黑龙江省哈尔滨市南岗区工业大学附属中学2023-2024学年九年级上学期开学考试数学(五四制)试题

这是一份黑龙江省哈尔滨市南岗区工业大学附属中学2023-2024学年九年级上学期开学考试数学(五四制)试题，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了顶点式解析式的组成特点：中顶点坐标为．据此即可求解．
【详解】解：抛物线为，
顶点坐标是，
故选：A．
2. 二次函数的最大值为0，则的值等于（ ）
A. 4B. C. D. 16
【答案】B
【解析】
【分析】将二次函数化为顶点式，根据题意得出，即可求解．
【详解】解：∵的最大值为0，
∴，
解得：，
故选：B．
【点睛】本题考查了求二次函数的最值，化为顶点式是解题的关键．
3. 用配方法将二次函数y=x2﹣8x﹣9化为y=a（x﹣h）2+k的形式为（ ）
A. y=（x﹣4）2+7B. y=（x+4）2+7C. y=（x﹣4）2﹣25D. y=（x+4）2﹣25
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用配方法进而将原式变形得出答案．
【详解】y=x2-8x-9
=x2-8x+16-25
=（x-4）2-25．您看到的资料都源自我们平台，20多万份最新小初高试卷，家威鑫 MXSJ663 性价比最高 故选C．
【点睛】此题主要考查了二次函数的三种形式，正确配方是解题关键．
4. 如图中，，则点到的距离为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的应用，三角函数的应用，点到直线的距离，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义．先求出，再用三角函数定义，求出，即可得出答案．
【详解】解：过点A作于点D，如图所示：

∵，，
∴，
在中，，
∴点A到的距离为，故A正确．
故选：A．
5. 将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线的函数关系表达式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．
【详解】解：将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线的函数关系表达式是，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移规律：上加下减，左加右减是解题的关键．
6. 如图所示，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为（ ）
A. 4B. 4.5C. 4.8D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可．
【详解】解：∵直线，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确比例式是解此题的关键．
7. 如图，在直角坐标系中，与是位似图形，则它们位似中心坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分别连接、、，其所在直线交于点，即可得到答案．
【详解】如图，分别连接、、，其所在直线交于点
则点G为所求的位似中心，
故选：C．
【点睛】本题考查了确定位似中心，即延长对应点的连线，其交点即为位似中心，熟练掌握知识点是解题的关键．
8. 如图，在中，，，，则的长为( )

A. 3B. C. D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】解：过点A作交的延长线于点D，解直角三角形得，由勾股定理得：，求得的长，在中，由勾股定理即可求解．
【详解】解：过点A作交的延长线于点D，

∵，，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
在中，由勾股定理得：，
故选B．
【点睛】本题考查了解直角三角形和勾股定理，正确作辅助线构造直角三角形是解题的关键．
9. 如图，的顶点在正方形网格的格点上，则的值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据网格构造直角三角形，由勾股定理可求，再根据三角函数的意义可求出的值．
【详解】解：如图，取网格点D，连接，

由网格图，可得：，，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理以及求一个角的正切值的知识，利用网格构造直角三角形是解决问题的关键．
10. 如图，点F时平行四边形的边上一点，直线交的延长线与点E，则下列结论错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质得到，进而证明，，根据相似三角形的性质即可得到答案．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，，
∴，，故A、B不符合题意，C符合题意；
∴，
∴，即，故D不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，证明，是解题的关键．
二、填空题（每题3分，共30分）
11. 抛物线的对称轴是___________．
【答案】直线
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，能熟记二次函数的性质的内容是解此题的关键．抛物线的对称轴为直线．
【详解】解：抛物线为，
抛物线的对称轴为直线，
故答案：直线．
12. 抛物线与y轴的交点坐标是_________．
【答案】
【解析】
【分析】与轴交点的特点为，令，求出的值，即可求出抛物线与轴的交点坐标．
【详解】令抛物线中，
即，
解得，
故与轴的交点坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了抛物线与y轴的交点坐标，解题的关键是令，求出的值．
13. 已知点，在二次函数的图像上，则_______（填“>”“
【解析】
【分析】由抛物线开口向上可得，距离对称轴越远的点，值越大，从而求解．
【详解】由可得抛物线开口向上，对称轴为
∵
∴
故答案为：＞．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握比较函数值大小的方法．
14. 如图，点D、E分别在上，且．若，则的长为_______

【答案】10
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，由于，加上，则可判断，根据相似三角形的性质得，然后利用比例性质求出即可，利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件判定三角形相似是解决此题的关键．
【详解】∵，
而，
∴，
∴，即，
∴．
故答案为：10．
15. 已知二次函数的部分图象如图所示，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像的对称性是解答此题的关键．由已知的图像可知二次函数图像的对称轴为直线， 即可求出b，由二次函数图像与y轴交点即可求解．
【详解】解：二次函数与y轴交点为，
即，
对称轴为直线，即，
解得：，
故答案为：．
16. 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，tan∠B，AB＝10，则AC＝__．
【答案】
【解析】
【分析】设AC的长为k，那么根据tan∠B =及勾股定理可以得到关于k的方程，解方程即可得到k即AC的值．
【详解】设AC的长为k，则BC的长为2k，∵∠C＝90°，AB＝10，∴AC2＋BC2＝AB2，
即k2＋4k2＝100，解得k（负值已舍去），∴AC，
故答案为：．
【点睛】本题考查解直角三角形与一元二次方程的综合应用，灵活运用锐角三角函数定义和勾股定理设未知数列方程求解是解题关键．
17. 如图，在中，于点H，，，且，则 ___________.
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，勾股定理，一元二次方程的应用，过点C作，垂足为D，先得到为等腰直角三角形，设，利用勾股定理得到，将看成一个整体进行求解即可．
【详解】解：如图，过点C作，垂足为D，
，
为等腰直角三角形，
设，
，
，，
在中，
，
，
在中，
，
，
在中，，
，
整理得：，
两边取平方得：，
，
，
或，
当时，即，
此时，，，
，
（舍去），
，
故答案为：6．
18. 二次函数图象与轴交于点，则与图象轴的另一个交点的坐标为__．
【答案】
【解析】
【分析】确定函数的对称轴为：，即可求解．
【详解】解：函数的对称轴为：，故另外一个交点的坐标为，
故答案为．
【点睛】本题考查的是抛物线与轴的交点和函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数与坐标轴的交点、二次函数的对称轴是解题的关键．
19. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4，点P在边AB上，若△APC为以AC为腰的等腰三角形，则tan∠BCP=________．

【答案】或
【解析】
【分析】根据勾股定理求出AC，分AC=AP和CA=CP两种情况，根据相似三角形的性质定理得到比例式，进行计算，根据正切的定义解答即可．
【详解】∵∠C=90°，AB=5，BC=4，
∴AC==3．
如图1，当AC=AP时，作PD⊥BC于D，则BP=AB-AP=2，
∵∠C=90°，PD⊥BC，
∴PD∥AC，
∴，
∴，
解得，BD=1.6，PD=1.2，
则CD=4-1.6=2.4，
tan∠BCP=；
如图2，当CP=CA时，作CE⊥AB于E，PD⊥BC于D，
∵∠C=90°，CE⊥AB，
∴AC2=AE•AB，
解得，AE=1.8，
∵CP=CA，
∴PE=AE=1.8，
则BP=1.4，
PD∥AC，
∴，
∴，
解得，BD=，PD=，
则CD=4-=，
tan∠BCP=，
故答案为或．
【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义等腰三角形的性质、直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质，掌握相关的性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
20. 如图，点E在正方形的边上，，过点D作的垂线交于F，点G为垂足，若，则的长为___________.
【答案】；
【解析】
【分析】本题考查三角形相似的判定与性质，正方形的性质，根据得到，根据正方形得到，设正方边长为，证明，求出从而得到，再证明结合性质可得到答案；
【详解】解：∵，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
设正方边长为，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
即：，
解得：，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题（每题10分，共40分）
21. 先化简，再求代数式的值，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】先根据分式的各个运算法则化简，然后根据60°的正弦值和45°的正切值求出x，最后代入求值即可．
【详解】解：原式
∴原式
【点睛】此题考查的是分式的化简求值题和特殊角的锐角三角函数值，掌握分式的各个运算法则、60°的正弦值和45°的正切值是解决此题的关键．
22. 如图，在小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段，点，均在小正方形的顶点上．
（1）在图中画出一个以线段为一边的平行四边形，点，均在小正方形的顶点上，且平行四边形的面积为10；

（2）在图中画一个钝角三角形，点在小正方形的顶点上，且三角形面积为4，．请直接写出的长．

【答案】（1）画图见解析；（2）画图见解析，
【解析】
【分析】（1）由图可知A、B间的垂直方向长为2，要使构建平行四边形ABCD的面积为，则可以在A的水平方向取一条长为5的线段，可得点D； 同理确定C即可；
（2）由图可知A、B间的垂直方向长为2，要使构建的钝角三角形ABE面积为，则可以在A的水平方向取一条长为的线段，可得点E，且，BE的长可以根据勾股定理求得．
【详解】解：（1）在A的水平方向取一条长为5的线段，再取在B的水平方向取一条长为5的线段，四边形即为所求．

（2）在A的水平方向取一条长为的线段，则 为钝角，
过作于 则
所以即为所求．
此时：
【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与作图，利用直角三角形的性质与锐角三角函数作符合条件的钝角三角形，掌握以上知识是解题的关键．
23. 如图，是的中线，是锐角，，，．

（1）求的长．
（2）求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）过点作于点，根据勾股定理解，求得，，再由的值可得为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得，则可求；
（2）由中线的性质可得，再求出，则可根据正切的定义求．
【小问1详解】
解：过点作于点，

在中，
，
，
，
，
，，
在中，
，
，
为等腰直角三角形，
，
；
【小问2详解】
解：为边上的中线，
，
，
．
【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义和勾股定理是解题的关键．
24. 如图，抛物线经过点，，交y轴于点C．
（1）求抛物线的解析式：
（2）点D为对称轴轴右侧抛物线上一点，，求出点D坐标．
（3）在（2）的条件下，P为线段上一动点，连接，当时，直接写出P点坐标．
【答案】（1）
（2）或
（3）不存在
【解析】
【分析】（1）把、点代入抛物线得到关于、的方程组，解方程组求出、得到抛物线解析式；
（2）先确定，设，根据建立方程求解即可；
（3）设点P的坐标是，由结合勾股定理建立方程求解即可．
【小问1详解】
解∶抛物线经过点，
，
解得，
抛物线的解析式为；
【小问2详解】
由题意得：
，
设，
，
，
，
，
或，
整理得∶或
解得∶
点D为对称轴轴右侧抛物线上一点
(舍去)，
点的坐标是或．
【小问3详解】
设点P的坐标是，
P为线段上一动点，
，
由题可知：点C的坐标是，
，
，
在中：，
，
当点的坐标是时，
，
由可得：，
故方程无解；
当点的坐标是时，，
由可得：，
解得：（舍去），
故点P坐标不存在．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数面积问题、解一元二次方程，勾股定理等知识，属于中考题型．