2023-2024学年河南省新乡市辉县市苏门中学九年级（上）月考数学试卷（9月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年河南省新乡市辉县市苏门中学九年级（上）月考数学试卷（9月份）（含解析），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.要使代数式 2−3x有意义，则x的( )
A. 最大值是23B. 最小值是23C. 最大值是32D. 最小值是32
2.在根式① a2+b2② x5③ x2−xy④ 27abc中，最简二次根式是( )
A. ①②B. ③④C. ①③D. ①④
3.若x= a− b，y= a+ b，则xy的值为( )
A. 2 aB. 2 bC. (a+b)D. (a−b)
4.小明的作业本上有以下四题：
① 16a4=4a2
② 5a⋅ 10a=5 2a
③a 1a= a2⋅1a= a；
④ 3a− 2a= a．
做错的题是( )
A. ①B. ②C. ③D. ④
5.已知m=1+ 2，n=1− 2，且(7m2−14m+a)(3n2−6n−7)=8，则a的值等于( )
A. −5B. 5C. −9D. 9
6.已知4是关于x的方程3x2−4a=0的一个解，那么2a−19=( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
7.若一元二次方程x2+2x+m=0有实数解，则m的取值范围是( )
A. m≤−1B. m≤1C. m≤4D. m≤12
8.(非课改)已知α，β是关于x的一元二次方程x2+(2m+3)x+m2=0的两个不相等的实数根，且满足1α+1β=−1，则m的值是( )
A. 3B. 1C. 3或−1D. −3或1
9.教师节期间，数学组教师向本组其他教师各发一条祝福短信．据统计，全组共发了240条祝福短信，如果设全组共x名教师，可列出的方程是( )
A. x(x+1)=240B. x(x−1)=240C. 2x(x+1)=240D. 12x(x+1)=240
10.小明的妈妈周三在自选商场花10元钱买了几瓶酸奶，周六再去买时，正好遇见商场酬宾活动，同样的酸奶，每瓶比周三便宜0.5元，结果小明的妈妈只比上次多花了2元钱，却比上次多买了2瓶酸奶，她周三买了瓶酸奶．( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.若最简二次根式b+44a−3b与 2a+b+8是同类二次根式，则a= ______，b= ______．
12.已知△ABC两边长a，b满足 a−2+b2−6b+9=0，则△ABC周长l的取值范围是______．
13.当m ______时，方程(m2−m−2)x2−mx+3=0为关于x的一元二次方程．
14.对于实数a，b，定义运算“*“，a*b=a2−ab(a>b)ab−b2(a≤b)例如4*2，因为4>2，所以4*2=42−4×2=8.若x1，x2是一元二次方程x2−8x+16=0的两个根，则x1*x2=______．
15.如图，在一块长15m、宽10m的矩形空地上，修建两条同样宽的相互垂直的道路，剩余部分栽种花草，要使绿化面积为126m2，则修建的路宽应为______m．
三、计算题：本大题共1小题，共9分。
16.“通过等价变换，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方式，例如：解方程x− x=0，就可以利用该思维方式，设 x=y，将原方程转化为y2−y=0这个熟悉的关于y的一元二次方程，解出y，再求x，这种方法又叫“换元法”.请你用这种思维方式和换元法解决下面的问题．
已知实数x，y满足5x2y2+2x+2y=133x+y4+2x2y2=51，求x2+y2的值．
四、解答题：本题共7小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算：
(1)14 18×8 136÷23 412；
(2)(2+ 3)2−(2− 3)2．
18.(本小题10分)
(1)x2+12x+27=0 (必须用配方法)
(2)x(5x+4)=5x+4．
19.(本小题9分)
化简求值：(6x yx+3y xy2)−(4y xy+ 36xy)，其中x=32，y=27．
20.(本小题9分)
已知关于x的一元二次方程x2−2x+m−1=0有两个实数根x1，x2．
(1)求m的取值范围；
(2)当x12+x22=6x1x2时，求m的值．
21.(本小题10分)
某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．求：
(1)若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
(2)每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？
22.(本小题9分)
已知关于x的一元二次方程(a+c)x2+2bx+(a−c)=0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．
(1)如果x=−1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
(3)如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
23.(本小题11分)
如图，有一农户要建一个矩形鸡舍，鸡舍的一边利用长为a米的墙，另外三边用25米长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于墙的一边CD上留一个1米宽的门．
(1)若a=12，问矩形的边长分别为多少时，鸡舍面积为80m2？
(2)a的值分别在什么范围时，(1)中符合题意的实数根有两个，一个或无符合题意的实数根？
(3)若住房墙的长度足够长，问鸡舍面积能否达到90m2？
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵代数式 2−3x有意义，
∴2−3x≥0，解得x≤23．
故选：A．
根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：① a2+b2是最简二次根式；
② x5= 5x5，被开方数含分母，不是最简二次根式；
③ x2−xy是最简二次根式；
④ 27abc=3 3abc，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式．
①③是最简二次根式，故选C．
判断一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：
(1)被开方数不含分母；
(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
3.【答案】D
【解析】解：xy=( a− b)( a+ b)
=a−b．
故选D．
利用平方差公式计算．
本题的关键利用平方差公式化简．
4.【答案】D
【解析】解：①和②是正确的；
在③中，由式子可判断a>0，从而③正确；
在④中，左边两个不是同类二次根式，不能合并，故错误．
故选：D．
①②③④分别利用二次根式的性质及其运算法则计算即可判定．
此题主要考查了二次根式的性质及其简单的计算，注意二次公式的性质： a2=|a|.同时二次根式的加减运算实质上是合并同类二次根式．
5.【答案】C
【解析】解：由m=1+ 2得m−1= 2，
两边平方，得m2−2m+1=2
即m2−2m=1，同理得n2−2n=1．
又(7m2−14m+a)(3n2−6n−7)=8，
所以(7+a)×(3−7)=8，
解得a=−9
故选：C．
观察已知等式可知，两个括号里分别有m2−2m，n2−2n的结构，可由已知m、n的值移项，平方得出m2−2m，n2−2n的值，代入已知等式即可．
本题考查了二次根式的灵活运用，直接将m、n的值代入，可能使运算复杂，可以先求部分代数式的值．
6.【答案】C
【解析】解：把x=4代入方程3x2−4a=0中，
得：3×16−4a=0，
解得a=12．
所以2a−19=2×12−19=5．
故选：C．
一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．依此先求出a的值，再代入求出2a−19的值．
本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．注意最后要求的是2a−19不是a．
7.【答案】B
【解析】【分析】
此题考查了一元二次方程根的判别式．
由一元二次方程有实数根，得到根的判别式大于等于0，列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的取值范围．
【解答】
解：∵一元二次方程x2+2x+m=0有实数解，
∴b2−4ac=22−4m≥0，
解得：m≤1，
则m的取值范围是m≤1．
故选：B．
8.【答案】A
【解析】解：根据条件知：
α+β=−(2m+3)，αβ=m2，
∴1α+1β=β+ααβ=−(2m+3)m2=−1，
即m2−2m−3=0，
所以，得m2−2m−3=0(2m+3)2−4m2>0，
解得m=3．
故选：A．
由于方程有两个不相等的实数根可得△>0，由此可以求出m的取值范围，再利用根与系数的关系和1α+1β=−1，可以求出m的值，最后求出符合题意的m值．
1、考查一元二次方程根与系数关系与根的判别式及不等式组的综合应用能力．一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根；
(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根；
(3)△<0⇔方程没有实数根．
2、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系为：x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca．
9.【答案】B
【解析】【分析】
考查列一元二次方程；得到短信总条数的等量关系是解决本题的关键．
每个老师都要向除自己之外的老师发一条短信，让人数乘以每个老师所发短信条数等于短信总条数即为所求方程．
【解答】
解：∵全组共有x名教师，每个老师都要发(x−1)条短信，共发了240条短信．
∴x(x−1)=240．
故选：B．
10.【答案】C
【解析】解：设周三买了x瓶酸奶，
则周三买的酸奶的单价为10x元，周六买的酸奶的单价为10+2x+2元．
根据题意得10x−10+2x+2=0.5，
解得：x1=4，x2=−10(不合题意舍去)，
经检验得出，x=4是原方程的根，
答：她上周三买了4瓶酸奶．
故选：C．
利用关键描述语为：“每瓶比周三便宜0.5元”；等量关系为：周三买的酸奶的单价−周六买的酸奶的单价=0.5，进而得出方程求解即可．
此题主要考查了分式方程的应用，解决问题的关键是正确找出相等关系．
11.【答案】0 −2
【解析】解：由题意可得b+4=24a−3b=2a+b+8，
解得：a=0b=−2，
故答案为：0；−2．
根据最简二次根式及最简二次根式的定义列得二元一次方程组，解方程组即可．
本题考查最简二次根式，最简二次根式，解二元一次方程组，结合已知条件列得正确的方程组是解题的关键．
12.【答案】6【解析】解：∵ a−2+b2−6b+9=0，
∴ a−2+(b−3)2=0，
∴a=2，b=3，
∴第三边c的取值范围是1∴△ABC周长l的取值范围是6故答案为：6由 a−2+b2−6b+9=0，可得 a−2+(b−3)2=0，则a=2，b=3，可得第三边c的取值范围是1此题主要考查了非负数的性质，其中首先灵活应用了非负数的性质，然后利用三角形三边之间的关系，难度中等．
13.【答案】≠−1且m≠2
【解析】解：由题意得：m2−m−2≠0，
(m−2)(m+1)≠0，
解得m≠−1且m≠2．
故答案为：≠−1且m≠2．
根据一元二次方程的定义可得：m2−m−2≠0，然后进行计算即可解答．
本题考查了一元二次方程的定义，解一元二次方程−因式分解法，准确熟练地进行计算是解题的关键．
14.【答案】0
【解析】解：x2−8x+16=0，解得：x=4，
即x1=x2=4，
则x1*x2=x1⋅x2−x22=16−16=0，
故答案为0．
求出x2−8x+16=0的解，代入新定义对应的表达式即可求解．
此题主要考查了解一元二次方程−直接开平方法，对新定义的正确理解是解题的关键．
15.【答案】1
【解析】解：设道路的宽为x m，根据题意得：
(10−x)(15−x)=126，
解得：x1=1，x2=24(不合题意，舍去)，
则道路的宽应为1m；
故答案为：1．
把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的部分是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程求解即可．
此题主要考查了一元二次方程的应用，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是做本题的关键．
16.【答案】解：令xy=a，x+y=b，
则原方程组可化为5a2+2b=133b4+2a2=51，
整理得5a2+2b=133 ①16a2+2b=408 ②，
②−①得11a2=275，
解得a2=25，
代入②可得b=4，
∴方程组的解为a=5b=4或a=−5b=4，
∵x2+y2=(x+y)2−2xy=b2−2a，
当a=5时，x2+y2=6，
当a=−5时，x2+y2=26，
∴x2+y2的值为6或26．
【解析】通过“换元”的思路，可以将所要求的方程组中的元素进行换元，两个式子中都有x2y2和x+y，因此可以令xy=a，x+y=b，列出方程组，从而求出a，b的值，再求出x2+y2的值．
本题主要考查高次方程的解法以及换元法解一元二次方程．
17.【答案】解：(1)原式=(14×8×32) 18×136×29
=3 19
=1；
(2)原式=4+4 3+3−(4−4 3+3)
=4+4 3+3−4+4 3−3
=8 3．
【解析】(1)根据二次根式乘除法法则计算；
(2)先展开，再合并即可．
本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关的运算法则．
18.【答案】解：(1)移项，得：x2+12x=−27，
配方，x2+12x+36=9，
即(x+6)2=9，
则x+6=±3，
解得：x1=−9，x2=−3；
(2)移项，得：x(5x+4)−(5x+4)=0，
即(5x+4)(x−1)=0，
则5x+4=0或x−1=0，
解得：x1=−45，x2=1．
【解析】(1)首先移项，把常数项移到等号的右边，然后配方，化成两个一元一次方程求解；
(2)利用因式分解法即可求解．
本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
19.【答案】解：原式=6 xy+3 x−4 xy−6 xy
=3 x−4 xy；
当x=32，y=27时，
原式=3 32−4 32×27
=32 6−18 2．
【解析】首先把二次根式化简，进一步去掉括号，合并后代入数值求得答案即可．
此题主要考查二次根式的化简求值，注意先化简，再代入求值．
20.【答案】解：(1)∵原方程有两个实数根，
∴△=(−2)2−4(m−1)≥0，
整理得：4−4m+4≥0，
解得：m≤2；
(2)∵x1+x2=2，x1⋅x2=m−1，x12+x22=6x1x2，
∴(x1+x2)2−2x1⋅x2=6x1⋅x2，
即4=8(m−1)，
解得：m=32．
∵m=32<2，
∴符合条件的m的值为32．
【解析】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式有关知识．
(1)根据一元二次方程x2−2x+m−1=0有两个实数根，可得△≥0，据此求出m的取值范围；
(2)根据根与系数的关系求出x1+x2，x1⋅x2的值，代入x12+x22=6x1x2求解即可．
21.【答案】解：(1)设每件衬衫应降价x元，则每天多销售2x件，由题意，得
(40−x)(20+2x)=1200，
解得：x1=20，x2=10，
∵要扩大销售，减少库存，
∴每件衬衫应降价20元；
(2)设商场每天的盈利为W元，由题意，得
W=(40−x)(20+2x)，
W=−2(x−15)2+1250
∴a=−2<0，
∴x=15时，W最大=1250元．
答：每件衬衫应降价15元时，商场平均每天盈利最多，每天最多盈利1250元．
【解析】本题主要考查了二次函数的应用以及一元二次方程的应用，根据数量关系列出关于x的一元二次方程(二次函数关系式)是解题的关键．
1)设每件衬衫应降价x元，根据“商场盈利=单件盈利×销售数量”，即可列出关于x的一元二次方程，解方程即可得出x的值，再结合减少库存即可确定x的值；
(2)设每件衬衫降价x元时，商场所获得的利润为y元，根据“商场盈利=单件盈利×销售数量”，即可找出x关于y的二次函数关系式，配方后根据二次函数的性质即可得出每件衬衫降价多少元时盈利最大．
22.【答案】解：(1)△ABC为等腰三角形，理由如下：
把x=−1代入方程得a+c−2b+a−c=0，则a=b，所以△ABC为等腰三角形；
(2)△ABC为直角三角形，理由如下：
根据题意得Δ=(2b)2−4(a+c)(a−c)=0，即b2+c2=a2，所以△ABC为直角三角形；
(3)∵△ABC为等边三角形，
∴a=b=c≠0，
∴方程化为2ax2+2ax=0，即x2+x=0，解得x1=0，x2=−1．
【解析】(1)把x=−1代入方程得a+c−2b+a−c=0，整理得a=b，从而可判断三角形的形状；
(2)根据判别式的意义得Δ=(2b)2−4(a+c)(a−c)=0，即b2+c2=a2，然后根据勾股定理可判断三角形的形状；
(3)利用等边三角形的性质得a=b=c，方程化为x2+x=0，然后利用因式分解法解方程．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
23.【答案】解：(1)设AB的长为x m，则BC的长为(25+1−2x)m，
依题意得：x(25+1−2x)=80，
整理得：x2−13x+40=0，
解得：x1=5，x2=8，
当x=5时，26−2x=16>12(不符合题意，舍去)；
当x=8时，26−2x=10<12，符合题意；
答：矩形鸡舍的长为10m，宽为8m；
(2)由(1)知，靠墙的边长为10或16米，
∴当a≥16时，(1)中的解有两个；
当10≤a<16时，(1)中的解有一个；
当0(3)设AB的长为y m，则BC的长为(25+1−2y)m，
依题意得：y(25+1−2y)=90，
整理得：y2−13y+45=0，
∵Δ=b2−4ac=169−180=−11<0，
∴鸡舍面积不能达到90m2；
答：鸡舍面积不能达到90m2．
【解析】(1)设AB的长为xm，则BC的长为(25+1−2x)m，根据鸡舍面积为80m2，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可；
(2)由(1)知，靠墙的边长为10或16米，再由根的判别式即可得出结论；
(3)设AB的长为ym，则BC的长为(25+1−2y)m，根据鸡舍面积达到90m2，列出一元二次方程，再由根的判别式即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．