黑龙江省哈尔滨市哈工大附中校2023-2024学年高二下学期开学考试数学试题（原卷版+解析版）

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1 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 将圆x2+y2 -2x-4y+1=0平分的直线是
A. x+y-1=0B. x+y+3=0C. x-y+1=0D. x-y+3=0
3. 命题方程表示焦点在轴上椭圆，则使命题成立的充分必要条件是（ ）
A. B.
C D.
4. 两条平行线，间的距离等于（ ）
A. B. C. D.
5. 已知平面向量，则向量在向量上的投影向量是（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知，，，则（ ）
A. B.
C. D.
7. 椭圆上的动点到定点距离的最大值为（ ）
A. B. C. D. 3
8. 椭圆，点，为椭圆在左、右焦点，在椭圆上存在点，使，则椭圆的离心率范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 以直角边长为2的等腰直角三角形的一边所在直线为旋转轴，将该三角形旋转一周所得几何体的体积可以为（ ）
A. B. C. D.
10. 已知函数，下列结论中正确的是（ ）
A. 函数的周期为
B. 直线是函数图象的一条对称轴
C. 函数的单调递增区间为
D. 函数是偶函数
11. 已知双曲线的左，右焦点分别是，，左，右顶点分别是A，B，点P在C上，l是C的一条渐近线，O是坐标原点，则下列说法正确的是（ ）
A. 焦点到l的距离为1
B. 若，则的面积为1
C. 若l的倾斜角为30°，则其实轴长为
D. 若直线PA，PB的斜率分别为，则
12. 已知抛物线：的焦点为，点为抛物线上一动点，点，则（ ）
A. 抛物线准线方程为
B. 的最小值为
C. 当时，则抛物线在点处的切线方程为
D. 过的直线交抛物线于，两点，则弦的长度为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 复数的虚部为______（其中为虚数单位）.
14. 已知是奇函数，且当时，，则________．
15. 设椭圆C：的焦点分别为，，过的直线与椭圆相交于A，B两点，则的周长为________．
16. 已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，若C与直线有交点，且双曲线上存在不是顶点的P，使得，则双曲线离心率取值范围范围为___________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 在中，角所对的边分别为，且满足.
（1）求角的大小；
（2）若边长，求面积的最大值.
18. 舟山某校组织全体学生参加了海洋文化知识竞赛，随机抽取了400名学生进行成绩统计，将数据按照分成5组，制成如图所示的频率分布直方图：

（1）根据频率分布直方图，求；
（2）根据频率分布直方图，估计样本的平均成绩；
（3）用分层抽样的方法在这两组学生内抽取5人，再从这5人中选2人进行问卷调查，求所选的两人恰好都在的概率．
19 已知圆，直线l过点．
（1）若直线l的斜率为，求直线l被圆C所截得的弦长；
（2）若直线l与圆C相切，求直线l的方程．
20. 已知抛物线C：上一点M到其焦点的距离为3，到y轴的距离为2．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若不过原点O的直线l：与抛物线C交于A，B两点，且，求实数m的值．
21. 已知椭圆过点.
（1）求椭圆的离心率；
（2）过点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点，椭圆的左顶点为A，求直线与直线的斜率之积.
22. 已知点，，动点满足直线与的斜率之积为，记动点的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）过点的直线与曲线交于两点，直线与相交于．求证：点在定直线上．