2024南充高级中学高三下学期3月月考试题数学（理）含答案

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DBCCA BDACC BA
填空题
13 14. 64 15. 32 16.
解答题
17解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知，． 4分
（Ⅱ）样本中患病者在指标为区间的人数是，未患病者在指标为区间的人数是
，总人数为5人．
可能的取值为0，1，2．
，，．
随机变量的分布列为
随机变量的期望为． 12分
18解：（Ⅰ）若选择①：，由正弦定理可得
因，故，,则有，因故.
若选择②：，
则
由正弦定理可得 因故.
若选择③ ；由正弦定理可得，，
再由余弦定理得，，即，
，． 6分
（Ⅱ），又，在三角形BCD中，，当且仅当时取等号，
的最小值为．
19解：（Ⅰ）如图所示，连接BD，DF，
在中，，，，
，所以可得，即，
同时 ∥，可得，同理可得，
又平面BDF，平面BDF，，所以平面BDF；
又因为平面BDF，所以． 5分
（2）在中，，且，
即，所以，同时，，
以D为原点，的方向分别为轴、轴、轴正方向，
建立空间直角坐标系如图．其中，
所以
设向量为平面的法向量，
满足，不妨令，则，故，
设向量为平面的法向量，
满足不妨令，则，故
由图可知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为. 12分
20解：（Ⅰ）函数有三个极值点
则有三个不等实根
即方程有三个不等实根，
令，则，由得，由得或
在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
又，，所以 5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，
所以，令，则，
令，则
令，则，
即，，故
在上单调递增，所以 12分
21解：解：（Ⅰ）若，则，即点的坐标为
设，则，同理得
由已知得
直线的斜率 5分
（Ⅱ）由得，其导函数
抛物线在点处的切线的斜率，且
由（Ⅰ）知线段的中点坐标分别为，
线段的中垂线方程为 ①
同理可得线段的中垂线方程为 ②
由①②消去得
即
代入①得
外接圆的圆心坐标为
则直线的斜率
，即，故直线与圆相切. 12分
22解：（Ⅰ）根据消参可得曲线的普通方程为，即，
曲线的极坐标方程为，即. 4分
（Ⅱ），
令，则.又，
，
，
则的取值范围为. 10分
23解：解（Ⅰ）当时，，
当时，则，解得，此时，；
当时，则，解得，此时，；
当时，则，解得，此时，.
综上所述，不等式的解集为. 5分
（Ⅱ）若存在满足，等价于有解，
由三角不等式可得，
当且仅当时，等号成立，
只需即可，即，解得.
因此，实数的取值范围是. 10分
0
1
2