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人教版七年级数学下册同步精讲精练5.3平行线的性质(原卷版+解析)
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这是一份人教版七年级数学下册同步精讲精练5.3平行线的性质(原卷版+解析)，共63页。
七年级下册数学《第五章 相交线与平行线》5.3 平行线的性质知识点一平行线的性质◆1、平行线性质定理 性质定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等．几何语言表示：∵a∥b(已知)， ∴∠2＝∠3(两直线平行，同位角相等)．性质定理2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等．几何语言表示：∵a∥b(已知)，∴∠2＝∠4.(两直线平行，内错角相等)．性质定理3：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补． 简单说成：同旁内角互补，两直线平行．几何语言表示：∵a∥b(已知)， ∴∠1＋∠2＝180°(同旁内角互补，两直线平行)．◆2、平行线的判定与性质平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．（3）平行线的判定与性质的联系与区别：区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．知识点二命题及其组成◆1、概念：判断一件事情的语句，叫做命题．【注意】1、命题必须满足的条件：①必须是语句；②对一件事情作出判定；二者缺一不可.2、命题只需具有“判断”功能，而不论这个判断是否对错.◆2、命题的组成每个命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．知识点三真、假命题◆1、真命题：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题；◆2、假命题：题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题.知识点四定理与证明◆1、定理：经过推理证实的真命题叫做定理，定理可以作为继续推理论证的依据．◆2、证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明.（a）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．◆3、证明的一般步骤：①根据题意画出图形；②依据题设、结论，结合图形，写出已知、求证；③经过分析，找出由已知条件推出结论的方法，或依据结论探寻所需要的条件，再由题设进行挖掘，寻求证明的途径；④书写证明过程.题型一 利用平行线的性质求角的度数【例题1】（2022秋•李沧区期末）如图，AB∥CD，直线EF分别与直线AB、直线CD相交于点E，F，点G在CD上，EG平分∠BEF．若∠EGC＝58°，求∠EFD的度数．【变式1-1】（2022•西藏）如图，l1∥l2，∠1＝38°，∠2＝46°，则∠3的度数为（ ）A．46° B．90° C．96° D．134°【变式1-2】（2022春•五莲县期末）如图，已知AB∥DE∥CF，若∠ABC＝70°，∠CDE＝130°，则∠BCD的度数为（ ）A．10° B．15° C．20° D．35°【变式1-3】（2021秋•霍州市期末）如图，如果AB∥EF、EF∥CD，若∠1＝50°，则∠2+∠3的和是（ ）A．200° B．210° C．220° D．230°【变式1-4】（2022秋•安岳县期末）已知∠1的两边分别平行于∠2的两边，若∠1＝40°，则∠2的度数为 ．【变式1-5】（2022春•海淀区月考）如图，点C在∠MON的一边OM上，过点C的直线AB∥ON，CD平分∠ACM．当∠DCM＝60°时，求∠O的度数．【变式1-6】（2021春•黄冈期中）如图，DB∥FG∥EC，A是FG上的一点，∠ADB＝60°，∠ACE＝36°，AP平分∠CAD，求∠PAG的度数．题型二 利用平行线的性质说明两直线垂直【例题2】（2022春•龙岗区期末）已知，如图，∠1＝∠ACB，∠2＝∠3，FH⊥AB于H，求证：CD⊥AB．【变式2-1】如图，已知DA⊥AB，DE平分∠ADC，CE平分∠DCB，且∠1+∠2＝90°，试说明BC⊥AB．【变式2-2】已知，如图所示，四边形ABCD中，∠B＝90°，DE平分∠ADC，CE平分∠DCB，∠1+∠2＝90°，试说明DA⊥AB．【变式2-3】（2022春•海淀区校级月考）如图，AD∥BE，∠B＝∠D，∠BAD的平分线交BC的延长线于点E，CF平分∠DCE．求证：CF⊥AE．题型三 平行线的性质与判定的综合应用【例题3】（2022春•永川区期末）如图，已知∠2+∠3＝180°，∠1＝120°，则∠4＝（ ）A．120o B．80o C．60o D．75o【变式3-1】（2022秋•南岗区校级期中）如图，AB∥CD∥EF，则下列各式中正确的是（ ）A．∠1+∠2+∠3＝180° B．∠1+∠2＝180°+∠3 C．∠1+∠3＝180°+∠2 D．∠2+∠3＝180°+∠1【变式3-2】（2022春•重庆月考）如图，点E、F分别在AB、CD上，AF⊥CE于点O，∠1＝∠B，∠A+∠2＝90°，求证：AB∥CD．【变式3-3】（2022春•舞阳县期末）如图，点D在AC上，点F、G分别在AC、BC的延长线上，CE平分∠ACB并交BD于H，且∠EHD+∠HBF＝180°．（1）若∠F＝30°，求∠ACB的度数；（2）若∠F＝∠G，求证：DG∥BF．【变式3-4】（2022春•温江区校级期中）如图，已知点E、F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与FG交于点H，∠D+∠AED＝180°，∠C＝∠EFG．（1）求证：AB∥CD；（2）若∠CED＝75°，求∠FHD的度数．【变式3-5】（2022春•木兰县期末）有一天李小虎同学用“几何画板”画图，他先画了两条平行线AD，BC，然后在平行线间画了一点E，连接CE，DE后（如图①），他用鼠标左键点住点E，拖动后，分别得到如图②，③，④等图形，这时他突然一想，∠C，∠D与∠DEC之间的度数有没有某种联系呢？接着小虎同学通过利用“几何画板”的“度量角度”和“计算”功能，找到了这三个角之间的关系．（1）请直接写出图①到图④各图中的∠C，∠D与∠DEC之间的关系吗？（2）请从图③④中，选一个说明它成立的理由．【变式3-6】（2022秋•朝阳区校级期末）（1）问题发现：如图①，直线AB∥CD，连接BE，CE，可以发现∠B+∠C＝∠BEC．请把下面的证明过程补充完整：证明：过点E作EF∥AB，∵AB∥DC（已知），EF∥AB（辅助线的作法），∴EF∥DC（ ）．∴∠C＝∠CEF．（ ）．∵EF∥AB，∴∠B＝∠BEF（同理）．∴∠B+∠C＝ ．即∠B+∠C＝∠BEC．（2）拓展探究：如果点E运动到图②所示的位置，其他条件不变，说明：∠B+∠BEC+∠C＝360°．（3）解决问题：如图③，AB∥DC，E、F、G是AB与CD之间的点，直接写出∠1，∠2，∠3，∠4，∠5之间的数量关系 ．题型四 利用平行线的性质解决实际问题【例题4】如图是潜望镜工作原理示意图，阴影部分是平行放置在潜望镜里的两面镜子．已知光线经过镜子反射时，有∠1＝∠2，∠3＝∠4，请解释进入潜望镜的光线l为什么和离开潜望镜的光线m是平行的？【变式4-1】如图，在A、B两地之间要修一条笔直的公路，从A地测得公路走向是北偏东48°，A，B两地同时开工，若干天后公路准确接通，若公路AB长8千米，另一条公路BC长是6千米，且BC的走向是北偏西42°，则A地到公路BC的距离是 千米．【变式4-2】（2022春•高新区校级期末）学习平行线的性质后，老师给小明出了一道题：如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐的角∠A是120°，第二次拐的角∠B是150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C是多少度？请你帮小明求出（ ）A．120° B．130° C．140° D．150°【变式4-3】（2021春•沧县期中）某学员在驾校练习驾驶汽车，两次拐弯后的行驶方向与原来的方向相反，则两次拐弯的角度可能是（ ）A．第一次向左拐30°，第二次向右拐30° B．第一次向左拐45°，第二次向左拐45° C．第一次向左拐60°，第二次向右拐120° D．第一次向左拐53°，第二次向左拐127°【变式4-4】（2022春•东湖区校级月考）工人师傅对一个如图所示的零件进行加工，把材料弯成了一个40°的锐角，然后准备在A处第二次加工拐弯，要保证弯过来的部分与BC保持平行，弯的角度应是 ．【变式4-5】（2022•小店区校级开学）如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是乎动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知AB∥CD，CG∥EF，∠BAG＝150°，∠AGC＝80°，则∠DEF的度数为（ ）A．110° B．120° C．130° D．140°题型五 利用平行线的性质解决折叠问题【例题5】如图所示，把一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，若∠1＝58°，则∠AEG的度数（ ）A．58° B．64° C．72° D．60°【变式5-1】（2021秋•陈仓区期末）如图，将矩形纸条ABCD折叠，折痕为EF，折叠后点C，D分别落在点C′，D′处，D′E与BF交于点G．已知∠BGD′＝26°，则∠α的度数是（ ）A．77° B．64° C．26° D．87°【变式5-2】如图，把长方形ABCD沿EF折叠后使两部分重合，若∠1＝30°，则∠AEF＝（ ）A．100° B．150° C．110° D．105°【变式5-3】（2022秋•昭阳区期中）如图，把△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，BC∥DE；若∠B＝50°，则∠BDF的度数为（ ）A．40° B．50° C．80° D．100°【变式5-4】（2022•沭阳县模拟）已知长方形纸条ABCD，点E，G在AD边上，点F，H在BC边上．将纸条分别沿着EF，GH折叠，如图，当DC恰好落在EA'上时，∠1与∠2的数量关系是（ ）A．∠1+∠2＝135° B．∠2﹣∠1＝15° C．∠1+∠2＝90° D．2∠2﹣∠1＝90°【变式5-5】如图，长方形ABCD中，沿折痕CE翻折△CDE得△CD′E，已知∠ECD′被BC分成的两个角相差18°，则图中∠1的度数为（ ）A．72°或48° B．72°或36° C．36°或54° D．72°或54°题型六 借助三角尺求角的度数【例题6】（2022春•秦淮区校级月考）已知直线a∥b，将一块含30°角的直角三角板（∠BAC＝30°，∠ACB＝90°）按如图所示的方式放置，并且顶点A，C分别落在直线a，b上，若∠1＝22°．则∠2的度数是（ ）A．38° B．45° C．52° D．58°【变式6-1】（2022秋•琼海期中）如图，将三角板的直角顶点按如图所示摆放在直尺的一边上，则下列结论不一定正确的是（ ）A．∠1＝∠2 B．∠2+∠3＝90° C．∠3+∠4＝180° D．∠1+∠2＝90°【变式6-2】（2022秋•南关区校级期末）如图，直线a∥b，将一个直角三角尺按如图所示的位置摆放，若∠1＝58°，则∠2的度数为（ ）A．58° B．42° C．32° D．30°【变式6-3】（2022•大渡口区校级模拟）将一副直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，若AC∥DE．则∠BAE的度数为（ ）A．85° B．75° C．65° D．55°【变式6-4】（2022秋•绿园区校级期末）如图，AB∥CD，一副三角尺按如图所示放置，∠AEG＝20°，则∠HFD的度数为（ ）A．40° B．35° C．30° D．25°题型七 命题的识别及改写【例题7】下列语句是命题的是（ ）A．延长线段AB至C B．垂线段最短 C．直线AB平行于直线CD吗 D．不许大声讲话【变式7-1】（2021秋•泾阳县期末）下列语句中，不是命题的是（ ）A．相等的角是对顶角 B．同旁内角互补 C．平角是一条直线 D．延长线段AO到点C，使OC＝OA【变式7-2】（2022秋•南岸区期末）下列命题是真命题的是（ ）A．同位角相等 B．内错角相等 C．相等的角是对顶角 D．同旁内角互补，两直线平行【变式7-3】（2021秋•雁山区校级期末）下列命题中是假命题的是（ ）A．对顶角相等 B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 C．同旁内角互补 D．平行于同一条直线的两条直线平行【变式7-4】（2022春•北京期末）已知：在同一平面内，三条直线a，b，c．下列四个命题为真命题的是 ．（填写所有真命题的序号）①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；②如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；③如果a∥b，c∥b，那么a∥c；④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c．【变式7-5】（2022秋•榆阳区校级期末）对假命题“若a＞b，则a2＞b2”举反例，正确的反例是（ ）A．a＝﹣1，b＝2 B．a＝2，b＝﹣1 C．a＝﹣1，b＝0 D．a＝﹣1，b＝﹣2【变式7-6】（2022春•江汉区校级月考）下列命题：①两个角的和等于平角时，这两个角互为邻补角；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③内错角相等；④a，b，c是直线，若a∥b，b∥c，则a∥c．其中真命题的个数为（ ）A．4 B．3 C．2 D．1【变式7-7】把下列命题改写成“如果…那么…”的形式，并指出命题的真假．（1）等角的补角相等．（2）垂直于同一直线的两直线平行．【变式7-8】判断下列命题的真假，若是假命题，举出反例．（1）若两个角不是对顶角，则这两个角不相等；（2）若a+b＝0，则ab＝0；（3）若ab＝0，则a+b＝0．题型八 命题的分析与证明【例题8】（2022春•白水县期末）如图，在三角形ABC中，AD⊥BC于点D，点E是AB上一点，EF⊥BC于点F，点G是AC上一点，连接DG，且∠1＝∠2．求证：AB∥DG．【变式8-1】（2022春•莱西市期末）已知：如图，∠1+∠2＝180°，∠B＝∠3．求证：DE∥BC．【变式8-2】（2022秋•黄岛区校级期末）如图，点E、F分别在AB、CD上，AF⊥CE于点O，∠1＝∠B，∠A+∠2＝90°，求证：AB∥CD．【变式8-3】（2022秋•南岸区校级月考）如图，在四边形ABCD中．点E为AB延长线上一点，点F为CD延长线上一点，连接EF，交BC于点G，交AD于点H，若∠1＝∠2，∠A＝∠C，求证：∠E＝∠F．【变式8-4】（2022春•萍乡期末）如图，EF⊥AC交AC于点F，DB⊥AC交AC于点M，∠1＝∠2，∠3＝∠C，求证：AB∥MN．【变式8-5】（2022春•江城区期中）如图，点E在BC上，BD⊥AC，EF⊥AC，垂足分别为D，F，点M，G在AB上，∠AMD＝∠AGF，∠1＝∠2．求证：（1）∠2＝∠CBD；（2）MD∥BC．【变式8-6】如图，∠ABC的两边分别平行于∠DEF的两条边，且∠ABC＝45°．（1）图1中：∠DEF＝ ，图2中：∠DEF＝ ；（2）请观察图1、图2中∠DEF分别与∠ABC有怎样的关系，请你归纳出一个命题． 解题技巧提炼两直线平行时，应联想到平行线的三个性质，由两条直线平行的位置关系得到两个相关角的数量关系，由角的关系求相应角的度数.解题技巧提炼准确识别图形，理清图中各角度之间的关系是解题的关键，再综合角平分线的定义、对顶角的性质及邻补角的定义求解.解题技巧提炼平行线的判定和性质在解题中经常反复使用，见到角相等或互补就应该联想到能否判定两条直线平行，见到直线平行就应该联想到能否证明相关的角相等或互补.解题技巧提炼给出一个实际问题，联系平行线的性质解答实际问题，有时需要通过作辅助线构造平行线，同时还会综合运用平行线的判定和性质.解题技巧提炼结合长方形的性质，对边是互相平行的，从而综合折叠的特征和平行线的性质求解即可.折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置发生了变化.解题技巧提炼借助三角尺求角的度数主要是利用三角尺的特征，结合平行线的性质一般解决求角的度数问题.解题技巧提炼命题是判断一件事情的语句，正确区分命题的题设和结论是把命题写成“如果…那么…”形式，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．命题改写的原则是不改变原题的原意．解题技巧提炼本题考查了命题证明的书写，推理过程要具有逻辑性，在解题的过程中需要综合运用平行线的性质与判定.七年级下册数学《第五章 相交线与平行线》5.3 平行线的性质知识点一平行线的性质◆1、平行线性质定理 性质定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等．几何语言表示：∵a∥b(已知)， ∴∠2＝∠3(两直线平行，同位角相等)．性质定理2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等．几何语言表示：∵a∥b(已知)，∴∠2＝∠4.(两直线平行，内错角相等)．性质定理3：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补． 简单说成：同旁内角互补，两直线平行．几何语言表示：∵a∥b(已知)， ∴∠1＋∠2＝180°(同旁内角互补，两直线平行)．◆2、平行线的判定与性质平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．（3）平行线的判定与性质的联系与区别：区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．知识点二命题及其组成◆1、概念：判断一件事情的语句，叫做命题．【注意】1、命题必须满足的条件：①必须是语句；②对一件事情作出判定；二者缺一不可.2、命题只需具有“判断”功能，而不论这个判断是否对错.◆2、命题的组成每个命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．知识点三真、假命题◆1、真命题：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题；◆2、假命题：题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题.知识点四定理与证明◆1、定理：经过推理证实的真命题叫做定理，定理可以作为继续推理论证的依据．◆2、证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明.（a）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．◆3、证明的一般步骤：①根据题意画出图形；②依据题设、结论，结合图形，写出已知、求证；③经过分析，找出由已知条件推出结论的方法，或依据结论探寻所需要的条件，再由题设进行挖掘，寻求证明的途径；④书写证明过程.题型一 利用平行线的性质求角的度数【例题1】（2022秋•李沧区期末）如图，AB∥CD，直线EF分别与直线AB、直线CD相交于点E，F，点G在CD上，EG平分∠BEF．若∠EGC＝58°，求∠EFD的度数．【分析】根据两直线平行，内错角相等求出∠BEG的度数，再根据角平分线的定义得到∠FEG，然后利用平行线的性质可得解．【解答】解：∵AB∥CD，∠EGC＝58°，∴∠BEG＝∠EGC＝58°，∵EG平分∠BEF，∴∠BEF＝2∠BEG＝116°，∵AB∥CD，∴∠EFD＝180°﹣∠BEF＝180°﹣116°＝64°．【点评】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握性质并准确识图是解题的关键．【变式1-1】（2022•西藏）如图，l1∥l2，∠1＝38°，∠2＝46°，则∠3的度数为（ ）A．46° B．90° C．96° D．134°【分析】根据平行线的性质定理求解即可．【解答】解：∵l1∥l2，∴∠1+∠3+∠2＝180°，∵∠1＝38°，∠2＝46°，∴∠3＝96°，故选：C．【点评】此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．【变式1-2】（2022春•五莲县期末）如图，已知AB∥DE∥CF，若∠ABC＝70°，∠CDE＝130°，则∠BCD的度数为（ ）A．10° B．15° C．20° D．35°【分析】由AB∥CF，∠ABC＝70°，易求∠BCF，又DE∥CF，∠CDE＝130°，那么易求∠DCF，于是∠BCD＝∠BCF﹣∠DCF可求．【解答】解：∵AB∥CF，∠ABC＝70°，∴∠BCF＝∠ABC＝70°，又∵DE∥CF，∴∠DCF+∠CDE＝180°，∴∠DCF＝50°，∴∠BCD＝∠BCF﹣∠DCF＝70°﹣50°＝20°．故选：C．【点评】本题主要考查了平行线的性质，两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．【变式1-3】（2021秋•霍州市期末）如图，如果AB∥EF、EF∥CD，若∠1＝50°，则∠2+∠3的和是（ ）A．200° B．210° C．220° D．230°【分析】由平行线的性质可用∠2、∠3分别表示出∠BOE和∠COF，再由平角的定义可得出答案．【解答】解：∵AB∥EF，∴∠2+∠BOE＝180°，∴∠BOE＝180°﹣∠2，同理可得∠COF＝180°﹣∠3，∵O在EF上，∴∠BOE+∠1+∠COF＝180°，∴180°﹣∠2+∠1+180°﹣∠3＝180°，∴∠2+∠3＝180°+∠1＝180°+50°＝230°，故选：D．【点评】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，即①同位角相等⇔两直线平行，②内错角相等⇔两直线平行，③同旁内角互补⇔两直线平行，④a∥b，b∥c⇒a∥c．【变式1-4】（2022秋•安岳县期末）已知∠1的两边分别平行于∠2的两边，若∠1＝40°，则∠2的度数为 ．【分析】①图1时，由两直线平行，同位角相等，等量代换和角的和差计算出∠2的度数为40°；②图2时，同两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补，等量代换和角的和差计算出∠2的度数为140°．【解答】解：①若∠1与∠2位置如图1所示：∵AB∥DE，∴∠1＝∠3，又∵DC∥EF，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠2，又∵∠1＝40°，∴∠2＝40°；②若∠1与∠2位置如图2所示：∵AB∥DE，∴∠1＝∠3，又∵DC∥EF，∴∠2+∠3＝180°，∴∠2+∠1＝180°，又∵∠1＝40°∴∠2＝180°﹣∠1＝180°﹣40°＝140°，综合所述：∠2的度数为40°或140°，故答案为：40°或140°．【点评】本题综合考查了平行线的性质，角的和差，等量代换，邻补角性质，对顶角性质等相关知识点，重点掌握平行线的性质，难点是两个角的两边分别平行是射线平行，分类画出符合题意的图形后计算．【变式1-5】（2022春•海淀区月考）如图，点C在∠MON的一边OM上，过点C的直线AB∥ON，CD平分∠ACM．当∠DCM＝60°时，求∠O的度数．【分析】根据角平分线的定义，即可得到∠ACM的度数，进而得出∠OCB的度数，再依据平行线的性质，即可得到∠O的度数．【解答】解：∵CD平分∠ACM，∴∠ACM＝2∠DCM．∵∠DCM＝60°，∴∠ACM＝120°．∵直线AB与OM交于点C，∴∠OCB＝∠ACM＝120°（对顶角相等），∵AB∥ON，∴∠O+∠OCB＝180°（两直线平行，同旁内角互补），∴∠O＝60°．【点评】本题主要考查了角的计算，平行线的性质以及角平分线的定义．解题的关键是熟练掌握平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补．【变式1-6】（2021春•黄冈期中）如图，DB∥FG∥EC，A是FG上的一点，∠ADB＝60°，∠ACE＝36°，AP平分∠CAD，求∠PAG的度数．【分析】根据平行线的性质，可以得到∠DAG和∠CAG度数，然后根据AP平分∠CAD，即可得到∠PAG的度数．【解答】解：∵DB∥FG∥EC，∴∠BDA＝∠DAG，∠ACE＝∠CAG，∵∠ADB＝60°，∠ACE＝36°，∴∠DAG＝60°，∠CAG＝36°，∴∠DAC＝96°，∵AP平分∠CAD，∴∠CAP＝48°，∴∠PAG＝12°．【点评】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 题型二 利用平行线的性质说明两直线垂直【例题2】（2022春•龙岗区期末）已知，如图，∠1＝∠ACB，∠2＝∠3，FH⊥AB于H，求证：CD⊥AB．【分析】先根据垂直的定义得出∠BHF＝90°，再由∠1＝∠ACB得出DE∥BC，故可得出∠2＝∠BCD，根据∠2＝∠3得出∠3＝∠BCD，所以CD∥FH，由平行线的性质即可得出结论．【解答】证明：FH⊥AB（已知），∴∠BHF＝90°．∵∠1＝∠ACB（已知），∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行），∴∠2＝∠BCD．（两直线平行，内错角相等）．∵∠2＝∠3（已知），∴∠3＝∠BCD（等量代换），∴CD∥FH（同位角相等，两直线平行），∴∠BDC＝∠BHF＝90°，（两直线平行，同位角相等）∴CD⊥AB．【点评】本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．【变式2-1】如图，已知DA⊥AB，DE平分∠ADC，CE平分∠DCB，且∠1+∠2＝90°，试说明BC⊥AB．【分析】过E作EF∥AD，交CD于F，求出∠FEC＝∠2＝∠BCE，根据平行线的判定推出BC∥EF，即可得出答案．【解答】解：过E作EF∥AD，交CD于F，则∠ADE＝∠DEF，∵DE平分∠ADC，∴∠1＝∠ADE，∴∠1＝∠DEF，∵∠1+∠2＝90°，∴∠DEC＝90°，∴∠DEF+∠FEC＝90°，∴∠2＝∠FEC，∵CE平分∠DCB，∴∠2＝∠BCE，∴∠FEC＝∠BCE，∴BC∥EF，∴BC∥AD，∵DA⊥AB，∴BC⊥AB．【点评】本题考查了平行线的性质和判定，三角形内角和定理，角平分线定义的应用，能正确作出辅助线，并综合运用定理进行推理是解此题的关键．【变式2-2】已知，如图所示，四边形ABCD中，∠B＝90°，DE平分∠ADC，CE平分∠DCB，∠1+∠2＝90°，试说明DA⊥AB．【分析】由角平分线的定义和条件可得∠ADC+∠BCD＝180°，可证明DA∥BC，再由平行线的性质可得到∠A＝90°，可证明DA⊥AB．【解答】证明：∵DE平分∠ADC，CE平分∠DCB，∴∠ADC＝2∠1，∠BCD＝2∠2，∵∠1+∠2＝90°，∴∠ADC+∠BCD＝180°，∴AD∥BC，∴∠A+∠B＝180°，∴∠A＝180°﹣∠B＝90°，∴DA⊥AB．【点评】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补，④a∥b，b∥c⇒a∥c．【变式2-3】（2022春•海淀区校级月考）如图，AD∥BE，∠B＝∠D，∠BAD的平分线交BC的延长线于点E，CF平分∠DCE．求证：CF⊥AE．【分析】由AD∥BE，∠B＝∠D，可推出∠B+∠BAD＝180°，∠B＝∠DCE，AB∥CD，再由角平分线定义可得：∠BAE=12∠BAD，∠FCG=12∠DCE，进而得出：∠CGF=12∠BAD，∠FCG=12∠B，可推出：∠CGF+∠FCG=12（∠BAD+∠B）=12×180°＝90°，根据三角形内角和为180°，可得∠CFG＝90°，由垂直定义可证得结论．【解答】证明：∵AD∥BE，∴∠DCE＝∠D，∠B+∠BAD＝180°，∵∠B＝∠D，∴∠B＝∠DCE，∴AB∥CD，∴∠CGF＝∠BAE，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=12∠BAD，∴∠CGF=12∠BAD，∵CF平分∠DCE，∴∠FCG=12∠DCE，∴∠FCG=12∠B，∴∠CGF+∠FCG=12（∠BAD+∠B）=12×180°＝90°，∴∠CFG＝180°﹣（∠CGF+∠FCG）＝180°﹣90°＝90°，∴CF⊥AE．【点评】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线定义，垂直定义，三角形内角和定理等知识，解题的关键是掌握平行线判定定理和性质定理．题型三 平行线的性质与判定的综合应用【例题3】（2022春•永川区期末）如图，已知∠2+∠3＝180°，∠1＝120°，则∠4＝（ ）A．120o B．80o C．60o D．75o【分析】根据平行线的判定推出a∥b，根据平行线的性质得出∠1＝∠5，再根据邻补角的定义求解即可．【解答】解：如图，∵∠2+∠3＝180°，∴a∥b，∴∠1＝∠5，∵∠1＝120°，∴∠5＝120°，∴∠4＝180°﹣120°＝60°，故选：C．【点评】本题考查了平行线的性质和判定，注意：①同旁内角互补，两直线平行，②两直线平行，同位角相等．【变式3-1】（2022秋•南岗区校级期中）如图，AB∥CD∥EF，则下列各式中正确的是（ ）A．∠1+∠2+∠3＝180° B．∠1+∠2＝180°+∠3 C．∠1+∠3＝180°+∠2 D．∠2+∠3＝180°+∠1【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可得∠2+∠BDC＝180°，再根据两直线平行，内错角相等可得∠3＝∠CDE，而∠CDE＝∠1+∠BDC，整理可得∠2+∠3﹣∠1＝180°．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴∠2+∠BDC＝180°，∠3＝∠CDE，又∠BDC＝∠CDE﹣∠1，∴∠2+∠3﹣∠1＝180°．故选：D．【点评】本题主要考查平行线的性质，从复杂图形中找出内错角，同旁内角是解题的关键．【变式3-2】（2022春•重庆月考）如图，点E、F分别在AB、CD上，AF⊥CE于点O，∠1＝∠B，∠A+∠2＝90°，求证：AB∥CD．【分析】先证CE∥BF得∠AOE＝∠AFB，由AF⊥CE得∠AOE＝∠AFB＝90°，利用平角定义得出∠AFC+∠2＝90°，结合∠A+∠2＝90°可以得出∠AFC＝∠A，从而得证．【解答】证明：∵AF⊥CE（已知），∴∠AOE＝90°（垂直的定义）．又∵∠1＝∠B（已知），∴CE∥BF（同位角相等，两直线平行），∴∠AFB＝∠AOE（两直线平行，同位角相等），∴∠AFB＝90°（等量代换）．又∵∠AFC+∠AFB+∠2＝180°（平角的定义），∴∠AFC+∠2＝（90）°．又∵∠A+∠2＝90°（已知），∴∠A＝∠AFC（同角的余角相等），∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．故答案为：垂直的定义；已知；CE∥BF；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换；180°；90；同角的余角相等；AB∥CD．【点评】本题主要考查平行线的判定与性质，解题的关键是掌握平行线的判定和性质，并灵活运用．【变式3-3】（2022春•舞阳县期末）如图，点D在AC上，点F、G分别在AC、BC的延长线上，CE平分∠ACB并交BD于H，且∠EHD+∠HBF＝180°．（1）若∠F＝30°，求∠ACB的度数；（2）若∠F＝∠G，求证：DG∥BF．【分析】（1）由对顶角相等、同旁内角互补，两直线平行判定BF∥EC，则同位角∠ACE＝∠F，再根据角平分线的性质即可求解；（2）结合已知条件，角平分线的定义，利用等量代换推知同位角∠BCE＝∠G，则易证DG∥BF．【解答】（1）解：∵∠EHD+∠HBF＝180°，∠EHD＝∠BHC，∴∠BHC+∠HBF＝180°，∴BF∥EC，∴∠ACE＝∠F＝30°，又∵CE平分∠ACB，∴∠ACB＝2∠ACE＝60°．故∠ACB的度数为60°；（2）证明：∵CE平分∠ACB，∴∠BCE＝∠ACE，∵∠ACE＝∠F，∠F＝∠G，∴∠BCE＝∠G，∴DG∥EC，又∵BF∥EC，∴DG∥BF．【点评】本题考查了平行线的判定．解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．【变式3-4】（2022春•温江区校级期中）如图，已知点E、F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与FG交于点H，∠D+∠AED＝180°，∠C＝∠EFG．（1）求证：AB∥CD；（2）若∠CED＝75°，求∠FHD的度数．【分析】（1）根据平行线的判定即可求解；（2）根据平行线的性质得到∠DGF＝∠EFG，根据等量关系得到∠DGF＝∠C，根据平行线的判定可得CE∥GF，再根据平行线的性质和邻补角的定义即可求解．【解答】（1）证明：∵∠D+∠AED＝180°，∴AB∥CD；（2）解：∵AB∥CD，∴∠DGF＝∠EFG，∵∠C＝∠EFG，∴∠DGF＝∠C，∴CE∥GF，∵∠CED＝75°，∴∠DHG＝75°，∴∠FHD＝105°．【点评】本题考查平行线的判定与性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．【变式3-5】（2022春•木兰县期末）有一天李小虎同学用“几何画板”画图，他先画了两条平行线AD，BC，然后在平行线间画了一点E，连接CE，DE后（如图①），他用鼠标左键点住点E，拖动后，分别得到如图②，③，④等图形，这时他突然一想，∠C，∠D与∠DEC之间的度数有没有某种联系呢？接着小虎同学通过利用“几何画板”的“度量角度”和“计算”功能，找到了这三个角之间的关系．（1）请直接写出图①到图④各图中的∠C，∠D与∠DEC之间的关系吗？（2）请从图③④中，选一个说明它成立的理由．【分析】（1）根据两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补解答；（2）选择③，过点E作EF∥AB，根据两直线平行，内错角相等可得∠D＝∠DEF，∠B＝∠BEF，再根据∠BED＝∠DEF﹣∠BEF整理即可得证．【解答】解：（1）①∠C+∠D＝∠DEC；②∠C+∠D+∠DEC＝360°；③∠DEC＝∠C﹣∠D；④∠DEC＝∠D﹣∠C；（2）选图③，过点E作EF∥AD，如图：∵EF∥AD，AD∥BC，∴EF∥AD∥BC，∴∠C＝∠CEF，∠D＝∠DEF，又∵∠DEC＝∠CEF﹣∠DEF，∴∠DEC＝∠C﹣∠D．【点评】本题考查了平行线的性质，此类题目解题关键在于过拐点作平行线．【变式3-6】（2022秋•朝阳区校级期末）（1）问题发现：如图①，直线AB∥CD，连接BE，CE，可以发现∠B+∠C＝∠BEC．请把下面的证明过程补充完整：证明：过点E作EF∥AB，∵AB∥DC（已知），EF∥AB（辅助线的作法），∴EF∥DC（ ）．∴∠C＝∠CEF．（ ）．∵EF∥AB，∴∠B＝∠BEF（同理）．∴∠B+∠C＝ ．即∠B+∠C＝∠BEC．（2）拓展探究：如果点E运动到图②所示的位置，其他条件不变，说明：∠B+∠BEC+∠C＝360°．（3）解决问题：如图③，AB∥DC，E、F、G是AB与CD之间的点，直接写出∠1，∠2，∠3，∠4，∠5之间的数量关系 ．【分析】（1）过点E作EF∥AB，根据平行线的性质及角的和差求解即可；（2）过点E作EF∥AB，根据平行线的性质及角的和差求解即可；（3）过点F作FM∥AB，根据（1）求解即可．【解答】（1）证明：如图①，过点E作EF∥AB，∵AB∥DC（已知），EF∥AB（辅助线的作法），∴EF∥DC（平行于同一直线的两直线平行），∴∠C＝∠CEF（两直线平行，内错角相等），∵EF∥AB，∴∠B＝∠BEF（同理），∴∠B+∠C＝∠BEF+∠CEF（等量代换），即∠B+∠C＝∠BEC，故答案为：平行于同一直线的两直线平行；两直线平行，内错角相等；∠BEF+∠CEF；（2）解：如图②，过点E作EF∥AB，∵AB∥CD，EF∥AB，∴EF∥CD，∴∠C+∠CEF＝180°，∠B+∠BEF＝180°，∴∠B+∠C+∠AEC＝360°，∴∠B+∠C＝360°﹣（∠BEF+∠CEF），即∠B+∠C＝360°﹣∠BEC；∠B+∠BEC+∠C＝360°．（3）解：∠1+∠3+∠5＝∠2+∠4，理由如下：如图，过点F作FM∥AB，则AB∥FM∥CD，由（1）得，∠1+∠3+∠5＝∠2+∠4．故答案为：∠1+∠3+∠5＝∠2+∠4．【点评】此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键．题型四 利用平行线的性质解决实际问题【例题4】如图是潜望镜工作原理示意图，阴影部分是平行放置在潜望镜里的两面镜子．已知光线经过镜子反射时，有∠1＝∠2，∠3＝∠4，请解释进入潜望镜的光线l为什么和离开潜望镜的光线m是平行的？【分析】根据平行线的性质结合条件可得∠1＝∠2＝∠3＝∠4，可证得∠5＝∠6，可证明l∥m，据此填空即可．【解答】解：∵AB∥CD（已知），∴∠2＝∠3（两直线平行，内错角相等），∵∠1＝∠2，∠3＝∠4 （已知），∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4 （等量代换），∴180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣∠3﹣∠4（平角定义），即：∠5＝∠6 （等量代换），∴l∥m．【点评】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补，④a∥b，b∥c⇒a∥c．【变式4-1】如图，在A、B两地之间要修一条笔直的公路，从A地测得公路走向是北偏东48°，A，B两地同时开工，若干天后公路准确接通，若公路AB长8千米，另一条公路BC长是6千米，且BC的走向是北偏西42°，则A地到公路BC的距离是 千米．【分析】根据方位角的概念，图中给出的信息，再根据已知转向的角度求解．【解答】解：根据两直线平行，内错角相等，可得∠ABG＝48°，∵∠ABC＝180°﹣∠ABG﹣∠EBC＝180°﹣48°﹣42°＝90°，∴AB⊥BC，∴A地到公路BC的距离是AB＝8千米，故答案为：8．【点评】此题是方向角问题，结合生活中的实际问题，将解三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．【变式4-2】（2022春•高新区校级期末）学习平行线的性质后，老师给小明出了一道题：如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐的角∠A是120°，第二次拐的角∠B是150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C是多少度？请你帮小明求出（ ）A．120° B．130° C．140° D．150°【分析】作BD∥AE，如图，利用平行线的传递性得到BD∥CF，再根据平行线的性质由BD∥AE得到∠ABD＝∠A＝120°，则∠DBC＝30°，然后利用BD∥CF求出∠C．【解答】解：作BD∥AE，如图，∵AE∥CF，∴BD∥CF，∵BD∥AE，∴∠ABD＝∠A＝120°，∴∠DBC＝150°﹣120°＝30°，∵BD∥CF，∴∠C+∠DBC＝180°，∴∠C＝180°﹣30°＝150°．故选：D．【点评】本题考查了平行线的性质：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，同位角相等．【变式4-3】（2021春•沧县期中）某学员在驾校练习驾驶汽车，两次拐弯后的行驶方向与原来的方向相反，则两次拐弯的角度可能是（ ）A．第一次向左拐30°，第二次向右拐30° B．第一次向左拐45°，第二次向左拐45° C．第一次向左拐60°，第二次向右拐120° D．第一次向左拐53°，第二次向左拐127°【分析】根据平行线的性质分别判断得出即可．【解答】解：∵两次拐弯后，按原来的相反方向前进，∴两次拐弯的方向相同，形成的角是同旁内角，且互补，故选：D．【点评】此题主要考查了平行线的性质，利用两直线平行，同旁内角互补得出是解题关键．【变式4-4】（2022春•东湖区校级月考）工人师傅对一个如图所示的零件进行加工，把材料弯成了一个40°的锐角，然后准备在A处第二次加工拐弯，要保证弯过来的部分与BC保持平行，弯的角度应是 ．【分析】根据平行线的性质得出∠CBA+∠FAB＝180°，代入求解，即可解决问题．【解答】解：如图1，作AF∥BC，则∠CBA＝∠BAF＝40°，如图2，作AF∥BC，则∠CBA+∠FAB＝180°，∵∠CBA＝40°，∴∠FAB＝140°．故答案为：40°或140°．【点评】本题考查了平行线性质的应用，解题关键是要掌握两直线平行，同旁内角互补．【变式4-5】（2022•小店区校级开学）如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是乎动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知AB∥CD，CG∥EF，∠BAG＝150°，∠AGC＝80°，则∠DEF的度数为（ ）A．110° B．120° C．130° D．140°【分析】过点F作FM∥CD，因为AB∥CD，所以AB∥CD∥FM，再根据平行线的性质可以求出∠MFA，∠EFA，进而可求出∠EFM，再根据平行线的性质即可求得∠DEF．【解答】解：如图，过点F作FM∥CD，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥FM，∴∠DEF+∠EFM＝180°，∠MFA+∠BAG＝180°，∴∠MFA＝180°﹣∠BAG＝180°﹣150°＝30°．∵CG∥EF，∴∠EFA＝∠AGC＝80°．∴∠EFM＝∠EFA﹣∠MFA＝80°﹣30°＝50°．∴∠DEF＝180°﹣∠EFM＝180°﹣50°＝130°．故选：C．【点评】本题考查平行线的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算．题型五 利用平行线的性质解决折叠问题【例题5】如图所示，把一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，若∠1＝58°，则∠AEG的度数（ ）A．58° B．64° C．72° D．60°【分析】由平行线的性质得∠DEF＝∠1＝58°，由折叠的性质得∠GEF＝∠DEF＝58°，再由平角定义求出∠AEG即可．【解答】解：∵四边形ABCD是长方形，∴AD∥BC，∴∠DEF＝∠1＝58°，由折叠的性质得：∠GEF＝∠DEF＝58°，∴∠AEG＝180°﹣58°﹣58°＝64°；故选：B．【点评】本题考查了平行线的性质、翻折变换的性质、长方形的性质以及平角定义；熟练掌握平行线的性质和翻折变换的性质是解题的关键．【变式5-1】（2021秋•陈仓区期末）如图，将矩形纸条ABCD折叠，折痕为EF，折叠后点C，D分别落在点C′，D′处，D′E与BF交于点G．已知∠BGD′＝26°，则∠α的度数是（ ）A．77° B．64° C．26° D．87°【分析】依据平行线的性质，即可得到∠AEG的度数，再根据折叠的性质，即可得出∠α的度数．【解答】解：∵矩形纸条ABCD中，AD∥BC，∴∠AEG＝∠BGD'＝26°，∴∠DEG＝180°﹣26°＝154°，由折叠可得，∠α=12∠DEG=12×154°＝77°，故选：A．【点评】本题主要考查了平行线的性质，折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．【变式5-2】如图，把长方形ABCD沿EF折叠后使两部分重合，若∠1＝30°，则∠AEF＝（ ）A．100° B．150° C．110° D．105°【分析】根据折叠的性质及∠1＝30°可求出∠BFE的度数，再由平行线的性质即可解答．【解答】解：∵把长方形ABCD沿EF折叠后使两部分重合，∴∠BFE＝∠EFH，∵∠BFE+∠EFH+∠1＝180°，∠1＝30°，∴∠BFE＝∠EFH=12（180°﹣30°）=12×150°＝75°，又∵AD∥BC，∴∠AEF+∠BFE＝180°，∴∠AEF＝180°﹣75°＝105°．故选：D．【点评】本题主要考查了平行线的性质和折叠的性质，明白折叠不变性：折叠前后图形全等．据此找出图中相等的角是解答此题的关键．【变式5-3】（2022秋•昭阳区期中）如图，把△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，BC∥DE；若∠B＝50°，则∠BDF的度数为（ ）A．40° B．50° C．80° D．100°【分析】首先利用平行线的性质得出∠ADE＝50°，再利用折叠前后图形不发生任何变化，得出∠ADE＝∠EDF，从而求出∠BDF的度数．【解答】解：∵BC∥DE，若∠B＝50°，∴∠ADE＝50°，又∵△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，∴∠ADE＝∠EDF＝50°，∴∠BDF＝180°﹣50°﹣50°＝80°，故选：C．【点评】此题主要考查了折叠问题与平行线的性质，利用折叠前后图形不发生任何变化，得出∠ADE＝∠EDF是解决问题的关键．【变式5-4】（2022•沭阳县模拟）已知长方形纸条ABCD，点E，G在AD边上，点F，H在BC边上．将纸条分别沿着EF，GH折叠，如图，当DC恰好落在EA'上时，∠1与∠2的数量关系是（ ）A．∠1+∠2＝135° B．∠2﹣∠1＝15° C．∠1+∠2＝90° D．2∠2﹣∠1＝90°【分析】根据折叠的性质和平角的定义解答即可．【解答】解：∵DC恰好落在EA'上，∴∠ED′G＝90°，∴∠D′EG+∠D′GE＝90°，∴∠A′EA+∠D′GD＝360°﹣90°＝270°，由折叠得，∠1=12∠A′EA，∠2=12∠D′GD，∴∠1+∠2＝135°，故选：A．【点评】本题考查折叠的性质和角平分线的定义，由折叠的性质得到∠1=12∠A′EA，∠2=12∠D′GD是解题关键．【变式5-5】如图，长方形ABCD中，沿折痕CE翻折△CDE得△CD′E，已知∠ECD′被BC分成的两个角相差18°，则图中∠1的度数为（ ）A．72°或48° B．72°或36° C．36°或54° D．72°或54°【分析】设∠FCD'＝α，则∠BCE＝α+18°或α﹣18°，分两种情况进行讨论：①当∠BCE＝α+18°时，∠ECD'＝2α+18°＝∠DCE，②当∠BCE＝α﹣18°时，∠ECD'＝2α﹣18°＝∠DCE，分别根据∠BCD＝90°列式计算即可．【解答】解：如图，设∠FCD'＝α，则∠BCE＝α+18°或α﹣18°，①当∠BCE＝α+18°时，∠ECD'＝2α+18°＝∠DCE，∵∠BCD＝90°，∴α+18°+2α+18°＝90°，解得α＝18°，∴∠CFD'＝90°﹣18°＝72°＝∠1；②当∠BCE＝α﹣18°时，∠ECD'＝2α﹣18°＝∠DCE，∵∠BCD＝90°，∴α﹣18°+2α﹣18°＝90°，解得α＝42°，∴∠CFD'＝90°﹣42°＝48°＝∠1；综上所述，图中∠1的度数为72°或48°，故选：A．【点评】本题主要考查了折叠问题，解题时注意：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．题型六 借助三角尺求角的度数【例题6】（2022春•秦淮区校级月考）已知直线a∥b，将一块含30°角的直角三角板（∠BAC＝30°，∠ACB＝90°）按如图所示的方式放置，并且顶点A，C分别落在直线a，b上，若∠1＝22°．则∠2的度数是（ ）A．38° B．45° C．52° D．58°【分析】根据已知易得∠DAC＝52°，然后利用平行线的性质即可解答．【解答】解：如图：∵∠1＝22°，∠BAC＝30°，∴∠DAC＝∠1+∠BAC＝52°，∵直线a∥b，∴∠2＝∠DAC＝52°，故选：C．【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．【变式6-1】（2022秋•琼海期中）如图，将三角板的直角顶点按如图所示摆放在直尺的一边上，则下列结论不一定正确的是（ ）A．∠1＝∠2 B．∠2+∠3＝90° C．∠3+∠4＝180° D．∠1+∠2＝90°【分析】根据平行线的性质定理求解．【解答】解：∵两直线平行，同位角相等，∴∠1＝∠2，故选项A不符合题意；∠1+∠2不一定等于90°，故D符合题意；由题意可得：90°+∠2+∠3＝180°，∴∠2+∠3＝90°，故选项B不符合题意；∵两直线平行，同旁内角互补，∴∠3+∠4＝180°，故选项C不符合题意；故选：D．【点评】本题主要考查平行线的性质，解题关键是熟练掌握平行线的性质定理．【变式6-2】（2022秋•南关区校级期末）如图，直线a∥b，将一个直角三角尺按如图所示的位置摆放，若∠1＝58°，则∠2的度数为（ ）A．58° B．42° C．32° D．30°【分析】先利用平行线的性质得出∠3，进而利用三角板的特征求出∠4，最后利用平行线的性质即可．【解答】解：如图，过点A作AB∥b，∴∠3＝∠1＝58°，∵∠3+∠4＝90°，∴∠4＝90°﹣∠3＝32°，∵a∥b，AB∥b，∴AB∥a，∴∠2＝∠4＝32°，故选：C．【点评】本题主要考查了平行线的性质，角度的计算，解本题的关键是正确作出辅助线．【变式6-3】（2022•大渡口区校级模拟）将一副直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，若AC∥DE．则∠BAE的度数为（ ）A．85° B．75° C．65° D．55°【分析】由题意得∠E＝60°，∠DAE＝∠B＝90°，∠BAC＝45°，由平行线的性质可求得∠CAE＝120°，从而可求得∠CAD＝30°，则∠BAD＝15°，即可求∠BAE的度数．【解答】解：由题意得：∠E＝60°，∠DAE＝∠B＝90°，∠BAC＝45°，∵AC∥DE，∴∠E+∠CAE＝180°，∴∠CAE＝180°﹣∠E＝120°，∴∠CAD＝∠CAE﹣∠DAE＝30°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝15°，∴∠BAE＝∠DAE﹣∠BAD＝75°．故选：B．【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用．【变式6-4】（2022秋•绿园区校级期末）如图，AB∥CD，一副三角尺按如图所示放置，∠AEG＝20°，则∠HFD的度数为（ ）A．40° B．35° C．30° D．25°【分析】将∠AEG，∠GEF的度数，代入∠AEF＝∠AEG+∠GEF中，可求出∠AEF的度数，由AB∥CD，利用“两直线平行，内错角相等”，可求出∠DFE的度数，再结合∠HFD＝∠DFE﹣∠EFH，即可求出∠HFD的度数．【解答】解：∵∠AEG＝20°，∠GEF＝45°，∴∠AEF＝∠AEG+∠GEF＝20°+45°＝65°．∵AB∥CD，∴∠DFE＝∠AEF＝65°，∴∠HFD＝∠DFE﹣∠EFH＝65°﹣30°＝35°．故选：B．【点评】本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．题型七 命题的识别及改写【例题7】下列语句是命题的是（ ）A．延长线段AB至C B．垂线段最短 C．直线AB平行于直线CD吗 D．不许大声讲话【分析】命题是判断一件事情的语句；分析各个选项中的句子，是不是判断了一件事情即可判定．【解答】解：A．延长线段AB至C，不是命题；B．垂线段最短，是命题；C．直线AB平行于直线CD吗，不是命题；D．不许大声讲话，不是命题．故选：B．【点评】本题考查命题的认识，掌握命题的定义是解题关键．【变式7-1】（2021秋•泾阳县期末）下列语句中，不是命题的是（ ）A．相等的角是对顶角 B．同旁内角互补 C．平角是一条直线 D．延长线段AO到点C，使OC＝OA【分析】根据命题的定义作答．【解答】解：根据命题的定义，可知A、B、C都是命题，而D属于作图语言，不是命题．故选：D．【点评】本题考查了命题的定义：一般的，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．一般说来，对于任何一个命题，都可以加上“是”或“不是”．注意，作图语言不是命题．【变式7-2】（2022秋•南岸区期末）下列命题是真命题的是（ ）A．同位角相等 B．内错角相等 C．相等的角是对顶角 D．同旁内角互补，两直线平行【分析】利用平行线的性质及判定方法、对顶角的定义等知识分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：A、两直线平行，同位角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；B、两直线平行，内错角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；C、相等的角不一定是对顶角，故原命题错误，是假命题，不符合题意；D、同旁内角互补，两直线平行，正确，是真命题，符合题意．故选：D．【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的性质及判定方法、对顶角的定义等知识，难度不大．【变式7-3】（2021秋•雁山区校级期末）下列命题中是假命题的是（ ）A．对顶角相等 B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 C．同旁内角互补 D．平行于同一条直线的两条直线平行【分析】根据对顶角相等、平行线的判定定理和性质定理判断即可．【解答】解：A、对顶角相等，是真命题，不符合题意；B、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，是真命题，不符合题意；C、两直线平行，同旁内角互补，本选项说法是假命题，符合题意；D、平行于同一条直线的两条直线平行，是真命题，不符合题意；故选：C．【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．【变式7-4】（2022春•北京期末）已知：在同一平面内，三条直线a，b，c．下列四个命题为真命题的是 ．（填写所有真命题的序号）①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；②如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；③如果a∥b，c∥b，那么a∥c；④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c．【分析】根据平行线的性质和判定定理判断即可．【解答】解：①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c，是真命题；②如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c，故本小题命题是假命题；③如果a∥b，c∥b，那么a∥c，是真命题；④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c，是真命题；故答案为：①③④．【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．【变式7-5】（2022秋•榆阳区校级期末）对假命题“若a＞b，则a2＞b2”举反例，正确的反例是（ ）A．a＝﹣1，b＝2 B．a＝2，b＝﹣1 C．a＝﹣1，b＝0 D．a＝﹣1，b＝﹣2【分析】根据有理数的大小比较法则、有理数的乘法法则计算，根据假命题的概念判断即可．【解答】解：当a＝﹣1，b＝﹣2时，a＞b，a2＝1，b2＝4，则a2＜b2，∴若a＞b，则a2＞b2”是假命题，故选：D．【点评】本题考查的是命题的真假判断，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．【变式7-6】（2022春•江汉区校级月考）下列命题：①两个角的和等于平角时，这两个角互为邻补角；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③内错角相等；④a，b，c是直线，若a∥b，b∥c，则a∥c．其中真命题的个数为（ ）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】根据邻补角定义、平行线的判定与性质解答即可．【解答】解：①两个角的和等于平角时，这两个角不一定互为邻补角，原命题是假命题；②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原命题是假命题；③两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，原命题是假命题；④a，b，c是直线，若a∥b，b∥c，则a∥c，原命题是真命题．故选：D．【点评】本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．【变式7-7】把下列命题改写成“如果…那么…”的形式，并指出命题的真假．（1）等角的补角相等．（2）垂直于同一直线的两直线平行．【分析】（1）等角的补角相等的题设为两个角是两相等角的补角，结论为这两个角相等，它为真命题；（2）垂直于同一直线的两直线平行的题设为两条直线都垂直于同一条直线，结论为这两条直线平行；由于没有同一平面的条件，所以它为假命题．【解答】解：（1）等角的补角相等改写成“如果…那么…”的形式为：如果两个角是两相等角的补角，那么这两个角相等．此命题为真命题；（2）垂直于同一直线的两直线平行改写成“如果…那么…”的形式为：如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．此命题为假命题．【点评】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．【变式7-8】判断下列命题的真假，若是假命题，举出反例．（1）若两个角不是对顶角，则这两个角不相等；（2）若a+b＝0，则ab＝0；（3）若ab＝0，则a+b＝0．【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．【解答】解：（1）假命题．如：两条直线平行，内错角相等．（2）假命题．如：a＝5和b＝0．（3）假命题，如a＝5和b＝0．【点评】主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．题型八 命题的分析与证明【例题8】（2022春•白水县期末）如图，在三角形ABC中，AD⊥BC于点D，点E是AB上一点，EF⊥BC于点F，点G是AC上一点，连接DG，且∠1＝∠2．求证：AB∥DG．【分析】根据“同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行”得到EF∥AD，根据平行线的性质结合等量代换推出∠BAD＝∠2，即可判定AB∥DG．【解答】证明：∵EF⊥BC，AD⊥BC，∴EF∥AD，∴∠1＝∠BAD，∵∠1＝∠2，∴∠BAD＝∠2，∴AB∥DG．【点评】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质定理是解题的关键．【变式8-1】（2022春•莱西市期末）已知：如图，∠1+∠2＝180°，∠B＝∠3．求证：DE∥BC．【分析】由已知条件可证得AB∥EF，从而有∠3＝∠ADE，则得∠B＝∠ADE，得证DE∥BC．【解答】证明：∵∠1+∠2＝180°，∠1+∠ADG＝180°，∴∠2＝∠ADG，∴AB∥EF，∴∠3＝∠ADE，∵∠B＝∠3，∴∠B＝∠ADE，∴DE∥BC．【点评】此题考查了平行线的判定，熟记“同位角相等，两直线平行”是解题的关键．【变式8-2】（2022秋•黄岛区校级期末）如图，点E、F分别在AB、CD上，AF⊥CE于点O，∠1＝∠B，∠A+∠2＝90°，求证：AB∥CD．【分析】先证CE∥BF得∠AOE＝∠AFB，由AF⊥CE得∠AOE＝∠AFB＝90°，利用平角定义得出∠AFC+∠2＝90°，结合∠A+∠2＝90°可以得出∠AFC＝∠A，从而得证．【解答】证明：∵AF⊥CE（已知），∴∠AOE＝90°（垂直的定义）．又∵∠1＝∠B（已知），∴CE∥BF（同位角相等，两直线平行），∴∠AFB＝∠AOE（两直线平行，同位角相等），∴∠AFB＝90°（等量代换）．又∵∠AFC+∠AFB+∠2＝180°（平角的定义），∴∠AFC+∠2＝90°．又∵∠A+∠2＝90°（已知），∴∠A＝∠AFC（同角的余角相等），∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．【点评】本题主要考查平行线的判定与性质，解题的关键是掌握平行线的判定和性质，并灵活运用．【变式8-3】（2022秋•南岸区校级月考）如图，在四边形ABCD中．点E为AB延长线上一点，点F为CD延长线上一点，连接EF，交BC于点G，交AD于点H，若∠1＝∠2，∠A＝∠C，求证：∠E＝∠F．【分析】应用平行线的判定与性质进行求解即可得出答案．【解答】证明：∵∠1＝∠3（对顶角相等），∠1＝∠2（已知），∴∠2＝∠3（等量代换），∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行），∴∠A+∠4＝180°（两直线平行，同旁内角互补），∵∠A＝∠C（已知），∴∠C+∠4＝180°（等量代换），∴CF∥EA（同旁内角互补，两直线平行），∴∠E＝∠F（两直线平行，内错角相等），【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质，熟练应用平行线的判定与性质进行求解是解决本题的关键．【变式8-4】（2022春•萍乡期末）如图，EF⊥AC交AC于点F，DB⊥AC交AC于点M，∠1＝∠2，∠3＝∠C，求证：AB∥MN．【分析】根据平行线的判定定理求解即可．【解答】解：AB∥MN，理由如下：∵EF⊥AC，DB⊥AC，∴DB∥EF，∴∠2＝∠MDC，又∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠MDC，∴MN∥CD，又∵∠3＝∠C，∴AB∥CD，∴AB∥MN．【点评】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．【变式8-5】（2022春•江城区期中）如图，点E在BC上，BD⊥AC，EF⊥AC，垂足分别为D，F，点M，G在AB上，∠AMD＝∠AGF，∠1＝∠2．求证：（1）∠2＝∠CBD；（2）MD∥BC．【分析】（1）利用垂直于同一直线的两直线平行，得到平行线，利用平行线的性质：两直线平行，同位角相等推理即可；（2）利用两条直线都平行于第三条直线，则这两条直线也平行推理即可．【解答】证明：（1）∵BD⊥AC，EF⊥AC，∴BD∥EF，∴∠2＝∠CBD；（2）∵∠1＝∠2，∠2＝∠CBD，∴∠1＝∠CBD，∴GF∥BC，∵∠AMD＝∠AGF，∴GF∥MD，∴MD∥BC．【点评】本题考查了平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定定理和性质定理．【变式8-6】如图，∠ABC的两边分别平行于∠DEF的两条边，且∠ABC＝45°．（1）图1中：∠DEF＝ ，图2中：∠DEF＝ ；（2）请观察图1、图2中∠DEF分别与∠ABC有怎样的关系，请你归纳出一个命题．【分析】（1）图1，根据平行线的性质，由AB∥DE得到∠B＝∠DGC＝45°，再由BC∥EF得∠DEF＝∠DGC＝45°；图2，根据平行线的性质，由AB∥DE得∠B＝∠BGE＝45°，再由BC∥EF得∠DEF+∠BGE＝180°，所以∠DEF＝135°；（2）由（1）的计算结果易得∠DEF与∠ABC相等，∠DEF与∠ABC互补，这个结论可归纳为：如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．【解答】解：（1）图1，∵AB∥DE，∴∠B＝∠DGC＝45°，∵BC∥EF，∴∠DEF＝∠DGC＝45°；图2，∵AB∥DE，∴∠B＝∠BGE＝45°，∵BC∥EF，∴∠DEF+∠BGE＝180°，∴∠DEF＝180°﹣45°＝135°；故答案为45°，135°；（2）∠DEF与∠ABC相等，∠DEF与∠ABC互补，结论：如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．【点评】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等． 解题技巧提炼两直线平行时，应联想到平行线的三个性质，由两条直线平行的位置关系得到两个相关角的数量关系，由角的关系求相应角的度数.解题技巧提炼准确识别图形，理清图中各角度之间的关系是解题的关键，再综合角平分线的定义、对顶角的性质及邻补角的定义求解.解题技巧提炼平行线的判定和性质在解题中经常反复使用，见到角相等或互补就应该联想到能否判定两条直线平行，见到直线平行就应该联想到能否证明相关的角相等或互补.解题技巧提炼给出一个实际问题，联系平行线的性质解答实际问题，有时需要通过作辅助线构造平行线，同时还会综合运用平行线的判定和性质.解题技巧提炼结合长方形的性质，对边是互相平行的，从而综合折叠的特征和平行线的性质求解即可.折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置发生了变化.解题技巧提炼借助三角尺求角的度数主要是利用三角尺的特征，结合平行线的性质一般解决求角的度数问题.解题技巧提炼命题是判断一件事情的语句，正确区分命题的题设和结论是把命题写成“如果…那么…”形式，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．命题改写的原则是不改变原题的原意．解题技巧提炼本题考查了命题证明的书写，推理过程要具有逻辑性，在解题的过程中需要综合运用平行线的性质与判定.
七年级下册数学《第五章 相交线与平行线》5.3 平行线的性质知识点一平行线的性质◆1、平行线性质定理 性质定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等．几何语言表示：∵a∥b(已知)， ∴∠2＝∠3(两直线平行，同位角相等)．性质定理2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等．几何语言表示：∵a∥b(已知)，∴∠2＝∠4.(两直线平行，内错角相等)．性质定理3：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补． 简单说成：同旁内角互补，两直线平行．几何语言表示：∵a∥b(已知)， ∴∠1＋∠2＝180°(同旁内角互补，两直线平行)．◆2、平行线的判定与性质平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．（3）平行线的判定与性质的联系与区别：区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．知识点二命题及其组成◆1、概念：判断一件事情的语句，叫做命题．【注意】1、命题必须满足的条件：①必须是语句；②对一件事情作出判定；二者缺一不可.2、命题只需具有“判断”功能，而不论这个判断是否对错.◆2、命题的组成每个命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．知识点三真、假命题◆1、真命题：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题；◆2、假命题：题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题.知识点四定理与证明◆1、定理：经过推理证实的真命题叫做定理，定理可以作为继续推理论证的依据．◆2、证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明.（a）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．◆3、证明的一般步骤：①根据题意画出图形；②依据题设、结论，结合图形，写出已知、求证；③经过分析，找出由已知条件推出结论的方法，或依据结论探寻所需要的条件，再由题设进行挖掘，寻求证明的途径；④书写证明过程.题型一 利用平行线的性质求角的度数【例题1】（2022秋•李沧区期末）如图，AB∥CD，直线EF分别与直线AB、直线CD相交于点E，F，点G在CD上，EG平分∠BEF．若∠EGC＝58°，求∠EFD的度数．【变式1-1】（2022•西藏）如图，l1∥l2，∠1＝38°，∠2＝46°，则∠3的度数为（ ）A．46° B．90° C．96° D．134°【变式1-2】（2022春•五莲县期末）如图，已知AB∥DE∥CF，若∠ABC＝70°，∠CDE＝130°，则∠BCD的度数为（ ）A．10° B．15° C．20° D．35°【变式1-3】（2021秋•霍州市期末）如图，如果AB∥EF、EF∥CD，若∠1＝50°，则∠2+∠3的和是（ ）A．200° B．210° C．220° D．230°【变式1-4】（2022秋•安岳县期末）已知∠1的两边分别平行于∠2的两边，若∠1＝40°，则∠2的度数为 ．【变式1-5】（2022春•海淀区月考）如图，点C在∠MON的一边OM上，过点C的直线AB∥ON，CD平分∠ACM．当∠DCM＝60°时，求∠O的度数．【变式1-6】（2021春•黄冈期中）如图，DB∥FG∥EC，A是FG上的一点，∠ADB＝60°，∠ACE＝36°，AP平分∠CAD，求∠PAG的度数．题型二 利用平行线的性质说明两直线垂直【例题2】（2022春•龙岗区期末）已知，如图，∠1＝∠ACB，∠2＝∠3，FH⊥AB于H，求证：CD⊥AB．【变式2-1】如图，已知DA⊥AB，DE平分∠ADC，CE平分∠DCB，且∠1+∠2＝90°，试说明BC⊥AB．【变式2-2】已知，如图所示，四边形ABCD中，∠B＝90°，DE平分∠ADC，CE平分∠DCB，∠1+∠2＝90°，试说明DA⊥AB．【变式2-3】（2022春•海淀区校级月考）如图，AD∥BE，∠B＝∠D，∠BAD的平分线交BC的延长线于点E，CF平分∠DCE．求证：CF⊥AE．题型三 平行线的性质与判定的综合应用【例题3】（2022春•永川区期末）如图，已知∠2+∠3＝180°，∠1＝120°，则∠4＝（ ）A．120o B．80o C．60o D．75o【变式3-1】（2022秋•南岗区校级期中）如图，AB∥CD∥EF，则下列各式中正确的是（ ）A．∠1+∠2+∠3＝180° B．∠1+∠2＝180°+∠3 C．∠1+∠3＝180°+∠2 D．∠2+∠3＝180°+∠1【变式3-2】（2022春•重庆月考）如图，点E、F分别在AB、CD上，AF⊥CE于点O，∠1＝∠B，∠A+∠2＝90°，求证：AB∥CD．【变式3-3】（2022春•舞阳县期末）如图，点D在AC上，点F、G分别在AC、BC的延长线上，CE平分∠ACB并交BD于H，且∠EHD+∠HBF＝180°．（1）若∠F＝30°，求∠ACB的度数；（2）若∠F＝∠G，求证：DG∥BF．【变式3-4】（2022春•温江区校级期中）如图，已知点E、F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与FG交于点H，∠D+∠AED＝180°，∠C＝∠EFG．（1）求证：AB∥CD；（2）若∠CED＝75°，求∠FHD的度数．【变式3-5】（2022春•木兰县期末）有一天李小虎同学用“几何画板”画图，他先画了两条平行线AD，BC，然后在平行线间画了一点E，连接CE，DE后（如图①），他用鼠标左键点住点E，拖动后，分别得到如图②，③，④等图形，这时他突然一想，∠C，∠D与∠DEC之间的度数有没有某种联系呢？接着小虎同学通过利用“几何画板”的“度量角度”和“计算”功能，找到了这三个角之间的关系．（1）请直接写出图①到图④各图中的∠C，∠D与∠DEC之间的关系吗？（2）请从图③④中，选一个说明它成立的理由．【变式3-6】（2022秋•朝阳区校级期末）（1）问题发现：如图①，直线AB∥CD，连接BE，CE，可以发现∠B+∠C＝∠BEC．请把下面的证明过程补充完整：证明：过点E作EF∥AB，∵AB∥DC（已知），EF∥AB（辅助线的作法），∴EF∥DC（ ）．∴∠C＝∠CEF．（ ）．∵EF∥AB，∴∠B＝∠BEF（同理）．∴∠B+∠C＝ ．即∠B+∠C＝∠BEC．（2）拓展探究：如果点E运动到图②所示的位置，其他条件不变，说明：∠B+∠BEC+∠C＝360°．（3）解决问题：如图③，AB∥DC，E、F、G是AB与CD之间的点，直接写出∠1，∠2，∠3，∠4，∠5之间的数量关系 ．题型四 利用平行线的性质解决实际问题【例题4】如图是潜望镜工作原理示意图，阴影部分是平行放置在潜望镜里的两面镜子．已知光线经过镜子反射时，有∠1＝∠2，∠3＝∠4，请解释进入潜望镜的光线l为什么和离开潜望镜的光线m是平行的？【变式4-1】如图，在A、B两地之间要修一条笔直的公路，从A地测得公路走向是北偏东48°，A，B两地同时开工，若干天后公路准确接通，若公路AB长8千米，另一条公路BC长是6千米，且BC的走向是北偏西42°，则A地到公路BC的距离是 千米．【变式4-2】（2022春•高新区校级期末）学习平行线的性质后，老师给小明出了一道题：如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐的角∠A是120°，第二次拐的角∠B是150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C是多少度？请你帮小明求出（ ）A．120° B．130° C．140° D．150°【变式4-3】（2021春•沧县期中）某学员在驾校练习驾驶汽车，两次拐弯后的行驶方向与原来的方向相反，则两次拐弯的角度可能是（ ）A．第一次向左拐30°，第二次向右拐30° B．第一次向左拐45°，第二次向左拐45° C．第一次向左拐60°，第二次向右拐120° D．第一次向左拐53°，第二次向左拐127°【变式4-4】（2022春•东湖区校级月考）工人师傅对一个如图所示的零件进行加工，把材料弯成了一个40°的锐角，然后准备在A处第二次加工拐弯，要保证弯过来的部分与BC保持平行，弯的角度应是 ．【变式4-5】（2022•小店区校级开学）如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是乎动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知AB∥CD，CG∥EF，∠BAG＝150°，∠AGC＝80°，则∠DEF的度数为（ ）A．110° B．120° C．130° D．140°题型五 利用平行线的性质解决折叠问题【例题5】如图所示，把一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，若∠1＝58°，则∠AEG的度数（ ）A．58° B．64° C．72° D．60°【变式5-1】（2021秋•陈仓区期末）如图，将矩形纸条ABCD折叠，折痕为EF，折叠后点C，D分别落在点C′，D′处，D′E与BF交于点G．已知∠BGD′＝26°，则∠α的度数是（ ）A．77° B．64° C．26° D．87°【变式5-2】如图，把长方形ABCD沿EF折叠后使两部分重合，若∠1＝30°，则∠AEF＝（ ）A．100° B．150° C．110° D．105°【变式5-3】（2022秋•昭阳区期中）如图，把△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，BC∥DE；若∠B＝50°，则∠BDF的度数为（ ）A．40° B．50° C．80° D．100°【变式5-4】（2022•沭阳县模拟）已知长方形纸条ABCD，点E，G在AD边上，点F，H在BC边上．将纸条分别沿着EF，GH折叠，如图，当DC恰好落在EA'上时，∠1与∠2的数量关系是（ ）A．∠1+∠2＝135° B．∠2﹣∠1＝15° C．∠1+∠2＝90° D．2∠2﹣∠1＝90°【变式5-5】如图，长方形ABCD中，沿折痕CE翻折△CDE得△CD′E，已知∠ECD′被BC分成的两个角相差18°，则图中∠1的度数为（ ）A．72°或48° B．72°或36° C．36°或54° D．72°或54°题型六 借助三角尺求角的度数【例题6】（2022春•秦淮区校级月考）已知直线a∥b，将一块含30°角的直角三角板（∠BAC＝30°，∠ACB＝90°）按如图所示的方式放置，并且顶点A，C分别落在直线a，b上，若∠1＝22°．则∠2的度数是（ ）A．38° B．45° C．52° D．58°【变式6-1】（2022秋•琼海期中）如图，将三角板的直角顶点按如图所示摆放在直尺的一边上，则下列结论不一定正确的是（ ）A．∠1＝∠2 B．∠2+∠3＝90° C．∠3+∠4＝180° D．∠1+∠2＝90°【变式6-2】（2022秋•南关区校级期末）如图，直线a∥b，将一个直角三角尺按如图所示的位置摆放，若∠1＝58°，则∠2的度数为（ ）A．58° B．42° C．32° D．30°【变式6-3】（2022•大渡口区校级模拟）将一副直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，若AC∥DE．则∠BAE的度数为（ ）A．85° B．75° C．65° D．55°【变式6-4】（2022秋•绿园区校级期末）如图，AB∥CD，一副三角尺按如图所示放置，∠AEG＝20°，则∠HFD的度数为（ ）A．40° B．35° C．30° D．25°题型七 命题的识别及改写【例题7】下列语句是命题的是（ ）A．延长线段AB至C B．垂线段最短 C．直线AB平行于直线CD吗 D．不许大声讲话【变式7-1】（2021秋•泾阳县期末）下列语句中，不是命题的是（ ）A．相等的角是对顶角 B．同旁内角互补 C．平角是一条直线 D．延长线段AO到点C，使OC＝OA【变式7-2】（2022秋•南岸区期末）下列命题是真命题的是（ ）A．同位角相等 B．内错角相等 C．相等的角是对顶角 D．同旁内角互补，两直线平行【变式7-3】（2021秋•雁山区校级期末）下列命题中是假命题的是（ ）A．对顶角相等 B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 C．同旁内角互补 D．平行于同一条直线的两条直线平行【变式7-4】（2022春•北京期末）已知：在同一平面内，三条直线a，b，c．下列四个命题为真命题的是 ．（填写所有真命题的序号）①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；②如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；③如果a∥b，c∥b，那么a∥c；④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c．【变式7-5】（2022秋•榆阳区校级期末）对假命题“若a＞b，则a2＞b2”举反例，正确的反例是（ ）A．a＝﹣1，b＝2 B．a＝2，b＝﹣1 C．a＝﹣1，b＝0 D．a＝﹣1，b＝﹣2【变式7-6】（2022春•江汉区校级月考）下列命题：①两个角的和等于平角时，这两个角互为邻补角；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③内错角相等；④a，b，c是直线，若a∥b，b∥c，则a∥c．其中真命题的个数为（ ）A．4 B．3 C．2 D．1【变式7-7】把下列命题改写成“如果…那么…”的形式，并指出命题的真假．（1）等角的补角相等．（2）垂直于同一直线的两直线平行．【变式7-8】判断下列命题的真假，若是假命题，举出反例．（1）若两个角不是对顶角，则这两个角不相等；（2）若a+b＝0，则ab＝0；（3）若ab＝0，则a+b＝0．题型八 命题的分析与证明【例题8】（2022春•白水县期末）如图，在三角形ABC中，AD⊥BC于点D，点E是AB上一点，EF⊥BC于点F，点G是AC上一点，连接DG，且∠1＝∠2．求证：AB∥DG．【变式8-1】（2022春•莱西市期末）已知：如图，∠1+∠2＝180°，∠B＝∠3．求证：DE∥BC．【变式8-2】（2022秋•黄岛区校级期末）如图，点E、F分别在AB、CD上，AF⊥CE于点O，∠1＝∠B，∠A+∠2＝90°，求证：AB∥CD．【变式8-3】（2022秋•南岸区校级月考）如图，在四边形ABCD中．点E为AB延长线上一点，点F为CD延长线上一点，连接EF，交BC于点G，交AD于点H，若∠1＝∠2，∠A＝∠C，求证：∠E＝∠F．【变式8-4】（2022春•萍乡期末）如图，EF⊥AC交AC于点F，DB⊥AC交AC于点M，∠1＝∠2，∠3＝∠C，求证：AB∥MN．【变式8-5】（2022春•江城区期中）如图，点E在BC上，BD⊥AC，EF⊥AC，垂足分别为D，F，点M，G在AB上，∠AMD＝∠AGF，∠1＝∠2．求证：（1）∠2＝∠CBD；（2）MD∥BC．【变式8-6】如图，∠ABC的两边分别平行于∠DEF的两条边，且∠ABC＝45°．（1）图1中：∠DEF＝ ，图2中：∠DEF＝ ；（2）请观察图1、图2中∠DEF分别与∠ABC有怎样的关系，请你归纳出一个命题． 解题技巧提炼两直线平行时，应联想到平行线的三个性质，由两条直线平行的位置关系得到两个相关角的数量关系，由角的关系求相应角的度数.解题技巧提炼准确识别图形，理清图中各角度之间的关系是解题的关键，再综合角平分线的定义、对顶角的性质及邻补角的定义求解.解题技巧提炼平行线的判定和性质在解题中经常反复使用，见到角相等或互补就应该联想到能否判定两条直线平行，见到直线平行就应该联想到能否证明相关的角相等或互补.解题技巧提炼给出一个实际问题，联系平行线的性质解答实际问题，有时需要通过作辅助线构造平行线，同时还会综合运用平行线的判定和性质.解题技巧提炼结合长方形的性质，对边是互相平行的，从而综合折叠的特征和平行线的性质求解即可.折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置发生了变化.解题技巧提炼借助三角尺求角的度数主要是利用三角尺的特征，结合平行线的性质一般解决求角的度数问题.解题技巧提炼命题是判断一件事情的语句，正确区分命题的题设和结论是把命题写成“如果…那么…”形式，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．命题改写的原则是不改变原题的原意．解题技巧提炼本题考查了命题证明的书写，推理过程要具有逻辑性，在解题的过程中需要综合运用平行线的性质与判定.七年级下册数学《第五章 相交线与平行线》5.3 平行线的性质知识点一平行线的性质◆1、平行线性质定理 性质定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等．几何语言表示：∵a∥b(已知)， ∴∠2＝∠3(两直线平行，同位角相等)．性质定理2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等．几何语言表示：∵a∥b(已知)，∴∠2＝∠4.(两直线平行，内错角相等)．性质定理3：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补． 简单说成：同旁内角互补，两直线平行．几何语言表示：∵a∥b(已知)， ∴∠1＋∠2＝180°(同旁内角互补，两直线平行)．◆2、平行线的判定与性质平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．（3）平行线的判定与性质的联系与区别：区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．知识点二命题及其组成◆1、概念：判断一件事情的语句，叫做命题．【注意】1、命题必须满足的条件：①必须是语句；②对一件事情作出判定；二者缺一不可.2、命题只需具有“判断”功能，而不论这个判断是否对错.◆2、命题的组成每个命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．知识点三真、假命题◆1、真命题：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题；◆2、假命题：题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题.知识点四定理与证明◆1、定理：经过推理证实的真命题叫做定理，定理可以作为继续推理论证的依据．◆2、证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明.（a）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．◆3、证明的一般步骤：①根据题意画出图形；②依据题设、结论，结合图形，写出已知、求证；③经过分析，找出由已知条件推出结论的方法，或依据结论探寻所需要的条件，再由题设进行挖掘，寻求证明的途径；④书写证明过程.题型一 利用平行线的性质求角的度数【例题1】（2022秋•李沧区期末）如图，AB∥CD，直线EF分别与直线AB、直线CD相交于点E，F，点G在CD上，EG平分∠BEF．若∠EGC＝58°，求∠EFD的度数．【分析】根据两直线平行，内错角相等求出∠BEG的度数，再根据角平分线的定义得到∠FEG，然后利用平行线的性质可得解．【解答】解：∵AB∥CD，∠EGC＝58°，∴∠BEG＝∠EGC＝58°，∵EG平分∠BEF，∴∠BEF＝2∠BEG＝116°，∵AB∥CD，∴∠EFD＝180°﹣∠BEF＝180°﹣116°＝64°．【点评】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握性质并准确识图是解题的关键．【变式1-1】（2022•西藏）如图，l1∥l2，∠1＝38°，∠2＝46°，则∠3的度数为（ ）A．46° B．90° C．96° D．134°【分析】根据平行线的性质定理求解即可．【解答】解：∵l1∥l2，∴∠1+∠3+∠2＝180°，∵∠1＝38°，∠2＝46°，∴∠3＝96°，故选：C．【点评】此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．【变式1-2】（2022春•五莲县期末）如图，已知AB∥DE∥CF，若∠ABC＝70°，∠CDE＝130°，则∠BCD的度数为（ ）A．10° B．15° C．20° D．35°【分析】由AB∥CF，∠ABC＝70°，易求∠BCF，又DE∥CF，∠CDE＝130°，那么易求∠DCF，于是∠BCD＝∠BCF﹣∠DCF可求．【解答】解：∵AB∥CF，∠ABC＝70°，∴∠BCF＝∠ABC＝70°，又∵DE∥CF，∴∠DCF+∠CDE＝180°，∴∠DCF＝50°，∴∠BCD＝∠BCF﹣∠DCF＝70°﹣50°＝20°．故选：C．【点评】本题主要考查了平行线的性质，两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．【变式1-3】（2021秋•霍州市期末）如图，如果AB∥EF、EF∥CD，若∠1＝50°，则∠2+∠3的和是（ ）A．200° B．210° C．220° D．230°【分析】由平行线的性质可用∠2、∠3分别表示出∠BOE和∠COF，再由平角的定义可得出答案．【解答】解：∵AB∥EF，∴∠2+∠BOE＝180°，∴∠BOE＝180°﹣∠2，同理可得∠COF＝180°﹣∠3，∵O在EF上，∴∠BOE+∠1+∠COF＝180°，∴180°﹣∠2+∠1+180°﹣∠3＝180°，∴∠2+∠3＝180°+∠1＝180°+50°＝230°，故选：D．【点评】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，即①同位角相等⇔两直线平行，②内错角相等⇔两直线平行，③同旁内角互补⇔两直线平行，④a∥b，b∥c⇒a∥c．【变式1-4】（2022秋•安岳县期末）已知∠1的两边分别平行于∠2的两边，若∠1＝40°，则∠2的度数为 ．【分析】①图1时，由两直线平行，同位角相等，等量代换和角的和差计算出∠2的度数为40°；②图2时，同两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补，等量代换和角的和差计算出∠2的度数为140°．【解答】解：①若∠1与∠2位置如图1所示：∵AB∥DE，∴∠1＝∠3，又∵DC∥EF，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠2，又∵∠1＝40°，∴∠2＝40°；②若∠1与∠2位置如图2所示：∵AB∥DE，∴∠1＝∠3，又∵DC∥EF，∴∠2+∠3＝180°，∴∠2+∠1＝180°，又∵∠1＝40°∴∠2＝180°﹣∠1＝180°﹣40°＝140°，综合所述：∠2的度数为40°或140°，故答案为：40°或140°．【点评】本题综合考查了平行线的性质，角的和差，等量代换，邻补角性质，对顶角性质等相关知识点，重点掌握平行线的性质，难点是两个角的两边分别平行是射线平行，分类画出符合题意的图形后计算．【变式1-5】（2022春•海淀区月考）如图，点C在∠MON的一边OM上，过点C的直线AB∥ON，CD平分∠ACM．当∠DCM＝60°时，求∠O的度数．【分析】根据角平分线的定义，即可得到∠ACM的度数，进而得出∠OCB的度数，再依据平行线的性质，即可得到∠O的度数．【解答】解：∵CD平分∠ACM，∴∠ACM＝2∠DCM．∵∠DCM＝60°，∴∠ACM＝120°．∵直线AB与OM交于点C，∴∠OCB＝∠ACM＝120°（对顶角相等），∵AB∥ON，∴∠O+∠OCB＝180°（两直线平行，同旁内角互补），∴∠O＝60°．【点评】本题主要考查了角的计算，平行线的性质以及角平分线的定义．解题的关键是熟练掌握平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补．【变式1-6】（2021春•黄冈期中）如图，DB∥FG∥EC，A是FG上的一点，∠ADB＝60°，∠ACE＝36°，AP平分∠CAD，求∠PAG的度数．【分析】根据平行线的性质，可以得到∠DAG和∠CAG度数，然后根据AP平分∠CAD，即可得到∠PAG的度数．【解答】解：∵DB∥FG∥EC，∴∠BDA＝∠DAG，∠ACE＝∠CAG，∵∠ADB＝60°，∠ACE＝36°，∴∠DAG＝60°，∠CAG＝36°，∴∠DAC＝96°，∵AP平分∠CAD，∴∠CAP＝48°，∴∠PAG＝12°．【点评】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 题型二 利用平行线的性质说明两直线垂直【例题2】（2022春•龙岗区期末）已知，如图，∠1＝∠ACB，∠2＝∠3，FH⊥AB于H，求证：CD⊥AB．【分析】先根据垂直的定义得出∠BHF＝90°，再由∠1＝∠ACB得出DE∥BC，故可得出∠2＝∠BCD，根据∠2＝∠3得出∠3＝∠BCD，所以CD∥FH，由平行线的性质即可得出结论．【解答】证明：FH⊥AB（已知），∴∠BHF＝90°．∵∠1＝∠ACB（已知），∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行），∴∠2＝∠BCD．（两直线平行，内错角相等）．∵∠2＝∠3（已知），∴∠3＝∠BCD（等量代换），∴CD∥FH（同位角相等，两直线平行），∴∠BDC＝∠BHF＝90°，（两直线平行，同位角相等）∴CD⊥AB．【点评】本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．【变式2-1】如图，已知DA⊥AB，DE平分∠ADC，CE平分∠DCB，且∠1+∠2＝90°，试说明BC⊥AB．【分析】过E作EF∥AD，交CD于F，求出∠FEC＝∠2＝∠BCE，根据平行线的判定推出BC∥EF，即可得出答案．【解答】解：过E作EF∥AD，交CD于F，则∠ADE＝∠DEF，∵DE平分∠ADC，∴∠1＝∠ADE，∴∠1＝∠DEF，∵∠1+∠2＝90°，∴∠DEC＝90°，∴∠DEF+∠FEC＝90°，∴∠2＝∠FEC，∵CE平分∠DCB，∴∠2＝∠BCE，∴∠FEC＝∠BCE，∴BC∥EF，∴BC∥AD，∵DA⊥AB，∴BC⊥AB．【点评】本题考查了平行线的性质和判定，三角形内角和定理，角平分线定义的应用，能正确作出辅助线，并综合运用定理进行推理是解此题的关键．【变式2-2】已知，如图所示，四边形ABCD中，∠B＝90°，DE平分∠ADC，CE平分∠DCB，∠1+∠2＝90°，试说明DA⊥AB．【分析】由角平分线的定义和条件可得∠ADC+∠BCD＝180°，可证明DA∥BC，再由平行线的性质可得到∠A＝90°，可证明DA⊥AB．【解答】证明：∵DE平分∠ADC，CE平分∠DCB，∴∠ADC＝2∠1，∠BCD＝2∠2，∵∠1+∠2＝90°，∴∠ADC+∠BCD＝180°，∴AD∥BC，∴∠A+∠B＝180°，∴∠A＝180°﹣∠B＝90°，∴DA⊥AB．【点评】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补，④a∥b，b∥c⇒a∥c．【变式2-3】（2022春•海淀区校级月考）如图，AD∥BE，∠B＝∠D，∠BAD的平分线交BC的延长线于点E，CF平分∠DCE．求证：CF⊥AE．【分析】由AD∥BE，∠B＝∠D，可推出∠B+∠BAD＝180°，∠B＝∠DCE，AB∥CD，再由角平分线定义可得：∠BAE=12∠BAD，∠FCG=12∠DCE，进而得出：∠CGF=12∠BAD，∠FCG=12∠B，可推出：∠CGF+∠FCG=12（∠BAD+∠B）=12×180°＝90°，根据三角形内角和为180°，可得∠CFG＝90°，由垂直定义可证得结论．【解答】证明：∵AD∥BE，∴∠DCE＝∠D，∠B+∠BAD＝180°，∵∠B＝∠D，∴∠B＝∠DCE，∴AB∥CD，∴∠CGF＝∠BAE，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=12∠BAD，∴∠CGF=12∠BAD，∵CF平分∠DCE，∴∠FCG=12∠DCE，∴∠FCG=12∠B，∴∠CGF+∠FCG=12（∠BAD+∠B）=12×180°＝90°，∴∠CFG＝180°﹣（∠CGF+∠FCG）＝180°﹣90°＝90°，∴CF⊥AE．【点评】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线定义，垂直定义，三角形内角和定理等知识，解题的关键是掌握平行线判定定理和性质定理．题型三 平行线的性质与判定的综合应用【例题3】（2022春•永川区期末）如图，已知∠2+∠3＝180°，∠1＝120°，则∠4＝（ ）A．120o B．80o C．60o D．75o【分析】根据平行线的判定推出a∥b，根据平行线的性质得出∠1＝∠5，再根据邻补角的定义求解即可．【解答】解：如图，∵∠2+∠3＝180°，∴a∥b，∴∠1＝∠5，∵∠1＝120°，∴∠5＝120°，∴∠4＝180°﹣120°＝60°，故选：C．【点评】本题考查了平行线的性质和判定，注意：①同旁内角互补，两直线平行，②两直线平行，同位角相等．【变式3-1】（2022秋•南岗区校级期中）如图，AB∥CD∥EF，则下列各式中正确的是（ ）A．∠1+∠2+∠3＝180° B．∠1+∠2＝180°+∠3 C．∠1+∠3＝180°+∠2 D．∠2+∠3＝180°+∠1【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可得∠2+∠BDC＝180°，再根据两直线平行，内错角相等可得∠3＝∠CDE，而∠CDE＝∠1+∠BDC，整理可得∠2+∠3﹣∠1＝180°．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴∠2+∠BDC＝180°，∠3＝∠CDE，又∠BDC＝∠CDE﹣∠1，∴∠2+∠3﹣∠1＝180°．故选：D．【点评】本题主要考查平行线的性质，从复杂图形中找出内错角，同旁内角是解题的关键．【变式3-2】（2022春•重庆月考）如图，点E、F分别在AB、CD上，AF⊥CE于点O，∠1＝∠B，∠A+∠2＝90°，求证：AB∥CD．【分析】先证CE∥BF得∠AOE＝∠AFB，由AF⊥CE得∠AOE＝∠AFB＝90°，利用平角定义得出∠AFC+∠2＝90°，结合∠A+∠2＝90°可以得出∠AFC＝∠A，从而得证．【解答】证明：∵AF⊥CE（已知），∴∠AOE＝90°（垂直的定义）．又∵∠1＝∠B（已知），∴CE∥BF（同位角相等，两直线平行），∴∠AFB＝∠AOE（两直线平行，同位角相等），∴∠AFB＝90°（等量代换）．又∵∠AFC+∠AFB+∠2＝180°（平角的定义），∴∠AFC+∠2＝（90）°．又∵∠A+∠2＝90°（已知），∴∠A＝∠AFC（同角的余角相等），∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．故答案为：垂直的定义；已知；CE∥BF；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换；180°；90；同角的余角相等；AB∥CD．【点评】本题主要考查平行线的判定与性质，解题的关键是掌握平行线的判定和性质，并灵活运用．【变式3-3】（2022春•舞阳县期末）如图，点D在AC上，点F、G分别在AC、BC的延长线上，CE平分∠ACB并交BD于H，且∠EHD+∠HBF＝180°．（1）若∠F＝30°，求∠ACB的度数；（2）若∠F＝∠G，求证：DG∥BF．【分析】（1）由对顶角相等、同旁内角互补，两直线平行判定BF∥EC，则同位角∠ACE＝∠F，再根据角平分线的性质即可求解；（2）结合已知条件，角平分线的定义，利用等量代换推知同位角∠BCE＝∠G，则易证DG∥BF．【解答】（1）解：∵∠EHD+∠HBF＝180°，∠EHD＝∠BHC，∴∠BHC+∠HBF＝180°，∴BF∥EC，∴∠ACE＝∠F＝30°，又∵CE平分∠ACB，∴∠ACB＝2∠ACE＝60°．故∠ACB的度数为60°；（2）证明：∵CE平分∠ACB，∴∠BCE＝∠ACE，∵∠ACE＝∠F，∠F＝∠G，∴∠BCE＝∠G，∴DG∥EC，又∵BF∥EC，∴DG∥BF．【点评】本题考查了平行线的判定．解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．【变式3-4】（2022春•温江区校级期中）如图，已知点E、F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与FG交于点H，∠D+∠AED＝180°，∠C＝∠EFG．（1）求证：AB∥CD；（2）若∠CED＝75°，求∠FHD的度数．【分析】（1）根据平行线的判定即可求解；（2）根据平行线的性质得到∠DGF＝∠EFG，根据等量关系得到∠DGF＝∠C，根据平行线的判定可得CE∥GF，再根据平行线的性质和邻补角的定义即可求解．【解答】（1）证明：∵∠D+∠AED＝180°，∴AB∥CD；（2）解：∵AB∥CD，∴∠DGF＝∠EFG，∵∠C＝∠EFG，∴∠DGF＝∠C，∴CE∥GF，∵∠CED＝75°，∴∠DHG＝75°，∴∠FHD＝105°．【点评】本题考查平行线的判定与性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．【变式3-5】（2022春•木兰县期末）有一天李小虎同学用“几何画板”画图，他先画了两条平行线AD，BC，然后在平行线间画了一点E，连接CE，DE后（如图①），他用鼠标左键点住点E，拖动后，分别得到如图②，③，④等图形，这时他突然一想，∠C，∠D与∠DEC之间的度数有没有某种联系呢？接着小虎同学通过利用“几何画板”的“度量角度”和“计算”功能，找到了这三个角之间的关系．（1）请直接写出图①到图④各图中的∠C，∠D与∠DEC之间的关系吗？（2）请从图③④中，选一个说明它成立的理由．【分析】（1）根据两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补解答；（2）选择③，过点E作EF∥AB，根据两直线平行，内错角相等可得∠D＝∠DEF，∠B＝∠BEF，再根据∠BED＝∠DEF﹣∠BEF整理即可得证．【解答】解：（1）①∠C+∠D＝∠DEC；②∠C+∠D+∠DEC＝360°；③∠DEC＝∠C﹣∠D；④∠DEC＝∠D﹣∠C；（2）选图③，过点E作EF∥AD，如图：∵EF∥AD，AD∥BC，∴EF∥AD∥BC，∴∠C＝∠CEF，∠D＝∠DEF，又∵∠DEC＝∠CEF﹣∠DEF，∴∠DEC＝∠C﹣∠D．【点评】本题考查了平行线的性质，此类题目解题关键在于过拐点作平行线．【变式3-6】（2022秋•朝阳区校级期末）（1）问题发现：如图①，直线AB∥CD，连接BE，CE，可以发现∠B+∠C＝∠BEC．请把下面的证明过程补充完整：证明：过点E作EF∥AB，∵AB∥DC（已知），EF∥AB（辅助线的作法），∴EF∥DC（ ）．∴∠C＝∠CEF．（ ）．∵EF∥AB，∴∠B＝∠BEF（同理）．∴∠B+∠C＝ ．即∠B+∠C＝∠BEC．（2）拓展探究：如果点E运动到图②所示的位置，其他条件不变，说明：∠B+∠BEC+∠C＝360°．（3）解决问题：如图③，AB∥DC，E、F、G是AB与CD之间的点，直接写出∠1，∠2，∠3，∠4，∠5之间的数量关系 ．【分析】（1）过点E作EF∥AB，根据平行线的性质及角的和差求解即可；（2）过点E作EF∥AB，根据平行线的性质及角的和差求解即可；（3）过点F作FM∥AB，根据（1）求解即可．【解答】（1）证明：如图①，过点E作EF∥AB，∵AB∥DC（已知），EF∥AB（辅助线的作法），∴EF∥DC（平行于同一直线的两直线平行），∴∠C＝∠CEF（两直线平行，内错角相等），∵EF∥AB，∴∠B＝∠BEF（同理），∴∠B+∠C＝∠BEF+∠CEF（等量代换），即∠B+∠C＝∠BEC，故答案为：平行于同一直线的两直线平行；两直线平行，内错角相等；∠BEF+∠CEF；（2）解：如图②，过点E作EF∥AB，∵AB∥CD，EF∥AB，∴EF∥CD，∴∠C+∠CEF＝180°，∠B+∠BEF＝180°，∴∠B+∠C+∠AEC＝360°，∴∠B+∠C＝360°﹣（∠BEF+∠CEF），即∠B+∠C＝360°﹣∠BEC；∠B+∠BEC+∠C＝360°．（3）解：∠1+∠3+∠5＝∠2+∠4，理由如下：如图，过点F作FM∥AB，则AB∥FM∥CD，由（1）得，∠1+∠3+∠5＝∠2+∠4．故答案为：∠1+∠3+∠5＝∠2+∠4．【点评】此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键．题型四 利用平行线的性质解决实际问题【例题4】如图是潜望镜工作原理示意图，阴影部分是平行放置在潜望镜里的两面镜子．已知光线经过镜子反射时，有∠1＝∠2，∠3＝∠4，请解释进入潜望镜的光线l为什么和离开潜望镜的光线m是平行的？【分析】根据平行线的性质结合条件可得∠1＝∠2＝∠3＝∠4，可证得∠5＝∠6，可证明l∥m，据此填空即可．【解答】解：∵AB∥CD（已知），∴∠2＝∠3（两直线平行，内错角相等），∵∠1＝∠2，∠3＝∠4 （已知），∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4 （等量代换），∴180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣∠3﹣∠4（平角定义），即：∠5＝∠6 （等量代换），∴l∥m．【点评】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补，④a∥b，b∥c⇒a∥c．【变式4-1】如图，在A、B两地之间要修一条笔直的公路，从A地测得公路走向是北偏东48°，A，B两地同时开工，若干天后公路准确接通，若公路AB长8千米，另一条公路BC长是6千米，且BC的走向是北偏西42°，则A地到公路BC的距离是 千米．【分析】根据方位角的概念，图中给出的信息，再根据已知转向的角度求解．【解答】解：根据两直线平行，内错角相等，可得∠ABG＝48°，∵∠ABC＝180°﹣∠ABG﹣∠EBC＝180°﹣48°﹣42°＝90°，∴AB⊥BC，∴A地到公路BC的距离是AB＝8千米，故答案为：8．【点评】此题是方向角问题，结合生活中的实际问题，将解三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．【变式4-2】（2022春•高新区校级期末）学习平行线的性质后，老师给小明出了一道题：如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐的角∠A是120°，第二次拐的角∠B是150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C是多少度？请你帮小明求出（ ）A．120° B．130° C．140° D．150°【分析】作BD∥AE，如图，利用平行线的传递性得到BD∥CF，再根据平行线的性质由BD∥AE得到∠ABD＝∠A＝120°，则∠DBC＝30°，然后利用BD∥CF求出∠C．【解答】解：作BD∥AE，如图，∵AE∥CF，∴BD∥CF，∵BD∥AE，∴∠ABD＝∠A＝120°，∴∠DBC＝150°﹣120°＝30°，∵BD∥CF，∴∠C+∠DBC＝180°，∴∠C＝180°﹣30°＝150°．故选：D．【点评】本题考查了平行线的性质：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，同位角相等．【变式4-3】（2021春•沧县期中）某学员在驾校练习驾驶汽车，两次拐弯后的行驶方向与原来的方向相反，则两次拐弯的角度可能是（ ）A．第一次向左拐30°，第二次向右拐30° B．第一次向左拐45°，第二次向左拐45° C．第一次向左拐60°，第二次向右拐120° D．第一次向左拐53°，第二次向左拐127°【分析】根据平行线的性质分别判断得出即可．【解答】解：∵两次拐弯后，按原来的相反方向前进，∴两次拐弯的方向相同，形成的角是同旁内角，且互补，故选：D．【点评】此题主要考查了平行线的性质，利用两直线平行，同旁内角互补得出是解题关键．【变式4-4】（2022春•东湖区校级月考）工人师傅对一个如图所示的零件进行加工，把材料弯成了一个40°的锐角，然后准备在A处第二次加工拐弯，要保证弯过来的部分与BC保持平行，弯的角度应是 ．【分析】根据平行线的性质得出∠CBA+∠FAB＝180°，代入求解，即可解决问题．【解答】解：如图1，作AF∥BC，则∠CBA＝∠BAF＝40°，如图2，作AF∥BC，则∠CBA+∠FAB＝180°，∵∠CBA＝40°，∴∠FAB＝140°．故答案为：40°或140°．【点评】本题考查了平行线性质的应用，解题关键是要掌握两直线平行，同旁内角互补．【变式4-5】（2022•小店区校级开学）如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是乎动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知AB∥CD，CG∥EF，∠BAG＝150°，∠AGC＝80°，则∠DEF的度数为（ ）A．110° B．120° C．130° D．140°【分析】过点F作FM∥CD，因为AB∥CD，所以AB∥CD∥FM，再根据平行线的性质可以求出∠MFA，∠EFA，进而可求出∠EFM，再根据平行线的性质即可求得∠DEF．【解答】解：如图，过点F作FM∥CD，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥FM，∴∠DEF+∠EFM＝180°，∠MFA+∠BAG＝180°，∴∠MFA＝180°﹣∠BAG＝180°﹣150°＝30°．∵CG∥EF，∴∠EFA＝∠AGC＝80°．∴∠EFM＝∠EFA﹣∠MFA＝80°﹣30°＝50°．∴∠DEF＝180°﹣∠EFM＝180°﹣50°＝130°．故选：C．【点评】本题考查平行线的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算．题型五 利用平行线的性质解决折叠问题【例题5】如图所示，把一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，若∠1＝58°，则∠AEG的度数（ ）A．58° B．64° C．72° D．60°【分析】由平行线的性质得∠DEF＝∠1＝58°，由折叠的性质得∠GEF＝∠DEF＝58°，再由平角定义求出∠AEG即可．【解答】解：∵四边形ABCD是长方形，∴AD∥BC，∴∠DEF＝∠1＝58°，由折叠的性质得：∠GEF＝∠DEF＝58°，∴∠AEG＝180°﹣58°﹣58°＝64°；故选：B．【点评】本题考查了平行线的性质、翻折变换的性质、长方形的性质以及平角定义；熟练掌握平行线的性质和翻折变换的性质是解题的关键．【变式5-1】（2021秋•陈仓区期末）如图，将矩形纸条ABCD折叠，折痕为EF，折叠后点C，D分别落在点C′，D′处，D′E与BF交于点G．已知∠BGD′＝26°，则∠α的度数是（ ）A．77° B．64° C．26° D．87°【分析】依据平行线的性质，即可得到∠AEG的度数，再根据折叠的性质，即可得出∠α的度数．【解答】解：∵矩形纸条ABCD中，AD∥BC，∴∠AEG＝∠BGD'＝26°，∴∠DEG＝180°﹣26°＝154°，由折叠可得，∠α=12∠DEG=12×154°＝77°，故选：A．【点评】本题主要考查了平行线的性质，折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．【变式5-2】如图，把长方形ABCD沿EF折叠后使两部分重合，若∠1＝30°，则∠AEF＝（ ）A．100° B．150° C．110° D．105°【分析】根据折叠的性质及∠1＝30°可求出∠BFE的度数，再由平行线的性质即可解答．【解答】解：∵把长方形ABCD沿EF折叠后使两部分重合，∴∠BFE＝∠EFH，∵∠BFE+∠EFH+∠1＝180°，∠1＝30°，∴∠BFE＝∠EFH=12（180°﹣30°）=12×150°＝75°，又∵AD∥BC，∴∠AEF+∠BFE＝180°，∴∠AEF＝180°﹣75°＝105°．故选：D．【点评】本题主要考查了平行线的性质和折叠的性质，明白折叠不变性：折叠前后图形全等．据此找出图中相等的角是解答此题的关键．【变式5-3】（2022秋•昭阳区期中）如图，把△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，BC∥DE；若∠B＝50°，则∠BDF的度数为（ ）A．40° B．50° C．80° D．100°【分析】首先利用平行线的性质得出∠ADE＝50°，再利用折叠前后图形不发生任何变化，得出∠ADE＝∠EDF，从而求出∠BDF的度数．【解答】解：∵BC∥DE，若∠B＝50°，∴∠ADE＝50°，又∵△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，∴∠ADE＝∠EDF＝50°，∴∠BDF＝180°﹣50°﹣50°＝80°，故选：C．【点评】此题主要考查了折叠问题与平行线的性质，利用折叠前后图形不发生任何变化，得出∠ADE＝∠EDF是解决问题的关键．【变式5-4】（2022•沭阳县模拟）已知长方形纸条ABCD，点E，G在AD边上，点F，H在BC边上．将纸条分别沿着EF，GH折叠，如图，当DC恰好落在EA'上时，∠1与∠2的数量关系是（ ）A．∠1+∠2＝135° B．∠2﹣∠1＝15° C．∠1+∠2＝90° D．2∠2﹣∠1＝90°【分析】根据折叠的性质和平角的定义解答即可．【解答】解：∵DC恰好落在EA'上，∴∠ED′G＝90°，∴∠D′EG+∠D′GE＝90°，∴∠A′EA+∠D′GD＝360°﹣90°＝270°，由折叠得，∠1=12∠A′EA，∠2=12∠D′GD，∴∠1+∠2＝135°，故选：A．【点评】本题考查折叠的性质和角平分线的定义，由折叠的性质得到∠1=12∠A′EA，∠2=12∠D′GD是解题关键．【变式5-5】如图，长方形ABCD中，沿折痕CE翻折△CDE得△CD′E，已知∠ECD′被BC分成的两个角相差18°，则图中∠1的度数为（ ）A．72°或48° B．72°或36° C．36°或54° D．72°或54°【分析】设∠FCD'＝α，则∠BCE＝α+18°或α﹣18°，分两种情况进行讨论：①当∠BCE＝α+18°时，∠ECD'＝2α+18°＝∠DCE，②当∠BCE＝α﹣18°时，∠ECD'＝2α﹣18°＝∠DCE，分别根据∠BCD＝90°列式计算即可．【解答】解：如图，设∠FCD'＝α，则∠BCE＝α+18°或α﹣18°，①当∠BCE＝α+18°时，∠ECD'＝2α+18°＝∠DCE，∵∠BCD＝90°，∴α+18°+2α+18°＝90°，解得α＝18°，∴∠CFD'＝90°﹣18°＝72°＝∠1；②当∠BCE＝α﹣18°时，∠ECD'＝2α﹣18°＝∠DCE，∵∠BCD＝90°，∴α﹣18°+2α﹣18°＝90°，解得α＝42°，∴∠CFD'＝90°﹣42°＝48°＝∠1；综上所述，图中∠1的度数为72°或48°，故选：A．【点评】本题主要考查了折叠问题，解题时注意：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．题型六 借助三角尺求角的度数【例题6】（2022春•秦淮区校级月考）已知直线a∥b，将一块含30°角的直角三角板（∠BAC＝30°，∠ACB＝90°）按如图所示的方式放置，并且顶点A，C分别落在直线a，b上，若∠1＝22°．则∠2的度数是（ ）A．38° B．45° C．52° D．58°【分析】根据已知易得∠DAC＝52°，然后利用平行线的性质即可解答．【解答】解：如图：∵∠1＝22°，∠BAC＝30°，∴∠DAC＝∠1+∠BAC＝52°，∵直线a∥b，∴∠2＝∠DAC＝52°，故选：C．【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．【变式6-1】（2022秋•琼海期中）如图，将三角板的直角顶点按如图所示摆放在直尺的一边上，则下列结论不一定正确的是（ ）A．∠1＝∠2 B．∠2+∠3＝90° C．∠3+∠4＝180° D．∠1+∠2＝90°【分析】根据平行线的性质定理求解．【解答】解：∵两直线平行，同位角相等，∴∠1＝∠2，故选项A不符合题意；∠1+∠2不一定等于90°，故D符合题意；由题意可得：90°+∠2+∠3＝180°，∴∠2+∠3＝90°，故选项B不符合题意；∵两直线平行，同旁内角互补，∴∠3+∠4＝180°，故选项C不符合题意；故选：D．【点评】本题主要考查平行线的性质，解题关键是熟练掌握平行线的性质定理．【变式6-2】（2022秋•南关区校级期末）如图，直线a∥b，将一个直角三角尺按如图所示的位置摆放，若∠1＝58°，则∠2的度数为（ ）A．58° B．42° C．32° D．30°【分析】先利用平行线的性质得出∠3，进而利用三角板的特征求出∠4，最后利用平行线的性质即可．【解答】解：如图，过点A作AB∥b，∴∠3＝∠1＝58°，∵∠3+∠4＝90°，∴∠4＝90°﹣∠3＝32°，∵a∥b，AB∥b，∴AB∥a，∴∠2＝∠4＝32°，故选：C．【点评】本题主要考查了平行线的性质，角度的计算，解本题的关键是正确作出辅助线．【变式6-3】（2022•大渡口区校级模拟）将一副直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，若AC∥DE．则∠BAE的度数为（ ）A．85° B．75° C．65° D．55°【分析】由题意得∠E＝60°，∠DAE＝∠B＝90°，∠BAC＝45°，由平行线的性质可求得∠CAE＝120°，从而可求得∠CAD＝30°，则∠BAD＝15°，即可求∠BAE的度数．【解答】解：由题意得：∠E＝60°，∠DAE＝∠B＝90°，∠BAC＝45°，∵AC∥DE，∴∠E+∠CAE＝180°，∴∠CAE＝180°﹣∠E＝120°，∴∠CAD＝∠CAE﹣∠DAE＝30°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝15°，∴∠BAE＝∠DAE﹣∠BAD＝75°．故选：B．【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用．【变式6-4】（2022秋•绿园区校级期末）如图，AB∥CD，一副三角尺按如图所示放置，∠AEG＝20°，则∠HFD的度数为（ ）A．40° B．35° C．30° D．25°【分析】将∠AEG，∠GEF的度数，代入∠AEF＝∠AEG+∠GEF中，可求出∠AEF的度数，由AB∥CD，利用“两直线平行，内错角相等”，可求出∠DFE的度数，再结合∠HFD＝∠DFE﹣∠EFH，即可求出∠HFD的度数．【解答】解：∵∠AEG＝20°，∠GEF＝45°，∴∠AEF＝∠AEG+∠GEF＝20°+45°＝65°．∵AB∥CD，∴∠DFE＝∠AEF＝65°，∴∠HFD＝∠DFE﹣∠EFH＝65°﹣30°＝35°．故选：B．【点评】本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．题型七 命题的识别及改写【例题7】下列语句是命题的是（ ）A．延长线段AB至C B．垂线段最短 C．直线AB平行于直线CD吗 D．不许大声讲话【分析】命题是判断一件事情的语句；分析各个选项中的句子，是不是判断了一件事情即可判定．【解答】解：A．延长线段AB至C，不是命题；B．垂线段最短，是命题；C．直线AB平行于直线CD吗，不是命题；D．不许大声讲话，不是命题．故选：B．【点评】本题考查命题的认识，掌握命题的定义是解题关键．【变式7-1】（2021秋•泾阳县期末）下列语句中，不是命题的是（ ）A．相等的角是对顶角 B．同旁内角互补 C．平角是一条直线 D．延长线段AO到点C，使OC＝OA【分析】根据命题的定义作答．【解答】解：根据命题的定义，可知A、B、C都是命题，而D属于作图语言，不是命题．故选：D．【点评】本题考查了命题的定义：一般的，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．一般说来，对于任何一个命题，都可以加上“是”或“不是”．注意，作图语言不是命题．【变式7-2】（2022秋•南岸区期末）下列命题是真命题的是（ ）A．同位角相等 B．内错角相等 C．相等的角是对顶角 D．同旁内角互补，两直线平行【分析】利用平行线的性质及判定方法、对顶角的定义等知识分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：A、两直线平行，同位角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；B、两直线平行，内错角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；C、相等的角不一定是对顶角，故原命题错误，是假命题，不符合题意；D、同旁内角互补，两直线平行，正确，是真命题，符合题意．故选：D．【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的性质及判定方法、对顶角的定义等知识，难度不大．【变式7-3】（2021秋•雁山区校级期末）下列命题中是假命题的是（ ）A．对顶角相等 B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 C．同旁内角互补 D．平行于同一条直线的两条直线平行【分析】根据对顶角相等、平行线的判定定理和性质定理判断即可．【解答】解：A、对顶角相等，是真命题，不符合题意；B、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，是真命题，不符合题意；C、两直线平行，同旁内角互补，本选项说法是假命题，符合题意；D、平行于同一条直线的两条直线平行，是真命题，不符合题意；故选：C．【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．【变式7-4】（2022春•北京期末）已知：在同一平面内，三条直线a，b，c．下列四个命题为真命题的是 ．（填写所有真命题的序号）①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；②如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；③如果a∥b，c∥b，那么a∥c；④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c．【分析】根据平行线的性质和判定定理判断即可．【解答】解：①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c，是真命题；②如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c，故本小题命题是假命题；③如果a∥b，c∥b，那么a∥c，是真命题；④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c，是真命题；故答案为：①③④．【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．【变式7-5】（2022秋•榆阳区校级期末）对假命题“若a＞b，则a2＞b2”举反例，正确的反例是（ ）A．a＝﹣1，b＝2 B．a＝2，b＝﹣1 C．a＝﹣1，b＝0 D．a＝﹣1，b＝﹣2【分析】根据有理数的大小比较法则、有理数的乘法法则计算，根据假命题的概念判断即可．【解答】解：当a＝﹣1，b＝﹣2时，a＞b，a2＝1，b2＝4，则a2＜b2，∴若a＞b，则a2＞b2”是假命题，故选：D．【点评】本题考查的是命题的真假判断，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．【变式7-6】（2022春•江汉区校级月考）下列命题：①两个角的和等于平角时，这两个角互为邻补角；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③内错角相等；④a，b，c是直线，若a∥b，b∥c，则a∥c．其中真命题的个数为（ ）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】根据邻补角定义、平行线的判定与性质解答即可．【解答】解：①两个角的和等于平角时，这两个角不一定互为邻补角，原命题是假命题；②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原命题是假命题；③两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，原命题是假命题；④a，b，c是直线，若a∥b，b∥c，则a∥c，原命题是真命题．故选：D．【点评】本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．【变式7-7】把下列命题改写成“如果…那么…”的形式，并指出命题的真假．（1）等角的补角相等．（2）垂直于同一直线的两直线平行．【分析】（1）等角的补角相等的题设为两个角是两相等角的补角，结论为这两个角相等，它为真命题；（2）垂直于同一直线的两直线平行的题设为两条直线都垂直于同一条直线，结论为这两条直线平行；由于没有同一平面的条件，所以它为假命题．【解答】解：（1）等角的补角相等改写成“如果…那么…”的形式为：如果两个角是两相等角的补角，那么这两个角相等．此命题为真命题；（2）垂直于同一直线的两直线平行改写成“如果…那么…”的形式为：如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．此命题为假命题．【点评】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．【变式7-8】判断下列命题的真假，若是假命题，举出反例．（1）若两个角不是对顶角，则这两个角不相等；（2）若a+b＝0，则ab＝0；（3）若ab＝0，则a+b＝0．【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．【解答】解：（1）假命题．如：两条直线平行，内错角相等．（2）假命题．如：a＝5和b＝0．（3）假命题，如a＝5和b＝0．【点评】主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．题型八 命题的分析与证明【例题8】（2022春•白水县期末）如图，在三角形ABC中，AD⊥BC于点D，点E是AB上一点，EF⊥BC于点F，点G是AC上一点，连接DG，且∠1＝∠2．求证：AB∥DG．【分析】根据“同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行”得到EF∥AD，根据平行线的性质结合等量代换推出∠BAD＝∠2，即可判定AB∥DG．【解答】证明：∵EF⊥BC，AD⊥BC，∴EF∥AD，∴∠1＝∠BAD，∵∠1＝∠2，∴∠BAD＝∠2，∴AB∥DG．【点评】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质定理是解题的关键．【变式8-1】（2022春•莱西市期末）已知：如图，∠1+∠2＝180°，∠B＝∠3．求证：DE∥BC．【分析】由已知条件可证得AB∥EF，从而有∠3＝∠ADE，则得∠B＝∠ADE，得证DE∥BC．【解答】证明：∵∠1+∠2＝180°，∠1+∠ADG＝180°，∴∠2＝∠ADG，∴AB∥EF，∴∠3＝∠ADE，∵∠B＝∠3，∴∠B＝∠ADE，∴DE∥BC．【点评】此题考查了平行线的判定，熟记“同位角相等，两直线平行”是解题的关键．【变式8-2】（2022秋•黄岛区校级期末）如图，点E、F分别在AB、CD上，AF⊥CE于点O，∠1＝∠B，∠A+∠2＝90°，求证：AB∥CD．【分析】先证CE∥BF得∠AOE＝∠AFB，由AF⊥CE得∠AOE＝∠AFB＝90°，利用平角定义得出∠AFC+∠2＝90°，结合∠A+∠2＝90°可以得出∠AFC＝∠A，从而得证．【解答】证明：∵AF⊥CE（已知），∴∠AOE＝90°（垂直的定义）．又∵∠1＝∠B（已知），∴CE∥BF（同位角相等，两直线平行），∴∠AFB＝∠AOE（两直线平行，同位角相等），∴∠AFB＝90°（等量代换）．又∵∠AFC+∠AFB+∠2＝180°（平角的定义），∴∠AFC+∠2＝90°．又∵∠A+∠2＝90°（已知），∴∠A＝∠AFC（同角的余角相等），∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．【点评】本题主要考查平行线的判定与性质，解题的关键是掌握平行线的判定和性质，并灵活运用．【变式8-3】（2022秋•南岸区校级月考）如图，在四边形ABCD中．点E为AB延长线上一点，点F为CD延长线上一点，连接EF，交BC于点G，交AD于点H，若∠1＝∠2，∠A＝∠C，求证：∠E＝∠F．【分析】应用平行线的判定与性质进行求解即可得出答案．【解答】证明：∵∠1＝∠3（对顶角相等），∠1＝∠2（已知），∴∠2＝∠3（等量代换），∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行），∴∠A+∠4＝180°（两直线平行，同旁内角互补），∵∠A＝∠C（已知），∴∠C+∠4＝180°（等量代换），∴CF∥EA（同旁内角互补，两直线平行），∴∠E＝∠F（两直线平行，内错角相等），【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质，熟练应用平行线的判定与性质进行求解是解决本题的关键．【变式8-4】（2022春•萍乡期末）如图，EF⊥AC交AC于点F，DB⊥AC交AC于点M，∠1＝∠2，∠3＝∠C，求证：AB∥MN．【分析】根据平行线的判定定理求解即可．【解答】解：AB∥MN，理由如下：∵EF⊥AC，DB⊥AC，∴DB∥EF，∴∠2＝∠MDC，又∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠MDC，∴MN∥CD，又∵∠3＝∠C，∴AB∥CD，∴AB∥MN．【点评】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．【变式8-5】（2022春•江城区期中）如图，点E在BC上，BD⊥AC，EF⊥AC，垂足分别为D，F，点M，G在AB上，∠AMD＝∠AGF，∠1＝∠2．求证：（1）∠2＝∠CBD；（2）MD∥BC．【分析】（1）利用垂直于同一直线的两直线平行，得到平行线，利用平行线的性质：两直线平行，同位角相等推理即可；（2）利用两条直线都平行于第三条直线，则这两条直线也平行推理即可．【解答】证明：（1）∵BD⊥AC，EF⊥AC，∴BD∥EF，∴∠2＝∠CBD；（2）∵∠1＝∠2，∠2＝∠CBD，∴∠1＝∠CBD，∴GF∥BC，∵∠AMD＝∠AGF，∴GF∥MD，∴MD∥BC．【点评】本题考查了平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定定理和性质定理．【变式8-6】如图，∠ABC的两边分别平行于∠DEF的两条边，且∠ABC＝45°．（1）图1中：∠DEF＝ ，图2中：∠DEF＝ ；（2）请观察图1、图2中∠DEF分别与∠ABC有怎样的关系，请你归纳出一个命题．【分析】（1）图1，根据平行线的性质，由AB∥DE得到∠B＝∠DGC＝45°，再由BC∥EF得∠DEF＝∠DGC＝45°；图2，根据平行线的性质，由AB∥DE得∠B＝∠BGE＝45°，再由BC∥EF得∠DEF+∠BGE＝180°，所以∠DEF＝135°；（2）由（1）的计算结果易得∠DEF与∠ABC相等，∠DEF与∠ABC互补，这个结论可归纳为：如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．【解答】解：（1）图1，∵AB∥DE，∴∠B＝∠DGC＝45°，∵BC∥EF，∴∠DEF＝∠DGC＝45°；图2，∵AB∥DE，∴∠B＝∠BGE＝45°，∵BC∥EF，∴∠DEF+∠BGE＝180°，∴∠DEF＝180°﹣45°＝135°；故答案为45°，135°；（2）∠DEF与∠ABC相等，∠DEF与∠ABC互补，结论：如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．【点评】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等． 解题技巧提炼两直线平行时，应联想到平行线的三个性质，由两条直线平行的位置关系得到两个相关角的数量关系，由角的关系求相应角的度数.解题技巧提炼准确识别图形，理清图中各角度之间的关系是解题的关键，再综合角平分线的定义、对顶角的性质及邻补角的定义求解.解题技巧提炼平行线的判定和性质在解题中经常反复使用，见到角相等或互补就应该联想到能否判定两条直线平行，见到直线平行就应该联想到能否证明相关的角相等或互补.解题技巧提炼给出一个实际问题，联系平行线的性质解答实际问题，有时需要通过作辅助线构造平行线，同时还会综合运用平行线的判定和性质.解题技巧提炼结合长方形的性质，对边是互相平行的，从而综合折叠的特征和平行线的性质求解即可.折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置发生了变化.解题技巧提炼借助三角尺求角的度数主要是利用三角尺的特征，结合平行线的性质一般解决求角的度数问题.解题技巧提炼命题是判断一件事情的语句，正确区分命题的题设和结论是把命题写成“如果…那么…”形式，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．命题改写的原则是不改变原题的原意．解题技巧提炼本题考查了命题证明的书写，推理过程要具有逻辑性，在解题的过程中需要综合运用平行线的性质与判定.
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