专题67 反比例函数背景下的全等、相似问题（讲+练）-备战2023年中考数学解题大招复习讲义（全国通用）

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考点1 反比例函数与全等三角形综合问题
【例1】．如图，把一个等腰直角三角形放在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，点C（﹣1，0），点B在反比例函数y＝的图象上，且y轴平分∠BAC，则k的值是________
解：如图，过点B作BD⊥x轴于D，在OA上截取OE＝OC，连接CE，
∵点C（﹣1，0），
∴CO＝1，
∴CO＝EO＝1，
∴∠CEO＝45°，CE＝，
∵△BAC为等腰直角三角形，且∠ACB＝90°，
∴BC＝AC，∠OCA+∠DCB＝90°，∠CAB＝45°，
∵∠OCA+∠OAC＝90°，
∴∠OAC＝∠BCD，
在△OAC和△DCB中
，
∴△OAC≌△DCB（AAS），
∴AO＝CD，OC＝BD＝1，
∵y轴平分∠BAC，
∴∠CAO＝22.5°，
∵∠CEO＝∠CEA+∠OAC＝45°，
∴∠ECA＝∠OAC＝22.5°，
∴CE＝AE＝，
∴AO＝1+＝CD，
∴DO＝，
∴点B坐标为（，﹣1），
∵点B在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝﹣1×＝﹣，
变式训练
【变1-1】．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在x轴上，点C在y轴上，∠BAC＝30°，点A的坐标为（﹣3，0），将△ABC沿直线AC翻折，点B的对应点D恰好落在反比例函数的图象上，则k的值为（ ）
A．B．﹣2C．4D．﹣4
解：如图，过点D作DE⊥y轴于点E．
由对称可知CD＝BC，
易证△DCE≌△BCO（AAS），
∴CE＝CO，DE＝OB，
∵∠BAC＝30°，OA＝3
∴OC＝OA＝，
∠OCB＝30°，
∴OB＝OC＝1，
∴DE＝OB＝1，CE＝OC＝，OE＝2，
|k|＝DE•OE＝1×2＝2，
∵反比例函数图象在第二象限，
∴k＝﹣2，
故选：B．
【变1-2】．如图，点A是反比例函数y＝图象上的一动点，连接AO并延长交图象的另一支于点B．在点A的运动过程中，若存在点C（m，n），使得AC⊥BC，AC＝BC，则m，n满足_______(填等量关系）
解：如图，连接OC，过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥y轴于点F，
∵由直线AB与反比例函数y＝的对称性可知A、B点关于O点对称，
∴AO＝BO．
又∵AC⊥BC，AC＝BC，
∴CO⊥AB，CO＝AB＝OA，
∵∠AOE+∠AOF＝90°，∠AOF+∠COF＝90°，
∴∠AOE＝∠COF，
又∵∠AEO＝90°，∠CFO＝90°，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE＝OF，AE＝CF，
∵点C（m，n），
∴CF＝﹣m，cF＝n，
∴OE＝﹣m，AE＝n，
∴A（﹣m，n），
∵点A是反比例函数y＝图象上，
∴﹣mn＝4，即mn＝﹣4，
考点2 反比例函数与相似三角形综合问题
【例2】．如图，在平面直角坐标系中，四边形AOBD的边OB与x轴的正半轴重合，AD∥OB，DB⊥x轴，对角线AB，OD交于点M．已知AD：OB＝2：3，△AMD的面积为4．若反比例函数y＝的图象恰好经过点M，则k的值为（ ）
A．B．C．D．12
解：过点M作MH⊥OB于H．
∵AD∥OB，
∴△ADM∽△BOM，
∴＝（）2＝，
∵S△ADM＝4，
∴S△BOM＝9，
∵DB⊥OB，MH⊥OB，
∴MH∥DB，
∴＝＝＝，
∴OH＝OB，
∴S△MOH＝×S△OBM＝，
∵＝，
∴k＝，
故选：B．
变式训练
【变2-1】．如图，已知第一象限内的点A在反比例函数y＝上，第二象限的点B在反比例函数y＝上，且OA⊥OB，＝，则k的值为（ ）
A．B．﹣C．﹣D．﹣3
解：作AC⊥x轴于点C，作BD⊥x轴于点D．
则∠BDO＝∠ACO＝90°，
则∠BOD+∠OBD＝90°，
∵OA⊥OB，
∴∠BOD+∠AOC＝90°，
∴∠BOD＝∠AOC，
∴△OBD∽△AOC，
∴＝（）2＝（）2＝，
又∵S△AOC＝×4＝2，
∴S△OBD＝，
∴k＝﹣．
故选：B．
【变2-2】．如图，Rt△ABC的直角边BC在x轴正半轴上，斜边AC边上的中线BD反向延长线交y轴负半轴于E，双曲线的图象经过点A，若S△BEC＝8，则k等于（ ）
A．8B．16C．24D．28
解：∵BD为Rt△ABC的斜边AC上的中线，
∴BD＝DC，∠DBC＝∠ACB，
又∠DBC＝∠EBO，∴∠EBO＝∠ACB，
又∠BOE＝∠CBA＝90°，
∴△BOE∽△CBA，
∴＝，即BC×OE＝BO×AB．
又∵S△BEC＝8，即BC×OE＝2×8＝16＝BO×AB＝|k|．
又由于反比例函数图象在第一象限，k＞0．
所以k等于16．
故选：B．
【变2-3】．如图，在等腰△AOB中，AO＝AB，顶点A为反比例函数y＝（x＞0）图象上一点，点B在x轴的正半轴上，过点B作BC⊥OB，交反比例函数y＝的图象上于点C，连接OC交AB于点D，若△BCD的面积为2，则k的值为（ ）
A．18B．20C．22D．21
解：如图，过点A作AF⊥OB交x轴于F，交OC于点E，
∵OA＝AB，AF⊥OB，
∴OF＝FB＝OB，
∵BC⊥OB，
∴AF∥BC，
∴△ADE∽△BDC，，
∴BC＝2EF，
设OF＝a，则OB＝2a，
∴A（a，），C（2a，），
∴AF＝，BC＝，
∴AF＝2BC＝4EF，AE＝AF﹣EF＝3EF，
∵△ADE∽△BDC，
∴，
∴＝（）2＝，
∵△BCD的面积为2，
∴S△ADE＝，
∴＝，
∵＝，
∴EC＝OE，
∴＝，
∴＝，
∴S△AOE＝，
∵＝＝，
∴＝＝，
∴S△AOF＝S△AOE＝×＝10，
∴|k|＝10，
∵k＞0，
∴k＝20．
故选：B．

1．如图，AB⊥x轴，B为垂足，双曲线y＝（x＞0）与△AOB的两条边OA，AB分别相交于C，D两点，OC＝CA，且△ABC的面积为3，则k等于（ ）
A．4B．2C．3D．1
解：连接BC，过点C作CM⊥OB于M，
∵OC＝CA，即＝，
∴＝＝，
又∵△ABC的面积为3，
∴S△OBC＝，
又∵CM∥AB，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴S△OMC＝S△OBC＝＝|k|，
∵k＞0，
∴k＝1，
故选：D．
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，点A在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，点B，C在x轴上，OC＝OB，延长AC交y轴于点D，连接BD，若△BCD的面积等于1，则k的值为（ ）
A．3B．2C．D．4
解：作AE⊥BC于E，连接OA，
∵AB＝AC，
∴CE＝BE，
∵OC＝OB，
∴OC＝BC＝×2CE＝CE，
∵AE∥OD，
∴△COD∽△CEA，
∴＝（）2＝4，
∵△BCD的面积等于1，OC＝OB，
∴S△COD＝S△BCD＝，
∴S△CEA＝4×＝1，
∵OC＝CE，
∴S△AOC＝S△CEA＝，
∴S△AOE＝+1＝，
∵S△AOE＝k（k＞0），
∴k＝3，
故选：A．
3．如图所示，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，顶点A，B分别在反比例函数y＝（x＞0）与y＝﹣（x＜0）的图象上，则tan∠BAO的值为（ ）
A．B．C．D．
解：作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，如图，
∵顶点A，B分别在反比例函数y＝（x＞0）与y＝﹣（x＜0）的图象上，
∴S△AOC＝×|1|＝，S△BOD＝×|﹣5|＝，
∵∠AOB＝90°，
∴∠BOD+∠AOC＝90°，
∵∠AOC+∠OAC＝90°，
∴∠OAC＝∠BOD，
而∠ACO＝∠BDO，
∴△AOC∽△OBD，
∴＝（）2＝＝，
∴＝，
在Rt△AOB中，tan∠BAO＝＝，
故选：B．
4．如图，函数y＝﹣（x＜0）的图象经过Rt△ABO斜边OB的中点D，与直角边AB相交于C，连接AD．若AD＝3，则△ABO的周长为（ ）
A．12B．6+C．6+2D．6+2
解：如图，过点D作DE⊥AO于E，
∵点D是BO的中点，
∴AD＝BD＝DO＝3，
∴BO＝6，
∵DE⊥AO，AB⊥AO，
∴AB∥DE，
∴，
∴AB＝2DE，AO＝2EO，
∵S△DEO＝DE×EO＝，
∴S△ABO＝AB×AO＝2，
∵AB2+AO2＝OB2＝36，
∴（AB+AO）2＝36+8，
∴AB+AO＝2，
∴△ABO的周长＝AO+BO+AB＝6+2，
故选：D．
5．如图，长方形ABCD的顶点A、B均在y轴的正半轴上，点C在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，对角线DB的延长线交x轴于点E，连接AE，已知S△ABE＝1，则k的值是（ ）
A．1B．C．2D．4
解：延长DC与x轴交于点F，
∵ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AD∥BC∥OE，
∴△ABD∽△OBE，
∴＝，
即：AD•OB＝AB•OE，
又∵S△ABE＝1＝AB•OE，
∴AD•OB＝AB•OE＝2＝BC•OB，
即：S矩形OBCF＝BC•OB＝2＝|k|，
∴k＝2或k＝﹣2（舍去），
故选：C．
6．如图，直线y＝x+2与反比例函数y＝的图象在第一象限交于点P，若OP＝，则k的值为 3 ．
解：设点P（m，m+2），
∵OP＝，
∴＝，
解得m1＝1，m2＝﹣3（不合题意舍去），
∴点P（1，3），
∴3＝，
解得k＝3．
故答案为：3．
7．已知一次函数y＝2x+4的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，若这个一次函数的图象与一个反比例函数的图象在第一象限交于点C，且AB＝2BC，则这个反比例函数的表达式为 y＝ ．
解：∵一次函数y＝2x+4的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，
∴A（﹣2，0），B（0，4），
过C作CD⊥x轴于D，
∴OB∥CD，
∴△ABO∽△ACD，
∴＝＝，
∴CD＝6，AD＝3，
∴OD＝1，
∴C（1，6），
设反比例函数的解析式为y＝，
∴k＝6，
∴反比例函数的解析式为y＝．
故答案为：y＝．
8．在平面直角坐标系xOy中，点A，B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，且点A与点B关于直线y＝x对称，C为AB的中点，若AB＝4，则线段OC的长为 2 ．
解：设A（t，），
∵点A与点B关于直线y＝x对称，
∴B（，t），
∵AB＝4，
∴（t﹣）2+（﹣t）2＝42，
即t﹣＝2或t﹣＝﹣2，
解方程t﹣＝﹣2，得t＝﹣﹣2（由于点A在第一象限，所以舍去）或t＝﹣+2，
经检验，t＝﹣+2，符合题意，
∴A（﹣+2，+2），B（+2，﹣+2），
∵C为AB的中点，
∴C（2，2），
∴OC＝＝2．
故答案为2．
9．如图，△OMN是边长为10的等边三角形，反比例函数y＝（x＞0）的图象与边MN、OM分别交于点A、B（点B不与点M重合）．若AB⊥OM于点B，则k的值为 9 ．
解：过点B作BC⊥x轴于点C，过点A作AD⊥x轴于点D，如图，
∵△OMN是边长为10的等边三角形，
∴OM＝ON＝MN＝10，∠MON＝∠M＝∠MNO＝60°
设OC＝b，则BC＝，OB＝2b，
∴BM＝OM﹣OB＝10﹣2b，B（b，b），
∵∠M＝60°，AB⊥OM，
∴AM＝2BM＝20﹣4b，
∴AN＝MN﹣AM＝10﹣（20﹣4b）＝4b﹣10，
∵∠AND＝60°，
∴DN＝＝2b﹣5，AD＝AN＝2b﹣5，
∴OD＝ON﹣DN＝15﹣2b，
∴A（15﹣2b，2b﹣5），
∵A、B两点都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴k＝（15﹣2b）（2b﹣5）＝b•b，
解得b＝3或5，
当b＝5时，OB＝2b＝10，此时B与M重合，不符题意，舍去，
∴b＝3，
∴k＝b•b＝9，
故答案为：9．
10．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，C（0，﹣3），CD＝3AD，点A在反比例函数y＝图象上，且y轴平分∠ACB，求k＝ ．
解：过A作AE⊥x轴，垂足为E，
∵C（0，﹣3），
∴OC＝3，
∵∠AED＝∠COD＝90°，∠ADE＝∠CDO
∴△ADE∽△CDO，
∴，
∴AE＝1；
又∵y轴平分∠ACB，CO⊥BD，
∴BO＝OD，
∵∠ABC＝90°，
∴∠OCD＝∠DAE＝∠ABE，
∴△ABE∽△DCO，
∴
设DE＝n，则BO＝OD＝3n，BE＝7n，
∴，
∴n＝
∴OE＝4n＝
∴A（，1）
∴k＝．
故答案为：．
11．如图，矩形OABC的两边落在坐标轴上，反比例函数y＝的图象在第一象限的分支过AB的中点D交OB于点E，连接EC，若△OEC的面积为12，则k＝ 12 ．
解：如图，过点D、E分别作x轴的垂线，垂足分别为F、G，
则S△OBC＝S矩形OADF＝2S△OEG＝k，
又∵EG∥BC，
∴△OEG∽△OBC，
∴＝（）2＝2，
∴＝，
∴＝，
∴＝＝，
∴＝，
∴k＝12．
故答案为12．
12．如图，在平面直角坐标系中，∠OAB＝60°，∠AOB＝90°，反比例函数y1＝的图象经过点A，反比例函数y2＝﹣的图象经过点B，则m的值为 1 ．
解：作BH⊥x轴，垂足为H，AM⊥y轴，垂足为M，
∵∠OAB＝60°，∠AOB＝90°，
∴△BHO∽△AMO，
∴，
令OM＝a，则BH＝，
代入反比例函数y2＝﹣得：x＝，
∴OH＝，得：AM＝，
∴，
又∵AM•OM＝m，
∴m＝1．
故答案为1．
13．如图，线段OA与函数y＝（x＞0）的图象交于点B，且AB＝2OB，点C也在函数y＝（x＞0）图象上，连结AC并延长AC交x轴正半轴于点D，且AC＝3CD，连结BC，若△BCD的面积为3，则k的值为 ．
解：如图，分别过点A，B，C作x轴的垂线，垂足分别为M，E，F．
∴BE∥CF∥AM，
∴OB：OA＝BE：AM＝OE：OM＝1：3，
CD：AD＝DF：DM＝CF：AM＝1：4，
设点B的坐标为（a，b），
∴OE＝a，BE＝b，
∴AM＝3BE＝3b，OM＝3OE＝3a，
∴CF＝AM＝b，
∴C（a，b），
∴OF＝a，
∴FM＝OM﹣OF＝a，
∴DF＝FM＝a，
∴OD＝OM﹣DF﹣FM＝a．
∵△BCD的面积为3，
∴△ABC的面积＝3×△BCD的面积＝9，
∴△ABD的面积＝12．
∴△BOD的面积＝×△ABD的面积＝6．
∴•OD•BE＝a×b＝6．
解得k＝ab＝．
故答案为：．
14．如图，在平面直角坐标系中，点A、B在函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，过点A作x轴的垂线，与函数y＝﹣（x＞0）的图象交于点C，连接BC交x轴于点D．若点A的横坐标为1，BC＝3BD，则点B的横坐标为 2 ．
解：作BE⊥x轴于E，
∴AC∥BE，
∴△CDF∽△BDE，
∴＝＝，
∵BC＝3BD，
∴＝＝，
∴CF＝2BE，DF＝2DE，
设B（，b），
∴C（1，﹣2b），
∵函数y＝﹣（x＞0）的图象交于点C，
∴﹣k＝1×（﹣2b）＝﹣2b，
∴k＝2b，
∴B的横坐标为＝＝2，
故答案为：2．
15．如图，在△ABC中，边AB在x轴上，边AC交y轴于点E．反比例函数y＝（x＞0）的图象恰好经过点C，与边BC交于点D．若AE＝CE，CD＝2BD，S△ABC＝6，则k＝ ．
解：如图，作CM⊥AB于点M，DN⊥AB于点N，
设C（m，），
则OM＝m，CM＝，
∵OE∥CM，AE＝CE，
∴＝＝1，
∴AO＝m，
∵DN∥CM，CD＝2BD，
∴＝＝＝，
∴DN＝，
∴D的纵坐标为，
∴＝，
∴x＝3m，
即ON＝3m，
∴MN＝2m，
∴BN＝m，
∴AB＝5m，
∵S△ABC＝6，
∴5m•＝6，
∴k＝．
故答案为：．
16．如图，A为反比例函数（其中x＞0）图象上的一点，在x轴正半轴上有一点B，OB＝4．连接OA，AB，且OA＝AB＝2．过点B作BC⊥OB，交反比例函数（其中x＞0）的图象于点C，连接OC交AB于点D，则的值为 ．
解：过点A作AH⊥x轴，垂足为点H，AH交OC于点M，如图所示．
∵OA＝AB，AH⊥OB，
∴OH＝BH＝OB＝2，
∴AH＝＝＝6，
∴点A的坐标为（2，6）．
∵A为反比例函数（其中x＞0）图象上的一点，
∴k＝2×6＝12．
∵BC⊥x轴，OB＝4，点C在反比例函数y＝上，
∴BC＝3．
∵AH∥BC，OH＝BH，
∴MH＝BC＝，
∴AM＝AH﹣MH＝．
∵AM∥BC，
∴△ADM∽△BDC，
∴，
故答案为．
17．如图，已知菱形ABCD的对角线相交于坐标原点O，四个顶点分别在双曲线y＝和y＝（k＜0）上，＝，平行于x轴的直线与两双曲线分别交于点E，F，连接OE，OF，则△OEF的面积为 ．
解：作AM⊥x轴于M，DN⊥x轴于N，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOM+∠DON＝∠ODN+DON＝90°，
∴∠AOM＝∠ODN，
∵∠AMO＝∠OND＝90°，
∴△AOM∽△ODN，
∴＝（）2，
∵A点在双曲线y＝，＝，
∴S△AOM＝×4＝2，＝，
∴＝（）2，
∴S△ODN＝，
∵D点在双曲线y＝（k＜0）上，
∴|k|＝，
∴k＝﹣9，
∵平行于x轴的直线与两双曲线分别交于点E，F，
∴S△OEF＝+＝，
故答案为．
18．如图，已知直线l：y＝﹣x+4分别与x轴、y轴交于点A，B，双曲线（k＞0，x＞0）与直线l不相交，E为双曲线上一动点，过点E作EG⊥x轴于点G，EF⊥y轴于点F，分别与直线l交于点C，D，且∠COD＝45°，则k＝ 8 ．
解：点A、B的坐标分别为（4，0）、（0，4），
即：OA＝OB，∴∠OAB＝45°＝∠COD，
∠ODA＝∠ODA，∴△ODA∽△CDO，
∴OD2＝CD•DA，
设点E（m，n），则点D（4﹣n，n），点C（m，4﹣m），
则OD2＝（4﹣n）2+n2＝2n2﹣8n+16，
CD＝（m+n﹣4），DA＝n，
即2n2﹣8n+16＝（m+n﹣4）×n，
解得：mn＝8＝k，
故答案为8．
19．如图，平行四边形ABCD的顶点C在y轴正半轴上，CD平行于x轴，直线AC交x轴于点E，BC⊥AC，连接BE，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点D，已知S△BCE＝2，则k的值是 4 ．
解：（解法一）过点D作DF⊥x轴于点F，如图所示．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，BC＝AD．
又∵BC⊥AC，
∴DA⊥AC．
∵CD平行于x轴，
∴∠ACD＝∠CEO．
∵CO⊥OE，DA⊥AC，
∴∠ECO＝∠D．
设点D的坐标为（m，）（m＞0），
则CD＝m，OC＝DF＝．
在Rt△CAD中，CD＝m，∠CAD＝90°，AD＝m•cs∠D．
在Rt△COE中，OC＝，∠COE＝90°，CE＝＝．
S△BCE＝CE•BC＝•m•cs∠D＝k＝2，
解得：k＝4；
（解法二）设点D的坐标为（m，n）（m＞0，n＞0），则CD＝m，OC＝n，
∵CD∥x轴，
∴∠ACD＝∠OEC．
∵四边形ABCD为平行四边形，BC⊥AC，
∴DA⊥AC，AD＝BC，
∴∠DAC＝∠COE＝90°，
∴△COE∽△DAC，
∴＝，即＝，
∴mn＝BC•CE．
∵S△BCE＝BC•CE＝2，
∴mn＝2S△BCE＝4．
∵点D在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴k＝mn＝4．
故答案为：4．
20．如图，A为反比例函数y＝（其中x＞0）图象上的一点，在x轴正半轴上有一点B，OB＝4．连接OA，AB，且OA＝AB．过点B作BC⊥OB，交反比例函数y＝（其中x＞0）的图象于点C，连接OC交AB于点D，则的值为 ．
解：过点A作AH⊥x轴，垂足为H，AH交OC于点M，如图，
∵OA＝AB，AH⊥OB，
∴OH＝BH＝OB＝×4＝2，
A（2，），C（4，），
∵AH∥BC，
∴MH＝BC＝，
∴AM＝AH﹣MH＝﹣＝，
∵AM∥BC，
∴△ADM∽△BDC，
∴＝＝．
21．如图，点A在反比例函数第一象限内图象上，点B在反比例函数第三象限内图象上，AC⊥y轴于点C，BD⊥y轴于点D，交于点E，若BO＝CE，则k的值为 ．
解：过点A作AP⊥x轴于点P，过点B作BQ⊥x轴于点Q，
∵AC＝BD＝，
∴点A的横坐标为，点B的横坐标为﹣，
∵点A在反比例函数第一象限内图象上，点B在反比例函数第三象限内图象上，
∴点A的纵坐标为6，点B的纵坐标为﹣3，
∵AC⊥y轴，BD⊥y轴，
∴CD＝AP+BQ＝9，OD＝3，AC∥BD，
∴∠CAE＝∠DBE，∠ACE＝∠BDE，
∴△ACE≌△BDE（AAS），
∴CE＝DE＝CD＝，
∵BO＝CE，
∴BO＝，
在Rt△BOD中，
由勾股定理可得BD2+OD2＝OB2，
即，
解得k＝或k＝﹣（舍去），
故答案为：．
22．如图，菱形ABCD的四个顶点均在坐标轴上，对角线AC、BD交于原点O，AE⊥BC于E点，交BD于M点，反比例函数的图象经过线段DC的中点N，若BD＝4，则ME的长为 ．
解：在菱形ABCD中，AB＝BC，BD⊥AC，OB＝OD＝＝2，∠ABC＝2∠OBC，
∴点D（0，2），
设点C（m，0），
∵点N为CD的中点，
∴点，
∵反比例函数的图像经过点N，
∴，
解得：，即点，
∴，
∴，，
∴∠OBC＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴，
∵AE⊥BC，
∴，
∴．
故答案为：．
23．如图，平面坐标系中，AB交矩形ONCM于E、F，若＝（m＞1），且双曲线y＝也过E、F两点，记S△CEF＝S1，S△OEF＝S2，用含m的代数式表示．
解：过点F作FG⊥y轴于点G，如图所示：
∵CM⊥y轴，FG⊥y轴，
∴CM∥FG，MC＝FG，
∴△BME∽△BGF，
∴＝＝＝，
设点C的坐标为（a，b），则E（，b），F（a，），
∴S1＝×（a﹣）•（b﹣）＝ab；
S2＝a•b﹣•﹣•﹣ab＝ab．
∴＝．
24．如图，在平面直角坐标系中，点P、Q在函数y＝（x＞0）的图象上，PA、QB分别垂直x轴于点A、B，PC、QD分别垂直y轴于点C、D．设点P的横坐标为m，点Q的纵坐标为n，△PCD的面积为S1，△QAB的面积为S2．
（1）当m＝2，n＝3时，求S1、S2的值；
（2）当△PCD与△QAB全等时，若m＝3，直接写出n的值．
解：（1）∵当m＝2时，y＝＝6，
∴P（2，6）．
∵PA⊥x轴，PC⊥y轴，
∴PC＝OA＝2，PA＝OC＝6．
∵当m＝3时，x＝＝4，
∴Q（4，3）．
∵QB⊥x轴，QD⊥y轴，
∴DQ＝OB＝4，QB＝OA＝3，
∴CD＝OC﹣OD＝3，AB＝OB﹣OA＝2，
∴S1＝CD•CP＝×3×2＝3，S2＝AB•QB＝×2×3＝3．
（2）∵m＝3，
∴P（3，4），
∴PC＝OA＝3，
当△PCD≌△QBA时，
∵QB＝PC＝3，
∴n＝3；
当△PCD≌△ABQ时，
∵PC＝OA＝3，
∴AB＝PC＝3，
∴OB＝OA+AB＝3+3＝6．
∵点Q在反比例函数y＝的图象上，
∴y＝＝2，
∴n＝2．
综上所述，n＝2或3．
25．如图，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（1，2）、B（﹣2，n）两点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出满足k1x+b＞的x的取值范围；
（3）若点P在线段AB上，且S△AOP：S△BOP＝1：4，求点P的坐标．
解：（1）∵反比例函数y＝经过A（1，2），
∴k2＝1×2＝2，
∴反比例函数解析式为y＝，
∵B（﹣2，n）在反比例函数y＝的图象上，
∴n＝＝﹣1，
∴B（﹣2，﹣1），
∵直线y＝k1x+b经过A（1，2），B（﹣2，﹣1），
∴，解得，
∴一次函数的解析式为y＝x+1；
（2）观察图象，k1x+b＞的x的取值范围是﹣2＜x＜0或x＞1；
（3）设P（x，x+1），
∵S△AOP：S△BOP＝1：4，
∴AP：PB＝1：4，
即PB＝4PA，
∴（x+2）2+（x+1+1）2＝16[（x﹣1）2+（x+1﹣2）2]，
解得x1＝，x2＝2（舍去），
∴P点坐标为（，）．
26．如图，在矩形OABC中，OA＝3，OC＝5，分别以OA、OC所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，D是边CB上的一个动点（不与C、B重合），反比例函数y＝（k＞0）的图象经过点D且与边BA交于点E，连接DE．
（1）连接OE，若△EOA的面积为2，则k＝ 4 ；
（2）连接CA、DE与CA是否平行？请说明理由；
（3）是否存在点D，使得点B关于DE的对称点在OC上？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）连接OE，如图1，
∵Rt△AOE的面积为2，
∴k＝2×2＝4．
（2）连接AC，如图1，设D（x，5），E（3，），则BD＝3﹣x，BE＝5﹣，
＝，
∴，
又∵∠B＝∠B，
∴△BDE∽△BCA，
∴∠BED＝∠BAC，
∴DE∥AC．
（3）假设存在点D满足条件．设D（x，5），E（3，），则CD＝x，
BD＝3﹣x，BE＝5﹣，AE＝．
作EF⊥OC，垂足为F，如图2，
易证△B′CD∽△EFB′，
∴，即＝，
∴B′F＝，
∴OB′＝B′F+OF＝B′F+AE＝+＝，
∴CB′＝OC﹣OB′＝5﹣，
在Rt△B′CD中，CB′＝5﹣，CD＝x，B′D＝BD＝3﹣x，
由勾股定理得，CB′2+CD2＝B′D2，
（5﹣）2+x2＝（3﹣x）2，
解这个方程得，x1＝1.5（舍去），x2＝0.96，
∴满足条件的点D存在，D的坐标为D（0.96，5）．
27．如图，点A和点E（2，1）是反比例函数y＝（x＞0）图象上的两点，点B在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，分别过点A、B作y较的垂线，垂足分别为点C、D，AC＝BD，连接AB交y轴于点F．
（1）求k；
（2）设点A的横坐标为a，点F的纵坐标为m，求证：am＝﹣2．
（3）连接CE、DE，当∠CED＝90°时，求A的坐标．
（1）解：∵点E（2，1）是反比例函数y＝（x＞0）图象上的点，
∴k＝1×2＝2；
（2）证明：∵点A的横坐标为a，
∴点A的纵坐标为，
∵AC＝BD，
∴B（﹣a，﹣），
∵AC∥BD，
∴∠CAF＝∠DBF，∠ACF＝∠BDF，
∵AC＝BD，
∴△ACF≌△BDF（ASA），
∴CF＝DF，
∴m＝﹣，
∴am＝﹣2；
（3）解：∵∠CED＝90°，CF＝DF，
∴CD＝2EF，
∴＝2，
由（2）知，＝﹣m，
∴﹣4m＝2，
解得m＝1或﹣，
当m＝1时，a＝﹣2（舍去），
当m＝﹣时，a＝，
∴A（，）．
28．已知在平面直角坐标系xOy中，点A是反比例函数y＝（x＞0）图象上的一个动点，连结AO，AO的延长线交反比例函数y＝（k＞0，x＜0）的图象于点B，过点A作AE⊥y轴于点E．
（1）如图1，过点B作BF⊥x轴，于点F，连接EF．
①若k＝1，求证：四边形AEFO是平行四边形；
②连结BE，若k＝4，求△BOE的面积．
（2）如图2，过点E作EP∥AB，交反比例函数y＝（k＞0，x＜0）的图象于点P，连结OP．试探究：对于确定的实数k，动点A在运动过程中，△POE的面积是否会发生变化？请说明理由．
（1）①证明：设点A的坐标为（a，），则当点k＝1时，点B的坐标为（﹣a，﹣），
∴AE＝OF＝a，
∵AE⊥y轴，
∴AE∥OF，
∴四边形AEFO是平行四边形；
②解：过点B作BD⊥y轴于点D，如图1，
∵AE⊥y轴，
∴AE∥BD，
∴△AEO∽△BDO，
∴，
∴当k＝4时，，
即，
∴S△BOE＝2S△AOE＝1；
（2）不改变．
理由如下：
过点P作PH⊥x轴于点H，PE与x轴交于点G，
设点A的坐标为（a，），点P的坐标为（b，），
则AE＝a，OE＝，PH＝﹣，
∵四边形AEGO是平行四边形，
∴∠EAO＝∠EGO，AE＝OG，
∵∠EGO＝∠PGH，
∴∠EAO＝∠PGH，
又∵∠PHG＝∠AEO，
∴△AEO∽△GHP，
∴，
∵GH＝OH﹣OG＝﹣b﹣a，
∴，
∴﹣k＝0，
解得，
∵a，b异号，k＞0，
∴，
∴S△POE＝×OE×（﹣b）＝×（﹣b）＝﹣，
∴对于确定的实数k，动点A在运动过程中，△POE的面积不会发生变化．