弦的关系得，可得，则，证明，根据全等三角形的性质得，可得，即可求解；②时，过点作于，连接，根据等角的余角相等可得，则，即可求解．
详解】解：①时，过点作于，
，
，
，
，
，，
，，
平分，，，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
；
②时，过点作于，连接，
为直径，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：或．
【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质，与圆有关的性质，三角形全等，平行线的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的性质，分类求解是解题的关键．
三、解答题（本题有8小题．17、18、19每题6分，20、21每题8分，22、23每题10分，24题12分，共66分）
17. 一个不透明的袋中装有5个黄球、15个黑球和20个红球，它们出颜色外都相同.
（1）求从袋中摸出一个球是黄球的概率；
（2）现从袋中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球，搅拌均匀后，使从袋中摸出一个球是黄球的概率是，问取出了多少个黑球?
【答案】（1）从袋中摸出一个球是黄球的概率是；（2）取出了5个黑球．
【解析】
【分析】(1)根据概率公式用黄球的个数除以总球数即可；
(2)设取出了x个黑球， 利用概率公式得到即可．
【详解】解：(1)从袋中摸出一个球是黄球的概率=，
(2)设取出了x个黑球．
根据题意得，解得x=5，
答:取出了5个黑球．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法:利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n, 再从中选出符合事件A或B的结果数目m,然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率.解决本题的关键是接着概率公式．
18. 如图，在中，，且点B的坐标为．

（1）在图中画出绕点O逆时针旋转后的；
（2）连接，求的面积．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【解析】
【分析】（1）根据旋转角度、旋转中心及旋转方向确定各点的对称点，顺次连接即可；
（2）根据勾股定理计算即可得出．
【小问1详解】
解：如图，为所作：
【小问2详解】
解：依题意得，
在中，，
∴．
【点睛】本题考查了利用旋转的性质作图，勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键.
19. 如图，点在上，．求证：．

【答案】见解析
【解析】
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系，由得到，进而可得，即可得证．
【详解】证明：，
，
，即，
．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
20. 在一个不透明的袋子里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共50个，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：
（1）填空：______；当很大时，摸到黑球的频率将会趋近______（精确到0.1）；
（2）某小组成员从袋中拿出1个黑球，3个白球放入一个新的不透明袋子中，随机摸出两个球，请你用列表或树状图的方法求出随机摸出的两个球颜色不同的概率．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】本题考查了频率估计概率，列表法求概率；
（1）根据频率概念及表中频率稳定的数值求解即可；
（2）根据列表法，得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【小问1详解】
，当很大时，摸到黑球的频率将会趋近，
故答案为：；
【小问2详解】
列表如下：
由表知，共有12种等可能结果，其中随机摸出的两个球颜色不同的有6种结果，
所以随机摸出的两个球颜色不同的概率为
21. 如图，四边形内接于一圆，是边的延长线．
（1）求证；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得到，根据同角的补角相等证明结论；
（2）根据圆周角定理得到，根据三角形内角和定理计算即可．
【小问1详解】
证明：四边形内接于圆，
，
，
；
【小问2详解】
解：，
，
．
【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，解题的关键是掌握圆内接四边形的对角互补．
22. 如图，为直径，弦于点E，连接并延长交于点F，连接，．
（1）求证： ；
（2）连接，若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据题意和垂经定理得，根据得，即可得；
（2）连接，根据直径的长可得，根据得，根据得是等边三角形，即可得．
【小问1详解】
证明：∵为的直径，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【小问2详解】
解：如图所示，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴．
【点睛】本题考查了垂经定理，等边三角形的判定，解题的关键是掌握这些知识点．
23. 如图，是圆O的直径，C为圆上的一点，D为弧的中点，连接，过点C作的垂线交于点E．
（1）求证：；
（2），，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查圆与勾股定理的综合应用：
（1）利用同圆或等圆中，等弧所对的圆周角相等易得，再结合已知条件，利用直角三角形性质及等角对等边即可证得结论；
（2）连接交于点F，连接，结合已知条件，利用勾股定理求得的长度，然后利用垂径定理的推论可得垂直平分，进而求得，再设，则，在和利用勾股定理列得方程解得x的值，最后代入中计算即可求得答案．
【小问1详解】
∵D为弧的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
如图，连接交于点F，连接，
∵为的直径，
∵，
∵，
∴，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∵在中，，
在中，，
∴，
解得：，
∴．
24. 已知：内接于，弦平分．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，过点A作，垂足为点E．过点D作，交的延长线于点F，且．
①求证：；
②若，，求的半径．
【答案】（1）证明见解析
（2）①见解析；②
【解析】
【分析】（1）根据等弧所对的圆周角相等，进行证明即可；
（2）①如图1，延长到，使，证明，则，进而可得，，，由，可得，，根据，，可得数量关系；②设，则，在和中，由勾股定理得，即，求得，则，，，如图2，过作于，连接，，由题意可得，，，证明，则，，在和中，根据勾股定理求，的值，如图2，连接交于，连接，由垂径定理可得，，在中，由勾股定理求的值，设半径为，则，在中，由勾股定理得，即，求值即可．
【小问1详解】
证明：∵弦平分，
∴，
∴；
【小问2详解】
①证明：如图1，延长到，使，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴；
②解：设，则，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
∴，即，
解得，（舍去），
∴，，，
如图2，过作于，连接，，
∵，
∴
∵弦平分，
∴，，，
在和中，
∵，
∴，
∴，，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
如图2，连接交于，连接，
∵，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
设半径为，则，
在中，由勾股定理得，即，
解得，
∴半径为．
【点睛】本题考查了圆的综合，角平分线的性质，等弧所对的圆周角相等，全等三角形的判定与性质，垂径定理，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．女
女
女
男
女
女，女
女，女
女，男
女
女，女
女，女
女，男
女
女，女
女，女
女，男
男
男，女
男，女
男，女
摸球的次数
摸到黑球的次数
摸到黑球的频率
黑
白
白
白
黑
（白，黑）
（白，黑）
（白，黑）
白
（黑，白）
（白，白）
（白，白）
白
（黑，白）
（白，白）
（白，白）
白
（黑，白）
（白，白）
（白，白）