重庆市北碚区西南大学附属中学校2022-2023学年九年级下学期月考数学试题

这是一份重庆市北碚区西南大学附属中学校2022-2023学年九年级下学期月考数学试题，共34页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，八年级抽取的竞赛成绩统计表等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列数中不是有理数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了实数的分类和性质，整数和分数统称为有理数，无限不循环小数是无理数，由此判断即可．
【详解】解：、是有理数，故此选项不符合题意；
B、不是有理数，故此选项符合题意；
C、是有理数，故此选项不符合题意；
D、是有理数，故此选项不符合题意；
故选：B．
2. 下列图形中，是中心对称图形是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了中心对称图形，根据中心对称图形的定义判断即可，解题的关键是正确理解中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．
【详解】解：、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意；
、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意；
、图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，符合题意；
、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意；您看到的资料都源自我们平台，20多万份试卷，家威杏 MXSJ663 每日最新，性比价最高故选：．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了单项式乘单项式，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方以及合并同类项，根据单项式乘单项式，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方以及合并同类项的运算法则逐项进行计算即可．
【详解】解：A.与不是同类项，不能合并，故A不符合题意；
B.，故B不符合题意；
C.，故C符合题意；
D.，故D不符合题意．
故选：C．
4. 如图，已知和位似，位似中心为点，且，若的面积为，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查位似变换，相似三角形的性质等知识，利用相似三角形的性质：相似三角形的面积比相似比的平方，解题的关键是理解题意，灵活运用相似三角形的性质．
【详解】解：∵和位似，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵的面积为，
∴的面积为．
故选：．
5. 匀速地向如图所示的一个空瓶里注水，最后把空瓶注满，在这个注水过程中，水面高度h与注水时间t之间函数关系的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查函数的图象，能根据瓶子的形状判断出水面上升的高度与注水时间的关系是解题的关键．
根据空瓶的形状，对水面高度和注水时间的关系依次进行判断即可解决问题．
【详解】解：由题知，
因为匀速地向空瓶里注水，且空瓶的下半部分是直立圆锥的一部分，
所以在刚开始注水的时候，水面随着注水时间的增加，高度逐渐升高，且单位时间内升高的高度越来越高．
因为瓶子的上半部分是圆柱，
所以水面随着注水时间的增加，高度逐渐升高，且单位时间内升高的高度相同，即匀速上升．
故选：A．
6. 估计的值应在（ ）
A. 和之间B. 和之间C. 和之间D. 和之间
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了无理数的估算，先计算的值，再估算的取值范围，进一步估算的取值范围即可，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键
【详解】解：
，
，
，
，
，
即的值应在和之间，
故选：C．
7. 某电子厂加工车间共有名工人，平均每人每天加工个甲零件或个乙零件，且个甲零件和个乙零件才能配成一套产品，问需分别安排多少名工人加工甲零件、乙零件，才能使每天加工的甲零件、乙零件刚好配套？设安排名工人加工甲零件，名工人加工乙零件，由题意可列方程组为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组的知识，解题的关键是找到等量关系并列出方程组，难度不大．
根据“工人数共人、生产的乙零件数是甲零件数的倍”列出方程组即可．
【详解】解：设安排名工人加工甲零件，名工人加工乙零件，
由题意可列方程组为，
故选：A．
8. 下列说法错误的是（ ）
A. 立方根等于它本身的数是和
B. 平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C. 正六边形的内角和是它的外角和的两倍
D. 对角线互相垂直的平行四边形是矩形
【答案】D
【解析】
【分析】根据立方根的定义，矩形的判定定理，正六边形的性质，垂线的性质判断即可．
本题考查了矩形的判定，立方根的定义，正六边形的性质，垂线的性质，熟练掌握矩形的判定，立方根的定义，正六边形的性质，垂线的性质是解题的关键．
【详解】解：A、立方根等于它本身的数是和，选项说法正确，不符合题意；
B、平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，选项说法正确，不符合题意；
C、正六边形的内角和是它的外角和的两倍，选项说法正确，不符合题意；
D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，选项说法错误，符合题意．
故选：D．
9. 如图，、是的切线，、为切点，是上一点，连接、，若，，则的半径长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，勾股定理，连接，，，根据圆周角定理得到，根据切线的性质得到，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：连接，，，
，
，
、是的切线，
，
，
，
∴
在中，
，
∴
，
故选：B．
10. 如图，正方形的对角线、相交于点，平分交于点过点作，交于点，若四边形的面积为，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，由“”可证，可得，由面积公式可求解．
【详解】解：四边形是正方形，
，，
平分，
，
，，
，
，
，
，
，
，
四边形的面积为，
，
，
故选：．
11. 若关于的一元一次不等式组无解，且关于的分式方程的解是非负整数，则所有满足条件的整数的值之和是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查分式方程的解，一元一次不等式组的解集，熟练掌握一元一次不等式组的解法，分式方程的解法，注意方程的增根情况是解题的关键．先算出一元一次不等式组的解集，根据“无解”得，再化简，得，然后结合“解是非负整数”，进行列式计算，即可作答．
【详解】解：不等式组，
由得，
由得，
不等式组无解，
．
．
又，
．
方程的解是非负整数解，
．
．
或或或或或．
又，
，
或或或或．
所有满足条件的整数的值之和，
故选：C．
12. 将代数式记为，代数式记为，现进行如下操作：记，；，；，以此类推，下列说法：①；②若，为正整数，为整数，则或或；③关于的方程（为正整数）只有个实数根；④当时，代数式取得最小值，其中正确的有（ ）个．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查规律探究，整式的运算，一元二次方程根的判别式，因式分解，理解题意，灵活运用相关知识是解题的关键．依据题意，根据所给条件和运算操作，找出数字的变化规律然后逐个进行分析判断即可得解．
【详解】解：由题意得，，，
，．
，，
，，
，，
，，
，，
，，
依次类推，，，
，，
，故正确；
，
，
，为正整数，为整数，为整数，
或或，
解得或或，故正确；
关于的方程，
当时，，
，
，
整理，得，
即，
，
此时原方程有两个不相等的实数根；
当时，，
，
，
即，
整理，得，
，
此时原方程无实数根，
关于的方程为正整数只有个实数根，故正确；
，
当时，取得最小值，故错误．
故正确的结论有共个．
故选：B．
二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分．
13. 计算______．
【答案】7
【解析】
【分析】利用算术平方根，负整数指数幂的意义和零指数幂的意义化简运算即可．
本题主要考查了实数的运算，算术平方根，负整数指数幂的意义和零指数幂的意义，熟练掌握上述法则与性质是解题的关键．
【详解】解：原式
．
故答案为：．
14. 现有张正面分别标有数字，，的卡片，它们除数字不同外，其余完全相同，将卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张记为，再从剩下的卡片中随机抽取一张记为，则，能使关于，的二元一次方程组满足的概率为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查列表法与树状图法、解二元一次方程组、二元一次方程组的解、解一元一次不等式，由二元一次方程组可得，若满足，即画树状图得出所有等可能的结果数以及满足的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】解：，
，得，
若满足，
则，即．
画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中满足的结果有，，共种，
，能使关于，的二元一次方程组满足的概率为．
故答案为：．
15. 如图，是等边三角形，是的外心，外接圆半径为，分别以，，为圆心，，，为半径作弧交的三边于点，，，，，，则阴影部分的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查三角形外心定义、等边三角形的性质、正多边形的中心角的定义、勾股定理、扇形的面积公式等知识，连接、、，则，由等边三角形的性质得，，则，延长交于点，则，所以，则，，所以，即可由，求得，于是得到问题的答案．
【详解】解：连接、、，则，
是等边三角形，
，，
，
平分，
延长交于点，则，
，
，
，，
，
，
，
故答案为：．
16. 若一个四位数，十位上的数字是千位与百位数字的和，个位上的数字是千位与百位数字的差，且千位数字不小于百位数字，那么这个数就称为“民安数”，例如：因为，，，且，所以是“民安数”，若是“民安数”，令，若是整数，则成为“国泰民安数”，若一个“国泰民安数”的各个数位数字之和除余，则称该数为“中华数”，求最小的“中华数”为______．
【答案】4153
【解析】
【分析】本题考查了整式的加减，根据题意列出满足条件的代数式进行分析判断即可．
详解】解：根据题意可得：，，
①（是整数），
②，
③，
“国泰民安数”的各个数位数字之和除余，
是的倍数，
即：，
当时，，不存在同时满足①②③条件的数，
当时，，不存在同时满足①②③条件的数，
当时，，不存在同时满足①②③条件的数，
当时，，不存在同时满足①②③条件的数，
当时，，不存在同时满足①②③条件的数，
当时，，存在满足①②③条件的最小的数，即：，，
，，
最小的“中华数”为．
故答案为：．
三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了多项式乘多项式及加减运算，完全平方公式及平方差公式，分式的混合运算．
（1）利用完全平方公式及平方差公式去掉括号，再进行加减运算即可；
（2）先将括号内分式进行通分，再计算减法，利用因式分解法分解分子分母，再将除法转化为乘法，进行乘法运算即可．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解： 原式
．
18. 如图，在四边形中，．
（1）用直尺和圆规完成以下基本作图：作线段的垂直平分线，分别交、、于点、、，连接、；在线段的延长线上取一点，使得，连接．（保留作图痕迹，不写作法和结论）
（2）在（1）所作图形中，证明：是等腰三角形（补全证明过程）
证明：平分，
，
，
，
在和中，
，
，
______②，
，
四边形为平行四边形，
垂直，
平行四边形为______③，
，
，
，
即：_____④，
是等腰三角形．
【答案】（1）见解析；
（2）①；②；③菱形；④．
【解析】
【分析】根据线段垂直平分线的作图方法作图，再以点为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点，连接，，即可．
根据全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定、菱形的判定可得答案．
本题考查作图复杂作图、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、线段垂直平分线的作法是解答本题的关键．
【小问1详解】
根据题意，画图如下：
．
【小问2详解】
证明：平分，
，
，
，
在和中，
，
，
．
，
四边形为平行四边形．
垂直，
平行四边形为菱形，
．
，
，
即：，
是等腰三角形．
故答案为：；；菱形；．
19. 笛卡尔说：“数学是知识的工具，亦是其它知识工具的泉源”，为提高学生对学习数学的兴趣和培养学生的数学爱好，某校开展了一次趣味数学竞赛，并从七年级和八年级各随机抽取名学生的数学竞赛成绩，进行整理、描述和分析（竞赛成绩用表示，共分成组，：，：，：，：）．部分信息如下：
七年级学生组的竞赛成绩为：，，，，，，，．
八年级被抽取学生的竞赛成绩为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
七、八年级抽取的竞赛成绩统计表
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：______ ；______ ；______．
（2）根据以上数据分析，你认为哪个年级学生的数学竞赛成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）该校七、八年级学生共有人，请你估计该校学生中数学竞赛成绩不低于分的有多少人？
【答案】（1），，；
（2）七年级成绩较好，理由见解析；
（3）该校学生中数学竞赛成绩不低于分的大约有人．
【解析】
【分析】本题考查了中位数、众数以及用样本估计总体，理解中位数、众数的意义是正确解答的关键．
（1）分别根据中位数、众数的意义求解即可求出、，用“ 组”的人数除以可得的值；
（2）从平均数、中位数、众数的角度比较得出结论；
（3）用总人数乘七、八年级不低于分人数所占百分比即可．
【小问1详解】
解：由题意可知，把被抽取七年级名学生的数学竞赛成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别为，，故中位数；
在被抽取的八年级名学生的数学竞赛成绩中，分出现的次数最多，故众数；
，故，
故答案为：，，；
【小问2详解】
七年级成绩较好，理由：因为七年级学生成绩的中位数比八年级的高，所以七年级成绩较好；
【小问3详解】
七年级成绩不低于分的有：（人），
人，
答：该校学生中数学竞赛成绩不低于分的大约有人．
20. 月日，重庆在除夕夜举行了首届重庆都市艺术节跨年焰火表演，以跨年整点焰火的形式辞旧迎新，为感受喜庆、热烈的现场氛围，甲、乙两人从各自家前往朝天门广场观看焰火表演、由于当晚观看焰火表演的人较多，甲先将车开到距离自己家千米的停车场后，再步行千米到达目的地，共花了小时，此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的倍．
（1）求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？
（2）乙先将车开到停车场后，再步行前往目的地，总路程为千米，此期间，已知乙开车的平均速度比甲开车的平均速度快千米/小时，乙开车时间比甲开车时间少小时；乙步行的平均速度比甲步行的平均速度快千米/小时，乙步行了小时后到达目的地，求的值．
【答案】（1）甲开车的平均速度是千米/小时，步行的平均速度是千米/小时；
（2）．
【解析】
【分析】（）设甲步行的平均速度是千米小时，则甲开车的平均速度是千米小时，根据甲先将车开到距离自己家千米的停车场后，再步行千米到达目的地，共花了小时．列出分式方程，解方程即可；
（）根据乙先将车开到停车场后，再步行前往目的地，总路程为千米．列出一元二次方程，解之取其正值即可．
本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程和一元二次方程．
【小问1详解】
设甲步行的平均速度是千米小时，则甲开车的平均速度是千米小时，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：甲开车的平均速度是千米小时，步行的平均速度是千米小时；
【小问2详解】
由（）可知，甲开车时间为小时，则乙开车的时间为小时，
由题意可知，乙开车的速度为千米小时，乙步行的速度为千米小时，
由题意得：，
整理得：，
解得：，不符合题意，舍去，
答：的值为．
21. 如图，在四边形中，点，分别在，上，连接并延长交的延长线于点，，．
（1）证明：；
（2）若，，，求的长度．
【答案】21. 见解析；
22. ．
【解析】
【分析】（）根据三角形内角和定理及平角的定义推出，根据“两角对应相等的两个三角形相似”即可得解；
（）根据相似三角形的判定与性质求解即可．
此题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键．
【小问1详解】
证明：∵，，，
∴，
又，
∴；
【小问2详解】
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
∴．
22. 海中有两个小岛，，小岛在小岛的北偏东方向上，一艘轮船位于海中的处，已知处在小岛的南偏西方向且在小岛南偏东方向上，处距离小岛海里．
（1）求的距离（结果保留整数）；
（2）在以小岛为圆心，半径为海里的圆形海域内有暗礁．若轮船从处沿着射线航行，是否会有触礁危险？请通过计算加以说明，如果有危险，轮船自处开始沿北偏西多少度的方向直线航行，恰能安全通过这一海域？（参考数据：，，）
【答案】（1）104海里；
（2）有危险，轮船自处开始沿北偏西度的方向直线航行，恰能安全通过这一海域．
【解析】
【分析】（1）如图，过点作于点，根据题意可知，，，，海里，则，进而求得，，，再利用等腰直角三角形和含度角的直角三角形性质求解即可．
（2）过点作于点，由等腰直角三角形的性质得海里，由可判断轮船会有触礁危险，设轮船自处开始沿北偏西度的方向直线航行，恰能安全通过这一海域，根据和特殊角的三角函数值知，以此即可求出．
本题主要考查方向角、等腰直角三角形和含度直角三角形的性质、解直角三角形、特殊角的三角函数值．在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角．
小问1详解】
解：如图，过点作于点，

由题意知，，，，海里，
由两直线平行，内错角相等可得，
，
，
，
等腰直角三角形，海里，
在中，，
海里，海里．
【小问2详解】
解：由（1）可知，海里，，
如图，过点作于点，

则海里，
，
轮船从处沿着射线航行，会有触礁危险，
设轮船自处开始沿北偏西度的方向直线航行，恰能安全通过这一海域，
如图，

由两直线平行，内错角相等可得，
，
则此时海里，
，
，即，
，
轮船自处开始沿北偏西度的方向直线航行，恰能安全通过这一海域．
23. 如图，在矩形中，，，点从点A出发，以每秒个单位的速度沿折线运动，当它到达点时停止运动；同时，点从点A出发，以每秒个单位的速度沿射线运动，过点作直线平行于，点为直线上的一点，满足的面积为，设点、点的运动时间为，的面积为，的长度为．
（1）分别求出，与的函数关系，并注明的取值范围；
（2）在坐标系中画出，的函数图象；
（3）结合函数图象，请直接写出当时的取值范围．
【答案】（1），
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）分三种情形求出的面积，可得函数，再根据的面积为，可得函数；
（2）根据函数解析式画出函数图象即可；
（3）利用图象法解决问题即可．
【小问1详解】
解：当点在线段上时，．
当点在线段上时，．
当点在线段上时，．
综上所述，，
的面积为，
，
；
【小问2详解】
解：函数图象如图所示：
【小问3详解】
解：函数与在第一象限的交点坐标为，
由，
解得：或，
，
观察图象可知时，的取值范围为：．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，求函数解析式，函数图象等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象法解决问题．
24. 在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，且点在点的左侧，，与轴交于点，的面积为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，在直线上方的抛物线上有一动点，点是点关于轴的对称点，连接交直线于点，当最大时，求出的最大值及此时点的坐标；
（3）如图，将抛物线沿着射线的方向平移，使得新抛物线交轴于点，点为新抛物线上任意一点，点为原抛物线对称轴上位于轴下方的一点，是否存在是以为腰的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）最大值为，此时点的坐标为；
（3）存在，或．
【解析】
【分析】（）先得出，即，再根据三角形面积公式即可求得，，再利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；
（）过点作于点，过点作于点，设，则，由∽，可得，求得，再由∽，可得，进而可得，利用二次函数的性质可得答案；
（）当为直角时，则，可得；当为直角时，则，可得；
【小问1详解】
解：∵抛物线与轴交于点，
，
，
的面积为，
，即，
，
，
，
，，
把，代入，得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
【小问2详解】
∵点是点关于轴的对称点，
，
，，
直线的解析式为，，
在中，，
如图，过点作于点，过点作于点，
设，则，
，
，，
∽，
，即，
，
轴，
，
，
∽，
，
，
，
，
当时，有最大值，最大值为，此时点的坐标为；
【小问3详解】
存在是以为腰的等腰直角三角形，理由如下：
将抛物线沿着射线的方向平移，使得新抛物线交轴于点，
则抛物线向左平移了个单位向上均平移了个单位，则平移后的抛物线表达式为：，
即，
则设点，点，且，
当为直角时，则，如图，
过点作轴交轴于点，设原抛物线对称轴交轴于点，
则，
，
，
，
≌，
，，
，，
，
解得：，舍去；
，；
当为直角时，则，如图，
过点作轴交轴于点，设原抛物线对称轴交轴于点，
同理可得，≌，
，，
，，
，
解得：，舍去，
，；
综上，，或， ．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，全等三角形的判定和性质，抛物线的平移，线段的最值等，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象及性质和分类讨论思想，避免遗漏．
25. 在等腰与等腰中，，，．

（1）如图，点在外部，连接、、，，当，时，求的长．
（2）若，解决以下两个问题：
①如图，点在内部，连接、为边上一点，连接，分别交、于点、，点为的中点，连接，当时，证明：．
②如图，点在的边上，点为边上一点，，，点为所在直线上一动点，连接、、，当最大时，请直接写出的最小值．
【答案】（1）6； （2）①见解析；②．
【解析】
【分析】（1）根据题意可知，，，由图可知，，可以判定≌，可得出，又由，可得，，可判断是等边三角形，即可求解．
（2）①延长至，使，连接，可证得≌，从而，根据，，可证得，从而，进而得出，进一步得出结论；
②作于，作的垂直平分线，交于，交于，可推出点在处，，从而得出，延长至，使，连接，交于，则最小，可推出，，进而求得，进一步得出结果．
【小问1详解】
解：，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
是等边三角形，
．
【小问2详解】
解：①证明：如图，

延长至，使，连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
，
使的中点，
；
如图，

设的外接圆的半径为，
，
即：，
当最大时，最小，
当与时相切时，最大，
作于，作的垂直平分线，交于，交于，
，
，，，
，
，
点在处，点在处，
，
，
，
，
，
，
，
，
延长至，使，连接，交于，则最小，
可得，，
，
的最小值为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，确定圆的条件，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．年级
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