2023-2024学年吉林省长春市第二实验中学高一（下）开学数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年吉林省长春市第二实验中学高一（下）开学数学试卷（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合M={−2,−1,0,1,2}，N={x|x2−x−6≥0}，则M∩N=( )
A. {−2,−1,0,1}B. {0,1,2}C. {−2}D. {2}
2.下列满足在[2,+∞)上单调递增的函数是( )
A. f(x)=−x+1B. f(x)=2
C. f(x)=3xD. f(x)=x2−2x−3
3.“a>b”是“a2>b2”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4.命题“∀a∈R，x2−ax+1=0有实数解”的否定是( )
A. ∀a∈R，x2−ax+1=0无实数解B. ∃a∈R，x2−ax+1=0无实数解
C. ∀a∈R，x2−ax+1≠0有实数解D. ∃a∈R，x2−ax+1≠0有实数解
5.函数f(x)=lg2x+ 2−x的定义域为( )
A. (−∞,2]B. (0,+∞)C. [0,2)D. (0,2]
6.2lg510+lg50.25=( )
A. 0B. 1C. 2D. 4
7.已知sin2α=−14，则sin2(α+π4)=( )
A. 18B. 38C. 158D. 58
8.某灭活疫苗的有效保存时间T(单位：小时h)与储藏的温度t(单位：℃)满足的函数关系为T=ekt+b(k,b为常数，其中e=2.71828⋯，是一个和π类似的无理数，叫自然对数的底数)，超过有效保存时间，疫苗将不能使用．若在0℃时的有效保存时间是1080h，在10℃时的有效保存时间是120h，则该疫苗在15℃时的有效保存时间为( )
A. 15hB. 30hC. 40hD. 60h
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数中，与y=x是同一个函数的是( )
A. y=3x3B. y= x2C. y=lnexD. y=10lgx
10.下列函数周期为π的是( )
A. y=sinxB. y=|csx|
C. y=tanxD. y=2sin(2x+π4)
11.若a>b>0，0A. lgcacbC. ac>bcD. lgc(a+b)>0
12.有如下命题，其中真命题的标号为( )
A. 若幂函数y=f(x)的图象过点(2,12)，则f(3)>12
B. 函数f(x)=ax−1+1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点(1,2)
C. 函数f(x)=x2−1−lg2x有两个零点
D. 若函数f(x)=x2−2x+4在区间[0,m]上的最大值为4，最小值为3，则实数m的取值范围是[1,2]
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若函数f(x)=3,x>0x2+1,x≤0，则f(f(−1))= ______．
14.tan240°=______．
15.已知扇形的圆心角为120°，弧长为2π，则扇形面积为______．
16.已知x>1，则x+1x−1的最小值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知集合A={−1,0,1}，B={0,2}，U={−1,0,1,2,3}．
(1)求A∪B；
(2)求∁U(A∩B)．
18.(本小题12分)
已知函数f(x)满足f(x+1)= x+a，且f(1)=1．
(1)求a的值和函数f(x)的解析式；
(2)判断f(x)在其定义域的单调性并加以证明．
19.(本小题12分)
已知f(x)= 2sin(2x+π4)．
(1)求函数f(x)图象的对称轴方程．
(2)求f(x)的单调递增区间．
(3)当x∈[π4,3π4]时，求函数f(x)的最大值和最小值．
20.(本小题12分)
某商场某月1号至30号某款小商品的销售量(台)和价格(元)均为销售日期t(几号)的函数，已知销售量近似地满足f(t)=−2t+100，且1号至15号价格满足g(t)=12t+15，16号至30号的价格满足g(t)=15．
(1)求该小商品的日销售额S(元)与销售日期t的函数关系；
(2)求日销售额S(元)的最大值及此时t的值．
21.(本小题12分)
已知csα=35，α∈(−π2,0)．
(1)求cs2α，sin2α的值；
(2)求sin(π3−α)的值．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=2x+a⋅2−x(x∈R,a为常数)是奇函数．
(1)求实数a的值；
(2)求不等式f(x2−2x)+f(2−x)>0的解集．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵x2−x−6≥0，∴(x−3)(x+2)≥0，∴x≥3或x≤−2，
N=(−∞,−2]∪[3,+∞)，则M∩N={−2}．
故选：C．
先把集合N表示出来，再根据交集的定义计算即可．
本题考查集合的运算，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：对于A：根据一次函数的性质可知，f(x)=−x+1在[2,+∞)上单调递减．故A错误；
对于B：f(x)=2在[2,+∞)上为常值函数，故B错误；
对于C：f(x)=3x在[2,+∞)上单调递减．故C错误；
对于D：f(x)=x2−2x−3为二次函数，开口向上，对称轴为x=1，所以f(x)=−x+1在[2,+∞)上单调递增．
故选：D．
由已知结合基本初等函数的单调性检验各选项即可判断．
本题主要考查了函数单调性的判断，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：若a=1，b=−1，满足a>b，但a2>b2不成立，
若a=−1，b=0，满足a2>b2，但a>b不成立，
故“a>b”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件，
故选：D．
根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．
4.【答案】B
【解析】解：命题为全称命题，则命题的否定为∃a∈R，x2−ax+1=0无实数解，
故选：B．
根据含有量词的命题的否定即可得到结论．
本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查函数的定义域及其求法，属于基础题．
由对数式的真数大于0，根式内部的代数式大于等于0，联立不等式组求解．
【解答】
解：要使原函数有意义，则x>02−x≥0，即0∴函数f(x)=lg2x+ 2−x的定义域为(0,2]．
故选：D．
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查对数的运算法则，属容易题．
根据对数运算法则可直接得到答案．
【解答】
解：∵2lg510+lg50.25
=lg5100+lg50.25
=lg5(100×0.25)
=lg525
=2
故答案选：C．
7.【答案】B
【解析】解：∵sin2α=−14，则sin2(α+π4)=1−cs(2α+π2)2=1+sin2α2=38，
故选：B．
由题意利用二倍角公式、诱导公式，求得结果．
本题主要考查二倍角公式、诱导公式的应用，属于基础题．
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查函数的实际应用，掌握指数函数的公式是解本题的关键，属于基础题．
根据已知条件，结合指数函数的公式，即可求解．
【解答】
解：T=ekt+b，
当t=0时，T=eb=1080，
当t=10时，120=e10k⋅eb=e10k×1080，解得e5k=13，
当t=15时，T=e15k⋅eb=(e5k)3⋅eb=127×1080=40．
故选：C．
9.【答案】AC
【解析】解：A．y=3x3=x，函数的定义域为R，与y=x是同一函数，
B.y= x2=|x|，与y=x的对应法则不相同，不是同一函数，
C.y=lnex=x，函数的定义域为R，与y=x是同一函数，
D.=10lgx=x(x>0)，函数的定义域与y=x不相同，不是同一函数，
故选：AC．
分别判断函数的定义域和对应法则是否与y=x相同即可．
本题主要考查同一函数的判断，判断函数的定义域和对应法则是否相同是解决本题的关键，是基础题．
10.【答案】BCD
【解析】解：对于A，T=2π1=2π，故A错误；
对于B，T=π1=π，故B正确；
对于C，T=π1=π，故C正确；
对于D，T=2π2=π，故D正确．
故选：BCD．
根据三角函数的周期公式即可求解．
本题考查了三角函数的周期公式，属于基础题．
11.【答案】AC
【解析】解：a>b>0，0bc，lgc(a+b)与0的大小关系不确定．
只有AC正确．
故选：AC．
利用不等式的基本性质、函数的单调性即可判断出正误．
本题考查了不等式的基本性质、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
12.【答案】BD
【解析】解：若幂函数y=f(x)的图象过点(2,12)，可得幂函数为：f(x)=x−1，则f(3)=13>12，不正确；
函数f(x)=ax−1+1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点(1,2)正确；
函数f(x)=x2−1−lg2x有两个零点，由函数的图象如图可知：函数只有1个零点，C不正确；
∵函数f(x)=x2−2x+4的对称轴为x=1，此时，函数取得最小值为3，
当x=0或x=2时，函数值等于4．
且函数f(x)=x2−2x+4在区间[0,m](m>0)上的最大值为4，最小值为3，
∴实数m的取值范围是[1,2]，
函数f(x)=x2−2x+4在区间[0,m]上的最大值为4，最小值为3，则实数m的取值范围是[1,2]，正确；
故选：BD．
利用幂函数转化求解判断A的正误；指数函数的特殊点判断B的正误；函数的零点判断C的正误；二次函数的最值判断D的正误；
本题考查命题的真假的判断与应用，考查知识点比较多，是中档题．
13.【答案】3
【解析】解：f(−1)=(−1)2+1=2，所以f(f(−1))=f(2)=3．
故答案为：3．
由解析式先求出f(−1)=2，然后即求f(f(−1))=3的函数值即可．
本题主要考查函数的值，属于基础题．
14.【答案】 3
【解析】解：tan240°=tan(180°+60°)=tan60°= 3
故答案为 3
把240°用180°+60°表示，再用诱导公式，化简为tan60°，即可求出函数值．
本题主要考查诱导公式在求一些较大角时的应用，考察了学生的转化能力．
15.【答案】3π
【解析】解：∵α=120°=2π3，l=αr=2π，
∴r=lα=2π2π3=3，
∴S=12lr=12×2π×3=3π．
故答案为：3π．
化角度为弧度，由弧长求得半径，再由扇形面积公式计算．
本题主要考查了弧长公式和扇形的面积公式的综合应用，是基础题．
16.【答案】3
【解析】解：∵x>1，∴x−1>0，
x+1x−1=(x−1)+1x−1+1≥2 (x−1)⋅1x−1+1=3，
当且仅当x=2时，等号成立．
故x+1x−1的最小值为3．
故答案为：3．
直接利用关系式的变换和基本不等式的应用求出结果．
本题考查了基本不等式性质的应用，属于基础题．
17.【答案】解：(1)因为A={−1,0,1}，B={0,2}，
所以A∪B={−1,0,1,2}．
(2)因为U={−1,0,1,2,3}，A={−1,0,1}，B={0,2}，
所以A∩B={0}，
所以∁U(A∩B)={−1,1,2,3}．
【解析】(1)根据并集的定义计算可得；
(2)根据交集、补集的定义计算可得；
本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题．
18.【答案】解：(1)根据题意，函数f(x)满足f(x+1)= x+a= (x+1)+a−1，
则有f(x)= x+a−1，
又由f(1)=1，则有f(1)= a=1，解可得a=1，
则f(x)= x(x≥0)，
(2)根据题意，由(1)的结论f(x)= x(x≥0)，在其定义域上为增函数，下面证明．
设0≤x1又由0≤x1即函数f(x)在其定义域上为增函数．
【解析】本题考查函数单调性的证明，涉及函数解析式的求解，属于中档题．
(1)根据题意，分析有f(x+1)= x+a= (x+1)+a−1，变形可得f(x)= x+a−1，结合f(1)=1求出a的值，即可得答案；
(2)根据题意，利用作差法，结合函数单调性的定义证明即可．
19.【答案】解：(1)由f(x)= 2sin(2x+π4)，
令2x+π4=kπ+π2，k∈Z，
解得x=kπ2+π8，k∈Z；
所以函数f(x)图象的对称轴方程是x=kπ2+π8，k∈Z；
(2)令2kπ−π2≤2x+π4≤2kπ+π2，k∈Z，
解得kπ−3π8≤x≤kπ+π8，k∈Z；
所以f(x)的单调递增区间为[kπ−3π8,kπ+π8]，k∈Z；
(3)当x∈[π4,3π4]时，3π4≤2x+π4≤7π4，
所以−1≤sin(2x+π4)≤ 22，
所以− 2≤f(x)≤1；
所以当x∈[π4,3π4]时，函数f(x)的最大值为1，最小值为− 2．
【解析】(1)由正弦函数的图象与性质，求出函数f(x)图象的对称轴方程；
(2)令2kπ−π2≤2x+π4≤2kπ+π2，k∈Z求出f(x)的单调递增区间；
(3)利用正弦函数的图象与性质求出x∈[π4,3π4]时f(x)的最大、最小值．
本题考查了正弦函数的图象与性质的应用问题，是基础题．
20.【答案】解：(1)当1≤t≤15，t∈N*时，
S=f(t)⋅g(t)=(−2t+120)(12t+10)=−t2+40t+1200，
当16≤t≤30，t∈N*时，
S=f(t)⋅g(t)=15(−2t+120)，
故S=−t2+40t+1200,1≤t≤15,t∈N*15(−2t+120),16≤t≤30,t∈N*．
(2)当1≤t≤15，t∈N*时，
S=−t2+40t+1200=−(t−20)2+1600，
当t=15时，S取得最大值1575，
当16≤t≤30，t∈N*时，
S=15(−2t+120)=−30t+1800为减函数，
当t=16时，S取得最大值为1320，
而1575>1320，
故当t=15时，日销售额S最大，最大值为1575元．
【解析】本题主要考查分段函数的实际应用，掌握分类讨论的思想是解本题的关键，属于中档题．
(1)利用S=f(t)⋅g(t)，求出函数的解析式．
(2)利用函数的解析式，通过分段函数分别求出函数的最值，即可求解．
21.【答案】解：(1)因为csα=35，α∈(−π2,0)，
所以sinα=−45；
所以cs2α=2cs2α−1=−725，sin2α=2sinαcsα=−2425；
(2)sin(π3−α)=sinπ3csα−csπ3sinα= 32×35−12×(−45)=3 3+410．
【解析】(1)由已知结合同角平方关系先求出sinα，然后结合二倍角公式可求；
(2)结合两角差的正弦公式即可求解．
本题主要考查了和差角公式及二倍角公式的应用，属于基础题．
22.【答案】解：(1)解法一：由函数f(x)=2x+a⋅2−x(x∈R,a为常数)是奇函数．
令x=0，则f(0)=1+a=0，即得a=−1，
经检验当a=−1时，f(x)=2x−2−x，f(x)为奇函数．
解法二：由函数f(x)=2x+a⋅2−x(x∈R,a为常数)是奇函数．
得f(−x)=−f(x)，即2−x+a⋅2x=−2x−a⋅2−x，即(1+a)(2−x+2x)=0，所以a=−1．
(2)由(1)可知f(x)=2x+2−x，
任取x1，x2∈R，且x1f(x1)−f(x2)=2x1−12x1−2x2+12x2=2x1−2x2−12x1+12x2=(2x1−2x2)(1+12x1⋅2x2)，
因为x1，x2∈R且x1则f(x)在R上是严格增函数，
由f(x2−2x)+f(2−x)>0，得f(x2−2x)>−f(2−x)，即f(x2−2x)>f(x−2)，
因为x2−2x>x−2，即x2−3x+2>0，解得x<1或x>2，
故不等式f(x2−2x)+f(2−x)>0的解集为(−∞,1)∪(2,+∞)
【解析】本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合，考查函数单调性的判断，不等式的解法，考查运算求解能力，属于中档题．
(1)解法一：由定义在R上的奇函数的性质可得f(0)=0，即可求解a的值，验证可得结论；
解法二：由奇函数的性质f(−x)=−f(x)，即可求解a的值；
(2)利用定义法判断f(x)的单调性，结合函数的奇偶性将不等式进行转化，即可求解．