高中物理人教版 (2019)选择性必修 第一册4 单摆精品导学案及答案

这是一份高中物理人教版 (2019)选择性必修 第一册4 单摆精品导学案及答案，共13页。
一、单摆的回复力
如图所示，一根细线上端固定，下端连接一个金属小球，用手使小球偏离竖直方向一个很小的夹角，然后释放，小球在A、A′间来回摆动，不计空气的阻力。
(1)小球摆动过程中受到哪些力的作用？
(2)什么力提供向心力？什么力提供回复力？
(3)小球经过O点平衡位置时回复力为零，合外力也为零吗？
答案 (1)小球受重力和细线的拉力作用。
(2)细线的拉力和重力沿径向的分力的合力提供向心力。重力沿切线方向的分力提供小球振动的回复力。
(3)小球经过平衡位置时，做圆周运动，其合外力不为零。
1．单摆的组成：由细线和小球组成。
2．理想化模型
(1)细线的质量与小球相比可以忽略。
(2)小球的直径与线的长度相比可以忽略。
(3)细线的形变量与细线长度相比可以忽略。
(4)空气阻力与小球的重力及细线的拉力相比可以忽略。
3．单摆的回复力
(1)回复力的来源：摆球的重力沿圆弧切线方向的分力，即F＝mgsin θ。
(2)回复力的特点：在摆角很小时，摆球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总指向平衡位置，即F＝－eq \f(mg,l)x。从回复力特点可以判断单摆做简谐运动。
判断下列5幅图中的摆动模型能否看成单摆？若不能，请说明原因。
答案 均不能看成单摆。图(a)(d)摆动过程中摆长会发生变化，图(b)空气阻力不能忽略，图(c)球的直径与绳的长度相比不能忽略，图(e)绳的质量与小球相比不能忽略。
单摆做简谐运动的推证
在偏角很小时，用弧度表示的θ与它的正弦sin θ近似相等，即sin θ≈θ≈eq \f(x,l)，因此单摆的回复力可表示为F＝－eq \f(mg,l)x(式中x表示摆球偏离平衡位置的位移，l表示单摆的摆长，负号表示回复力F与位移x的方向相反)，由此知回复力符合F＝－kx，单摆做简谐运动。
(1)摆球受到重力、拉力、向心力、回复力四个力的作用。( × )
(2)单摆运动的回复力是重力和摆线拉力的合力。( × )
(3)单摆经过平衡位置时受到的合力为零。( × )
(4)单摆摆动到最高点时速度为零，合外力也为零。( × )
例1 (2023·青岛一中月考)图中O点为单摆的固定悬点，现将摆球(可视为质点)拉至A点，此时细线处于张紧状态，释放摆球，摆球将在竖直平面内的A、C之间来回摆动，B点为运动中的最低位置，则在摆动过程中( )
A．摆球受到重力、拉力、回复力三个力的作用
B．摆球在A点和C点处，速度为零，回复力也为零
C．摆球在B点处，速度最大，细线拉力也最大
D．摆球在B点处，速度最大，回复力也最大
答案 C
解析 摆球在运动过程中只受到重力和拉力作用，A错误；摆球在摆动过程中，在最高点A、C处速度为零，回复力最大，合力不为零，在最低点B处，速度最大，回复力为零，细线的拉力最大，C正确，B、D错误。
例2 (多选)如图所示为一单摆的振动图像，则( )
A．t1和t3时刻摆线的拉力等大
B．t2和t3时刻摆球速度相等
C．t3时刻摆球速度正在减小
D．t4时刻摆线的拉力正在减小
答案 AD
解析 由题图可知，t1和t3时刻摆球的位移相等，根据对称性可知单摆振动的速度大小相等，故摆线拉力大小相等，故A正确；t2时刻摆球在负的最大位移处，速度为零，t3时刻摆球向平衡位置运动，所以t2和t3时刻摆球速度不相等，故B错误；t3时刻摆球正靠近平衡位置，速度正在增大，故C错误；t4时刻摆球正远离平衡位置，速度正在减小，摆线拉力也减小，故D正确。
二、单摆的周期
1．单摆振动的周期与摆球质量无关(选填“有关”或“无关”)，在振幅较小时与振幅无关(选填“有关”或“无关”)，但与摆长有关(选填“有关”或“无关”)，摆长越长，周期越大(选填“越大”“越小”或“不变”)。
2．单摆周期公式
(1)提出：单摆周期公式是荷兰物理学家惠更斯首先提出的。
(2)公式：T＝2πeq \r(\f(l,g))，即周期T与摆长l的二次方根成正比，与重力加速度g的二次方根成反比，而与振幅、摆球质量无关。
惠更斯利用摆的等时性发明了带摆的计时器，叫摆钟。摆钟运行时克服摩擦所需的能量由重锤的势能提供，运行的速率由钟摆控制。旋转钟摆下端的螺母可以使摆上的圆盘沿摆杆上下移动。请思考：
(1)摆针走时偏快应如何校准？
(2)将一个走时准确的摆钟从福建移到北京，摆钟应如何校准？
答案 (1)摆针走时偏快应调节螺母使圆盘沿摆杆下移。
(2)调节螺母使圆盘沿摆杆下移。
对单摆周期公式的理解
1．成立条件：单摆偏角很小(偏角小于5°)。
2．影响因素：周期T只与l和g有关，与摆球质量m及振幅无关，所以单摆的周期也叫固有周期。
3．对l、g的理解
(1)公式中l是摆长，即悬点到摆球球心的距离。
①普通单摆，摆长l＝l′＋eq \f(D,2)，l′为摆线长，D为摆球直径。
②等效摆长：(a)图中，甲、乙在垂直纸面方向上摆动起来效果是相同的，甲摆的等效摆长为lsin α，其周期T＝2πeq \r(\f(lsin α,g))。(b)图中，乙在垂直纸面方向摆动时，其等效摆长等于甲摆的摆长；乙在纸面内小角度摆动时，等效摆长等于丙摆的摆长。
(2)①公式中g是单摆所在地的重力加速度，由单摆所在的空间位置决定。
②等效重力加速度：一般情况下，公式中g的值等于摆球静止在平衡位置时，摆线的拉力与摆球质量的比值。
(1)摆球的质量越大，周期越大。( × )
(2)若单摆的振幅变为原来的一半，则周期也将变为原来的一半。( × )
例3 周期是2 s的单摆叫秒摆，秒摆的摆长是多少？把一个地球上的秒摆拿到月球上去，它在月球上做50次全振动要用多少时间？已知地球表面的重力加速度为9.8 m/s2, 月球上的自由落体加速度为1.6 m/s2，π2取9.8。
答案 1 m 175eq \r(2) s
解析 根据单摆周期公式T＝2πeq \r(\f(l,g))可得l＝eq \f(gT2,4π2)
代入数据解得
l＝eq \f(9.8×22,4×9.8) m＝1 m
秒摆搬到月球上，其与地球上的秒摆的周期关系为eq \f(T′,T)＝eq \r(\f(g,g′))
它在月球上做50次全振动所用的时间为
t＝50T′＝50Teq \r(\f(g,g′))＝50×2×eq \r(\f(9.8,1.6)) s＝175eq \r(2) s。
例4 (多选)(2022·白城市洮南十中月考)甲、乙两个单摆的振动图像如图所示，根据振动图像可以判定( )
A．若甲、乙两单摆在同一地点摆动，甲、乙两单摆摆长之比是9∶4
B．甲、乙两单摆振动的频率之比是3∶2
C．甲、乙两单摆振动的周期之比是2∶3
D．若甲、乙两单摆在不同地点摆动，但摆长相同，则甲、乙两单摆所在地点的重力加速度之比为9∶4
答案 BCD
解析 根据题图可知，单摆振动的周期关系eq \f(3,2)T甲＝T乙，所以周期之比为eq \f(T甲,T乙)＝eq \f(2,3)，所以频率之比为eq \f(f甲,f乙)＝eq \f(3,2)，故B、C正确；若甲、乙两单摆在同一地点摆动，则重力加速度相同，根据T＝2πeq \r(\f(l,g))，可得摆长之比为4∶9，故A错误；若甲、乙两单摆在不同地点摆动，摆长相同，根据T＝2πeq \r(\f(l,g))，可得重力加速度之比为9∶4，故D正确。
例5 如图所示，MN为半径较大的光滑圆弧的一部分，把小球A放在MN的圆心处，再把另一个小球B放在MN上离最低点C很近的B处(弧BC所对圆心角小于5°)，今使两小球同时静止释放，则( )
A．球A先到达C点
B．球B先到达C点
C．两球同时到达C点
D．无法确定哪个球先到达C点
答案 A
解析 球A做自由落体运动，到达C点的时间为tA＝eq \r(\f(2h,g))＝eq \r(\f(2R,g))
当弧BC所对的圆心角小于5°时，球B在圆弧的支持力FN和重力G的作用下做简谐运动(与单摆类似)，它的振动周期为T＝2πeq \r(\f(l,g))＝2πeq \r(\f(R,g))，
因此球B运动到C点所需的时间是
tB＝eq \f(T,4)＝eq \f(π,2)eq \r(\f(R,g))
故tAT2>T3>T4 B．T4T2 D．T1g乙，将摆长缩短
B．g甲g甲，为了增大周期，可以增大摆长，B正确。
5．摆长是1 m的单摆在某地区的周期是2 s，则在同一地区( )
A．摆长是0.5 m的单摆的周期是0.707 s
B．摆长是0.5 m的单摆的周期是1 s
C．周期是1 s的单摆的摆长为2 m
D．周期是4 s的单摆的摆长为4 m
答案 D
解析 摆长是1 m的单摆的周期是2 s，根据单摆的周期公式T＝2πeq \r(\f(l,g))可知，当地的重力加速度g＝eq \f(4π2l,T2)＝π2 m/s2。摆长是0.5 m 的单摆的周期T1＝2πeq \r(\f(l1,g))＝2π×eq \r(\f(0.5,π2)) s≈1.414 s，故A、B错误；周期是1 s的单摆的摆长l2＝eq \f(gT22,4π2)＝eq \f(π2×12,4π2) m＝0.25 m，周期是4 s的单摆的摆长l3＝eq \f(gT32,4π2)＝eq \f(π2×42,4π2) m＝4 m，故C错误，D正确。
6．(2023·烟台市月考)如图甲所示，细线下端悬挂一个除去了柱塞的注射器，注射器内装上墨汁。将摆线拉开一较小幅度，当注射器摆动时，沿着垂直于摆动的方向以速度v匀速拖动木板，得到喷在木板上的墨汁图样如图乙所示，若测得木板长度为L，墨汁图样与木板边缘交点P、Q恰好是振动最大位置处，已知重力加速度为g，则该单摆的等效摆长为( )
A.eq \f(gv2,25π2L2) B.eq \f(gL2,25π2v2)
C.eq \f(25gL2,16π2v2) D.eq \f(25gv2,16π2L2)
答案 B
解析 由题图乙可知，该单摆恰好摆动2.5个周期，故满足eq \f(5,2)T＝eq \f(L,v)，单摆周期公式为T＝2πeq \r(\f(l,g))，解得该单摆的等效摆长为l＝eq \f(gL2,25π2v2)，B正确。
7．(多选)(2023·安庆一中月考)如图所示，三根细线在O点处打结，A、B两端固定在同一水平面上相距为L的两点上，△AOB为直角三角形，∠BAO＝30°，已知OC长为L，下端C点处系着一个小球(忽略小球的半径，小球摆动时偏角θta>tc，c球最先运动到最低点，b球最后到达O′点，故A、B、D错误，C正确。
12．(2022·浙江金华十校调研)如图甲所示，摆球在竖直平面内做简谐运动，通过力传感器测量摆线拉力F，F的大小随时间t变化规律如图乙所示，摆球经过最低点时的速度大小v＝eq \f(\r(5),5) m/s，忽略空气阻力，取g＝10 m/s2，π2≈g，求：
(1)单摆的摆长l；
(2)摆球的质量m；
(3)摆线拉力的最小值。
答案 (1)1 m (2)0.1 kg (3)0.99 N
解析 (1)由题图乙可知单摆周期为T＝2 s
根据单摆周期公式T＝2πeq \r(\f(l,g))
解得l＝1 m。
(2)当拉力最大时，即F＝1.02 N
摆球处在最低点
由牛顿第二定律F－mg＝meq \f(v2,l)
解得m＝0.1 kg。
(3)从最低点到最高点，由动能定理得
－mgl(1－cs θ)＝0－eq \f(1,2)mv2
解得cs θ＝0.99
在最高点摆线的拉力最小，最小值为
F′＝mgcs θ＝0.99 N。