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    2024春八下数学第四章因式分解3公式法第2课时上课课件(北师大版)

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    初中3 公式法授课课件ppt

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    这是一份初中3 公式法授课课件ppt,共26页。PPT课件主要包含了因式分解,1提公因式法,2平方差公式,拼出图形为,观察这两个式子,完全平方式,+b2,a±b²,+尾2,±2×首×尾等内容,欢迎下载使用。
    把一个多项式转化为几个整式的积的形式.
    2. 我们已经学过哪些因式分解的方法?
    a2 - b2 = (a + b)(a - b)
    你能把下面 4 个图形拼成一个正方形,并求出你拼成的图形的面积吗?
    用完全平方公式分解因式
    这个大正方形的面积可以怎么求?
    (a + b)2
    a2 + 2ab + b2
    将上面的等式逆过来写,能得到:
    我们把 a² + 2ab + b² 和 a² - 2ab + b² 这样的式子叫做完全平方式.
    a2 - 2ab + b2
    (1)每个多项式有几项?
    (3)中间项和第一项,第三项有什么关系?
    (2)每个多项式的第一项和第三项有什么特征?
    这两项都是数或式的平方,并且符号相同
    是第一项和第三项底数的积的 ±2 倍
    完全平方式的特点: 1. 必须是三项式 (或可以看成三项的); 2. 有两个数或式的平方和; 3. 有两底数之积的 ±2 倍.
    简记口诀: 首平方,尾平方,首尾两倍在中央.
    凡具备这些特点的三项式,就是完全平方式. 将它写成完全平方的形式,便实现了因式分解.
    两个数的平方和加上(或减去) 这两个数的积的 2 倍,等于这两个数的和 (或差) 的平方.
    3. a² + 4ab + 4b² = ( )² + 2· ( ) ·( ) + ( )² = ( )²
    2. m² - 6m + 9 = ( )² - 2· ( ) ·( ) + ( )² = ( )²
    1. x² + 4x + 4 = ( )² + 2·( )·( ) + ( )² = ( )²
    对照 a²±2ab+b² = (a±b)²,填空:
    下列各式是不是完全平方式?(1)a2 - 4a + 4; (2)1 + 4a²;(3)4b2 + 4b - 1; (4)a2 + ab + b2; (5)x2 + x + 0.25.
    (2)因为它只有两项;
    (3)4b² 与 -1 的符号不统一;
    (4)因为 ab 不是 a 与 b 的积的 2 倍.
    例1 如果 x2 - 6x + N 是一个完全平方式,那么 N = ( ) A . 11 B. 9 C. -11 D. -9
    解析:根据完全平方式的特征,中间项-6x = 2x×(-3),故可知 N = (-3)2 = 9.
    变式训练 如果 x2 -mx + 16 是一个完全平方式,那么 m 的值为______.
    解析:由于16 = (±4)2,故 -m = 2×(±4),m = ±8.
    方法总结:本题要熟练掌握完全平方公式的结构特征, 根据参数所在位置,结合公式,找出参数与已知项之间的数量关系,从而求出参数的值.计算过程中,要注意积的 2 倍的符号,避免漏解.
    例2 分解因式:(1) 16x2 + 24x + 9; (2) -x2 + 4xy - 4y2.
    分析:(1)中 16x2 = (4x)2,9 = 3²;24x = 2×4x·3;所以16x2+24x+9 是一个完全平方式,即 16x2 + 24x + 9 = (4x)2 + 2×4x·3 + (3)2.
    (2)中首项有负号,一般先利用添括号法则,将其变形为 - (x2 - 4xy+ 4y2 ),然后再利用公式分解因式.
    解:(1) 16x2 + 24x + 9
    = (4x + 3)2.
    = (4x)2 + 2·4x·3 + (3)2
    (2) -x2 + 4xy - 4y2
    = -(x2 - 4xy + 4y2)
    = -(x - 2y)2.
    (2) 原式 = (a + b)2 - 2·(a + b) ·6 + 62 = (a + b - 6)2.
    例3 把下列各式分解因式:(1) 3ax2 + 6axy + 3ay2; (2) (a + b)2 - 12(a + b) + 36.
    解:(1) 原式 = 3a(x2 + 2xy + y2) = 3a(x + y)2.
    分析:(1) 中有公因式 3a,应先提出公因式,再进一步分解因式;
    (2) 中将 a + b 看成一个整体,则原式也是个完全平方式.
    利用公式把某些具有特殊形式(如平方差式,完全平方式等)的多项式分解因式,这种分解因式的方法叫做公式法.
    因式分解:(1) -3a2x2+24a2x - 48a2;(2) (a2+4)2 - 16a2.
    =(a2+4+4a)(a2+4 - 4a)
    解:(1) 原式=-3a2(x2 - 8x+16)
    =-3a2(x - 4)2.
    (2) 原式=(a2+4)2 - (4a)2
    =(a+2)2(a - 2)2.
    要检查每一个多项式的因式,看能否继续分解
    例4 把下列完全平方公式分解因式:(1) 1002 - 2×100×99+99²;(2) 342+34×32+162.
    解:(1) 原式 = (100 - 99)²
    (2) 原式 = (34+16)2
    本题利用完全平方公式分解因式,可以简化计算.
    例5 已知 x2-4x+y2-10y+29=0,求 x2y2+2xy+1 的值.
    解:∵x2-4x+y2-10y+29=0,
    ∴(x-2)2+(y-5)2=0.
    ∵(x-2)2≥0,(y-5)2≥0,
    ∴x-2=0,y-5=0.
    ∴x2y2+2xy+1=(xy+1)2
    几个非负式的和为 0,则这几个非负式都为 0.
    方法总结:此类问题一般情况是通过配方将原式转化为非负式的和的形式,然后利用非负式性质解答问题.
    例6 已知 a,b,c 分别是△ABC 三边的长,且 a2+2b2+c2-2b(a+c) = 0,请判断△ABC 的形状,并说明理由.
    ∴△ABC 是等边三角形.
    解:由 a2+2b2+c2-2b(a+c)=0,得 a2-2ab+b2+b2-2bc+c2=0,
    即 (a-b)2+(b-c)2=0,
    ∴ a-b=0,b-c=0,∴ a=b=c.
    1. 下列四个多项式中,能因式分解的是 ( ) A.a2+1 B.a2-6a+9 C.x2+5y D.x2-5y
    2. 把多项式 4x2y-4xy2-x3 分解因式的结果是 ( ) A.4xy(x-y)-x3 B.-x(x-2y)2 C.x(4xy-4y2-x2) D.-x(-4xy+4y2+x2)
    3. 若 m = 2n+1,则 m2-4mn+4n2 的值是_____.
    4. 若关于 x 的多项式 x2-8x+m2 是完全平方式,则 m 的值为______.
    5. 把下列多项式因式分解. (1) x2 - 12x + 36; (2) 4(2a + b)2 - 4(2a + b) + 1; (3) y2 + 2y + 1 - x2.
    解:(1) 原式 = x2 - 2·x·6 + (6)2 = (x - 6)2.
    (3) 原式 = ( y + 1)² - x² = (y + 1 + x)( y + 1 - x).
    (2) 原式 = [ 2(2a + b) ]² - 2·2(2a + b)·1 + ( 1 )² = (4a + 2b - 1)2.
    解:(1) 原式 = (38.9-48.9)2
    7. 分解因式:(1) 4x2+4x+1;(2) 小聪和小明的解答过程如下:
    他们做对了吗?若错误,请你帮忙纠正过来.
    解:(1) 原式=(2x)2+2×2x • 1+1=(2x+1)2.
    8. (1) 已知 a-b=3,求 a(a-2b)+b2 的值; (2) 已知 ab=2,a+b=5,求 a3b+2a2b2+ab3 的值.
    原式=2×52 = 50.
    解:(1) 原式=a2-2ab+b2=(a-b)2.
    当 a-b=3 时,原式=32=9.
    (2) 原式=ab(a2+2ab+b2)=ab(a+b)2.
    当 ab=2,a+b=5 时,

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